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1

Llniversité de Cergy-Pontoise Date: Mai 2016

Exarnen MS4

Durée:

3h, les documents et les calculatrices ne sont pas autorisés

Exercice

^1.

(a) Enoncer la loi fâible des grands nombres.

(b) Enoncer Ie théorème de la limite centrale.

Exercice

2.

IJn étudiant doit choisir 3 des 8 questions d'un examen.

(a) De combien de manière peut-il les choisir ?

(Remarque: le choix de l'étudiant est sans ordre.)

(b) Calculer la probabilité qu'il a choisi exactement 2 des 4 premières ^ques- tions.

(c) Calculer Ia probabilité qu'il a choisi au moins 1 des 5 premières questions.

Exercice

3.

Le quart d'une population a été vacciné contre une maladie contagieuse. Au cours d'une épidémie, on constate

qu'il y

a un malade sur douze parmi les vaccinés.

Et

on constate de plus qu'il

y

a parmi les malades 1 vacciné pour 4 non vaccinés. On considère

ÿ

l'événement qu'une personne soit vaccinée, et

M

l'évérrement qu'une personne soit malade.

(a) Indiquer ^les valeurs de

P(I/), Pu(V)

er

Py(M).

(b) En déduire

P(V î M), P(M)

et

P(V

n

M).

(c) Calculer

Pv(M)

et dresser un arbre ^pondéré.

Exercice

4.

Soit

X

une variable aléatoire

qui suit

une

loi

exponentielle de paramètre

À>0.

(a) Vérifier que Vt

>

0,

P(X ) t) :

s*Àt.

(b) En déduire que Vt

)

0 et Vs

)

0,

P1x>r1(X

> s*r) : P(X >

^s)-

Exercice

5.

On suppose que le nombre de pièces sortant d'une usine donnée en l'espace d'une semaine est une variable aléatoire suivant la loi normale

N(m,o2)

où

m:50

^et

d:5.

Calculer

P(X <

55),

P()( >

60) et P(40

< X <

^65).

(Remarque: utiliser la table statistique)

2

Exercie

6.

On étudie Ie mouvement propre d'un compteur de Geiger-muller. Le nombre d'impulsions que l'on enregistre pendant un intervalle de temps donné, est une variable a}éatoire dont l'espérance

M

caractérise Ie mouvement propre.

On a effectué ¹⁰⁰ comptages et on a obtenu la distribution statistique suiv- ante:

Nombre d'impulsions 0 1 2 ^a.) 4

Nomhre d'observa,tions 22 38 23

I I

(a)

Calculer Ia moyenne empirique

m

et I'écart-type empirique obtenus à

partir

de cette distribution.

(b) Déterminer l'expression de l'intervalle de conflance de ,4f au risque 5% ^.

Table

statistirlue

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