Analyse III, partie 2 (3BM) : Exercices Année académique 2013–2014
Test de rentrée – 13 février 2014
Question 1. Examiner l’intégrabilité sur]0,+∞[de
x7→ lnxα 1 +xα pour toutes les valeurs du réel non nul α.
Question 2.
(2.1) On considère la fonction f définie par
f(x) =
e−x six≥0, 0 six <0.
A quels espaces L1(R),L2(R),L∞(R)appartient la fonction f? Quelle est la norme de f dans ces espaces ? Si possible, déterminer la transformée de Fourier (–) def.
(2.2) On considère la fonction gdéfinie par
g(x) = 1
1 +ix (x∈R).
A quels espaces L1(R),L2(R),L∞(R)appartient la fonction g? Quelle est la norme de g dans ces espaces ? Si possible, déterminer la transformée de Fourier (+) deg.
Question 3. Soient les fonctionsf etg définies surRpar
f(x) =x et g(x) =e−xχ]0,+∞[(x).
Montrer que le produit de convolution f∗gest défini surRet donner sa valeur en tout point deR.
Question 4.
(4.1) Quand dit-on qu’une suite de fonctions converge ponctuellement et uniformément sur un ensemble A deRn?
(4.2) Soit(fn)n∈Nune suite de fonctions qui converge ponctuellement vers f sur un ensembleAdeRn. A quelle(s) condition(s) suffisante(s) sur la suite la limite est-elle continue sur A? Ces conditions sont-elles nécessaires ?
(4.3) Soit (fn)n∈N une suite de fonctions qui converge ponctuellement versf sur un ouvertΩdeRn. A quelle(s) condition(s) suffisante(s) sur la suite la limite est-elle continûment dérivable sur Ω? Ces conditions sont-elles nécessaires ?
Question 5 (Critère d’annulation pp). Soient Ωun ouvert non-vide de Rn et f ∈L1loc(Ω). Démontrer quef = 0presque partout dans Ωsi et seulement si
Z
Ω
f(x)ϕ(x)dx= 0 pour toutϕ∈ D(Ω)1.
1. c’est-à-dire si et seulement siuf = 0dansD0(Ω).