Série d exercices n o 1 Interpolation polynomiale

Université Claude Bernard, Lyon 1 Licence Sciences & Technologies 43, boulevard du 11 novembre 1918 Spécialité : Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France Intro. Analyse Num. L2- Printemps 2019

Série d’exercices n

1 Interpolation polynomiale

Exercice 1. Formule des Différences Divisées (Un classique)

Soitf : [a, b] → Rcontinue etn ∈ N^∗. On noteP_n ∈ Rn[X]le polynôme d’interpolation def auxn+ 1points distinctsx₀,· · · , x_nde l’intervalle[a, b].

1. Montrer que la famille de polynômes : E =

(

1,(X−x₀),(X−x₀)(X−x₁),· · · ,

n−1

Y

k=0

(X−x_k) )

est une base deRⁿ[X].

On considère à présent la décomposition dePndans cette base : P_n(X) = a₀+a₁(X−x₀) +· · ·+a_n

n−1

Y

k=0

(X−x_k),

où lesa_i ,i= 0,· · · , nsont des réels.

2. (a) Montrer quea₀ =f(x₀)eta₁ = f(x₁)−f(x₀) x1−x0

.

(b) On supposen ≥2. Montrer que pour tout entierivérifiant2≤i≤n,

a_i =

f(x_i)−

"

a₀ +a₁(x_i−x₀) +· · ·+a_n

i−2

Y

k=0

(x_i−x_k)

#

i−1

Y

k=0

(x_i−x_k)

.

3. Montrer par récurrence (sur i) que pour tout entier naturel i ≤ n, les coefficients ai ne dépendent que des pointsx₀,· · · , x_i(et pas desx_i+1,· · · , x_n).

On pose alorsa_i =f[x₀,· · · , x_i]pour touti= 0,· · · , n, de sorte que P_n(X) = f[x₀] +f[x₀, x₁](X−x₀) +· · ·+f[x₀,· · · , x_n]

n−1

Y

k=0

(X−x_k). (1)

4. Pour touti = 0,· · · , n, on poseyi =xn−i. Notons que(yi)i=0,···,net(xi)i=0,···,ndéfinissent la même famille de points, et donc le même polynôme interpolateurP_n.

(a) Écrire la décomposition deP_n, sous la forme (1) dans la base : F =

(

1,(X−y0),(X−y0)(X−y1),· · · ,

n−1

Y

k=0

(X−yk) )

.

(b) On considère l’écriture de P_n dans la base E donnée par (1) et celle dans la base F obtenue à la question précédente. En raisonnant sur les termes d’ordren, montrer que f[x₀,· · · , x_n] =f[x_n,· · · , x₀].

(c) Déterminer le terme d’ordre n −1 du polynôme

n−1

Y

k=0

(X −x_k). En déduire le terme d’ordren−1du polynômeP_ndonné par (1).

(d) En considérant à nouveau l’écriture de P_n dans la base F, et en raisonnant sur les termes d’ordren−1, montrer que

f[x₀,· · · , xn−1]−f[x₀,· · · , x_n]

n−1

X

k=0

x_k =f[y₀,· · · , yn−1]−f[y₀,· · · , y_n]

n−1

X

k=0

y_k.

(e) En déduire quef[x₀,· · · , x_n] = f[x₁,· · · , x_n]−f[x₀,· · · , xn−1] xn−x0

. On suppose à présent quef est(n+ 1)fois dérivable.

5. Dans cette question, on fixex ∈[a, b], distinct desx₀,· · · , x_n, et on considère le polynôme d’interpolation def aux pointsx₀,· · · , x_n, x:

P_n+1(X) =f[x₀] +f[x₀, x₁](X−x₀) +· · ·+f[x₀,· · · , x_n, x]

n

Y

k=0

(X−x_k).

(a) Montrer queP_n+1⁽ⁿ⁺¹⁾= (n+ 1)!f[x0,· · · , xn, x].

(b) On considère la fonction définie pare_n+1(t) = f(t)−P_n+1(t)pour tout réelt. Montrer quee⁰_n+1s’annule au moinsn+ 1fois sur]a, b[.

(c) Montrer quee⁽ⁿ⁺¹⁾_n+1 s’annule au moins une fois sur]a, b[. En déduire qu’il existeξ ∈]a, b[

tel que

f[x₀,· · · , x_n, x] = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) (n+ 1)! . 6. Montrer que pour tout réelx, on a :

f(x)−P_n(x) =







0six∈ {x₀,· · · , x_n} , f[x₀,· · · , x_n, x]

n

Y

k=0

(x−x_k)sinon .

7. En déduire que si x0,· · · , xn sont des réels distincts d’un intervalle [a, b], on a, pour tout x∈[a, b]:

|f(x)−Pn(x)| ≤ Mn+1

(n+ 1)!

n

Y

k=0

(x−xk) , oùM_n+1 = sup_t∈[a,b]|f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)|.

8. Application.On s’intéresse à la fonctionf :x∈[0,2]7−→sin(πx/2).

(a) En se basant sur (1), déterminer le polynôme interpolateur de f aux points x0 = 0, x₁ = 1etx₂ = 2.

(b) Établir une estimation d’erreur.

Exercice 2. Un exemple de polynôme d’interpolation Soitf : [0,1]−→Rune fonction continue.

1. Déterminer le polynômeP₁ d’interpolation de Lagrange aux noeuds 0 et 1.

2. Déterminer le polynômeP₂d’interpolation de Lagrange aux noeuds0,1/2et1. On l’écrira sous forme de Lagrange et sous forme de Newton.

Exercice 3. Convergence de l’interpolation de Lagrange

Soitn ∈N^∗ etαun réel vérifiant|α|>1. On noteL_nle polynôme d’interpolation de Lagrange de la fonction

f(x) = 1

x−α, −1≤x≤1, auxn+ 1points distinctsx₀, ..., x_nde l’intervalle[−1,1].

1. Le but de cette question est de montrer que si|α|>3, alors :

n→+∞lim kf −Lnk∞ = 0.

Nous rappelons le résultat suivant, déduit de l’étude générale menée à l’exercice 1 :

∀x∈[−1,1] , ∃ξ∈]−1,1[ , f(x)−Ln(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)

(n+ 1)! Πn(x), avecΠ_n(x) =

n

Y

k=0

(x−x_k).

(a) Calculer les dérivées successives de la fonctionf. (b) Montrer que pour toutn∈N^∗, on a :

∀x∈[−1,1] , |Π_n(x)| ≤2ⁿ⁺¹. (c) Montrer que pour toutn∈N^∗ et toutξ∈]−1,1[:

f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) (n+ 1)!

≤ sup

t∈]−1,1[

1

|t−α|ⁿ⁺²

.

(d) On suppose|α|>3. Montrer qu’il existe un réelp > 0tel que

|α−t| ≥2 +p pour toutt ∈]−1,1[.

Indication : on pourra commencer par montrer que pour tous a, b ∈ R, |a− b| ≥

||a| − |b|| . (e) Conclure.

2. Considérons toujours la fonctionf

f(x) = 1

x−α, −1≤x≤1,

auxn+ 1points distinctsx₀, ..., x_néquidistants de l’intervalle[−1,1]. Dans la pratique nous n’agissons pas du tout comme ce qui précède. Nous préférons utiliser des polynômes de degré peu élevé sur chaque petit intervalle[x_i, x_i+1].

(a) Écrire le polynôme interpolateur de Lagrange de degré 1f_ndef sur chaque intervalle [xi, xi+1],i= 0, ..., n−1

(b) On considère un maillage uniforme de l’intervalle[a, b], c’est à dire quex_i+1−x_i = ` pour touti= 0,· · ·, n−1, où`est la longueur de l’intervalle. n

i. Monter que, pour touti= 0,· · · , n−1et toutx∈[x_i, x_i+1]:

|(x−x_i)(x−x_i+1)| ≤ (x_i+1−x_i)²

4 .

ii. En déduire que :

kf−f_nk∞ ≤ c n²

et donc quef_nconverge uniformément versf lorsquentend vers l’infini.

Exercice 4. Interpolation Polynomiale de Hermite

Soient x₀, ..., x_n, n + 1 points distincts de l’intervalle [a, b], (a, b ∈ R, a < b) et f de classe C([a, b],R)une fonction dont on connaît les valeurs et celles de sa dérivée en ces(n+ 1)points distincts.

Nous cherchons un polynômeH_nde degré minimal tel que

Hn(xi) =f(xi) etH_n⁰(xi) = f⁰(xi), i= 0, ..., n.

Nous rappelons que les fonctions de base de l’interpolation de Lagrange, c’est à dire les polynômes de degréntels queL_i(x_j) =δ_ij pouri, j = 0, ..., nsont donnés pour touti= 0, ..., npar

L_i(x) =

n

Y

j=0 j6=i

x−x_j xi−xj

, pour tout x∈R.

Nous allons montrer le résultat suivant :

“Le polynômeH_nest de degré au plus2n+ 1, et s’écrit

H_n(x) =

n

X

i=0

f(x_i)h_i(x) +

n

X

i=0

f⁰(x_i)˜h_i(x) avec

h_i(x) = (1−2L⁰_i(x_i)(x−x_i))L²_i(x), et ˜h_i(x) = (x−x_i)L²_i(x).

De plus, sif ∈C²⁽ⁿ⁺¹⁾([a, b],R)

|f(x)−H_n(x)| ≤ kf^(2(n+1))k∞

(2n+ 2)!

n

Y

i=0

(x−x_i)².”

1. Montrer que pouri, j = 0, ..., n

hi(xj) = δi,j, h⁰_i(xj) = 0, et

˜h_i(x_j) = 0, ˜h⁰_i(x_j) = δ_i,j.

2. En déduire queH_nest l’unique polynôme de degré2n+ 1vérifiant les conditions requises.

3. Supposonsx /∈ {x₀, . . . , x_n}, et posons

Q(y) = f(y)−H_n(y)− f(x)−H_n(x) Qn

i=0(y−x_i)² Qn

i=0(x−x_i)². Montrer queQ(x) = 0, et que pour touti∈ {0, . . . , n}, on aQ(x_i) =Q⁰(x_i) = 0.

En déduire queQ⁰ s’annule en au moins2n+ 2points distincts.

Montrer (en appliquant le théorème de Rolle) qu’il existe ηx tel que Q⁽²ⁿ⁺²⁾(ηx) = 0.

Conclure.

Exercice 5. Polynôme de Tchebychev

Soitn ∈N, nous définissons le polynôme de Tchebychev de première espèce par T_n(x) = cos(narccos(x)),x∈[−1,1].

1. Montrer que les fonctionsT_nsatisfont la formule de récurrence T₀(x) = 1, T₁(x) = x,

T_n+1(x) = 2xT_n(x)−Tn−1(x).

2. Montrer queT_nest un polynôme de degréndont le coefficient dexⁿest2ⁿ⁻¹.

3. Montrer ensuite que les polynômes T_n sont orthogonaux par rapport à la fonction poids (1−x²)^−1/2, c’est à dire :

Z 1

−1

Tn(x)Tm(x) dx

√1−x² =







π, si n =m = 0, π/2, si n =m 6= 0, 0, si n 6=m.

4. On poset_n(x) = 2¹⁻ⁿT_n(x)pour tout x ∈ [−1,1] et y_k = cos kπ

n

pourk = 0, ..., n.

Calculert_n(y_k)pour toutk = 0, ..., n. En déduire quekt_nk∞= 1 2ⁿ⁻¹

5. Soientx1, ..., xn,npoints quelconques de[−1,1]. Nous posonswn(x) = (x−x1)...(x−xn).

Supposons par l’absurde quekw_nk∞<kt_nk∞.

(a) On posed=t_n−w_n. Montrer quedest un polynôme de degré au plusn−1.

(b) Montrer que

t_n(y_k)−w_n(y_k)>0, si k est pair, t_n(y_k)−w_n(y_k)<0, si k est impair.

(c) En déduire quekw_nk∞≥ kt_nk∞.

6. Pour toutn∈N, nous notonsη0,· · · , ηn−1 les racines deTn, appeléspoints de Tchebychev.

(a) Déterminer les points de Tchebychev du polynômeT_n.

(b) En déduire l’expression det_nen fonction des points de Tchebychev.

7. Application - Soitn ∈ N^∗,Pn−1 le polynôme d’interpolation de Lagrange de la fonctionf définie pour toutx >−2parf(x) = ln(x+ 2)aux points de Tchebychev. Déterminer unn tel que

−1≤x≤1max |ln(x+ 2)−Pn−1(x)| ≤2⁻¹⁰.

Exercice 6. Splines cubiques

Dans cet exercice, nous souhaitons interpoler une fonction f ∈ C²([a, b],R) par une fonction cubique par morceaux. C’est que nous appelons unespline cubique.

Pour cela nous définissons (x_i)0≤i≤n+1, qui déterminent une partition de l’intervalle [a, b], avec x0 =aetxn+1=b.

Nous appelons spline cubique, une fonctionS vérifiant 1. S ∈C²([a, b],R),

2. S |_[xi,xi+1]est un polynôme de degré3pouri= 0, ..., n.

Pour construire une telle approximation, nous cherchons à définir une splineS en fonction seule- ment de ses valeurs aux pointsx_iet de sa dérivée seconde enx_i.

1. Soit P un polynôme de degré inférieur ou égal à 3 défini sur un intervalle [α, β] par ses valeursP(α),P(β),P⁰⁰(α),P⁰⁰(β).

(a) Montrer que

P⁰⁰(x)−P⁰⁰(α)

x−α = P⁰⁰(β)−P⁰⁰(α) β−α . (b) Montrer qu’il existev ∈Rtel que

P⁰(x) =v+P⁰⁰(α)(x−α) + P⁰⁰(β)−P⁰⁰(α)

2(β−α) (x−α)².

(c) Montrer qu’il existeu∈Rtel que P(x) = u+v(x−α) + P⁰⁰(α)

2 (x−α)²+P⁰⁰(β)−P⁰⁰(α)

6(β−α) (x−α)³.

(d) Déterminer u et v en fonction de P(α), P(β), P⁰⁰(α), P⁰⁰(β). En déduire que P est unique.

2. On se propose de démontrer qu’il existe une unique spline cubiqueS interpolantf au sens suivant

S(x_i) = f(x_i), pour 0≤i≤n+ 1 S⁰(a) = f⁰(a), S⁰(b) =f⁰(b).

(a) Montrer que

P⁰(β) = P(β)−P(α)

β−α + (2P⁰⁰(α) +P⁰⁰(β))β−α 6 . (b) En considérant le polynômeP de degré 3 tel que pour toutx∈[xi−1, xi],

S|_[xi−1,xi] (x) = P(x), montrer que S⁰(x_i) = f(x_i)−f(xi−1)

x_i−xi−1

+ (S⁰⁰(xi−1) + 2S⁰⁰(x_i))x_i−xi−1

6 (c) Montrer que

(S⁰⁰(xi−1) + 2S⁰⁰(x_i))xi−xi−1

6 + (S⁰⁰(x_i+1) + 2S⁰⁰(x_i))xi+1−xi

6

= f(xi+1)−f(xi)

x_i+1−x_i −f(xi)−f(xi−1) x_i−xi−1

Indication :on pourra considérer le polynôme deQ de degré 3 tel que pour toutx ∈ [x_i, x_i+1],S |_[xi,xi+1](x) =Q(x)afin d’obtenir une autre égalité pourS⁰(x_i).

(d) Montrer que

(2S⁰⁰(x₀) +S⁰⁰(x₁))x1−x0

6 = f(x1)−f(x0)

x₁−x₀ −f⁰(a).

(e) De même, déterminer(2S⁰⁰(x_n) +S⁰⁰(x_n+1))en fonction dex_n,x_n+1,f(x_n),f(x_n+1) etf⁰(b).

(f) Montrer que le vecteurS⁰⁰= (S₀⁰⁰,· · ·S_n+1⁰⁰ )oùS_i⁰⁰=S⁰⁰(x_i)pouri= 0,· · · , n+ 1est l’unique solution d’un système àn+ 2équations. Conclure.

3. En prenant pouri∈ {0, ..., n+ 1}la fonction splineSi telle que S_i(x_j) =

0, si j 6=i, 1, si j =i.

etS_i⁰(a) = S_i⁰(b) = 0, puis les splines S_aetS_b telles queS_a(x_i) = S_b(x_i) = 0, etS_a⁰(a) = S_b⁰(b) = 1etS_b⁰(a) = S_a⁰(b) = 0, montrer qu’une fonction spline S interpolantf sur [a, b]

s’écrit

S(x) =

n+1

X

j=0

f_jS_j(x) + X

α∈{a,b}

f_α⁰S_α(x).