L2: cours I4c Langages et automates

L2: cours I4c Langages et automates

Olivier Togni, LE2I (038039)3887

olivier.togni@u-bourgogne.fr

Modifi´e le 31 mai 2007

L2: cours I4c Langages et automates

Sommaire

Utiles pour compilation, interpr´etation,...

1. Langages rationnels 2. Langages reconnaissables 3. Langages alg´ebriques

Les mots

- alphabet=ensemble fini de symboles (lettres) - mot sur alphabetA: suite finie de lettres deA -A^∗=ensemble des mots d´efinis sur A

- mot vide∈A^∗

- longueur d’un motu :|u|=nb de lettres. |u|_a=nb d’occurences de adansu.

- op´eration de concat´enation surA^∗ : siu =abc et v =cac alors u.v =abccac.

Rem : op´eration associative (u(v.w) = (u.v)w) mais pas commutative (∃u,v,u.v 6=v.u).

- notation : le motaaabbab sera raccourci ena³b²ab.

- (A, ., ) est un mono¨ıde(ensemble muni d’une op´eration associative et d’un ´el´ement neutre, mais pas forcement d’inverse comme dans un groupe).

L2: cours I4c Langages et automates Langages rationnels

Langages rationnels

- Langage formel surA= ensemble fini ou infini de mots de A: L⊂A^∗.

- op´erations :

* compl´ementation L={u∈A^∗,u 6∈L}

* unionL1∪L2 ={u ∈A^∗,u∈L1 ouu ∈L2}

* intersectionL1∩L2 ={u ∈A^∗,u∈L1 et u∈L2}

* produitL₁.L₂ ={u ∈A^∗,u =u₁u₂,u₁ ∈L₁ etu₂∈L₂}

* fermeture it´erative : L^∗ est l’ensemble des mots form´es par un concat´enation finie de mots de L:L^∗ ={} ∪L∪L²∪L³∪. . ..

L⁺ =L^∗− {}.

Expressions rationnelles

D´efinition

Un langage est dit rationnel s’il s’´ecrit de mani`ere finie `a l’aide des op´erations d’union, de produit et de fermeture transitive `a partir des lettres de l’alphabet et du mot vide.

⇒d´efini par uneexpression rationnelle. De fa¸con formelle :

D´efinition

Une expression rationnelle est d´efinie de fa¸con inductive par : -∅ est une expression rationnelle,

- si a est une lettre, a est une expression rationnelle, - si E est une expression rationnelle, E^∗ aussi,

- si E₁ et E₂ sont des expr. rationnelles, E₁+E₂ et E₁E₂ aussi.

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Exemple

Ex : siA={a,b,c},A^∗ = (a∪b∪c)^∗= (a+b+c)^∗.

Ex : sur{a,b}, donner les expressions rationnelles correspondant au langages suivants :

I mots ayant 1 seule occurence de b

I mots contenantabab

I mots ne contenant pas abab.

Langages reconnaissables

D´efinition

Un automate finiA est un sextuplet(A,Q,T, λ,I,F) avec : - A alphabet fini appel´e alphabet d’entr´ee,

- Q ensemble fini d’´etats, - T ensemble des transitions,

-λ:T →A ´etiquettes des transitions, - I ensemble des ´etats initiaux,

- F ensemble des ´etats terminaux (ou finals),

Rem : (Q,T, λ) est un graphe orient´e ´etiquet´e (les arcs ont une valeur ou ´etiquette qui est une lettre deA).

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Exemple

Langage reconnu par un automate

Soitr =q0,q1, . . . ,qp un chemin dansA

Latraceλ(r) der est le mot deA^∗ form´e par les ´etiquettes port´ees par les arcs qui composent le chemin :

λ(r) =λ(q0,q1)λ(q1,q2). . . λ(qp−1,qp).

D´efinition

Le langage reconnu par un automateAest l’ensemble des traces de tous les chemins qui partent d’un ´etat initial et aboutissent `a un

´etat final : L(A) ={λ(r)∈A^∗,r =q₀,q₁, . . . ,q_p,q₀∈I,q_p ∈F}.

D´efinition

Un langage L est reconnaissable ssi il existe un automate finiA tel que L=L(A).

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Exemple :

Langage reconnu par l’automate de l’ex pr´ec´edant

Automates minimaux et complets

Il existe souvent plusieurs solutions d’automates correspondant `a un langage reconnaissable. Il existe une solution utilisant un nombre minimum d’´etats :l’automate minimal. Il existe des algos pour minimiser un automate.

D´efinition

Un automate estcomplet ssi ∀q ∈Q,∀a∈A, il existe au moins une transition t d’origine q et d’´etiquette a.

Il est facile de rendre un automate complet en ajoutant un ´etat appel´e puitet toutes les transitions manquantes de chaque ´etat vers ce puit.

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Automates d´ eterministes

D´efinition

Un automate est d´eterministe ssi : - il n’y a qu’un seul ´etat initial, et

-∀q∈Q,∀a∈A, il existe au plus une transition t d’origine q et d’´etiquette a.

Un automate non d´eterministe est souvent plus facile `a construire (qu’un d´eterministe), par contre il est plus facile de tester si un mot appartient `a un langage quand on est en pr´esence d’un automate d´eterministe.

Automates d´ eterministes

Pour un automate d´eterministe, on peut d´efinir la fonction ou table de transitionδ :Q×A→Q, qui `a partir d’un ´etat et d’une lettre, donne l’´etat dans lequel on arrive si on suit la transition correspondant `a la lettre.

Ex :

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Automates d´ eterministes

Un automateAsera non d´eterministe si au moins une des situations suivantes `a lieu :

-A poss`ede au moins deux ´etats initiaux -A poss`ede des transitions ´etiquet´ees -δ n’est pas une fonction mais une relation.

Il existe des algorithmes pour d´eterminiser un automate, donc il existe toujours une solution d´eterministe ! !

Exemple

Construire un automate d´eterministe acceptant le langage (aab+aa+aabb)^∗

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Algorithme de simulation d’un automate d´ eterministe

Etat <- etat_initial

Tant Que (il reste des lettres) faire Debut

Lire(lettre)

Etat <- TT[Etat,lettre] //TT=table de transition Fin

Si Etat est un etat final alors le mot est reconnu sinon le mot n’est pas reconnu

Rationnel vs reconnaissable

Th´eor`eme (Kleene)

L est reconnaissable ssi L est rationnel.

En d’autres termes, il est possible de construire un automate `a partir de n’importe quelle expression rationnelle et, r´eciproquement, d’associer une expression rationnelle `a tout automate.

Les langages rationnels (ou reconnaissables) permettent de d´efinir formellement beaucoup de langages, mais pas tous. Par ex le langage{aⁿbⁿ,n∈N}n’est pas rationnel.

⇒Langages alg´ebriques...

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Langages alg´ ebriques

Bas´es sur la notion de r´e´ecriture...

D´efinition

Une grammaire alg´ebrique est un triplet G = (T,N,P) o`u - T est un alphabet fini ditterminal,

- N est un alphabet fini ditnon-terminal et disjoint de T , - P est un ensemble fini de r`egles de production. Une r`egle est A→u,A∈N,u ∈(N∪T)^∗

Exemple

T ={a,b},N ={A,B,S}et

P ={S →A,S →B,B →bB,B →,A→aA,A→}.

Convention : Terminaux=minuscules, non-terminaux= majuscules

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R´ e´ ecriture

D´efinition

Soient f et g deux mots de(N∪T)^∗. On dit que f se r´e´ecrit en g par application de la r`egle p:A→u, que l’on note f →_p g ssi f est de la forme f =f1Af2 et g =f1uf2.

Uned´erivationest une s´equence de r´e´ecritures la forme f₁→_p1 f₂ →_p2. . .f_n→_pn f_n+1.

On dit qu’un motf se d´erive en un motg, not´ef →^∗g si f =g ou s’il existe une d´erivation telle que f₁ =f etf_n+1 =g.

Langage alg´ ebrique

D´efinition

Le langage engendr´e par une grammaire G `a partir de A (appel´e axiome) est l’ensemble des mots irr´eductibles obtenus par

d´erivation de A : L(G,A) ={u ∈T^∗,A→^∗ u}. Ce langage est un langage alg´ebrique.

Ex pr´ec´edent : mots ne contenant que des aou que desb.

Ex : SoitG = ({a,b},{S},{s →aS,S →Sb,S →}). Le langage engendr´e par la grammaire G est L(G,S) =a^∗b^∗.

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Quelques propri´ et´ es des langages alg´ ebriques

I L₁ etL₂ alg´ebriques⇒L₁∪L₂ etL₁.L₂ alg´ebriques,

I L₁ etL₂ alg´ebriques6⇒L₁∩L₂ alg´ebrique,

I tout langage rationnel (reconnaissable) est alg´ebrique.

Arbre de d´ erivation

A tout mot d’un langage alg´ebrique on peut faire correspondre un arbre de d´erivation qui indique par quelle suite de d´erivations le mot

`a ´et´e obtenu. La racine de l’arbre est le non-terminal de d´epart et le mot est obtenu par un parcours en largeur les feuilles de l’arbre.

Si un mot peut ˆetre obtenu par deux d´erivations diff´erentes, la grammaire est diteambigu¨e.

Ex :G :S →x|y|z|(S)|S ∗S|S +S est ambigu¨e caru =x+y∗z peut ˆetre g´en´er´e par deux arbres de d´erivation diff´erents (les 2 d´erivations correspondant `au = (x+y)∗z etu =x+ (y∗z)).

Une version non ambigu¨e de la grammaire pr´ec´edente est : E →E+T|T,T →T ∗F|F,F →(E)|x|y|z.

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Construction d’une grammaire ` a partir d’un automate

Chaque ´etatq_i de l’automate correspond `a un non-terminal Q<sub>i</sub> de la grammaire et pour chaque transition (qi,qj) de l’automate, on ajoute la r`egleQ_i →aQ_j, o`u a=λ(q_i,q_j) est l’´etiquette de la transition. Le langage engendr´e par cette grammaire est le mˆeme que l’ensemble des mots reconnus par l’automate.