Devoir de synthèse N°3

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Exercice 1 ( 3 points): 

L'espace est rapporté au repère orthonormal ( ; , , )O i j k G G G

. 

On considère les points : A(2 ; 1 ; −1), B(−1 ; 2 ; 4), C(0 ; −2 ; 3), D(1 ; 1 ; −2) et le plan (P)  d'équation x−2y+ + =z 1 0. 

Pour chacune des huit questions suivantes, dire, sans justifier, si elle est vraie ou si elle est  fausse. 

1) Les points A, B et C définissent un plan. 

2) Une équation cartésienne du plan (ABD) est : x+8y− −z 11 0= .  3) Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales. 

4) La distance du point C au plan (P) est égale à 4 6.  5) La sphère de centre D et de rayon  ⁶

3  est tangente au plan (P). 

6) Le point  ^{4 2 5}; ; 3 3 3

E⎛⎜⎝− ⎞⎟⎠ est le projeté orthogonal du point C sur le plan (P). 

Exercice 2 : ( 4points)   

Le tableau ci‐dessous présente l’évolution du nombre d’internautes en Chine de 2002 à  2009. 

Les rangs des années sont calculés par rapport à l’année 2000. 

Année  2002 2003 2004 2005 2006 2007  2008  2009

Rang de l’année xi  2 3 4 5 6 7  8  9

Nombre  d’internautes  yi (en 

millions)  60  70  95  100  140  160  250  385 

On  cherche  à  étudier  l’évolution  du  nombre  d’internautes  en  fonction  du  rang x  de  l’année. 

1) Représenter  sur  votre  copie  le  nuage  de  points  Mi

(

x yi^; i

)

  associé  à  cette  série  statistique  dans  le  plan  muni  d’un  repère  orthogonal  en  prenant  pour  unités  graphiques : 

− Sur l’axe des abscisses, 1 cm pour 1 an, 

− Sur  l’axe  des  ordonnées,  1  cm  pour  20  millions  d’internautes  (en  plaçant  50  à  l’origine). 

2) On cherche dans un premier temps un ajustement affine. 

a. Déterminer  une  équation  de  la  droite  d’ajustement  de y  en x  obtenue  par  la  méthode de Mayer (les coefficients arrondis à l’unité). Tracer cette droite sur le  graphique précédent. 

b. En  supposant  que  cet  ajustement  reste  valable  pour  l’année  suivante,  donner  une estimation, arrondie au million, du nombre d’internautes en Chine en 2010. 

3)  On envisage  un ajustement exponentiel et on pose  z = ln y. 

a. Recopier  et  compléter  le  tableau  suivant  en  arrondissant  les  valeurs  de zi  au  millième : 

xi  2  3 4 5 6 7 8  9

i ln i

z = y  4,094       

b. Déterminer  une  équation  de  la  droite  d’ajustement  de z  en x  obtenue  par  la  méthode  des  moindres  carrés  (aucune  justification  n’est  exigée,  les  calculs  seront effectués à la calculatrice et les coefficients arrondis au millième). 

Lycée Marsa Erriadh

4^ème année Sc 1

As :2011/2012

3 h

Devoir de synthèse N°3

Section : Sciences Ex

Epreuve : Mathématiques

M. Zribi

.

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c. En déduire une expression de y en fonction de x. 

 

Exercice  3 : (4 points): 

Une grande entreprise dispose d’un vaste réseau informatique. On observe le temps de  fonctionnement  normal  séparant  deux  pannes  informatiques.  Ce  temps  sera  appelé  «  temps de fonctionnement ».  

Soit X  la  variable  aléatoire  égale  au  temps  de  fonctionnement  du  réseau,  exprimé  en  heures. 

On admet que X suit une loi exponentielle de paramètre λ. Le paramètre λ est un réel  strictement positif. 

1)  On  sait  que  la  probabilité  que  le  temps  de  fonctionnement  soit  inférieur  à  7  heures est égale à 0,6. 

Montrer qu’une valeur approchée de λ à 10⁻³ près est 0,131. 

Dans  les  questions  suivantes,  on  prendra  0,131  pour  valeur  approchée  de  λ  et  les  résultats seront donnés à 10⁻² près. 

2) Montrer  qu’une  valeur  approchée  de  la  probabilité  que  le  temps  de  fonctionnement soit supérieur à 5 heures est égale à 0,52. 

3) Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 9 heures  sachant qu’il n’y a pas eu de panne au cours des quatre premières heures. 

4) Calculer la probabilité que le  temps de fonctionnement soit compris entre 6 et  10 heures. 

5) On  relève  aléatoirement  huit  temps  de  fonctionnement,  qu’on  suppose  indépendants. 

Soit Y  la  variable  aléatoire  égale  au  nombre  de  relevés  correspondant  à  des  temps  de  fonctionnement supérieurs ou égaux à 5 heures. 

a)  Quelle est la loi suivie par Y ? 

b)  Calculer la probabilité que trois temps parmi ces huit soient supérieurs ou égaux à 5  heures. 

c) Calculer l’espérance mathématique de Y (on arrondira à l’entier le plus proche). 

   

Exercice 4 : ( 4 points): 

On considère l’équation différentielle (E) : y′ + =y e^−x. 

1) Démontrer  que  la  fonction u définie  sur  l’ensemble \  des  nombres  réels  par 

( ) ^x

u x =xe⁻  est une solution de (E). 

2) Résoudre l’équation différentielle (E0) : y′ + =y 0. 

3) Démontrer qu’une fonction y, définie et dérivable sur \, est solution de (E) si et  seulement si y − u est solution de (E0). 

4) En déduire toutes les solutions de (E). 

5) Déterminer la fonction f, solution de (E), qui prend la valeur 2 en 0. 

                 

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Exercice 5 : ( 5points): 

1) On a représenté ci‐dessous les courbes représentative C1 et C2 de deux fonctions  ( ) 4 ²= ^−x ( ) 2= 3 ^−x

f x x e et g x x e

.

a) Identifier la courbe de f et celle de g. 

b) Donner le tableau de signe de h(x)=f(x)‐g(x) . 

2) Soit h la fonction définie par h(x)= h x( ) (4 ² 2= x − x³)e^−x

.

  a) Vérifier que h’(x)= 2 (x − +x² 5x−4)e^−x

.

 

b) Dresser le tableau de variations de h. 

3) Pour n IN*, on pose 

1

0

=

∫

ⁿ −^x

In x e dx  . 

a) Calculer I1 , en utilisant une intégration par parties. 

b) Montrer,  en  utilisant  une  intégrations  par  parties,  que  pour  tout  n IN* ; 

1 ( 1) ⁻1

+ = + −

n n

I n I e  . 

c) Calculer I2 . 

d) Calculer  l’aire  A  de  la  partie  du  plan  délimité  par  la  courbe  de  h,  l’axe  des  abscisses et les droites d’équations x=0 et x=1