l'épreuve 2 pb 2

(1)

Ecrit 2 CAPES Mathématiques

G. Julia, avril 2017 1

CAPES Maths 2017, épreuve 2, problème 2 : Marches aléatoires

Le problème 2 de cette épreuve propose une application des graphes probabilistes et des matrices stochastiques à des méthodes de classement des pages web. Cette application est intéressante, on prend un réel plaisir à la découvrir. Coup de chapeau à l’auteur du sujet.

Reste à savoir si un tel problème est adapté pour sélectionner des futurs professeurs de Mathématiques, mais ça c’est une autre question. On verrait davantage ce problème dans une Prépa écoles de commerce.

Partie A : Marche aléatoire sur un graphe

I. 1. Considérer les évènements Ei^{( )}^k =« Le point est sur le sommet i à l’étape k » pour i=1, 2,...,n I. 2. Si on considère la transition de l’étape k à l’étape suivante :

Pour chaque ^j^∈

{

¹^, ²^,...,ⁿ

}

et d’après la formule des probabilités totales : p_j⁽^k⁺¹⁾ en fonction des p_i^{( )}^k

II. Marche aléatoire sur un tétraèdre 1 et 2.

Vérifier la très utile relation : U² =3I + 2U

I. 3 à 7.

La suite

( )

βk est un élément de l’espace vectoriel de dimension 2 des suites réelles dont les termes satisfont la relation de récurrence (R) : ∀k∈^N:β_k₊₂ −2β_k₊₁−3β_k =0

L’équation caractéristique associée à (R) étant l’équation r² −2r−3=0 qui a deux solutions distinctes 3

;

1 ₂

1 =− r =

r , la suite

( )

βk est combinaison linéaire des suites

( ) ( )

⁻¹^k ^et

( )

³^k . Il existe deux réels x et y à déterminer tels que : ∀k∈N: βk =x.

( )

−1^k + y.3^k

III. Marche sur une « pyramide tronquée »

(2)

III. 1. La matrice de transition :

















=

0 1 0 1 1 0 0 0

1 0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 1 0 0 1 0

1 0 1 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 1 0 1

0 1 0 0 1 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 1

0 0 0 1 1 0 1 0

3 1

2017 gjulia

A

III. 2. Aussi bien, la « pyramide tronquée » pourrait être un cube. Une partition de l’ensemble des huit sommets apparaît plus facilement : deux sommets sont dans le même sous-ensemble si et seulement si ils sont non voisins mais ont au moins un voisin commun (i.e. ils sont diagonalement opposés) ce qui induit une partition en exactement deux sous- ensembles :

X est l’ensemble des sommets qui sont non voisins mais qui ont un voisin commun avec le sommet 1.

Y est l’ensemble des sommets qui sont non voisins mais qui ont un voisin commun avec le sommet 2.

III.3.

Le calcul des vecteurs P^{( )}^k pour k=1, 2,3 fait apparaître que ∀i∈X, p_i^{( )}¹ = p_i^{( )}³ =0 et que ∀i∈Y, p_i^{( )}⁰ = p_i^{( )}² =0.

Récurrence …

Supposer

( )

^P^{( )}^k convergente. Vers quoi ? Aboutir à une contradiction.

IV. Le I. 4 nous a montré que, si la suite

( )

^P^{( )}^k est convergente, alors il existe un vecteur P tel que P=PA Le III nous montre un contre exemple.

(3)

Partie B : Matrices stochastiques.

I. Dire qu’une matrice ^A⁼

( )

^aⁱ^, ^j est stochastique revient à dire que :

{

¹^,²^,^...,

}

^: ¹

1

, =

∈

∀

∑

⁼

= n j

j j

ai

n

i .

Or,

∑

⁼

= n j

j j

ai 1

, est le produit LICO de la i-ème ligne de la matrice A et du vecteur colonne

















= 1 ...

1

C .

III. Penser à inverser un ordre de sommation

IV. 1. Justifier d’une part que ABest une matrice à termes positifs, étudier d’autre part son action sur la matrice colonne C.

IV. 2. Itou.

Partie D : Pages rank. Un second modèle

I. Les matrices A et J n

1 étant toutes deux stochastiques, en vertu de B. IV. 2, la matrice

( )

^J

A n1

1 α

α + − est stochastique pour tout réel α^∈

] [

⁰^,¹ ^.

II. Par hypothèse, pour tout indice j de

{

¹^, ²^,^...,ⁿ

}

^:

∑ ∑ ∑

⁼

=

→

=

+ −

=



 



 + −

= ⁱ ⁿ

i i j

i i

n i

i

j i

j v

n v v

a n

v gjulia

1 1

,

1 1

2017

α λ

α α

V. Si λ est une valeur propre de A et Z en est un vecteur propre : AZ z

z Z

n

=















= λ λ λ ^...

1

Quel que soit l’indice i de

{

¹^, ²^,^...,ⁿ

}

, la coordonnée d’indice i du vecteur colonne AZ est :

∑

⁼

=

=^j ⁿ

j

j j i

i a z

z

1

λ ,

Puisque les a_i_,_j sont tous des réels positifs, d’après l’inégalité triangulaire sur les modules :

n i i n

j j i n

j

j j i n

j

j j

i z a z a z

a = gjulia = ≤≤

=

×











≤ 

≤

∑ ∑

∑

1 1

, 1

, max . L’inégalité étant vérifiée pour tout indice i, elle l’est aussi pour l’indice de la coordonnée de module maximal : _i

n i i n

i z z

≤

≤ ≤

1

1 max

λ max

(4)

Soit γ un réel strictement compris entre 0 et 1. Supposons que I_n −γ A soit non inversible.

Alors ker

(

In −γ A

) { }

≠ 0n . Il existe un vecteur non nul

















= zn

z Z ...

1

tel que

( )

















=

×

−

0 ...

0 Z A

I_n γ . Aboutir à

une contradiction.

VII. On note que puisque J est une matrice formée exclusivement de 1, et que la somme des termes du vecteur ligne Q est égale à 1, QJ =L.

VIII à XI. Les matrices A^k étant stochastiques, leurs coefficients sont positifs et les sommes des coefficients de chaque ligne sont égales à 1. Les coefficients de A^k sont tous compris entre 0 et 1, et ceux de

(

^Q⁻^H

)

^A^k

sont tous compris, indépendamment de k, entre ^min

(

^Q⁻^H

)

^et^max

(

^Q⁻^H

)

, les coefficients minimal et maximal de Q−H.

La suite

( )

^Q^{( )}^k convergeant vers H, Q^{( )}^k permet d’approcher H pour k « assez grand ». Je ne vois pas d’autre « justification mathématique » que la convergence. Encore faudrait-il préciser ce que l’on entend par

« k assez grand » ( ?).