Correction TP 9 : Automate non d´eterministe
Licence 2 MASS semestre 2, 2007/2008
Exercice 1 : Construction d’automate
+,−,0,1,2,3,
4,5,6,7,8,9 0,1,2,3,4,
5,6,7,8,9 0,1,2,3,4,
5,6,7,8,9 0,1,2,3,4,
5,6,7,8,9
1 2 . 3 4
Exercice 2 : D´ eterminisation
a-
a,b
1 b 2 a 3 b 4
b-
´etat transition
a b
1 1 1,2
2 3 2
3 1 4
4 1 1
1,2 1,3 1,2
1,3 1 1,2,4
1,2,4 1,3 1,2
1
a
1,2 b
1,3 1,2
4
b a
a
b b
a
Exercice 3 : Op´ eration sur les langages et auto- mates
a-
1 2 3
a,b,c
a c
non deterministe
1 a 2 c 3
a,b
a,b deterministe complet
0 b,c
a,b,c c
b-
1 a 2 b 3
b,c a a,b,c
c
c-
1 a 2 c 3
a,b
a,b
0 b,c
a,b,c c
d-
a c
a,b
b,c a,b
a,b,c c
M L 1
2 3 4 5
a b
b,c a a,b,c
c
6 7 8
´
etat transition
a b c
1 - - - 2,6
2 3 5 5 -
3 3 3 4 -
4 3 3 4 -
5 5 5 5 -
6 7 6 6 -
7 7 8 6 -
8 8 8 8 -
2,6 3,7 5,6 5,6 - 3,7 3,7 3,8 4,6 - 5,6 5,7 5,6 5,6 - 3,8 3,8 3,8 4,8 - 4,6 3,7 3,6 4,6 - 5,7 5,7 5,8 5,6 - 4,8 3,8 3,8 4,8 - 3,6 3,7 3,6 4,6 - 5,8 5,8 5,8 5,8 -
a b
b,c a a,b,c
5,6 5,7 5,8
2,6 3,7
3,8 4,8
4,6 3,6
c b,c
a
c a
b b
a,b c
c a,b
b c
a
c a
Pour simplifier cet automate, on pourrait remplacer les deux ´etats 3,8 et 4,8 par un unique ´etat qui aurait une boucle avec a,b,c comme transition.
e-
M
a b
b,c a a,b,c
c
6 7 8
a c
a,b
b,c a,b
a,b,c c
L
2 3 4 5
´
etat transition
a b c
2 3 5 5 -
3 3 3 4 -
4 3,7 3,6 4,6 6
5 5 5 5 -
6 7 6 6 -
7 7 8 6 -
8 8 8 8 -
3,7 3,7 3,8 4,6 - 3,6 3,7 3,6 4,6 - 4,6 3,7 3,6 4,6 - 3,8 3,8 3,8 4,8 - 4,8 3,8 3,8 4,8 -
a c
a,b
2 3 4
a,b,c
5 b,c
4,6 3,6 3,7
b a c
3,8 4,8
c b
a b
b c
a
b a,b
c
c
a,b a
f-
a b
b,c a a,b,c
c
2 3 4
M 1
´
etat transition
a b c
1 3 2 2
2 3 2 2
3 3 4 2
4 4,3 4,2 4,2 4,3 4,3 4 4,2 4,2 4,3 4,2 4,2
a b
b,c a
c
2 3 4
1 b,c a
4,3 4,2
a b b,c
a b,c
c a
Exercice 4 : Construction d’automate
a- Non, ce n’est pas un langage r´egulier.
la preuve de ce genre de propri´et´e s’appuie sur lelemme de l’´etoilequi n’est
pas au programme du cours. Intuitivement, la technique pour construire un automate serait de m´emoriser la diff´erence du nombreaet deb`a l’aide d’un ´etat. Or le nombre d’´etat ´etant fini et le nombre de diff´erence ´etant fini, il n’est pas possible de reconnaitre ce langage `a l’aide d’un automate fini et donc ce langage n’est pas rationnel.
b- Ici, il est possible de construire un automate puisque le nombre de diff´erence modulo 3 est fini.
b
1 2
0
c
c c
a b a
b a
Exercice 5 : Algorithme de lecture d’un automate d´ eterministe
a- Algorithme accepte(L : liste d’entier; etat : entier) : bool´een d´ebut
silisteEstVide?(L)alors retournerFaux sinon
silisteTˆete(L) = etatalors retournerVraie
sinon
retourneraccepte(listeQueue(L), etat : entier) fin si
fin si fin
b- Algorithme lecture(u : liste d’entiers; T : tableau de tableaux d’entiers, etat : entier) : entier
d´ebut
silisteEstVide?(M) alors retourneretat
sinon
retournerlecture(listeQueue(u), T, T[etat][listeTete(u)]) fin si
fin
c- Algorithme Reconnaˆıtre(u : liste d’entier, T : tableau de tableaux d’entier, etatInitial : entier, L : liste d’entier) : bool´een
d´ebut
retournerAccepte(Lecture(u, T, etatInital)) fin
uest le mot lire, T est la table de transition et L la liste des tats accep- tants.
