Partie B Partie A DM 5a – à rendre pour le lundi 22 janvier. (/13 pts)

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DM 5a – à rendre pour le lundi 22 janvier. (/13 pts)

Un parc d’attraction propose à son public un tout nouveau grand huit. Pour des raisons de sécurité, son accès n’est autorisé qu’aux personnes dont la taille est supérieure à 1,40m et dont l’âge est compris entre 10 et 70 ans.

Des études statistiques sont menées afin d’évaluer l’affluence et la satisfaction des visiteurs pour ce manège.

On arrondira les probabilités à 10

^-4

près si nécessaire.

Les parties A,B et C sont indépendantes.

Partie A

Les études menées permettent d’établir que /al{80;90} % ont la taille exigée, /al{80;90} % ont l’âge requis, mais /al{5;15} % n’ont ni la taille ni l’âge obligatoires.

Soit T : « la taille est supérieure à 1,40m » et A : « l’âge est compris entre 10 et 70 ans ».

1.

^[0.5]

Intuitivement, T et A sont-ils indépendants ?

………

En déduire la réponse à la question :

P

A

(T)=P(T) ? ………..

2.

^[0.5]

Compléter :

(1) P(A U T) = …….. … …….. … ………..

3.

^[1]

Que vaut P(T) ? ………

Que vaut P(A) ? ………...

4.

^[1]

En utilisant la relation (1), calculer la proportion de visiteurs vérifiant les conditions requises pour essayer la nouvelle attraction ?

/.

Partie B

1. Un sondage est réalisé à la sortie du grand huit et révèle que /al{20;30}% des personnes ont attendu moins de 30 minutes avant de pouvoir essayer le manège.

Parmi elles, /al{90;99}% sont satisfaites de l’attraction. En revanche, /al{20;30}%

des personnes ayant attendu plus de 30 minutes ne sont pas satisfaites de l’attraction.

On choisit au hasard un visiteur à la sortie du grand huit.

Soit A : « le visiteur a attendu plus de 30 minutes » Soit B : « le visiteur est satisfait de l’attraction » a.

^[1]

Faites un arbre pondéré illustrant la situation :

1/3

(2)

2/3 -

b.

^[1]

Calculer la probabilité qu’un visiteur soit satisfait de l’attraction (on justifiera la formule utilisée).

/.

c.

^[1]

Le directeur rencontre un visiteur insatisfait. Quel est la probabilité que ce visiteur ait attendu moins de 30 minutes ?

/.

2. Dans le but d’améliorer la satisfaction des visiteurs, on réalise une petite enquête.

On interroge au hasard /t{20;25;30} visiteurs au sujet du grand huit. Le nombre de visiteurs est suffisamment grand pour qu’on considère qu’il s’agit d’un tirage avec remise. Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de visiteurs satisfaits de l’attraction.

a.

^[0.5]

Donner les trois conditions qui montrent que X suit une loi binomiale.

/.

b.

^[0.5]

Donner les paramètres de la loi suivie par X.

/.

c.

^[0.5]

Donner la formule qui donne la probabilité qu’exactement /al{15;19} visiteurs

soient satisfaits.

/.

d.

^[0.5]

Utiliser la calculatrice et donner la valeur approchée à 10

^-4

de cette probabilité.

/.

e.

^[0.5]

Donner la formule qui donne la probabilité qu’au moins /al{15;19} visiteurs

soient satisfaits, en fonction de l’évènement inverse.

/.

f.

^[0.5]

Utiliser la calculatrice et donner la valeur approchée à 10

^-4

de cette probabilité.

/.

Partie C

Les visiteurs du parc sont soit des abonnés, soit des visiteurs de passage.

On s’intéresse aux visiteurs du 11 novembre 2017.

/al{35;45} % des visiteurs de passage et /al{65;75} % des abonnés au parc sont allés sur le nouveau grand huit lors de leur visite.

On sait également que /al{50;70} % des visiteurs sont allés sur le nouveau grand huit ce jour-là.

Soit V : « le visiteur est un visiteur de passage ».

Soit H : « le visiteur est allé sur le grand huit ».

On cherche P(V).

a.

^[0.5]

Donner les évènements V et H :

/.

b.

^[0.5]

D’après l’énoncé, que connaît-on comme probabilités parmi ces nombres :

P(V),P(H),P

V

(H),P

H

(V),P(V),P(H),P

V

(H),P

H

(V),P

V

(H),P

H

(V),P

V

(H),P

H

(V)

2/3

(3)

3/3 - /.

c.

^[1]

Faire deux arbres correspondant à la situation :

d.

^[1]

Choisir celui qui est le plus exploitable, et utiliser une formule bien connue (la justifier) pour poser l’équation correspondante, d’inconnue P(V).