L.S.Marsa
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Exercice 1
Pour chacune des questions suivantes , une et une seule des trois propositions a, b, c est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la proposition exacte. Aucune justification n’est attendue.
1. La suite (un) est définie par : pour tout entier naturel n, 6
1 10,5
un
n
. a) La suite (un) est croissante.
b) La suite (un) est décroissante c) La suite (un) n’est pas monotone.
2. La matrice d’un graphe non orienté G, de sommets A, B, C, D, E est :
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
1 1 0 1 0
0 1 1 0 0
1 1 0 0 0
a) Le graphe G comporte 12 arêtes.
b) Le graphe G admet une chaîne eulérienne.
c) Le graphe G est complet.
3. La suite (un) est définie par : pour tout entier naturel n, un enln 2. a) (un) est une suite géométrique de raison −ln2.
b) (un) est une suite géométrique de raison 1 2. c) (un) n’est pas une suite géométrique.
4. On a représenté un nuage de points Mi
xi;lnvi
et effectué un ajustement affine :Selon cet ajustement, lorsque x prendra la valeur 7, v vaudra environ :
a) 1,8 b) 6,1 c) 445
4 4,5 5 5,5 6
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y = ln v
x
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Exercice 2
Le tableau suivant donne l’évolution du chiffre d’affaires (CA), sur la période 1994-2003.
Année 1998 2001 2003 2006 2009
Rang xi 1 4 6 8 10
CA yi 176 209 284 380 508
1) Le nuage de points Mi(xi ; yi) est représenté ci-dessous dans un repère orthogonal.
Un ajustement affine semble-t-il adapté ?
2) On pose zi = ln yi.
a) Calculer, en arrondissant à 10-2 près, pour i variant de 1 à 5, les valeurs zi associées aux rangs xi du tableau.
b) Construire le nuage de points Ni(xi ; zi) dans le repère orthogonal suivant :
− sur l’axe des abscisses, on placera 0 à l’origine et on choisira 1 cm pour représenter 1 année
− sur l’axe des ordonnées, on placera 5 à l’origine et on choisira 1 cm pour représenter le nombre 0,1.
3) a) Déterminer avec la calculatrice une équation de la droite d d’ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis à 10-3 près) et tracer la droite d dans le repère précédent.
b) En déduire une relation entre y et x de la forme y A kx. (Arrondir A à l’entier près et k à 10-2 près.)
4) a) Tracer la droite d dans le même repère que celui du nuage de points (Ni).
b) Donner une estimation, arrondie au millier d’euros, du chiffre d’affaires en 2012.
M5
M4
M3
M2
M1
0 100 200 300 400 500
0 2 4 6 8 10
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Exercice 3
Tous les résultats seront arrondis à 103 près.
Un pépiniériste conditionne un mélange de 400 bulbes de fleurs composé de trois variétés :
• 100 bulbes d'Anémones
• 180 bulbes de Bégonias
• 120 bulbes de Crocus.
On conviendra qu'un bulbe germe s'il donne naissance à une plante qui fleurit.
Après avoir planté tous les bulbes et observé leur floraison, on constate que : 83% des bulbes germent.
50% des bulbes d'Anémone germent.
90% des bulbes de Bégonia germent.
On note les événements suivants :
A : « le bulbe planté est un bulbe d'Anémone. » B : « le bulbe planté est un bulbe de Bégonias. » C : « le bulbe planté est un bulbe de Crocus. » G : « le bulbe planté germe. »
1. Donner les probabilités conditionnelles P(G A), P(G B) et la probabilité P(G). 2. Quelle est la probabilité qu'un bulbe planté soit un bulbe d'Anémone qui germe ? 3. Quelle est la probabilité que le bulbe planté soit un bulbe qui germe ou soit un bulbe
de Bégonias?
4. a. Calculer la probabilité conditionnelle P(G C) b. Que peut-on en déduire ?
5. On considère un bulbe ayant germé. Quelle est la probabilité que ce soit un bulbe de Crocus ?
6. On considère à présent que le pépiniériste dispose d'un très grand nombre de bulbes et que la probabilité qu'un bulbe germe est de 0,83. II prélève au hasard successivement trois bulbes de ce stock. Quelle est la probabilité qu'au moins un des trois bulbes choisis germe ?
Exercice 4
On considère la fonction f définie sur l'intervalle
0;
par
e 3 14 f x x
x
.
PARTIE A
La fonction f est dérivable sur l'intervalle
0;
, on note f ' sa fonction dérivée.1. Calculer f '
x pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle
0;
.2. En déduire que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle
0;
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2009/2010 3. Déterminer lim
x f x
.
4. a. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle
0;
.b. On admet qu'il existe un unique nombre réel positif tel que f () = 0.
Donner le signe de la fonction f sur l'intervalle
0;
.5. a. Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant (donner les valeurs décimales arrondies au dix-millième)
x 1,32 1,325 1,33
f (x)
b. En déduire la valeur décimale, arrondie au centième, du nombre tel que f () = 0.
PARTIE B
1. Soit g la fonction définie sur l'intervalle
0;
par g x
ex3ln
x4
.a. La fonction g est dérivable sur l'intervalle
0;
. On note g' sa fonction dérivée.Calculer g x'
pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle
0;
.b. Étudier le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle
0;
en utilisant les résultats de la PARTIE A.2. Calculer l'intégrale I
03f x
dx.(Donner la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au centième).
