1
Llniversité de Cergy-Pontoise Date: Mai 2016
Exarnen MS4
Durée:
3h, les documents et les calculatrices ne sont pas autorisésExercice
1.(a) Enoncer la loi fâible des grands nombres.
(b) Enoncer Ie théorème de la limite centrale.
Exercice
2.IJn étudiant doit choisir 3 des 8 questions d'un examen.
(a) De combien de manière peut-il les choisir ?
(Remarque: le choix de l'étudiant est sans ordre.)
(b) Calculer la probabilité qu'il a choisi exactement 2 des 4 premières ques- tions.
(c) Calculer Ia probabilité qu'il a choisi au moins 1 des 5 premières questions.
Exercice
3.Le quart d'une population a été vacciné contre une maladie contagieuse. Au cours d'une épidémie, on constate
qu'il y
a un malade sur douze parmi les vaccinés.Et
on constate de plus qu'ily
a parmi les malades 1 vacciné pour 4 non vaccinés. On considèreÿ
l'événement qu'une personne soit vaccinée, etM
l'évérrement qu'une personne soit malade.(a) Indiquer les valeurs de
P(I/), Pu(V)
erPy(M).
(b) En déduire
P(V î M), P(M)
etP(V
nM).
(c) Calculer
Pv(M)
et dresser un arbre pondéré.Exercice
4.Soit
X
une variable aléatoirequi suit
uneloi
exponentielle de paramètreÀ>0.
(a) Vérifier que Vt
>
0,P(X ) t) : s*Àt.
(b) En déduire que Vt
)
0 et Vs)
0,P1x>r1(X
> s*r) : P(X >
s)-Exercice
5.On suppose que le nombre de pièces sortant d'une usine donnée en l'espace d'une semaine est une variable aléatoire suivant la loi normale
N(m,o2)
oùm:50
etd:5.
CalculerP(X <
55),P()( >
60) et P(40< X <
65).(Remarque: utiliser la table statistique)
2
Exercie
6.On étudie Ie mouvement propre d'un compteur de Geiger-muller. Le nombre d'impulsions que l'on enregistre pendant un intervalle de temps donné, est une variable a}éatoire dont l'espérance
M
caractérise Ie mouvement propre.On a effectué 100 comptages et on a obtenu la distribution statistique suiv- ante:
Nombre d'impulsions 0 1 2 a.) 4
Nomhre d'observa,tions 22 38 23
I I
(a)
Calculer Ia moyenne empiriquem
et I'écart-type empirique obtenus àpartir
de cette distribution.(b) Déterminer l'expression de l'intervalle de conflance de ,4f au risque 5% .
Table
statistirlueâ.lfct: ;r.'
::rI *
t:y *it:t::L tÿi:t:y gx*ttt indic|résrn
m*rr:g*. Frjnrt
<^{). $n $tili$(}ÿ{x] : I - *{*.i'}.
;T:,:I {r,{}s tl.ü1" 0.ü:I a.û* l .{1û t].t]tr tl.$(, ü.{.}7 0.{.18 ü,u$
tlt) {}. r
$"2
ü.*
{J"'.1
$,ntl{x-}
r1.i:{L}tt 11,ïTrr'3 4:"uL?9 i)-tifritd
1,3.|;L|:l{)
LI "itiil*
r).T*;ï3 ü.*31i
lt.Tii.!*1.
t].îil]#{}
{1..1,t7X r] tsTl
*,tihl,lt t'.$ti:28
{}"î12,)
(t"1|.i,1 / t.ir"*1ü ü.{t2Ilil ü.É{i{i4
ü.*r{iü
*.$l>rT {l,ir$zI§
{J.fij}sr {}.$7{}i,
i).»1till ll.,iirl,{:i rl.§!'tirï ù.{i.?iii r]"{i?:t$
*.ri2i.rl$
l1^Tt{iil*
t:*"{i|]/21i Ç.$tt*{t
*.fiii2
{l.ti?Trl ll.$tiTrir
*.{1ûti4 {}.ii*4i3
{ }.{ir?{}!{
[ll
il.
{r.$?14 tt.6tt;):,1 {r.oà*a Ü.{iiËnd
{f"il}it\}
{1.:i7,{1J
ti,tàl*1 {}.{ii}17 t.Ë)i?!l 0.{t
t^$
ü^7
tI.t
û.9,
{i.liil I ii 1).t:üt
tt. r,rlUt l).7bxs.
r,. nl51.)
(1.{i!:},t{}
11.72!:11
ll.7fi1 I r).?lii {.,
t).8:lltfi
{},{ir}r§
{}.?3t",
$,?{,i,r1 ü"i'll;tâ {}"*212
t\.7{.1t1}
ij"?it*T
{i"7ti?,1 {}.?f}[i?
{}"*2:3*
I L r lri)il 0,?-3tl .,.7i13ü i,.Tpi6 {,.*2$.d
{}.ii}i{,i fJ.1,r2*
it.T?ti4
*.ti$*3
*.d3Er]
{}.i i ?::3
{J,74lr<}
,).i?{1.{
*.tj{.,frI {,.8:*1.$
Il.i Liri tr.74*S
{:1.?T,t}il Ü.t${-}irt tr.*:§;$t
{}"iI!g}
\t. tt, I t {3,Tit2i}
{J.slff}
0.s?f.is
*.72!4
{}.T,t'1â û.T8St Û,*1:l;i ü.8:rt§li 1.0
1"1 1"9
t.§
1 .r,
t j.l,.,l ).:j t)^*$.1:}
t.
n,r§,).{,r,)l}3
*.ttLr)!
t).it4l{,x
ü ",,I,{:itli ir
l]"8rîi9
t|.1,,!{r1{}
t).!!2{t7
{}.8,til
$.*{i8t) ü.88**
ü"1f;1{;ii t).1)'à:12
il.*À*fl
*.#?0tj
{ t.El} i r û"$ü$,
{},ÿÿ;.,{i
t\.b:"i.tY {).8?"4}
tt.89:jït ü.rxni) t],tl?,ï1
ü"},$;âr
')^E?:lü 0.*ü{X4 {}.t}1 I ftr
*.t)?titi t]_6,\ittr r).s?T(
*.8rlr)*
i).t.liï,1 ü.ti2TI]
'r.,.iit)1 { tr.*?i':xi ü.8118{l
{}.t'tji7 lr ô.)ir§
ü.8§f,r) {}.si*1{}
ü.*ËrgT
$"*rriz
{,},,i;{{,{i
tL*J*i$$
{i.,i01.5 {}.r.i1i?
{r.r.}3t1.}
r{i2l o
(
I. E
t.r
1.8 I _t?
t)"\.t;t:!i) (]"{:t152
*.1|?;i&
0.rr*i.il1
{}.tli 1;.t
0^illÿlar
{1-.,1.,tb"}
11,ÿlt{t,l t).1i1{.i*1t t1.t]7 tt)
ü.tÿ1r:7
*.iitlî..1 {i,üûTit l\.i,tlv{tt}
$.')72{i
fl.tljjTfJ fi"I.)4T+,I û,,Q.t18, ü,,idi{i,1 ü,t17:§3
il"!i.:tt§?
il.${fr"1 {.}.i.}$t}1
*,.tt(i71 tt"t)ïil:e
tl.'U;rij,it {}.{r§{i5 tj.t).1*t) ü."ç[i7tj 11.!)7i|.4
lr.r)41_rt, tl"f)5r $ 0.,i{Jü*
*.r}*8{, (1"»:t{}
Ll.\,f !8
û_iâî):§3 r].{,l61ri {J,jr{i,};i
fi.{iirli
I]."j42\) t-ü,ï3$
{1.rffi**
{}.r.xitil}
{r. itT.[;l
{}. ll44l I
*.li""l"l'
tL!»iilt t"t ?{si
{1.!}78?
2.ît,, 1 t,
2.'.à
2.8 t)"{rYi2 {i"ut§21 {i.ÿs61 fi"t}Éili
rr_lr!.]lfi
{}.î17îB {1.t}trt{J t|-4:;)t1t,7 t\.")*llr"i f) i"Jr.Ï){1
{}.,r?§;}
{1.,}R;}ii {3.rrgtts {l.r}8!l#
lt.t$)'J,2
{râ7i,i8 {}.!.}ir3d {i l.}}$?t ü.,;l{ini1 {}.!}11r.ï
ü.$7{r:t ,1.$r8;t§
ri..q8?5 0.'c,Ë(!1 {3.|rt 27
{},r}Ti}*
{1.$li42 Ù.i.1§7*
*.trxt*
{}.li,.}*{r
{t.l}tit}_:
{}.$}1,Xii fi.gx{ttr fi.rri,x,{"1
$"i)931 r),ir**tr ll^*l*flTj r]..rlg§,,
*.tàÿ»L lr.fffilrl'J
$.âxr2 ii.i)§5'1
ii"tlit*i
ü.ÿl;1il}
fi.{xit:tit
ü,f81î
*-lritii
*"!.)r4.(r{1
*,.1ât{i
{}.lKt;.rl{,
2.lt 2.fj È.fi.) a)
{-)^t?:Ji3g r)^Ilr)#.1 .r)^illlr.i*
t,.r)r1r,*
1),t)\181.
t).$t)4{"1 fi,t'll)!tr.t t).llt:,*$
t).ÿw*
$.r ü, 2 {l.t!}4.1 {}.ÿfrfi6 û,{t9l{i?
{,,,qiifl t).$ÿ*2
tt.tttlit:]
t3.§19,hY
{i"ÿstis
*.TIt17',{
{}-,.}1}fi:Î
{},lJï4.r) {),tl.4li1$
ü.ftlrs-l {i."tr}?T {i.il,,}§.,1
\)"".frr. T]
ü"lxxl)
ar.,Ti}î{}
{}.r}lJ?f {.}.i}1}8,J
{}"trr..1lt
*.*twl
{}"rrt 71
*"tiÿ7rl
$.fiüsir fi.rilr1[i Q"{it}fr2 {j.!}p1'2 ü.li{.1?ü il,.ü1)r{$
ü.!"eil'rl ll.lxlt
j
{}.{,x}?*
§.9§É{]
t).tL}tilli
{t i xt.i') tl.iS){r,l ü,"à§r?4 ü.{x,l*1 {.}.iir.r§ti
;i.1 :t.v
§,§
;].ürTf,l{i È)^,itjl"ït {t.:lllll}Lt
{r,*ÿ*7
It.!)$.111 t).1:tç11;)5
ttr.§{:t9i:
{i.ft}*?
{1.1H.}11}
{}"{$}!Jii {i,'rr}li}â
ü,ll{}fis r].$xir.
l't"§§{t*
{'t,!}*§ti (i,$tlà1fi i).i,}1§11
i,.!lt}),t
a',1. !]{x.}ti
{)"s;x}srJ tl":ry:),4,*
fï.!)t?§â fi"û*tt*
rl .Jrl.liù r)",]lxr2 t).tl#td t}.*l:t§&
(}.1i*l8l) fi.stit)2 {1.§l:rf}5 dt.!:)lrEi
ü.{.v1{*
t]..{}t:}$,11
*.{§k!tl:
*,H;}TÏi f,.{x}!Jt) 0.:.)lltll;,
ü!*$*
ü.tx]{,tT
