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(1)

Vecteurs www.mathGM.fr Les savoir-faire

Translations et vecteurs associés Somme de deux vecteurs Produit d’un vecteur par un réel

Coordonnées

Vecteurs

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Lycée Louise Michel (Gisors)

(2)

Translations et vecteurs associés Somme de deux vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Coordonnées

Les savoir-faire

080. Identifier et tracer les représentants d’un vecteur.

081. Lire les coordonnées d’un vecteur et représenter un vecteur connaissant ses coordonnées.

082. Calculer et utiliser les coordonnées de vecteurs.

083. Construire à l’aide des vecteurs.

084. Etablir et utiliser la colinéarité de vecteurs.

(3)

Translation

Définition : translation

AetB sont deux points distincts du plan.

Latranslation qui transformeA enB est appelée translation de vecteur −→

AB.

Par la translation de vecteur−−→

AB, le pointM a pour image le pointN.

A

B

−→

AB

F₁

F₂

M

N

(4)

Translation

AB.

A

B

−→

AB

F₁

F₂

M

N

Définition : caractéristiques d’un vecteur Le vecteur−−→

ABest défini par :

(5)

Translation

AB.

A

B

−→

AB

F₁

F₂

M

N

ABest défini par :

sa direction (celle de la droite(AB)) ;

(6)

Translation

AB.

A

B

−→

AB

F₁

F₂

M

N

ABest défini par :

sa direction (celle de la droite(AB)) ; son sens (deAversB) ;

(7)

Translation

AB.

A

B

−→

AB

F₁

F₂

M

N

ABest défini par :

sa direction (celle de la droite(AB)) ; son sens (deAversB) ;

sa norme (la longueur du segment[AB]).

(8)

Vecteurs égaux

Définition : vecteurs égaux

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils caractérisent la même translation.

Autrement dit, deux vecteurs égaux sont deux vecteurs ayant même direction, même sens et même longueur.

(9)

Vecteurs égaux

Propriétés : caractérisation du parallélogramme

−−→ AB=−−→

CDsi et seulement siABDCest un parallélogramme (éventuellement aplati).

(10)

Vecteurs égaux

Propriétés : caractérisation du parallélogramme

−−→ AB=−−→

CDsi et seulement siABDCest un parallélogramme (éventuellement aplati).

A

B

C

D

Attention à l’ordre des points dans lequel on nomme le parallélogramme : ABDCet nonABCD.

(11)

Vecteurs égaux

Lorsque −−→

AB = −−→

CD = −−→

EF = −−→

GH, alors on dit que les vecteurs −−→

AB, −−→

CD, −−→

EF, −−→

GH sont des représentants d’un même vecteur que l’on peut noter avec une seule lettre (~u,

~v ouw~ . . .) indépendamment des deux points.

D’où :−−→ AB=−−→

CD=−−→

EF =−−→

GH.

Un vecteur admet une infinité de représentants.

G

H

~ u E

F

~ u

C

D

~ u A

B

~u

Remarque :la norme du vecteur~uest notée||~u||. On peut écrire aussi :||−−→

AB||=AB.

(12)

Exemple

Tracer l’image du triangleABCpar la translation de vecteur~u.

Vidéo

(13)

Milieu d’un segment

Propriétés : caractérisation du milieu d’un segment Iest le milieu de [AB]si et seulement si−→

AI=−→

IB.

−→ AI

−→IB

A×

×I

×B

(14)

Vecteurs particuliers

•Le vecteur−→

AAest appelé vecteur nul. On le note~0.

Ainsi,−→

AA=~0.

(15)

Vecteurs particuliers

•Le vecteur−→

AAest appelé vecteur nul. On le note~0.

Ainsi,−→

AA=~0.

•Le vecteur−−→

BAest le vecteur opposé au vecteur−−→ AB. On note−−→

BA=−−−→ AB.

−−→ BA

−−→ AB

A×

B×

(16)

Définition

Définition : vecteur somme La somme des vecteurs ~uet ~v, notée~u+~v, est le vecteur asso- cié à la translation résultant de l’enchaînement des translations de vecteur~uet de vecteur~v.

~ u

~v

~ u+~v A

B

C

(17)

Définition

~ u

~v

~ u+~v A

B

C

Exemple

SoitABCun triangle non aplati.

Construire le pointF défini par :−→ AF=−→

BA+−−→

BC Vidéo

(18)

Définition

~ u

~v

~ u+~v A

B

C

Exemple

BA+−−→

BC Vidéo

Propriété : somme nulle de deux vecteurs et milieu

−−→ AB+−→

AC=~0 si et seulement si est le milieu du segment .

(19)

Définition

~ u

~v

~ u+~v A

B

C

Exemple

BA+−−→

BC Vidéo

Propriété : somme nulle de deux vecteurs et milieu

−−→ AB+−→

AC=~0 si et seulement siAest le milieu du segment [BC].

(20)

Définition

Définition : différence de deux vecteurs Le vecteur ~u−~v est défini par

~

u−~v=~u+ (−~v)ce qui signifie que soustraire un vecteur, c’est additionner son opposé.

~ u

~ v

~

u −~v

~ u−~v A

B

D

(21)

Relation de Chasles

Propriété : relation de Chasles Pour tous pointsA,B etC du plan :

−−→ AB+−−→

BC=−→

AC

A

B

C

−→ AB +−→

BC

(22)

Définition

Définition : Produit d’un vecteur par un nombre réel Soit~uun vecteur et kun nombre réel non nul, alors le vecteurk~uest défini par :

−2~u

~u 1

3~u

(23)

Définition

sa direction :la même que celle de~u;

−2~u

~u 1

3~u

(24)

Définition

son sens :celui de~usik >0, l’opposé de~usik <0;

−2~u

~u 1

3~u

(25)

Définition

son sens :celui de~usik >0, l’opposé de~usik <0; sa norme :||k~u||=|k| × ||~u||.

−2~u

~u 1

3~u

(26)

Propriété et exemple

Exemple

SoitABCun triangle non aplati. Construire le pointM tel que :

−−→ AM=−

−→

AB+ 3−→ AC

Vidéo

(27)

Propriété et exemple

Exemple

−−→ AM=−

−→

AB+ 3−→ AC

Vidéo

Propriété : distributivité entre vecteurs et réels

Pour tous vecteurs~uet~v et tous nombres réelsk etk^′ :

(28)

Propriété et exemple

Exemple

−−→ AM=−

−→

AB+ 3−→ AC

Vidéo

Pour tous vecteurs~uet~v et tous nombres réelsk etk^′ : k(~u+~v) =k~u+k~v;

(29)

Propriété et exemple

Exemple

−−→ AM=−

−→

AB+ 3−→ AC

Vidéo

(k+k^′)~u=k~u+k^′~u;

(30)

Propriété et exemple

Exemple

−−→ AM=−

−→

AB+ 3−→ AC

Vidéo

(k+k^′)~u=k~u+k^′~u; k(k^′~u)) = (kk^′)~u.

(31)

Vecteurs colinéaires

Définition : vecteurs colinéaires

Deux vecteurs~uet~v non nuls sontcolinéaireslorsqu’il existe un nombre réelknon nul tel que~v=k~u.

(32)

Vecteurs colinéaires

Remarque :~uet~vsont colinéaires signifie donc qu’ils ont la même direction.

Propriétés : parallélisme et alignement

(33)

Vecteurs colinéaires

Deux droites(AB)et(CD)sont parallèlessi et seulement si les vecteurs−−→

ABet−−→

CDsont colinéaires ;

(34)

Vecteurs colinéaires

ABet−−→

CDsont colinéaires ; Trois pointsA,B etC sont alignés si et seulement si les vecteurs−−→

AB et−→

AC (par exemple) sont colinéaires.

(35)

Vecteurs colinéaires

ABet−−→

AB et−→

Remarque :L’égalité−−→ AM=1

2

−→ABmontre que le pointM est

le milieu de[AB].

(36)

Vecteurs colinéaires

ABet−−→

AB et−→

Remarque :L’égalité−−→ AM=1

2

−→ABmontre que le pointM est

le milieu de[AB].

Exemple

On donne deux vecteurs~uet~vtels que :−4~u+ 3~v=~v

~

uet~vsont-ils colinéaires ? Vidéo

(37)

Base orthonormée et décomposition

Définition : base orthonormée

Soit~i et~j deux vecteurs non colinéaires du plan dont les directions sont perpendiculaires et tels que||~i||=||~j||= 1.

Le couple(~i; ~j)est appelébase orthonorméedes vecteurs du plan.

Ex : dans la base(~i ; ~j), si~u Å−2

3 ã

alors~u=−2~i+ 3~j.

(38)

Base orthonormée et décomposition

Définition : base orthonormée

Soit~i et~j deux vecteurs non colinéaires du plan dont les directions sont perpendiculaires et tels que||~i||=||~j||= 1.

Le couple(~i; ~j)est appelébase orthonorméedes vecteurs du plan.

Propriété : décomposition d’un vecteur Tout vecteur~udu plan se décom- pose de manière unique sous la forme~u=x~i+y~j oùxety sont des réels.

Åx y ã

est le couple decoordonnées du vecteur~udans la base(~i; ~j). ~i

~j

~ u

x~i y~j

Ex : dans la base(~i ; ~j), si~u Å−2

3 ã

alors~u=−2~i+ 3~j.

(39)

Repère orthonormée

Définition : repère orthonormée

On appellerepère orthonormédu plan le triplet(O ;~i , ~j) constitué par un pointO appeléorigine et par les vecteurs d’unebase orthonormée(~i ; ~j).

Les coordonnées d’un vecteur~u sont les coordonnées du point M tel que :

−−→OM =~u.

−−→OM =x~i+y~jdonc−−→

OM Åx

y ã

. Le vecteur ~u a pour coordon- nées

Å2 1 ã

etM(2 ; 1).

1 2 3

0 ~i

~j

~ u

~

u x

y _×^M

(40)

Exemples

Exemple

Par lecture graphique, expri- mer~uen fonction des vecteurs

~aet~b. Vidéo

(41)

Exemples

Exemple

Par lecture graphique, expri- mer~uen fonction des vecteurs

~aet~b. Vidéo

Exemple

Lire les coordonnées des vecteurs~u,~vetw.~ Vidéo

(42)

Vecteurs égaux, somme de vecteurs

Propriété : égalité, somme de vecteurs

Dans une base orthonormée(~i ; ~j), on considère deux vec- teurs~u

Åx y ã

et~v Åx^′

y^′ ã

.

(43)

Vecteurs égaux, somme de vecteurs

Åx y ã

et~v Åx^′

y^′ ã

.

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.

Autrement dit,~u=~v si et seulement si :

(44)

Vecteurs égaux, somme de vecteurs

Åx y ã

et~v Åx^′

y^′ ã

.

®x=x^′ y=y^′

Le vecteur somme~u+~v a pour coordonnées :

(45)

Vecteurs égaux, somme de vecteurs

Åx y ã

et~v Åx^′

y^′ ã

.

®x=x^′ y=y^′

Le vecteur somme~u+~v a pour coordonnées : Åx+x^′

y+y^′ ã

(46)

Multiplication par un réel

Propriété : multiplication par un réel

Dans une base orthonormée(~i; ~j), si on multiplie un vecteur~u

Åx y ã

par un réelk, alors le vecteurk~ua pour coordonnées

−2

−4 2

2 4 6

−2

−4 O

~ u 4

−2~u 2

−8

−4

1,5~u

6

3

Les vecteurs~uet1,5~uont le même sens car1,5>0et les vecteurs~uet−2~uont des sens contraires car−2<0.

(47)

Multiplication par un réel

Propriété : multiplication par un réel

Dans une base orthonormée(~i; ~j), si on multiplie un vecteur~u

Åx y ã

par un réelk, alors le vecteurk~ua pour coordonnées

Åkx ky ã

.

−2

−4 2

2 4 6

−2

−4 O

~ u 4

−2~u 2

−8

−4

1,5~u

6

3

Les vecteurs~uet1,5~uont le même sens car1,5>0et les vecteurs~uet−2~uont des sens contraires car−2<0.

(48)

Norme d’un vecteur

Propriété : norme d’un vecteur

Dans une base orthonormée(~i; ~j), la norme d’un vecteur

~ u

Åx y ã

est :

||~u||=p x²+y²

(49)

Coordonnées du vecteur −→

AB

Propriété

On considère un repère(O ; I ; J)et deux points A(xA ; yA)etB(xB ; yB).

Le vecteur−−→

ABa pour coordonnées :

ÅxB−xA

yB−yA

ã

−1 2 3 4

O I

J

A

B

xA xB

yB

yA

xB−xA yB−yA

Cas particulier :

Le vecteur nul ~0 a pour coordonnées Å0

0 ã

.

(50)

Coordonnées du vecteur −→

AB

Propriété : coordonnées du vecteur−−→ AB

On considère un repère(O ; I ; J)et deux points A(xA ; yA)etB(xB ; yB).

Le vecteur−−→

ABa pour coordonnées :

ÅxB−xA

yB−yA

ã

−1 2 3 4

O I

J

A

B

xA xB

yB

yA

xB−xA yB−yA

Cas particulier :

Le vecteur nul ~0 a pour coordonnées Å0

0 ã

.

(51)

Exemples

Exemple

Calculer les coordonnées du vecteur−→

ABavecA(3 ; −4)et B(−2 ; 1). Vidéo

(52)

Exemples

Exemple

Calculer les coordonnées du vecteur−→

ABavecA(3 ; −4)et B(−2 ; 1). Vidéo

Exemple

On donne les pointsA(1 ; 2),B(−4 ; 3)etC(1 ; −2).

Déterminer les coordonnées du pointDtel que−→

AB=−−→ DC. Vidéo

(53)

Colinéarité

Définition : déterminant de deux vecteurs On appelle déterminant des vecteurs~u

Åx y ã

et~v Åx^′

y^′ ã

le nombre det(~u , ~v) =xy^′−x^′y.

(54)

Colinéarité

Åx y ã

et~v Åx^′

y^′ ã

Propriété : condition de colinéarité de deux vecteurs Deux vecteurs~uet~v sont colinéaires si et seulement si det(~u , ~v) = 0.

(55)

Colinéarité

Åx y ã

et~v Åx^′

y^′ ã

Propriété : condition de colinéarité de deux vecteurs Deux vecteurs~uet~v sont colinéaires si et seulement si det(~u , ~v) = 0.

Exemples

Dans chaque cas, vérifier si les vecteurs~uet~vsont colinéaires dans un repère(O;~i , ~j).

a. ~u₋₆

10

et~v ₉

−15

b. ~u₄

9

et~v₁₁

23

Vidéo