ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE MENTOURI CONSTANTINE FACULTE DES SCIENCES DE L’INGENIEUR
DEPARTEMENT D’ELECTRONIQUE
N° d’ordre : 94/TE/2008 N° de série : 08/Elect/2008
T
HESE:
PRESENTEE : En vue de l’obtention
Du DIPLOME DE DOCTORAT D’ETAT EN ELCTRONIQUE Option : MICRO ELECTRONIQUE
Par
Fouad KERROUR Maître assistant de classe A
ETUDE ET MODELISATION DE
CAPTEURS DE PRESSION PIEZORESISTIFS ET CAPACITIFS AU SILICIUM
Soutenue le 14/12/2008 devant le jury d’examen :
Présidente: S. Lassoued Prof. Univ. Constantine Rapporteur : F. Hobar Prof. Univ. Constantine Examinateurs: S. Toumi Prof. Univ. Annaba
A. Telia Prof. Univ. Constantine
Z. Dibi M.C Univ. Batna
Invité M. Bouchemat Prof. Univ. Constantine
REMERCIEMENTS
Les travaux présentés dans ce mémoire ont été effectués au laboratoire de microsystèmes et d’instrumentation de l’Université Mentouri Constantine sous la direction du professeur Farida Hobar.
Je tiens à remercier Mme Farida Hobar (professeur), directrice du laboratoire L.M.I. de l’université Mentouri Constantine pour sa précieuse aide. Elle m’a non seulement apportée ses compétences scientifiques mais aussi un soutien moral tout au long de mon parcours.
Je suis redevable à madame S. Lassoued, Professeur à l’université Mentouri Constantine, pour l’honneur qu’elle m’a fait de présider le jury.
J’exprime ma gratitude à Mr S. Toumi Professeur de l’université Badji .Mokhtar de Annaba, qui a accepté d’examiner ce travail et je suis très contant qu’il fasse partie du jury.
J’associe à ces remerciements Mr Z. Dibi Maître de conférence à l’université de Batna d’avoir accepté d’évaluer mes travaux de thèse.
Je remercie également Mr A. Telia, Professeur de l’université Mentouri de Constantine, de s’intéresser à ce travail et de me faire l’honneur d’être examinateur de cette thèse.
Je tiens à remercier tous ceux qui ont contribué de près ou de loin à l’élaboration de cette thèse.
i
S OMMAIRE
ii SOMMAIRE
INTRODUCTION GENERALE………..1
CHAPITRE I : ETAT DE L’ART……….……….………...4
I.1.Introduction……….………...4
I.2. Définition d’un capteur……….4
I.2.1. Description d’un capteur de pression ………...6
I.3 Optimisation des dérives thermiques des capteurs de pression piézorésistifs……..7
I.4 Amélioration des performances des capteurs de pression capacitifs ………9
I.5 Les microsystèmes………...………11
I.5.1 Technologie de base des microsystèmes………..….12
I.5.2. Applications des microsystèmes………..16
CHAPITRE II :MODELISATION MECANIQUE DE LA MEMBRANE………..….19
II.1. Introduction………19
II.2. Modélisation de la membrane en fonction de la pression……….………...…….20
II.2.1- Membrane de formes carré et rectangulaire….…………..………...20
II.2.2 - Etablissement de l’équation fondamentale de la déflexion d’une membrane fine de formes carrée et rectangulaire………...………21
II.2.3- Mise en équation de la Méthode de Galerkin ………...31
II.2.3.1- Présentation de la méthode de Galerkin………..32
II.2.3.2- Choix des fonctions de base ………...33
II.2.3.3- Détermination de la déflexion de la membrane w(x, y) ………..34
II.2.3.4- Détermination des contraintes normales (xx), (yy) et de cisaillement (xy) ………..35
II.2.3.5-Choix d’une nouvelle fonction de base ………43
II.2.4 -Résultats et discussions………..44
iii
II.2.6- Modélisation de la membrane de forme circulaire………. 74
II.2.6.1- Détermination des contraintes et déformations radiale et tangentielle (r, r, ………...74
II.3- Conclusion………79
CHAPITRE III :MODELISATION DU CAPTEUR DE PRESSION PIEZORESISTIF………….……31
III.1 Introduction……...………81
III.1.1 Description du capteur de pression piézorésistif ………..81
III.1.2 Propriétés du silicium monocristallin……….………..83
III.1.3 Les matériaux dérivés du silicium : SiO2 et Si3 N4………..………...84
III.1.4 Propriétés du poly silicium……….………84
III.1.5 Principe de piézorésistivité dans le silicium monocristallin………..87
III.1.5.1 Influence du dopage et de la température sur les coefficients de piézorésistivité………...96
III.1.6 Technologie de fabrication d’un micro capteur: Micro technologie …………98
III.1.6.1 Micro usinage de la membrane………99
III.1.6.2 Technologie de fabrication des jauges semi conductrice…………..103
III.1.6.3 Facteur de jauge K……….107
III.2. Disposition des jauges sur la membrane ………..109
III.2.1 Sensibilité des jauges ponctuelles au silicium monocristallin………...114
III.2.2 Sensibilité des jauges réelles………..118
III.2.3 Jauges à base de Silicium poly cristallin……….…121
III.2.4. Principe de fonctionnement du pont………123
III.3. Résultats et discussion………...126
Conclusion………. 142
CHAPITRE IV :MODELISATION DU CAPTEUR DE PRESSION CAPACITIF….……….144
IV.1. Introduction...………...………144
IV.1.1.Principe de fabrication de capteur de pression capacitif…………...…….….144
IV.1.2.Technologies de fabrication… ………..………….….……...145
a- Le micro usinage en volume………...…….145
iv
c-1- Accéléromètre capacitif au silicium……..……….…………..148
c-2- Capteur d’accélération poly silicium………..……149
c-3- Capteur de pression capacitif……….………..150
IV.2.Modélisation du capteur de pression capacitif……….151
IV.2.1.Réponse capacitive C(P)………….………....……….……….151
IV.2.2. Sensibilité….………..…….153
IV.3.résultats et discussions………...……154
IV.3.1.Validation du modèle………154
IV.3.2.Analyse comparative ……….………161
a- Effet de la forme de la membrane ………..162
b- Effet de la forme de l’encastrement………163
IV.4 Conclusion ………..………...166
CONCLUSION GENERALE………..167
LISTES DES FIGURES………...171
LISTES DES TABLEAUX………...………...177
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES…..………...…...178
ANNEXE……….…...…...189
I NTRODUCTION
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INTRODUCTION GENERALE
Depuis longtemps les capteurs sont utilisés comme systèmes de détections de grandeur physiques. Les capteurs qui relèvent de la technologie microélectronique, et plus particulièrement celle du silicium, offrent des avantages techniques et économiques. Vers la fin des années 1970, les premiers capteurs de pression à base de silicium furent fabriqués par lots, utilisant l’énorme développement de la fabrication des circuits intégrés [1]. La course à l'innovation était dirigée par un souci de réduction de l’encombrement afin d'augmenter la puissance de calcul et la fonctionnalité des appareils. Lors de l’élaboration des capteurs de pression, différentes technologies ont été mises en œuvre, parmi lesquelles, on citera la technologie à couche mince, piézorésistive et capacitive [2,3].
Dans les années 1990, l'avènement des technologies dites collectives, associé au traitement du silicium, a permis des réductions du coût de fabrication permettant ainsi une
« démocratisation » de ces nouveaux produits (microélectronique). De plus, les qualités mécaniques du silicium et l’usinage collectif relativement simple, qu’il soit chimique (KOH ...) ou physique (gravure plasma, micro-forage), rendent aujourd'hui possible l'industrialisation de certaines microstructures tels que les microcapteurs et microsystèmes visant les marchés de grand volume et de faible coût [4]. La dualité faible taille et faible coût peut permettre de répondre à de nouveaux besoins dans plusieurs domaines notamment la médecine, l'automobile, l'industrie [5] etc. Aujourd'hui, il est clairement établi que les technologies de miniaturisation apportent des avantages incontestables en terme de coût (fort volume), fiabilité (tenue aux chocs, bonne reproductibilité des processus industriels) et possibilité d'intégration (faible taille, excellente compatibilité avec les systèmes microélectroniques usuels).
Malgré leurs défauts, les capteurs de pression au silicium à détection piézorésistive restent parmi les microsystèmes les plus vendus dans le monde. Ceci est lié d’une part aux différentes techniques qui ont été développées pour corriger leurs dérives thermiques et d’autre part à la simplicité de mise en œuvre de ce type de détection. [6-9]
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Plusieurs travaux de recherches ont été effectués afin d’améliorer leurs performances et de les adapter aux nouvelles exigences industrielles.
Parmi ces travaux on peut citer la conception et la simulation de capteur de pression piézorésistif pour la mesure de la pression sanguine [10]. Une autre application récente de ces dispositifs à détection piézorésistive, développée au LAAS, consiste en la conception d’un capteur de pression pour la mesure de la pression intra crânienne [11].
Malgré l’évolution croissante du domaine des micros capteurs, des microsystèmes et l’avènement des capteurs intelligents « smart sensor », l’étude et la modélisation élémentaire de capteurs de pression restent toujours d’actualité, puisqu’ils sont et resteront toujours l’élément de base de la conception de tout microsystème. C’est pourquoi de nombreux travaux sont en cours afin de les optimiser et d’améliorer leurs performances [12-16]. Les technologies existantes présentent des inconvénients et appellent à des innovations. Un des points faibles, notamment des derniers capteurs embarqués réside dans la perte de la sensibilité à la pression au montage. En effet, le capteur a l’intérêt d’avoir une très grande sensibilité à la pression et une taille très réduite dans le sens de la largeur (inférieur à 1 mm), mais les résultats obtenus sur les démonstrateurs montrent que les mesures de sensibilités à la pression présentent des valeurs 2 à 3 fois plus faibles que celles escomptées lors du montage [17,18].
Notre travail s’insère dans cette optique, puisqu’il consiste en l’étude du comportement mécanique de capteurs de pression piézorésistif et capacitif dans leur intégralité (capteurs dans leur boîtier) afin de déterminer l'origine de ce comportement et d'apporter des solutions à ce problème. Cette approche a permis aussi, de bien comprendre tous les phénomènes intervenant dans leurs caractéristiques et d’établir des modèles analytiques qui pourront par la suite être intégrés dans le microsystème à réaliser. Une étude comparative des divers cas possibles a permis de bien évaluer l’impact de chaque paramètre d’influence sur l’évolution de la réponse du dispositif. L’objectif poursuivi dans le cadre de cette thèse concerne la modélisation et la simulation de capteurs de pression dans le cas des faibles pressions pour diverses applications. Le principe de fonctionnement du capteur est basé sur une micro membrane dont la déformation mécanique, constitue le signal à traiter, qui est transformé en une grandeur électrique. Ce transducteur de signal électrique est basé sur les deux principes, les plus fréquemment utilisés : piézorésistif et capacitif. Dans le premier cas la
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déformation est transformée en contrainte, puis recueillie sous forme de variation de résistance à l’aide de jauges semi conductrices convenablement positionnées sur la membrane et connectées en pont de Wheatstone. Cette variation de résistance donne une variation de tension en fonction de la pression appliquée. Dans le deuxième cas, cette membrane constitue une électrode mobile d’un condensateur plan, nous recueillons une variation de capacité en fonction de la pression appliquée.
Le chapitre I de cette thèse constituera un état de l’art de tout ce qui a été déjà fait dans la littérature concernant les capteurs de pression et les microsystèmes.
Le chapitre II sera consacré, en premier lieu aux fondements théoriques notamment, l’établissement de l’équation différentielle régissant le comportement mécanique de la membrane soumise à une pression uniforme et constante. En second lieu nous rappellerons la résolution de cette équation par le modèle polynomial et enfin nous proposerons un nouveau modèle trigonométrique pour la résolution de cette équation, ce qui permettra d’obtenir la déflexion w(x, y) en tout point de la membrane ainsi que les contraintes engendrées sur cette dernière. Une étude comparative des résultats obtenus des deux modèles présentés sera effectuée. Une étude détaillée de plusieurs formes géométriques de membranes permettra de déterminer leurs performances et limites.
Les chapitres III et IV feront l’objet de l’application de ces résultats de la déflexion et des contraintes obtenus à des capteurs de pression piézorésistifs et capacitifs.
Dans le chapitre III, nous rappellerons les propriétés mécaniques et physiques du silicium et éventuellement d’autres matériaux susceptibles d’optimiser les réponses des capteurs ainsi que les techniques de leurs fabrications. Ensuite la réponse du capteur et sa sensibilité seront examinés en fonction des divers paramètres d’influence.
Dans le chapitre IV, nous rappellerons la constitution d’un capteur de pression capacitif ainsi que les techniques de sa fabrication. Nous présenterons ensuite la modélisation du capteur de pression capacitif et la détermination des effets des paramètres d'influence sur ses performances, tels que : la forme de l'encastrement, la surface de la membrane A, l'épaisseur de la membrane h, le rapport de dimension rd et la distance inter électrode d. Enfin, nous exposerons les résultats obtenus et ferons une étude comparative entre les différentes
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structures. Ce qui permettra d’évaluer les effets de chaque paramètre sur la réponse du capteur C (P) et sur sa sensibilité (Sp) à la pression appliquée P.
C HAPITRE 1 :
ETAT DE L ’ ART
4 I.1.Introduction
L’avènement des machines à vapeur a considérablement développé la demande en matière de pression. Et donc de la mesure de cette dernière, dans un souci d’efficacité et de sécurité, les manomètres mécaniques à cadran, à déformation de tubes ou de membranes métalliques, furent les premiers instruments utilisés et le sont encore de nos jours. Les premiers capteurs de pression étaient des mécanismes de transduction dans lesquels les mouvements des membranes, ressort ou tubes de bourdon étaient convertis en grandeurs électriques. Par exemple une membrane constituant l’armature mobile d’une capacité [19].
Les capteurs miniatures en silicium ont profondément changé le marché des capteurs de pression grâce à leurs excellentes performances, obtenues pour de faibles coûts de fabrication.
Développé dans les années 1960, le capteur de type piézorésistif en silicium a mis plus de trente ans pour se propager dans tous les domaines d’activité (automobile, médical, instrumentation, environnement...). Il constitue aujourd’hui la majeure partie des capteurs de pression fabriqués dans le monde. Les capteurs de type capacitifs sont apparus à la fin des années 1970 dans les centres de recherches. Bien qu’ayant de meilleures performances, ils n’ont pas encore percé sur le marché, sans doute en raison de l’inertie nécessaire à la diffusion d’un nouveau produit, mais aussi à cause de la plus grande difficulté de traitement du signal électrique qu’il délivre. À terme, les deux types de capteurs devraient coexister compte tenu de leurs avantages respectifs en fonction de l’application visée [5]. Le domaine des très hautes températures restera une application privilégiée des capteurs à détection piézorésistive.
L’étude de nouveaux matériaux piézorésistifs comme le carbure de silicium et le diamant permettra la mesure de pression à des températures supérieures à 300 o C [20]. Ce domaine présente, en effet, de nombreuses applications dans l’industrie aéronautique et automobile.
I.2. Définition d’un capteur
Un capteur est un dispositif chargé de prélever une grandeur physique à mesurer et de la transformer en une grandeur exploitable (figure I.1). Dans la plupart des cas il s’agit d’un élément transducteur destiné à la mesure proprement dite: conversion d'une grandeur
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physique du processus en une grandeur (généralement électrique) d'entrée du système de mesure. Par exemple un manomètre est un capteur de pression, dont la sortie est une tension électrique dépendant de la pression, et un thermocouple est un capteur de température, dont la sortie est une tension électrique dépendant de la température [21.22]. Cette conversion est représentée en général par une équation mathématique qui découle directement de la loi physique exploitée dans le capteur, au besoin corrigée et complétée par des termes de type expérimental.
En effet, le mesurande qui est la grandeur physique à mesurer n’est pas directement utilisable.
Elle constitue le signal d’entrée du capteur. La grandeur exploitable est souvent de nature électrique elle constitue le signal de sortie ou la réponse du capteur. Elle est une représentation du mesurande et doit être indépendante des autres grandeurs pouvant influer sur le capteur. Ces grandeurs étrangères s’appellent les grandeurs d’influences. Dans le cas où cela n’est pas possible, on est obligé d’en tenir compte dans l’équation qui régit la réponse du capteur. Le capteur est donc un organe de saisie de l’information, c’est le premier maillon de toute chaîne de mesure, acquisition de données de tout système d’asservissement ou de régulation de tout dispositif de contrôle, de surveillance et de sécurité. L’information électrique fournie par le capteur est assurée par les variations des caractéristiques d’un élément sensible (résistance, capacité, bobine, semi-conducteur…) ou par l’exploitation d’effets physiques appropriés (piézorésistance, piézoélectricité, électroluminescences, effet hall, magnétostriction…) [23].
Figure I.1 : Schéma de principe d’un capteur Capteur
Grandeur physique à mesurer
Signal électrique de mesure Grandeurs
D’influence
6 I.2.1. Description d’un capteur de pression Le capteur est constitué de trois blocs figure I 2:
Un corps d’épreuve
Un élément de transduction ou élément sensible ou transducteur
Module électronique de conditionnement
Figure I.2: Constitution d’un capteur
Le corps d’épreuve est l’élément mécanique qui, soumit aux variations de la grandeur à mesurer (mesurande), a pour rôle de la transformer en une grandeur physique mesurable.
Pour les capteurs de pression cette grandeur est généralement une déformation. Les corps d’épreuve les plus utilisés sont les plaques, les poutres et les membranes.
Le transducteur est l’élément sensible qui, lié au corps d’épreuve, traduit les réactions de ce dernier en signal électrique.
Le module électronique est le module de traitement du signal en vue d’une éventuelle exploitation.
Le capteur est construit pour exploiter une propriété de la matière, décrite par une loi physique, permettant de connaître la correspondance entre la grandeur électrique à la sortie du capteur et la grandeur physique à mesurer. Par exemple, pour mesurer une pression, on peut utiliser la résistance d'un fil et exploiter la loi de la piézorésistivité exprimant la variation de la résistance en fonction de la déformation du fil imposée par la pression. Ainsi, à chaque valeur de la résistance correspond une valeur particulière de la pression. Une loi physique nous
Corps d’épreuve
Transducteur Module
Electronique Mesurande
Réaction Signal électrique de sortie
Signal de mesure transmissible
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permet de calculer la pression à partir de la mesure de la résistance du capteur. Cependant, le capteur est un élément réel, la conduction électrique interne conduit à l’apparition de petites variations aléatoires, le bruit interne qui va s’ajouter à l’information désirée. De plus la présence du capteur modifie quelque peu le comportement de l’objet ou la grandeur que l’on mesure, modifiant ainsi légèrement les valeurs obtenues. Soumis à l’environnement, d’autres lois physiques modifient la réponse souhaitée du capteur et des perturbations externes (compatibilité électromagnétique) ajoutent d’autres erreurs au signal obtenu à la sortie de la chaîne. Il faut donc bien admettre que la réponse à la sortie n’est qu’une approximation idéale.
Le problème de la mesure est donc de trouver, à partir de la sortie de la chaîne une estimation aussi exacte que possible du mesurande.
Ainsi le capteur doit avoir les caractéristiques suivantes : - Une bonne linéarité.
- Une grande étendue de mesure.
- Une très bonne sensibilité au mesurande - Une insensibilité aux grandeurs d’influence.
I.3 Optimisation des dérives thermiques des capteurs de pression piézorésistifs
Les capteurs de pression piézorésistifs micro usinés au silicium présentent une haute sensibilité et une bonne précision. Ils sont largement utilisés pour la mesure de la pression.
Leurs inconvénients majeurs sont leurs dérives thermiques. En effet, le problème majeur associé avec les capteurs de pression piézorésistifs est leur sensibilité à la température.
L’influence de la température se manifeste comme une variation de la tension d’offset de la tension de sortie en fonction de la température et l’altération éventuelle de la réponse du capteur dans le temps. Les techniques de compensation de la température utilisant des circuits de résistance avec différents arrangements et l’usage intelligent des propriétés des matériaux ont été étudiées dans la littérature [8, 24-27]. Généralement, ces techniques sont utilisées pour des gammes de température et de pression limitées, et dans beaucoup de cas pour des applications spécifiques telles que les dispositifs pour le domaine biomédical. De plus, ces techniques impliquent des étapes additionnelles de traitement afin d’optimiser les performances du capteur. Ce qui demande plus de temps dans le processus de fabrication et donc coutera plus cher [26-32]. Cependant, plusieurs efforts ont été effectués dans la simulation de capteurs de pression piézorésistifs [33-38]. Ces techniques de simulation
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fournissent des informations physiques et mécaniques détaillées de la structure étudiée. Ceci permet de bien comprendre l’effet des paramètres d’influence sur la sensibilité transversale de ces capteurs. Plusieurs solutions ont été présentées pour corriger ces dérives thermiques, parmi lesquelles on peut citer celles proposées par Sun et al [24]. Dans ces travaux, les auteurs montrent que la dérive électrique de la tension d’offset d’un capteur de pression piézorésistif existe aussi bien que la dérive thermique. Ce phénomène résulte de la dépendance de non-linéarité des résistances diffusées sur la tension de sortie du pont. Les résultats de cette étude ont abouti à l’utilisation de cette dérive électrique pour compenser la dérive thermique de la tension d’offset du pont. Une autre étude de la compensation des dérives thermiques a été développée dans les travaux de Perraud [25], des modèles mathématiques de divers types de conditionneurs de signal, connectés à un capteur de pression piézorésistif au silicium, ont été présentés. Ceci permet une optimisation des performances du capteur. Les résultats obtenus peuvent aider le concepteur dans la définition de la bonne et adéquate interface dont il a besoin pour l’application souhaitée. Aussi, quand l'interface de conditionnement est optimisée, il a été montré que la performance finale est définie par la correction des erreurs de non linéarité du capteur. Dans les travaux de Boukabache et al [6], une méthode est présentée pour la réalisation d’un capteur de pression de faible dérive thermique, il a été établi un nouveau modèle du second ordre régissant la variation des piézorésistances en fonction de la température et du dopage. L’aspect théorique des variations thermiques de la tension d’offset a été développé en tenant compte aussi bien de la différence dans les coefficients de dilatations thermiques de chaque piézorésistance du pont [7], mais aussi des effets du courant inverse. Ainsi, un modèle théorique de courant inverse pour les piézorésistances a été développé pour étudier le comportement thermique de la tension d’offset du capteur [8].
Une autre méthode d’optimisation des capteurs de pression piézorésistifs est présentée dans les travaux de Lu et al [37], où les auteurs utilisent la méthode des éléments finis pour la conception et l’optimisation d’un capteur de pression piézorésistif. Le corps d’épreuve de ce capteur est une micro poutre silicium recouverte d’une fine couche d’oxyde de silicium SiO2. Une investigation systématique des effets des dimensions et le dopage de la poutre sur les performances de la réponse du capteur, a été faite. Les résultats obtenus montrent que le changement de la résistance du micro pont est directement lié à ces dimensions et son dopage.
Une meilleure réponse R/R peut être obtenue avec une fine et étroite piézorésistance [37].
M. Akbar [38] a présenté un modèle du point de vue de technologie de fabrication, des
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capteurs de pression piézorésistifs. Cet aspect est très important pour le développement économique des microcapteurs intégrés. Comme l’utilisation de la technique de fabrication micro électronique est le facteur clé dans la réduction des coûts de ces dispositifs, le même modèle peut être utilisé pour d’autres circuits intégrés faisant usage de piézorésistances diffusées. Les performances du capteur à base de ce modèle ont été évaluées, et une technique de compensation de la température, basée sur l’utilisation d’un pont double, a été suggérée pour la réduction des erreurs de compensation de la température. Lin et al [39] ont démontré la faisabilité d'appliquer des modèles analytiques afin d’analyser la sensibilité et la linéarité des capteurs de pression micro usinés en surface. Ainsi, un programme de simulation, capable de calculer la tension de sortie des capteurs de pression piézorésistifs en fonction de la pression et de la température, a été développé. Des modèles ont été appliqués pour optimiser la sensibilité et la linéarité de ces capteurs dans le cas des petites et grandes déformations.
I.4 Amélioration des performances des capteurs de pression capacitifs
Les capteurs piézorésistifs représentent l’essentiel du marché. Cependant, d’autres types de capteurs sont aussi utilisés. Notamment ceux utilisant le principe de la détection capacitive [40], souvent utilisée dans le cas des petites pressions. La détection capacitive est une solution très élégante imaginée par certains constructeurs. Elle consiste à transformer la déformation de la membrane, sous l’effet d’une pression, en une variation de capacité.
Les travaux de Blasquez et al [41] ont montré les limites des capteurs de pressions capacitifs et leurs aptitudes. Ces dispositifs sont basés sur l’utilisation d’une membrane fine au silicium monocristallin ou poly cristallin. D'un point de vue métrologique, ils sont caractérisés par une haute sensibilité à la pression, une remarquable basse sensibilité à la température et peuvent fonctionner dans des gammes de température assez élevées et presque sans hystérésis.
Cependant, ils présentent une réponse non linéaire, ce qui complique un tout petit peu leur circuit de conditionnement.
Quelques suggestions de nouveaux modèles avec de nettes améliorations de leurs performances, ont été fournies dans la littérature [42-44]. Dans les travaux de Kudoh et al [42], un capteur de pression capacitif d’une nouvelle génération, incorporant sur la même
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puce un circuit intégré CMOS, a été développé. Ainsi, l’élément sensible capacitif et le circuit électronique de conditionnement sont scellés hermétiquement entre le silicium et le substrat en verre. Ils sont alimentés par une alimentation électrique unique à travers la structure. Le circuit électronique incorporé est un convertisseur Capacité - Fréquence dont la fréquence d'oscillation change en fonction de la capacité.
Une autre variante de capteur de pression capacitif avec une amélioration de la précision, de la sensibilité et une sortie numérique, pour la mesure de basses pressions en utilisant la technologie CMOS, a été mise au point dans les travaux de Nagata et al [43]. La tension de sortie du capteur à été ajustée et compensée par l'ajustement du courant de sortie I0 du convertisseur Capacité-Fréquence. Cette nouvelle méthode de compensation permet la compensation thermique de la tension de sortie et de la sensibilité.
D’autres auteurs [45] ont montré que dans les capteurs de pression capacitifs, dont les deux électrodes sont la membrane Silicium et le substrat Pyrex, les contraintes thermiques dues à la différence des coefficients de dilatation thermique des deux matériaux engendrent d'assez importantes dérives thermiques. Ces dernières peuvent être estimées par simulation numérique 3D, et peuvent être minimisées en choisissant judicieusement les dimensions de l'encastrement.
De récentes études ayant pour objet de corriger la non linéarité d’un capteur de pression, en utilisant une nouvelle technique de fabrication, ont été menées par Qing et al [46]. Dans le domaine des hautes températures et en vue d’une application dans un environnement rude, Li et al [47] ont mis au point un capteur capacitif interdigital à jauges de contraintes où la capacité est formée à travers les doigts inter digités avec des polarités alternées. Le capteur de pression capacitif à jauges de contraintes inter digitées opère en développant une capacité entre les différents conducteurs inter digités. Comme le substrat sur lequel sont déposées ces jauges se déforme, entraînant la variation de la distance inter électrode des différents conducteurs, cette combinaison des deux principes des jauges de contrainte et capacitif permet de définir un facteur de jauge, de très grande valeur. Ce facteur de jauge est exprimé par le rapport des capacités sur les contraintes engendrées sur le substrat.
Puers et al [48] ont développé un nouveau modèle d’optimisation élaboré de la structure mécanique d'un capteur de pression à l'état solide, en vue d'une application biomédicale,
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sachant que dans ce domaine des spécifications rigoureuses pourraient être rencontrées.
Ettouhami et al [49] ont étudié le comportement thermique d’un capteur de pression différentielle capacitive, et ils ont analysé les dérives thermiques du capteur de pression capacitif microélectronique par la méthode des éléments finis. Différentes conditions aux limites représentant une large gamme de support de capteur ont été envisagées: capteur à base libre, capteur à base fixe et capteur collé à un support d'alumine. Dans chaque cas, la réponse thermique du capteur a été déterminée en fonction des dimensions du capteur afin de repousser la température de flambage et de réduire en conséquence la sensibilité thermique.
Pour certains capteurs très sensibles à la pression, cette température est très faible et les dérives thermiques sont importantes. Ainsi, un capteur à base fixe (de membrane de rayon 1000 µm, d’épaisseur 12 µm et de distance entre armatures 3,5 µm) présente une sensibilité thermique de -200 [Pa/ °C] au-dessus de 80°C. Un capteur collé à un support d'alumine, de membrane plus large (rayon 1800 µm) possède une sensibilité thermique de 3,1[Pa/°C] au- dessous de-100°C. Le domaine des capteurs de pression capacitifs suscite toujours l’intérêt des chercheurs, qui veulent aboutir à des dispositifs de plus en plus performants pour diverses applications [50-52].
La tendance actuelle des industriels va vers la réalisation de dispositifs à grande échelle et de très faible coût tels que les microcapteurs et les microsystèmes MEMS (micro electro mechanical system). Aussi, dans ce qui suit nous allons donner un petit aperçu sur ces nouveaux dispositifs.
I.5 Les microsystèmes (micro electro mechanical system)
Les microsystèmes peuvent offrir une alternative compétitive aux technologies classiques pour les mesures électriques de précision. Ils sont caractérisés par leurs petites dimensions (leurs dimensions caractéristiques vont de 1 µm à 1 mm), leur coût réduit, leur faible consommation d'énergie, leur fiabilité et leur intégrabilité dans un composant électronique. Citons, comme produits types à base de microsystèmes, les actionneurs mécaniques, les capteurs et autres dispositifs, de dimensions microscopiques et fabriqués par les technologies des circuits intégrés. Le principe de fonctionnement de ces composants est fondé sur différents phénomènes physiques faisant intervenir les propriétés mécaniques ou thermiques des structures micro usinées. Ces composants contiennent souvent un circuit
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microélectronique intégré. Ce sont des dispositifs compacts miniaturisés, multifonctionnels, fabriqués collectivement, qui interagissent avec le monde non électrique par des capteurs et des actionneurs ; ils sont en mesure d'échanger de l'information et de la communication avec le monde extérieur ou avec d'autres microsystèmes. En 1992, la société Analog Devices annonçait la mise sur le marché d'un accéléromètre totalement intégré sur 10 mm2 de silicium pour la détection de choc automobile [53]. La figure I.3 donne une vue du circuit intégré correspondant. Il est exemplaire d'un microsystème puisque l'on y voit associés capteur, actionneur et traitement du signal. Le capteur est un accéléromètre capacitif et l'actionneur utilise la même structure qui est commandée électrostatiquement pour vérifier le bon fonctionnement d'ensemble du microsystème, qui se présente donc comme un accéléromètre autotestable. Cet exemple illustre bien l'enrichissement fonctionnel du dispositif global qui devient plus autonome, plus « intelligent ». Il illustre aussi ce que l'on appelle la compatibilité technologique entre la technologie VLSI qui permet de réaliser des circuits analogiques et numériques de traitement du signal et la technologie capteur qui s'ajoute, en fin de procédé, sous la forme d'un micro-usinage de surface. La caractéristique importante des microsystèmes est leur multidisciplinarité.
I.5.1 Technologie de base des microsystèmes
Le matériau « Roi » des microsystèmes reste le silicium que nous connaissons bien dans ses caractéristiques de semi-conducteur appliqué à la microélectronique et que l'on redécouvre avec d'excellentes propriétés mécaniques et d'innombrables possibilités de combinaisons pour réaliser des fonctions optiques, chimiques ou biochimiques.
La technologie des microsystèmes est héritière de toutes les technologies mises au point pour la réalisation de composants électroniques, de circuits intégrés numériques ou analogiques et de dispositifs de puissance forts courants ou fortes tensions. Ce sont des technologies très complexes, combinant de nombreuses opérations successives d'oxydation, d'implantation, de diffusion et de dépôts de couches alternées avec des opérations de photolithographie, qui déterminent les formes planaires des différents motifs.
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Si l'on considère que les dépôts de couches nouvelles sont des procédés spécifiques à chaque application visée, le procédé technologique générique des microsystèmes est celui du micro- usinage du silicium. Il y a deux types de micro-usinage [4] :
le micro-usinage de volume, isotropique ou anisotropique, par voie liquide ou par bombardement ionique, qui réalise des formes dans la masse du substrat de silicium ;
le micro usinage de surface (figure I.4), qui réalise des structures suspendues dans les couches superficielles déposées sur le silicium sans affecter profondément le substrat.
Interconnexions, assemblages et conditionnements : L'expérience récente montre que le développement des microsystèmes est très lié à la résolution des problèmes d'assemblage et de conditionnement.
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Figure I.3 Vue du microaccéléromètre de la société Analog Devices [53] [1]
Par principe même, les microsystèmes sont l'association de fonctions multiples, pluridisciplinaires, au-delà même de celles que la technologie « silicium » seule peut réaliser.
Il faut donc procéder à des assemblages de puces silicium et de micro-objets, et réaliser les interconnexions qui s'imposent. Ces interconnexions sont le plus souvent électriques, mais aussi fluidiques et optiques. Les approches qui se développent sont, une fois de plus, dérivées de solutions de la microélectronique et se définissent comme une approche hybride.
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a- Dépôt de la couche sacrifiée b- Ouverture de la couche sacrifiée
c- Dépôt de la couche de structure d- attaque sélective la couche sacrifiée Figure I.4. - Micro-usinage de surface, basé sur les propriétés d'attaque sélective des matériaux [4]
Dans ce cas, un support d'interconnexions, souvent multicouche, permet de relier les composants électroniques entre eux. Dans la mesure où capteurs, actionneurs, interconnexions, traitements du signal et systèmes de commande sont associés dans un même produit, il faut concevoir l'architecture interne, les entrées-sorties et la relation à l'environnement. Dans certains cas, c'est l'herméticité de l'assemblage qui en fera la performance.
Fonctions de base des microsystèmes
En microsystèmes comme en microélectronique l'objectif est de pouvoir procéder à une conception descendante, c'est-à-dire de partir des spécifications générales d'un produit et d'avancer par simulations d'assemblages proposées par le concepteur. Les résultats des simulations donnent une évaluation précise des performances, de l'encombrement et des
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procédés de fabrication afférents : c'est la conception microélectronique qui permet de ne lancer les fabrications qu'avec de très grandes chances de succès.
En microsystèmes, les bibliothèques de composants sont encore insuffisantes, les modèles encore imprécis, et les technologies non encore standardisées. Il faut donc procéder à des essais expérimentaux intermédiaires pour rendre opérationnelles toutes les fonctionnalités d'un produit.
Les capteurs sont nombreux et divers à pouvoir s'intégrer dans une conception microsystème de type hybride. Parmi lesquels, on peut citer un exemple, notamment les Capteurs mécaniques, qui sont à base de membranes ou de poutres micro-usinées dont le déplacement témoigne des forces qui s'y exercent. Ces forces sont dues à la pression ou à l'accélération.
La mesure peut s'effectuer de deux manières :
par la voie capacitive : on mesure alors la distance qui sépare la membrane ou la poutre mobile de l'électrode placée sur la partie fixe;
par jauges de contraintes, judicieusement placées dans la poutre ou la membrane. Le plus souvent, ces jauges sont réalisées dans une couche mince de poly silicium par diffusion dans le silicium massif.
Deux axes de réalisation sont couramment retenus :
les capteurs obtenus par micro usinage de volume et assemblage de deux puces réalisé de manière hermétique, sous vide par exemple, pour obtenir un capteur de pression absolue, ou encore réalisés avec un accès des deux côtés de la membrane pour obtenir un capteur différentiel.
les capteurs réalisés par micro usinage de surface, dont la figure I.3 en montre un exemple.
I.5.2. Applications des microsystèmes
Cette rapide évocation des technologies et des composants suffit à donner une idée des applications nombreuses des microsystèmes. Cette approche complète celle de la microélectronique en y ajoutant un objectif de système complet comportant les capteurs et les actionneurs. Les applications métrologiques se basent souvent sur des composants qui ont, en
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principe, une structure assimilable à des condensateurs à armatures (ou plaques) mobiles, tels que les composants utilisant des micro-poutres mobiles micro-usinées, des membranes ou des micro-poutres cantilevers. La figure I.5 présente les modèles d’applications les plus simples pouvant être utilisés pour les conceptions de systèmes plus complexes.
Figure I.5 - Différents modèles de capteurs simples [53]
Une autre application importante des MEMS, c’est la réalisation de micro contacteurs ou de micro relais. La plupart de ces dispositifs sont basés sur la déflection d'un cantilever ou d’une poutre qui permet d’assurer le contact électrique entre ces électrodes, un exemple est présenté sur la figure I.6, [54].
Plusieurs autres travaux [55] ont été effectués récemment dans le développement de solutions microsystèmes en métrologie électrique. Parmi ces dernières nous pouvons citer : les références de tension, les convertisseurs tension efficace – continue (RMS-DC), les détecteurs de puissances hautes fréquences et les oscillateurs de référence sont étudiés. Le principe de fonctionnement de ces composants repose sur l'équilibre entre les forces électriques et les forces mécaniques de rappel dans les structures micro-usinées en silicium. Des composants à base de microsystèmes ont aussi été développés pour des mesures de puissance radiofréquences et micro-ondes, jusqu'à des fréquences d'environ 40 GHz. À l'inverse des détecteurs de puissance (wattmètres) hautes fréquences classiques, qui mesurent la puissance
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absorbée, les dispositifs microsystèmes mesurent la puissance transmise à travers le détecteur [55].
b- microsystème accéléromètre conçu et fabriqué par VTI technologies Ltd |55]
c- Composant SOI type bascule développé Par VTT pour des applications en référence de tension
Figure I.6 : Condensateur microsystème à armature mobile [55]
Les dispositifs à base de microsystèmes représentent un grand potentiel pour la métrologie et l'instrumentation électrique. En pratique, cependant, la stabilité des composants microsystèmes est souvent limitée par des effets de charge électrostatique aux surfaces et interfaces, ainsi que sur les couches diélectriques. Il est indispensable d'assurer une
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encapsulation hermétique et une régulation de température des composants, en raison de la forte dépendance en température et en pression. Il est également important de prendre en compte les contraintes mécaniques causées par le boitier (packaging). En tant que dispositifs mécaniques, les composants microsystèmes à plaque mobile sont intrinsèquement sensibles aux vibrations mécaniques ; cet effet peut cependant être minimisé par une conception appropriée. Des recherches sont toujours en cours afin d’améliorer leur performance. Il faudra cependant, encore beaucoup de recherche et de développement avant que leur rapport signal sur bruit et leurs autres propriétés soient au niveau requis pour des applications pratiques.
I.6. Conclusion
Dans ce chapitre nous avons exposé l’essentiel des travaux effectués dans le domaine des capteurs, des microcapteurs et des microsystèmes. La conception et l’amélioration des performances de ces nouveaux composants nécessitent l’optimisation des caractéristiques de leurs éléments de base, notamment le capteur élémentaire à principe capacitif ou piézorésistif.
Il en ressort de cet aperçu que l’étude des capteurs élémentaires suscite toujours l’intérêt des chercheurs afin de trouver des solutions à la demande du marché industriel qui devient de plus en plus exigeant en matière de performances. Les techniques de simulation utilisées fournissent des informations physiques et mécaniques détaillées de la structure étudiée. Ceci permet de bien comprendre l’effet des paramètres d’influence sur les caractéristiques météorologiques des dispositifs.
Notre travail s’insère dans ce cadre, puisqu’on se propose de contribuer à l’amélioration de ces performances, en proposant des modèles qui permettent de bien cerner le comportement du micro capteur vis-à-vis des différents paramètres d’influence.
Notre étude sera donc consacrée à la modélisation du corps d’épreuve en réponse à la pression appliquée. Les résultats obtenus seront appliqués dans deux types de capteur, notamment les capteurs piézorésistifs et les capteurs capacitifs.
C HAPITRE II :
MODELISATION DE LA MEMBRANE
19 II.1. INTRODUCTION
Les capteurs de pression en silicium avec des diaphragmes ont été utilisés durant plus de 25 années [56]. En raison de l’évolution de la micro technologie du silicium pendant les dernières années, la miniaturisation a progressé et ces capteurs sont devenus de plus en plus fiables et précis [57-64]. En exemple, la possibilité de fabriquer en lots des diaphragmes de 1µm, qui emploient soit la gravure (ecthing-stop) au bore ou la technique de gravure électromécanique du silicium [66]. Les conditions pour de grandes précisions, particulièrement pour les grandes pressions, ont menées à l’utilisation des diaphragmes figés avec des zones centrales rigides [18,63] au lieu des diaphragmes plats circulaires ou carrés conventionnels.
La conception de capteurs de pression est basée sur la théorie des petites déformations des plaques minces [67]. Le fait que le silicium soit un matériau anisotrope et que les bords du diaphragme ne peuvent être idéalement maintenus [57] complique légèrement cette théorie. En pratique et dans certains cas, le prétendu effort intrinsèque du corps d’épreuve du capteur peut se produire pendant la fabrication, (par exemple, l’oxydation thermique du silicium, la diffusion du bore, la gravure, etc.), quand à l’effort additionnel il peut se produire plus tard, c'est-à-dire pendant l’encapsulation du capteur dans le boîtier (collage électrostatique du silicium sur le verre, collage eutectique etc.). La déformation des diaphragmes des capteurs au silicium peut être parfois égale ou plus grande que son épaisseur. Dans ces cas là, la théorie mentionnée précédemment sur les plaques minces en cas de petites déformations n’est plus applicable. Il est alors nécessaire d’employer la théorie des grandes déformations [58; 67; 68], qui complique encore plus l’analyse. Il y a diverses méthodes de modélisation pour les capteurs de pression au silicium [39, 56-62], basées sur les différences finies, les volumes finis ou les éléments finis, cependant il est très difficile de prendre en compte tous les facteurs appropriés influençant le comportement du diaphragme. Heureusement, l’avènement et l’utilisation de logiciels puissants de simulation et de modélisation à base d’éléments finis tels que ANSYS ou COMSOL multiphysics [65, 68, 69], prennent en compte tous les paramètres d’influence suscités. Cette simulation associée à une caractérisation expérimentale détaillée des diaphragmes minces permettent de déterminer exactement les caractéristiques de ces capteurs [70]. Les micros membranes sont des structures avec des rapports de formes très importants. Modéliser l’ensemble du système, à savoir, une membrane avec un encastrement massif en silicium et une charge ou un déplacement pratiquement ponctuel à son centre, est un travail qu’il faut mener
20
avec précaution en tenant compte surtout des problèmes de convergence et de singularités géométriques. Afin d’optimiser les temps de calculs et la précision des maillages nous nous sommes intéressés dans un premier temps au développement et à la validation des modèles simplifiés.
Dans cette partie, une méthode est présentée pour la détermination précise de la déformation des diaphragmes, généralement utilisés dans les capteurs piézorésistifs et capacitifs miniatures de pression. Dans un premier temps, nous utiliserons une méthode semi analytique pour résoudre l’équation de Lagrange d’ordre 4 qui régit le comportement mécanique d’une membrane carré ou rectangulaire quand elle est soumise à une pression statique et uniforme.
Deuxièmement, nous présenterons la solution exacte de la déformation d’une membrane circulaire en fonction de la pression. Les résultats obtenus seront directement appliqués aux capteurs de pression capacitifs et piézorésistifs.
II.2. Modélisation de la membrane en fonction de la pression
II.2.1. Membrane de formes carré ou rectangulaire
Dans ce paragraphe nous nous intéressons à la résolution de l’équation aux dérivées partielles d’ordre 4, régissant la déformation d’une membrane fine de forme carrée au Silicium parfaitement encastrée soumise à une pression statique uniforme (dans le cas des petites perturbations; où la déflexion w(x, y) étant très petite devant l’épaisseur h de la membrane tel que : w << h).
Bien entendu la solution exacte de ce type de problème n’existe pas néanmoins plusieurs solutions approchées ont été proposées par différentes méthodes [56-58; 67; 71; 74]. Benmoussa et Naciri [60, 61] proposent une solution à ce problème par la méthode de Galerkin avec une approximation polynomiale. Dans notre travail et en première étape nous utilisons la même méthode de résolution pour confirmer les résultats obtenus par [64] puis en deuxième étape, nous proposons une nouvelle approximation trigonométrique et enfin nous effectuons une comparaison des résultats obtenus par les deux méthodes. Cette étude comparative nous permet de conclure que notre modèle est plus approprié, du moment qu’il nous offre une simplicité des calculs, un temps d’exécution réduit, une meilleure stabilité (convergence) et une meilleure précision.
21
II.2.2. Etablissement de l’équation fondamentale de la déflexion d’une membrane fine de forme carrée ou rectangulaire:
Modélisation mathématique
L’étude de la déformation d’une membrane parfaitement encastrée aux bords est très importante dans la réalisation de micro capteurs de pression. En effet la connaissance de la réponse d’une membrane (qui est le corps d’épreuve du micro capteur) à une excitation externe (pression), nous permet de déterminer ses caractéristiques et ses performances.
On considère une membrane fine au Silicium monocristallin de forme parallélépipédique, de longueur égale à 2a selon
o x
, de largeur 2b selon
o y
et de hauteur h selonoz
, (voir les Figures II.1.1 et II.1.2). Comme le silicium monocristallin a des propriétés mécaniques anisotropiques, il convient de préciser l’orientation cristallographique de la membrane. Pour des raisons technologiques, on admettra que la membrane soit usinée dans un plan cristallographique (100), que ses bords soient orientés suivant les directions <110> (voir Figure II.1.2) [65,72]. On définit rd le rapport des dimensions de la membrane tel que : rd = b/a. Dans notre étude nous considérons les cas d’une membrane de forme carrée (rd =1) et de formes rectangulaires avec les valeurs de rapports de rd égales à (0.5, 0.33, 2, 3). La membrane est représentée sur la Figure II.1.1.
22 a-
b-
Figure II.1.1: géométrie de la membrane dans l’espace
23
-a +a
+b
-b
y < 1 1 0
>
x < 1 1 0 >
( 1 1 0 )
z < 1 0 0 >
x < 1 1 0 >
h
P
x < 1 1 0 >
w
P w
< 1 0 0 >
z
Encastrement
Figure II.1.2. Vue de haut de la structure
24
La membrane fine est un solide limité par deux plans voisins d’équations z=+/- h/2 et par les contours de surface parallèle à oz. Le plan oxy est le plan moyen (ou feuillet moyen) de la membrane (voit figure II.1.1.a). L’épaisseur h de la membrane est supposée petite devant les dimensions de la membrane. Cette minceur de la membrane justifie les hypothèses simplificatrices suivantes :
- Les forces extérieures (forces données et réactions des appuis) peuvent être considérées comme appliquée au plan moyen. Les forces données sont normales au plan de feuillet moyen et sont comptées positivement sur l’axe oz’ opposée à l’axe oz. Les forces données généralement considérées sont : une densité superficielle de forces p(x, y), une densité linéaire de force P(s) appliquée le long d’une courbe G du plan moyen d’abscisse curviligne s, et des forces concentrées II. données
- La contrainte normale 3 surtout élément parallèle au plan moyen peut être négligée.
- Le plan moyen ne subit aucune contraction ni extension lors de la flexion de la membrane. Le déplacement d’un point du plan moyen se réduit donc à sa seule composante normale w(x, y) comptée positivement sur l’axe oz et appelée flèche de la membrane.
- Une normale au plan moyen se transforme dans la déformation en une normale au plan moyen déformé.
Si on considère deux lignes (IJ selon l’axe
o x
, KL selon l’axe
o y
) et soit w la déflexion de la membrane selon l’axe
o z
, avec l’hypothèse des petites perturbations (w<< h),et un point M1
avant déformation qui devient le point M’1 après déformation (voir Figure II.1.2-b),nous obtenons alors les composantes du déplacement notées (u, v, w) du point M1vers le point M’1 avec u le déplacement selon l’axe
o x
, v le déplacement selon l’axe
o y
et w le déplacement selon l’axe
o z
. D’après la théorie des plaques minces [67, 73, 74] et dans le cas des petites perturbations le rayon de courbure des deux lignes déformées est donnés par :
2 1 2
2 1 2
y w RKL
x w RJI
(II.1)
25
-a- -b-
-c- -d-
Figure .II.2: Vue en coupe d’une section de la membrane
26
Au cours de la déformation un point quelconque M1 subit des déplacements des composantes (u, v, w). (Ces déplacements sont différents quand on passe de M1 à M2). Si les coordonnées du point M1sont (u, v, w) alors leurs déplacements s’expriment par :
) , , (
) , , (
) , , (
3 2 1
z y x w
z y x v
z y x u
(II.2
En négligeant les variations d’épaisseur de la membrane nous aurons alors la déflexion qui sera égale à w (w3(x,y)).
Si on considère deux points de même hauteur z très voisins dans le plan IJ, le passage de M1 vers M2 est caractérisé par la variation de x seulement, donc les composantes de ce déplacement sont :
x x w w
x x v v
x x u u
(II.3)
On obtient alors le déplacement relatif M’1M’2:
2 2
x z w x u
(II.5)
Et en procédant de la même manière pour un plan parallèle à l’axe
o y
nous obtenons le déplacement relatif:
2 2
y z w y v
(II.6)
L’intégration des deux expressions (II.5), (II.6) des déplacements relatifs nous donne :
27
) , (
) , (
z x y f z w v
z y x f z w u
(II.7)
Sur les bords de la membrane qui est parfaitement encastrée nous n’avons pas de déplacement aux points x = a et y = b ce qui implique que : f (a, z) = f (b, z)=0, alors les expressions (II.7) en ces points deviennent:
y z w v
x z w u
(II.8)
par conséquent:
y x z w x u
y x z w y u
2 2
(II.9)
La loi de Hooke généralisée donne pour une membrane les relations suivantes entre les déformations et les contraintes [67]; [73-74]:
y u x G v
z v y G w
x w z G u E z u
E y v
E x u
yx yz xz
z x z
z
y z y
y
z y x
x
1 1 1
(II.10)
28
x, y, z : Déformations selon les différents axes
x, y, z : Contraintes normales
xz, yz, yx : Contraintes de cisaillements.
: Coefficient de Poisson ; E: Coefficient de Young ; G: Coefficient de Coulomb.
Rappelons que nous étudions la déflexion de la membrane dans le cas des petites déformations (w << h) donc nous pouvons utiliser les approximations suivantes :
1- z x et z y.
2- xz << yz et xz << yx alors le système d’équation (II.10) devient:
y x Gz w y
u x G v
E y z w x v
E x z w x u
xy
x y
y
y x
x
2 2
2 2 2
2 1 1
(II.11)
Exprimons maintenant les contraintes en fonctions de la déformation w(x, y) nous aurons:
y x Gz w
y w x
w Ez
y w x
w Ez
xy y x
2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
1 1
(II.12)
Sachant que l’état d’équilibre de la membrane est caractérisé par le système d’équation suivant [73-74]:
0 0 0
y x
z
x z
y
z y
x
zx xy z
yx yz
y
xy xz x
(II.13)
