3. Fonctionsdeclasse C . Opérationssurlesdérivéespartielles. 1. Fonctionsdedeuxvariables: Fonctionspartielles,Graphed’unefonctiondedeuxva-riables.2. Cours14:11/11/2013Chapitre18:Calculsapprochésdevariations UniversitéParisDauphineAnnéeuniversitaire2013-20

Université Paris Dauphine Année universitaire 2013-2014

Première année DEGEAD Cours-TD de MR. BEY

Analyse Réelle, Optimisation libre et sous contrainte Groupes 12 & 17

Cours 14 : 11/11/2013

Chapitre 18 : Calculs approchés de variations

1. Fonctions de deux variables : Fonctions partielles, Graphe d’une fonction de deux va- riables.

2. Opérations sur les dérivées partielles.

3. Fonctions de classe C¹.

Solutions TD 13

Applications ´economiques

Exercice 1.55 Soit D={(p, q) ∈R² :p > 0, q > 0}. Soient f(p, q) = ¹⁰⁰⁰_p2q et g(p, q) = ¹⁰⁰⁰_pq2 .

(i) f et g sont de classe C¹ sur D car fraction rationnelle, et le d´enominateur ne s’annule pas sur D.

(ii) Demandes marginales partielles.

∂f

∂p =−−2×1000 qp³ = 2f

p

∂f

∂p =−1000

p²q² =−f q

∂g

∂p =−1000

p²q² =−g p

∂g

∂p = −2×1000

q³p =−2g q

(iii) La variation de p telle que la demande en bienX augmente de 5% est telle que 4f(p, q)

f(p, q) = 5% 'ef /p4p

p =−24p p donc ^4p_p ' −⁵₂%.

La variation relative de la demande en bien Y est 4g(p, q)

g(p, q) ' e_g/p4p p donc ^4g_g '+⁵₂%

(iv) Etant donn´e que4p = 5% et que 4q =−3%, on a 4f

f ' e_{f /p}4p

p +e_{f /q}4q

q = (−2×5−1×(−3)) % =−7%

4g

g 'eg/p4p

p +eg/q4q

q = (−1×5−2×(−3)) % = 1%

(v) Etant donn´e que ⁴_f^f = 2% et que ⁴_G^g = 0% on a ( 2 ' −2^4p_p −1^4q_q

0 ' −⁴_p^p −2⁴_q^q

donc ( _4p

p =−0.4%

4q

q =−0.8%

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