EricCANCESetAlexandreERN ANALYSE

ANALYSE

Eric CANCES et Alexandre ERN

Septembre 2011

Avant-Propos v

Introdution vii

1 Espaes vetoriels normés 1

1.1 Normes . . . 1

1.2 Topologiedesespaesvetorielsnormés . . . 3

1.2.1 Ouvertset fermés. . . 3

1.2.2 Équivalenedenormes . . . 3

1.2.3 Compaité. . . 5

1.3 Appliationslinéairesontinues . . . 5

1.3.1 Dénitionet premièrespropriétés. . . 5

1.3.2 Dualité . . . 7

1.3.3 Formesbilinéairesontinues . . . 8

1.4 Exeries . . . 8

2 Espaes de Banah 11 2.1 Dénitionset premiersexemples . . . 11

2.1.1 SuitesdeCauhy . . . 11

2.1.2 Espaesomplets . . . 12

2.2 AppliationslinéairesontinuesdanslesespaesdeBanah . . . 14

2.3 Sériesnormalementonvergentes . . . 14

2.4 ThéorèmedupointxedePiard. . . 15

2.5 Appliationauxéquationsdiérentiellesordinaires . . . 16

2.6 Exeries . . . 17

3 Espaes de Hilbert 19 3.1 Dénitions. . . 19

3.1.1 Espaeseulidiens . . . 19

3.1.2 Espaeshermitiens . . . 19

3.1.3 InégalitédeCauhy-Shwarz . . . 20

3.1.4 EspaesdeHilbert . . . 20

3.2 Théorèmedeprojetionorthogonale . . . 21

3.3 ThéorèmedeRiesz . . . 23

3.4 Baseshilbertiennes . . . 24

3.5 Caluldiérentiel. . . 25

3.6 Optimisation . . . 27

3.6.1 Optimisationsansontrainte . . . 29

3.6.2 Optimisationaveontrainteségalités . . . 31

3.6.3 Optimisationaveontraintesinégalités . . . 34

4 Théoriede la mesureet de l'intégration 43

4.1 Pourquoialler au-delàdel'intégraledeRiemann?. . . 43

4.2 Elémentsdethéoriedelamesure . . . 45

4.2.1 Tribusetmesures. . . 45

4.2.2 Ensemblesnégligeables. . . 48

4.2.3 MesuredeLebesguesur

R ^d

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49}

4.3 Construtiondel'intégrale. . . 50

4.3.1 Fontionsmesurables. . . 50

4.3.2 Intégraled'unefontionmesurable . . . 53

4.3.3 Propriétésfondamentalesdel'intégrale. . . 54

4.3.4 IntégraledeLebesguesur

R ^d

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55}

4.4 Théorèmesdeonvergene . . . 57

4.4.1 Convergenemonotone. . . 57

4.4.2 LemmedeFatou . . . 58

4.4.3 Convergenedominée . . . 59

4.5 Fontionsdéniesparune intégrale . . . 61

4.6 Changementdevariablesdanslesintégrales . . . 62

4.7 Mesuresproduitset théorèmedeFubini . . . 63

4.7.1 Mesuresproduits . . . 63

4.7.2 ThéorèmedeFubini . . . 64

4.8 Exeries . . . 65

5 Espaes

L ^p

⁶⁷ 5.1 Fontionségalespresquepartout . . . 67

5.2 Espae

L ¹

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68}

5.3 Espae

L ²

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70}

5.4 Espae

L ^∞

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71}

5.5 Autresespaes

L ^p

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71}

5.5.1 Espaes

L ^p _loc

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74}

5.6 Convolutiondans

L ¹ (R ^d )

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74}

5.7 Exeries . . . 75

6 Notionde distribution 79 6.1 Insusanesdelanotiondefontion . . . 79

6.2 Changeonsdepointdevue . . . 81

6.3 Dénitionset premierexemples . . . 82

6.4 Dérivationausensdesdistributions . . . 84

6.5 Espaedesfontionstest. . . 84

6.6 Exeries . . . 89

7 Distributions: exempleset prinipalespropriétés 91 7.1 Fontionsloalementsommables . . . 91

7.2 MesuresdeRadon . . . 93

7.3 Exemplesdedistributionsplussingulières . . . 95

7.3.1 Multiples, multiouhes. . . 95

7.3.2 Valeursprinipalesetpartiesnies . . . 96

7.4 Distributionsàsupportompat . . . 97

7.5 Convergenedesdistributions . . . 99

7.6 Dérivationendimension1 . . . 100

7.6.1 Casdesfontions

C ¹

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101}

7.6.2 Casdesfontions

C ¹

^{parmoreaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101}

7.6.3 Equationsdiérentielles linéairesdans

D ^′ (]a, b[)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . 102}

7.6.4 Rapportentreladérivée ausensusuelet ladérivéeausensdesdistributions 102

7.7 Dérivationendimensionquelonque . . . 102

7.7.1 ThéorèmedeShwarz . . . 102

7.7.2 Casdesfontions

C ¹

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103}

7.7.3 Casdesfontions

C ¹

^{parmoreaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103}

7.8 Multipliationpardesfontions

C ^∞

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104}

7.9 Exeries . . . 105

8 Espaes de Sobolev 109 8.1 Espaes

H ^k (Ω)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109}

8.2 Espae

H ₀ ¹ (Ω)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110}

8.3 Espae

H ^{− 1} (Ω)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112}

8.4 Exeries . . . 114

9 Problèmesaux limiteselliptiques linéaires 117 9.1 Versionsymétrique duthéorèmedeLax-Milgram . . . 118

9.2 Résolutiond'unproblèmeauxlimiteselliptiquesymétrique . . . 119

9.3 Résolutiondel'équationdePoissonsurunouvertborné . . . 121

9.4 ThéorèmedeLax-Milgram. . . 122

9.5 Résolutiond'unproblèmeauxlimitesnonsymétrique . . . 123

9.6 Exeries . . . 124

10 Transformation de Fourier 131 10.1 TransformationdeFourierdans

L ¹

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131}

10.1.1 Dénition . . . 131

10.1.2 Transformée deFourierdesgaussiennes . . . 133

10.1.3 Propriétésélémentaires . . . 134

10.1.4 Formuled'inversiondeFourier . . . 135

10.2 L'espae

S

^{deShwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135}

10.2.1 Dénitiondel'espae

S

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135}

10.2.2 TransformationdeFourierdans

S

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137}

10.3 L'espae

S ^′

^desdistributions tempérées . . . 138

10.3.1 Dénitiondel'espae

S ^′

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138}

10.3.2 Convergeneetdérivationdans

S ^′

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139}

10.3.3 Distributionstempéréespartiulières . . . 140

10.3.4 TransformationdeFourierdans

S ^′

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141}

10.4 TransformationdeFourierdans

L ²

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143}

10.4.1 Propriétéd'isométrie. . . 143

10.4.2 EspaesdeSobolevfrationnaires. . . 145

10.4.3 Retoursurlanotiondetrae . . . 147

10.5 DistributionspériodiquesetsériesdeFourier . . . 149

10.5.1 SériesdeFourier . . . 149

10.5.2 Représentationdesdistributionspériodiques. . . 150

10.5.3 TransforméedeFourierdesdistributionspériodiques . . . 155

10.5.4 Appliation:théorèmed'éhantillonagedeShannon . . . 156

10.5.5 TransforméedeFourierdisrète . . . 160

10.6 Exeries . . . 161

Bibliographie 167

Cedoumentreprend,enleomplétant,leontenuduoursd'analysedepremièreannéedel'Eole

desPonts.

Nous sommes redevablesaux Professeurs Mikhael Balabane et Jean-Mihel Bony dont les ours

d'analyse à l'Eole des Ponts et à l'Eole Polytehnique ont inspiré le ontenu et la struture

deertainshapitres.Nous remerionshaleureusementGuyBenteux,Virginie Ehrlaher,Jean-

FrédériGerbeau,Frédéri Legoll,TonyLelièvre,Régis Monneau,Julien Sabin,GabrielStoltz et

FlorianThominespourleurspréieuxommentairessurlesversions suessivesdeetexte.

De la méanique à la nane, en passant par l'environnement et les transports, les domaines

sientiques et tehniques ouverts par la formation dispensée dans les Eoles d'ingénieurs font

intervenirmassivementdesmodèlesreposantsurdeséquationsauxdérivéespartielles(EDP).

L'objetif de e ours est de présenter ertains outils mathématiques de base permettant d'ap-

préhender e type d'équations. Il ne s'agit pas de réaliser une étude exhaustive des prinipales

tehniquesd'analysedesEDP(equiseraitimpossibledansunoursintrodutif),maisdetraiter

omplètementunasimportant,eluiduproblèmedePoissonsurunouvertbornéaveonditions

auxbordsdeDirihlet,dontl'énoné formels'érit

(I)

 



Cherherunefontion

u : Ω −→ R

^vériant

− ∆u = f

^dans

Ω u = 0

^sur

∂Ω

où

Ω

^{désigneunouvertde}

R ^d

^,

∂Ω

^lebordde

Ω

^et

f

^{unefontiondonnéedéniesur}

Ω

^etàvaleurs

dans

R

^{.Lesquestionsauxquellesnousallonstenter derépondresontlessuivantes:}

Ceproblèmea-t-ilune solution(dansunelasseàpréiser)?

Siouiest-elleunique?

Danseas,l'appliation

f 7→ u

^{est-elleontinue(làenore,enunsensàpréiser)?}

Le problème

(I)

^{est un problème aux limites en e sens qu'il fait intervenir une EDP et une}

onditionaubord(

u = 0

^sur

∂Ω

^).Pour

d = 2

^,onpourrasereprésenterlasolutionde

(I)

^omme

ladéformationvertialesouslehargement

f

^{d'unemembraneélastiqueàréponselinéairetendue}

et dontlebordest maintenuxe(f.gure1).

0000000000000000000000000 0000000000000000000000000 0000000000000000000000000 0000000000000000000000000 0000000000000000000000000 0000000000000000000000000 0000000000000000000000000 0000000000000000000000000 0000000000000000000000000 0000000000000000000000000 0000000000000000000000000 0000000000000000000000000 0000000000000000000000000 0000000000000000000000000

1111111111111111111111111 1111111111111111111111111 1111111111111111111111111 1111111111111111111111111 1111111111111111111111111 1111111111111111111111111 1111111111111111111111111 1111111111111111111111111 1111111111111111111111111 1111111111111111111111111 1111111111111111111111111 1111111111111111111111111 1111111111111111111111111 1111111111111111111111111

u

f Ω

Fig.1Déformationsousunhargementd'unemembraneélastique

Leproblème

(I)

^{présenteletripleavantaged'être}

2. unproblèmegénériqueensienesdel'ingénieur(onleretrouveenméanique,enthermique,

enéletromagnétisme,enbiologie,ennane,...),

3. leproblèmeauxlimites prisomme exempledansleours deCalulSientiquede l'Eole

desPontspourmettre en÷uvrelaméthodedesélémentsnis.

L'étude du problème

(I)

^{permet également} d'illustrer très lairement l'une des idées phares de l'analyse moderne : l'utilisation d'outils de géométrie dans des espaes vetoriels de dimension

inniepermetd'obtenirsimplementet élégammentdesrésultatsd'analyse.

Pourmeneràbieneprogramme,nousdevronstoutd'abordnousfamiliariseravelesespaesve-

torielsnormésdedimensioninnie(hapitre1)etétudierdeplusprèslespropriétésgéométriques

des espaes de Banah, qui sont les espaes vetoriels normés omplets pour la topologie

dénieparlanorme(hapitre2);

desespaesdeHilbertquisontlesespaesdeBanahdontlanormeestdénieparunproduit

salaire(hapitre3).

And'utiliserlesrésultatsdegéométriedémontrésauxhapitres2et3pourrésoudredesproblèmes

d'analyse, et en partiulier le problème

(I)

^{, il nous faudra onstruire des espaes vetoriels de}

fontions(onparled'espaesfontionnels)ayantune strutured'espaedeBanahoud'espaede

Hilbert. Pourela, nousintroduironsdans unpremiertemps l'intégralede Lebesgue (hapitre4)

qui,ontrairementàl'intégraledeRiemann,permetdeonstruiredesespaesfontionnelsomplets.

Lehapitre5portesurlaonstrutionet lespropriétésdesespaes

L ^p

^{,quijouentunrleentral}

enanalysefontionnelle.Leshapitres6et7sontonsarésàlathéorie desdistributions,qui est

un outil fondamental de l'analyse moderne; nous l'utiliserons notamment pour établir le adre

fontionnel adapté àl'analyse du problème

(I)

^{(et plus} généralement d'une très large lasse de problèmesauxlimites),eluidesespaesde Sobolev (hapitre8).

Nous nousbaserons ensuitesurles résultatsabstraits de géométrie endimensioninnie établis

dansleshapitres2et3ainsiquesurlesespaesfontionnelsonstruitsauxhapitres5et 8pour

résoudre le problème aux limites

(I)

^{et plusieursvariantes de e problème; nous} introduirons à ette oasion la notion de formulation variationnelle (ou formulation faible) d'un problème au

limites, etnousdémontrerons(etappliquerons)lethéorèmedeLax-Milgram.

Enn,nousprésenteronslatransformationdeFourier,quiestunoutilinontournabledel'analyse

desphénomèneslinéaires,onstammentutilisédansdenombreusesappliations,etquiseramisen

pratiquedanslesoursdeTraitementduSignaletd'AnalyseenFréquenesdel'EoledesPonts.

Espaes vetoriels normés

Cehapitreontientessentiellementdesrappelssurlesnormes,lesappliationslinéairesonti-

nues et ladualité. À traversl'étudedes exemplesprésentés dans e hapitre,on retiendra avant

toutlefaitqueertainsrésultatsbienonnusendimensionnienesontplusvalableendimension

innie, equi justiel'emploi denouveaux onepts.Dansun premiertemps,nous neonsidére-

ronsquedeuxexemplesd'espaesvetorielsdedimensioninnie:lesespaes

C ^k

^{dontleséléments}

sontdesfontionssusammentrégulièresetlesespaes

l ^p

^{dontlesélémentssontdessuites.Notre}

olletion d'espaes vetoriels normésde dimensioninnies'enrihiraaul de laleture deet

ouvrage,notammentaprèsavoirintroduitlesnotionsd'intégraledeLebesgue(hapitres4et 5)et

dedistribution(hapitres6à8).

1.1 Normes

Soit

K

^{unorpsqu'on prendraégalà}

R

^ou

C

^.Pour

x ∈ K

^,onnotera

| x |

^{sa valeurabsolue si}

x ∈ R

^{etsonmodulesi}

x ∈ C

^{.Parailleurs,onutilisera}l'abréviation

K

^{-evpourdésignerunespae}

vetorielsur

K

^.

Dénition1.1. Soit

V

^un

K

^{-ev.Unenormeestuneappliationdéniesur}

V

^{àvaleursdans}

R ₊

^,

notée

k · k ^V

^,etsatisfaisantles trois propriétéssuivantes: (i)

k v k ^V = 0 ⇐⇒ v = 0

^,

(ii)

∀ λ ∈ K

^,

∀ v ∈ V

^,

k λv k ^V = | λ | k v k ^V

^,

(iii) inégalitétriangulaire :

∀ (v, w) ∈ V × V

^,

k v + w k ^V ≤ k v k ^V + k w k ^V

^.

Exemples en dimension nie. Soit unentier

d ≥ 1

^{et onsidérons le}

K

^-ev

K ^d

^dedimension

nie

d

^{. Onposepourtoutréel}

p

^ave

1 ≤ p < ∞

∀ v = (v 1 , . . . , v d ) ∈ K ^d , k x k ^p = X d i=1

| v i | ^p

! ^1/p

,

^(1.1)

et pour

p = ∞

^,

∀ v = (v 1 , . . . , v d ) ∈ K ^d , k v k ∞ = max

1≤i≤d | v i | .

^(1.2)

On vériefailement que

k · k ^p

^,

1 ≤ p ≤ ∞

^{, dénit une normesur}

K ^d

^{. Le seul point tehnique}

onsisteàmontrerl'inégalitétriangulaire,quirésultedel'inégalitédeMinkowski(voirexerie1.1)

∀ u, v ∈ R ^d ₊ , 1 ≤ p < ∞ ,

X d i=1

(u i + v i ) ^p

! ^1/p

≤ X d i=1

u ^p _i

! ^1/p +

X d i=1

v _i ^p

! ^1/p

.

^(1.3)

Lesexemplesprésentési-dessuss'étendentdefaçonnaturellepouronstruiredesnormessur

desproduits d'espaesvetorielsnormés.Eneet,nousavonsla

Proposition 1.2. Soit un entier

d ≥ 1

^. Considérons la famille de

K

^-ev

(V i ) 1 ≤ i ≤ d

^{, haun des}

V i

^{étant équipé d'une norme notée}

k · k ^V i

^{. Soit un réel}

p ∈ [1, + ∞ ]

^{. Alors,} l'appliation de

V = V 1 × . . . × V d

^dans

R ₊

^{déniepourtout}

v = (v 1 , . . . , v d ) ∈ V

^par

k v k ^p = X d i=1

k v i k ^p V i

! ¹ p

,

^si

p ∈ [1, + ∞ [, k v k ∞ = max

1 ≤ i ≤ d k v i k ^V i ,

^si

p = + ∞ ,

est unenorme sur

V

^.

Preuve. Laisséeenexerie.

Exemplesen dimensioninnie.

Soit

[a, b]

^{unintervallede}

R

^et

C ⁰ ([a, b])

^{l'espaevetorielonstituédesfontionsontinues}

sur

[a, b]

^{àvaleursdans}

K

^.L'appliation

k · k C ⁰ ([a,b])

^quià

f ∈ C ⁰ ([a, b])

^assoie

k f k C ⁰ ([a,b]) = sup

t∈[a,b] | f (t) | ,

dénitune normesur

C ⁰ ([a, b])

^{. Plus}généralement,pourunentier

k ≥ 0

^,onnote

C ^k ([a, b])

l'espae vetoriel onstitué des fontions

k

^{fois ontinûment dérivables sur}

[a, b]

^{à valeurs}

dans

K

^.L'appliation

k · k C ^k ([a,b])

^quià

f ∈ C ^k ([a, b])

^assoie

k f k C ^k ([a,b]) = max

0 ≤ l ≤ k sup

t ∈ [a,b] | f ^(l) (t) | ,

dénitunenormesur

C ^k ([a, b])

^{(levérierenexerie) ;}

Un deuxième exempled'espae vetorielnormé de dimensioninnieest un espaedontles

éléments sont des suites de

K

^{. Soit}

u = (u i ) i ≥ 0 ∈ K ^N

^{une suite à valeurs dans}

K

^{. Pour}

1 ≤ p ≤ ∞

^{, ononsidèrel'ensemble}

l ^p =

u ∈ K ^N , k u k ^{l p} < + ∞ ,

oùonaposé

k u k ^{l p} =



 X

i ≥ 0

| u i | ^p





1/p

, 1 ≤ p < ∞

et

k u k ^{l ∞} = max

i≥0 | u i | .

Onvérieque

l ^p

^estun

K

^-evetque

k · k ^{l p}

^{dénitbienunenormesur}

l ^p

^{(voirexerie1.3) ;}

Nousintroduironsd'autresespaesvetoriels normésdedimensioninnie,plusintéressants

pour l'analyse des problèmes posés en sienes de l'ingénieur (EDP, analyse harmonique,

...) lorsque nous disposerons des notions d'intégrale de Lebesgue (hapitres 4 et 5) et de

distribution(hapitres6à8).

1.2 Topologie des espaes vetoriels normés

Cettesetionrappellebrièvementdiversesnotionsd'analysevuesenpremieryleuniversitaire.

Leleteurdésireuxd'approfondiresnotionspourraonsulter [AF88,hapitresXet XI℄.

1.2.1 Ouverts et fermés

Dénition 1.3. Soit

V

^un

K

^{-evnormé équipéd'une norme}

k · k ^V

^.

Ondit qu'unensemble

O ⊂ V

^{est ouvertdans}

V

^si

∀ x ∈ O, ∃ r > 0

^telque

B x (r) ⊂ O,

où

B x (r) = { y ∈ V, k y − x k ^V < r }

^{est laboule ouvertede entre}

x

^{etde rayon}

r

^;

Ondit qu'unensemble

F ⊂ V

^{estfermé dans}

V

^sil'ensemble

V \ F

^{estouvertdans}

V

^.

L'ensemble desouvertsde

V

^{selon la dénition i-dessusestappelé la topologiede}

V

^induitepar

lanorme

k · k ^V

^.

Remarque 1.4. Lorsqu'il n'y apas d'ambiguïté,ondirasimplementqu'un ensemble est ouvert

oufermé,sanspréiserdans

V

^.

Proposition1.5. Soit

V

^un

K

^{-evnormé équipéd'une norme}

k · k ^V

^.Soit

F

^{unfermé dans}

V

^et

soit

(u n ) n ≥ 0

^{une suited'élémentsde}

F

^.Alors,si

(u n ) n ≥ 0

^onvergedans

V

^{,salimiteest dans}

F

^.

Preuve. Leomplémentairede

F

^{étantouvert,lalimitedelasuite}

(u n ) n ≥ 0

^{nepeuts'ytrouver.}

Dénition 1.6. Soit

V

^un

K

^{-ev normé équipé d'une norme}

k · k ^V

^et

A

^{unensemble inlusdans}

V

^{. Ondénit l'adhérene del'ensemble}

A

^dans

V

^{eton note}

A ^V

^{l'ensemble des pointsde}

V

^qui

sont limitesde pointsde

A

^.

Proposition1.7.

F

^{est fermédans}

V

^{siet seulementsi}

F = F ^V

^.

Preuve. Laisséeenexerie.

Dénition 1.8. Onditqu'un ensemble

A ⊂ V

^estdensedans

V

^si

A ^V = V

^.

1.2.2 Équivalene de normes

Surunespaevetoriel,onpeutonsidérerplusieursnormesetil estlégitime desedemander

si lestopologiesinduites sont lesmêmes. Pourela, nous introduisons lanotiond'équivalenede

normes.

Dénition1.9. Soit

V

^un

K

^{-ev.Onditquedeuxnormes}

k · k ^V,1

^et

k · k ^V,2

^sontéquivalentes sur

V

^{s'ilexiste deuxonstantes}

c 1

^et

c 2

^{stritement positivestellesque}

∀ v ∈ V, c 1 k v k ^V,2 ≤ k v k ^V,1 ≤ c 2 k v k ^V,2 .

^(1.4)

L'importane de la dénition 1.9 provientdu faitque si deux normessontéquivalentes, elles

induisentlamêmetopologie.

Proposition 1.10. Soit

V

^un

K

^{-ev équipé de deux normes} équivalentes

k · k ^V,1

^et

k · k ^V,2

^.Soit

O ⊂ V

^.Alors,

O

^{estouvertpour}

k · k ^V,1

^{sietseulement si}

O

^{estouvertpour}

k · k ^V,2

^.

Preuve. Laisséeenexerie.

Proposition1.11. Si

V

^estun

K

^{-evde dimension nie,touteslesnormessont}équivalentes.

Preuve. Voirexerie1.4.

Contre-exemplesen dimensioninnie.Laproposition1.11nes'étendpasauxespaesveto-

rielsnormésdedimensioninnie.Donnonsquelquesontre-exemples.

Sur

C ⁰ ([0, 1])

^, l'appliation

f 7→ k f k L ¹ = R 1

0 | f (s) | ds

^{dénit bien une norme, mais elle-i}

n'estpaséquivalenteàlanorme

k · k C ⁰ ([0,1])

^.Pluspréisément,onalairementlamajoration

k f k L ¹ ≤ k f k C ⁰ ([0,1])

^pourtout

f ∈ C ⁰ ([0, 1])

^{.Enrevanhe,iln'existepasdeonstante}

c

^telle

que

k f k C ⁰ ([0,1]) ≤ c k f k L ¹

^{(on pourra onsidérerpour tout}

ε > 0

^{, lesfontions}

f ε

^dénies

par

f ε (t) = 1 − t/ε

^pour

t ∈ [0, ε]

^et

f ε (t) = 0

^{sinon(voirgure1.1);esfontionssatisfont}

k f ε k C ⁰ ([0,1]) = 1

^et

k f ε k L ¹ = ε/2

^{) ;}

0 1

1

ε f _ε

Fig.1.1Contre-exemplepourl'équivalenedesnormesendimensioninnie.

k · k ^{C 0 ([a,b])}

^{dénit bien une normesur}

C ¹ ([a, b])

^{maisellen'est pas}équivalente àlanorme

k · k ^{C 1 ([a,b])}

^{.Laonstrutiond'un}ontre-exempleestlaisséeenexerie ; Sur

l ¹

^,l'appliation

k · k ^h : u 7→ k u k ^h = X

i ≥ 0 1 i+1 | u i | ,

dénit unenorme et onalairement

k u k ^h ≤ k u k ^{l 1}

^,

∀ u ∈ l ¹

^{.En revanhe,il n'existe pasde}

onstante

c

^{telle que pourtout}

u ∈ l ¹

^{, onait}

k u k ^{l 1} ≤ c k u k ^h

^{. En eet,en onsidérantpour}

tout entier

N > 0

^{, la suite}

u ^N ∈ l ¹

^{telle que}

u ^N _i = 1

^si

i ≤ N

^{et 0 sinon, on aurait une}

inégalitédelaforme

N ≤ c log N

^ave

c

indépendantde

N

^{,equiest absurde.}

Remarque 1.12. Si

V

^{est un}

K

^{-evnormé et}

F

^{unsous-espaede dimension nie, alors}

F

^est

néessairementfermé.Cen'estplusleassi

F

^{estdedimensioninnie.Àtitrede}ontre-exemple, onpourraonsidérer

C ¹ ([ − 1, 1])

^{ommesous-espaede}

C ⁰ ([ − 1, 1])

^{équipédelanorme}

k·k C ⁰ ([−1,1])

et lafamilledefontions

f ε ∈ C ¹ ([ − 1, 1])

^déniespar

f ε (t) = | t |

^si

| t | ≥ ε

^et

f ε (t) = ^ε ₂ (1 + ( _ε ^t ) ² )

sinon(voirgure1.2).

1

f ε

ε 1

−ε 0

−1

Fig.1.2Illustrationdelaremarque 1.12.

1.2.3 Compaité

Dénition 1.13. Soit

V

^un

K

^{-ev normé. Un ensemble}

A ⊂ V

^{est ompat si de toute suite}

d'éléments de

A

^{on peutextraireune sous-suite}onvergente.

Proposition1.14. Si

A

^{estompat,alors}

A

^{estferméetborné.}

Preuve. Vériationimmédiate.

Proposition1.15. Si

V

^{estdedimensionnie,alors}

A

^{estompatsietseulementsi}

A

^estfermé

et borné.

Preuve. Voirexerie1.5.

Onpeutenfaiténonerunrésultatplusgénéralquisoulignebienladiéreneentreladimension

nie etladimensioninnie(voirparexemple[AF88,p. 582℄ou[Brézis83,p.92℄).

Théorème 1.16. Soit

V

^un

K

^{-ev.Laboule unité (fermée) de}

V

^{est ompate siet seulementsi}

V

^{estde dimension nie.}

1.3 Appliations linéaires ontinues

1.3.1 Dénition et premières propriétés

Dansettesetion,

V

^et

W

^{désignentdeux}

K

^{-evnorméséquipés}respetivementdesnormes

k · k ^V

et

k · k ^W

^.

Proposition1.17. Soit

A

^{une appliation linéairede}

V

^dans

W

^.Lespropositionssuivantessont équivalentes :

(1)

A

^{est ontinue.}

(2)

A

^{est ontinueen}

0

^.

(3) Ilexiste uneonstante

c ∈ R ₊

^telleque

∀ u ∈ V, k Au k ^W ≤ c k u k ^V .

Preuve. Lesimpliations (1)

= ⇒

^{(2) et (3)}

= ⇒

^{(1) sontévidentes.Il nous restedon àprouver}

l'impliation(2)

= ⇒

^(3).Soit

A

^{uneappliationlinéaireontinueen}

0

^.Ilexiste

η > 0

^telquepour

tout

u ∈ B (0, η)

^{,labouleferméedeentre}

0

^etderayon

η

^,onait

k Au − |{z} A0

=0

k ^W ≤ 1.

Soitmaintenant

u ∈ V

^ave

u 6 = 0

^.Leveteur

v = _{k u} ^η _{k V} u

^appartientà

B 0 (η)

^sibienque

k Av k ^W ≤ 1

^,

e qui,parlinéarité,implique(3)ave

c = ¹ _η

^.Enn,l'inégalité dans(3)esttrivialementsatisfaite si

u = 0

^.

Proposition1.18. Soit

A

^{uneappliationlinéairede}

V

^dans

W

^.Supposons

V

^{dedimensionnie.}

Alors,

A

^est néessairement ontinue.

Preuve. Soit

(e 1 , . . . , e d )

^unebasede

V

^.Pourtout

u = P d

i=1 u i e i ∈ V

^,ona

k Au k ^W ≤

X d i=1

| u i | k Ae i k ^W ≤ X d i=1

k Ae i k ^W

! k u k ∞ ,

et ononlut enutilisantl'équivalenedesnormessur

V

^.

Exempleset ontre-exemplesen dimension innie.

L'appliation qui à

f ∈ C ¹ ([a, b])

^assoie

f ^′ ∈ C ⁰ ([a, b])

^{est linéaire ontinue lorsque es}

espaessontéquipésdesnormes

k · k C ¹ ([a,b])

^et

k · k C ⁰ ([a,b])

^.

Cetteappliationn'estpasontinuesi

C ¹ ([a, b])

^{estéquipédelanorme}

| f (a) | + R b

a | f ^′ (s) | ds

(voirexerie1.7).

Plus généralement, d'autres ontre-exemples peuvent être onstruits en onsidérant deux

normes

k · k ^V,1

^et

k · k ^V,2

^quinesontpaséquivalentes.Eneet,laontinuitédel'injetionde

V

^équipéde

k · k ^V,1

^dans

V

^équipéde

k · k ^V,2

^{équivautà l'existened'uneonstante}

c > 0

telleque

∀ u ∈ V

^,

k u k ^V,2 ≤ c k u k ^V,1

^.

Dénition 1.19. L'espae vetoriel des appliations linéaires ontinues de

V

^dans

W

^{est noté}

L (V, W )

^.

Proposition1.20. L'appliation

k · k L (V,W) : L (V, W ) −→ R ₊

A 7−→ k A k L(V,W) = sup ^u∈V

u6=0

kAuk W

k u k V

est unenorme sur

L (V, W )

^.

Preuve. (i)

k A k L (V,W) = 0

^implique

Au = 0

^{pour tout}

u ∈ V

^ave

u 6 = 0

^{. Parailleurs,}

Au = 0

pour

u = 0

^.D'où

A = 0

^.

(ii)Soit

λ ∈ K

^.Ona

k (λA)u k ^W = | λ | k Au k ^W ≤ | λ | k A k L(V,W) k u k ^V ,

d'où ondéduit que

k λA k L (V,W ) ≤ | λ | k A k L (V,W )

^.Pour

λ 6 = 0

^,onadon

k A k L (V,W) = k λ ¹ λA k L (V,W ) ≤ _| λ ¹ | k λA k L (V,W )

sibien que

k λA k L (V,W) = | λ | k A k L (V,W)

^{etl'égalitéest}trivialementsatisfaitesi

λ = 0

^.

(iii)Pour

A

^et

B ∈ L (V, W )

^,ona

k (A + B)u k ^W ≤ k Au k ^W + k Bu k ^W ≤ ( k A k L (V,W) + k B k L (V,W) ) k u k ^V ,

sibien que

k A + B k L(V,W) ≤ k A k L(V,W) + k B k L(V,W)

^.

1.3.2 Dualité

Unaspartiulierimportantd'appliationslinéaires ontinuesentre

K

^{-evnormésesteluioù}

l'espaed'arrivéeest

W = K

^.

Dénition 1.21. Soit

V

^un

K

^{-ev normé.}

L (V, K)

^{est appelé l'espae dual de}

V

^{et estnoté}

V ^′

^.

Unélément

A ∈ V ^′

^{estappelé une formelinéaireontinueet sonationsurunélément}

v ∈ V

^est

notée àl'aidedurohet de dualité

h· , ·i ^{V ′ ,V}

^.

V ^′

^{estéquipéde lanorme anonique}

k A k ^{V ′} = sup

u∈V u6=0

|h A, u i ^{V ′ ,V} | k u k ^V .

Remarque1.22. Lanotionintroduitedansladénition1.21estellededualtopologiquequel'on

distinguedudualalgébriquedanslequellapropriétédeontinuitén'estpasrequise.Endimension

nie, le dual topologique oïnide ave le dual algébrique mais en dimension innie, es deux

notionssontdiérentes.Danse ours,seulelanotiondedualtopologiqueserautilisée.

Exemples.

Soit

[a, b] ⊂ R

^et

c ∈ [a, b]

^. L'appliation qui à

f ∈ C ⁰ ([a, b])

^assoie

f (c)

^{est une forme}

linéaireontinuesur

C ⁰ ([a, b])

^{denorme1 ;}

L'appliationqui à

u ∈ l ^p

^,

1 ≤ p ≤ ∞

^{, assoie}

u 0

^{est une formelinéaireontinuesur}

l ^p

^de

norme1 ;

Soit

1 ≤ p < ∞

^et

p ^′

^{tel que}

¹ _p + _p ¹ ′ = 1

⁽

p ^′ = ∞

^si

p = 1

^{). Soit}

v ∈ l ^{p ′}

^{. Alors,en posant}

pourtout

u ∈ l ^p

^,

h ˜ v , u i ^{(l p ) ′ ,l p} = P

i ≥ 0 u i v i

^{,ondénit une formelinéaireontinue sur}

l ^p

^,i.e.

˜

v ∈ (l ^p ) ^′

^.Deplus,l'appliation

v ∈ l ^{p ′} 7→ ˜ v ∈ (l ^p ) ^′ ,

estlinéaire,bijetiveetisométrique.Cerésultat,dontlapreuvefaitl'objetdel'exerie1.8,

permet defaire l'identiation

(l ^p ) ^′ = l ^{p ′}

^pour

1 ≤ p < ∞

^{. En revanhe,le dual de}

l ^∞

^ne

oïnidepasave

l ¹

^{maisest stritementplusgrandque}

l ¹

^{.En fait,onpeutidentier}

l ¹

^au

dualtopologiquedu

K

^{-evdessuitesde}

K

^{àsupportni,etespaeétantstritementinlus}

dans

l ^∞

^.

Proposition 1.23. Soit

Z

^et

V

^deux

K

^{-ev équipés} respetivement des normes

k · k ^Z

^et

k · k ^V

^.

Supposons que

Z ⊂ V

^{ave injetion ontinue, i.e., qu'il existe}

c i ∈ R ₊

^telleque

∀ z ∈ Z

^,

k z k ^V ≤ c i k z k ^Z

^.Alors,

V ^′ ⊂ Z ^′

^{ave injetion ontinue.}

Preuve. Soit

f ∈ V ^′

^.Considéronsl'appliation

T f : Z → R

^quià

z ∈ Z

^assoie

T f (z) = h f, z i ^{V ′ ,V}

^.

Ilestlairque

T f

^{estlinéaire.Deplus,}

T f

^{est ontinuesur}

Z

^puisque

∀ z ∈ Z, T f (z) = h f, z i ^{V ′ ,V} ≤ k f k ^{V ′} k z k ^V ≤ c i k f k ^{V ′} k z k ^Z .

Paronséquent,

T f ∈ Z ^′

^et

k T f k ^{Z ′} ≤ c i k f k ^{V ′}

^{,equi omplètelapreuve.}

Nousonluons ettesetionavedeux résultatsqui nousservirontparlasuite: lethéorème

deprolongementd'uneformelinéaireetunearatérisationdessous-espaesdenses.Cesrésultats,

dontlapreuvereposesurunthéorèmeprofondd'analyse,lethéorèmedeHahn-Banah,sontadmis

(onpourraonsulter [Brézis83,p. 3et 7℄).

Théorème 1.24. Soit

V

^un

K

^{-ev normé et}

Z

^{un sous-espae vetoriel de}

V

^{. Soit}

z ∈ Z ^′

^une

forme linéaireontinuede norme

k z k ^{Z ′}

^{.Alors, ilexiste}

A ∈ V ^′

^{qui prolonge}

z

^,i.e.

∀ u ∈ Z, h z, u i ^{Z ′ ,Z} = h A, u i ^{V ′ ,V} ,

et telleque

k A k ^{V ′} = k z k ^{Z ′}

^.

Théorème1.25. Soit

V

^un

K

^-evnorméet

Z

^{unsous-espaevetorielde}

V

^{.Sitouteformelinéaire}

ontinue

f ∈ V ^′

^{qui s'annulesur}

Z

^estidentiquement nullesur

V

^,alors

Z

^estdensedans

V

^.

1.3.3 Formes bilinéaires ontinues

Dénition 1.26. Soit

V

^et

W

^deux

K

^{-ev.Une formebilinéaire sur}

V × W

^{est une appliation}

a : V × W → K

^telleque

∀ v ∈ V

^,l'appliation

a(v, · ) : W → K

^{estlinéaire ;}

∀ w ∈ W

^,l'appliation

a( · , w) : V → K

^{est linéaire.}

Dénition 1.27. Soit

V

^et

W

^deux

K

^{-ev.On dit qu'une forme bilinéaire}

a : V × W → K

^est

ontinuesur

V × W

^{s'ilexiste une onstante}

c ∈ R ₊

^telleque

∀ (v, w) ∈ V × W, | a(v, w) | ≤ c k v k ^V k w k ^W .

Onnote

k a k = sup

(v,w)∈V ×W v6=0,w6=0

a(v, w) k v k ^V k w k ^W .

L'intérêtdesformesbilinéairesontinuesestqu'ellesinterviennentfréquemmentdanslaformulation

faible desEDP(f.hapitre9).Danse adre,ilest intéressantdegarderàl'espritqu'uneforme

bilinéaireontinuede

V × W

^{àvaleursdans}

K

^peuts'interpréterommeunélément

A

^de

L (V, W ^′ )

enposant

∀ w ∈ W, h Av, w i ^{W ′ ,W} = a(v, w).

Onvérieaisémentque

Av ∈ W ^′

^{et que}

k A k L (V,W ^′ ) = k a k .

1.4 Exeries

⊲

^{1.1. Montrer} l'inégalitéde Minkowski(1.3). Pour ela,on utiliseralaonavitéde lafontion

f : R ₊ → R

^,

t 7→ (1 + t ^1/p ) ^p

^{qui impliquequepourdes}

λ i ≥ 0

^telsque

P d

i=1 λ i = 1

^{et des}

t i ≥ 0

^,

ona

f X d i=1

λ i t i

!

≥ X d i=1

λ i f (t i ).

⊲

^{1.2. Vérierque}l'appliation

k · k C ^k ([a,b])

^{dénitune normesur}

C ^k ([a, b])

^.

⊲

^{1.3. L'objetdeetexerieestdemontrerqueles}

l ^p

^{sontbiendesespaesvetorielsnormés.}

1. Vérierque

l ^p

^{estunespaevetoriel ;}

2. Soient

1 ≤ p, p ^′ ≤ ∞

^ave

p ¹ + _p ¹ ′ = 1

^et

N

^{unentier positif.Montrer}l'inégalitédeHölder

∀ u, v ∈ R ^N ₊ , X N i=1

u i v i ≤ X N i=1

u ^p _i

! ^1/p _N X

i=1

v ^p _i ^′

! ^{1/p ′}

.

^(1.5)

Indiation : en utilisantla onavité de lafontion

f : R ₊ → R

^,

t 7→ log t

^{, on montrera}

d'abordquepour

u

^et

v

^{réelspositifs,ona}l'inégalitédeYoung(sur

R

⁾

uv ≤ u ^p

p + v ^{p ′}

p ^′ .

^(1.6)

Puis, onsidérant

x

^et

y ∈ R ^N

^{, on appliquera} l'inégalité i-dessus à

u = x i / k x k ^p

^et

v = y i / k y k ^{p ′}

^;

3. Déduirede(1.5)quepour

u ∈ l ^p

^et

v ∈ l ^{p ′}

^{,lasuiteproduit}

uv

déniepar

uv = (u i v i ) i ≥ 0

^est

dans

l ¹

^etquel'ona

k uv k l ¹ ≤ k u k ^{l p} k v k l ^{p ′} ;

^(1.7)

4. Montrerque

k·k

^{satisfaitbien}l'inégalitétriangulaire.Indiation:onpourrautiliserl'inégalité deHölder(1.7)enremarquantquepour

u , v ∈ l ^p

^,

| u + v | ^{p − 1} ∈ l ^{p ′}

^;

5. Déduirel'inégalitédeMinkowski(1.3)del'inégalitédeHölder(1.5).

⊲

^{1.4. L'objetif de et exerie est de montrer que si}

V

^{est un}

K

^{-ev de dimensionnie, alors}

toutes lesnormes sur

V

^sontéquivalentes. Soit

(e 1 , . . . , e d )

^{une base de}

V

^{. Pour}

v ∈ V

^{, on note}

(v 1 , . . . , v d )

^{lesoordonnéesde}

v

^{dansettebase.}

1. Vérierqu'ilsutdemontrerquetouteslesnormesde

V

^sontéquivalentesàlanorme

k · k ∞

donnéepar(1.2) ;

2. Soit

k · k ^V

^{une norme de}

V

^{. De} l'inégalité triangulaire, déduire qu'il existe une onstante

c 2 > 0

^{telle que}

∀ v ∈ V

^,

k v k ^V ≤ c 2 k v k ∞

^;

3. Soit

B _∞

^{labouleunité(fermée)de}

V

^pourlanorme

k·k ∞

^{.Déduiredelaquestionpréédente}

quel'appliation

id : (B _∞ , k · k ∞ ) → (B _∞ , k · k ^V ) v 7→ v,

estontinue ;

4. Enutilisantunargumentdeompaité,montrer qu'ilexisteune onstante

c 1 > 0

^{telle que}

∀ v ∈ V

^,

k v k ∞ ≤ c 1 k v k ^V

^.

⊲

^{1.5. L'objetdeetexerieestdemontrerqu'endimensionnie,toutfermébornéestompat.}

1. Lapremièreétapefaitappelàlanotiondeomplétudequiestintroduitedanslehapitre2.

Enadmettantque

R

^{est omplet,montrerquesur}

R

^{,toutfermébornéest ompat ;}

2. Endéduirequesur

R ^d

^{équipédelanorme}

k · k ∞

^{,toutfermébornéest ompat ;}

3. Conlureenutilisantl'équivalenedesnormesendimensionnie.

⊲

^{1.6. Construireun}ontre-exemplemontrantquelesnormes

k · k C ⁰ ([a,b])

^et

k · k C ¹ ([a,b])

^nesont

paséquivalentessur

C ¹ ([a, b])

^.

⊲

^{1.7. Vérier que} l'appliation

f 7→ | f (0) | + R b

a | f ^′ (s) | ds

^{dénit une norme sur}

C ¹ ([a, b])

^{. En}

s'inspirant de la gure 1.1, onstruire un ontre-exemple montrant que l'appliation qui à

f ∈ C ¹ ([a, b])

^assoie

f ^′ ∈ C ⁰ ([a, b])

^{n'estpasontinuesi}

C ¹ ([a, b])

^{est équipédelanormei-dessuset}

C ⁰ ([a, b])

^{delanormeanonique}

k · k ^{C 0 ([a,b])}

^.

⊲

^{1.8. L'objet deet exerieest de montrer quepour}

1 ≤ p < ∞

^{, onpeutfaire} l'identiation

(l ^p ) ^′ = l ^{p ′}

^où

¹ _p + _p ¹ ′ = 1

^{(on pose}

p ^′ = ∞

^si

p = 1

^). L'identiation se fait par le biais de l'appliation

T : l ^{p ′} → (l ^p ) ^′

v 7→ ˜ v

ave

∀ u ∈ l ^p , h ˜ v , u i (l ^p ) ^′ ,l ^p = P

i ≥ 0 u i v i .

1. On ommene par traiterle as

1 < p < ∞

^{. Montrer que} l'appliation

T

^{est bien dénie.}

Indiation:en utilisantl'inégalitéde Hölder(1.7),montrerquesi

u ∈ l ^p

^et

v ∈ l ^{p ′}

^{, lasérie}

P

i≥0 u i v i

^{estabsolument}onvergente.Endéduireque

T ( v ) ∈ (l ^p ) ^′

^ave

k T ( v ) k (l ^p ) ^′ ≤ k v k l ^p′

^;

2. Montrerquel'appliation

T

^{estlinéaireet injetive.}

3. Montrerquel'appliation

T

^{estsurjetive.Indiation:soit}

ϕ ∈ (l ^p ) ^′

^{donné.Pourtoutentier}

i ≥ 0

^,poser

e _i = (δ ij ) j ≥ 0

^où

δ ij

^{estlesymboledeKronekeretintroduirelasuite}

v

determe général

v i = ϕ( e _i )

^{. Montrerque}

v ∈ l ^{p ′}

^{et que}

T ( v ) = ϕ

^;

4. Montrer que

T

^{est une isométrie. Indiation: il sut demontrer que}

k v k l ^{p ′} ≤ k T ( v ) k (l ^p ) ^′

^.

Pour ela, se donner une suite

v ∈ l ^{p ′}

^{et onsidérer la suite}

u

de terme général

u i =

| v i | ^{p ′ −1}

^sgn

(v i )

^;

5. Reprendrelesétapespréédentesdansleasoù

p = 1

^et

p ^′ = ∞

^.

⊲

^{1.9. Soit}

u ∈ R ^N

^.Onnote

A

l'opérateurquià

u

assoielasuite

v

determegénéral

v i = ( − 1) ⁱ u i

^.

Montrer que pour

1 ≤ p ≤ ∞

^,

A ∈ L (l ^p , l ^p )

^{et que}

A

^{est de norme1. Reprendrel'exerieave}

l'opérateurqui à

u

assoielasuite

v

determegénéral

v i = u i+1

^.

⊲

^{1.10. Soit}

γ

^{unréelnonnul.Ononsidère}l'opérateur

A

^quià

f ∈ C ⁰ (R)

^assoie

g = Af ∈ C ⁰ (R)

dénie par

g(t) = f (γt)

^pour

t ∈ R

^.Montrerque

A ∈ L (C ⁰ (R), C ⁰ (R))

^etque

A

^{est denorme1.}

Espaes de Banah

Ce hapitre introduit lanotion deomplétude : unespae vetorielnorméest dit omplet si

toutesuitedeCauhyyestonvergente.Detelsespaes,appelésespaesdeBanah,interviendront

fréquemmentdanslasuitedeeoursarilsjouissentdeplusieurspropriétésremarquables.Nous

démontrerons notamment le théorème du point xe de Piard (qui ne s'applique que dans les

espaesdeBanah)etnousdonneronsunpremierexempled'appliationdeethéorèmeenprouvant

l'existeneetl'uniitédelasolutionpouruneertainelassed'équationsdiérentiellesordinaires.

2.1 Dénitions et premiers exemples

Dansettesetion,nousintroduisonslesnotionsdesuitedeCauhy,d'espaeomplet etd'es-

paedeBanah.

2.1.1 Suites de Cauhy

Dénition 2.1. Soit

V

^un

K

^{-ev normé. On dit qu'une suite}

(u n ) n ≥ 0

^{d'éléments de}

V

^{est de}

Cauhysion alapropriétésuivante

∀ ε > 0, ∃ N ≥ 0, ∀ n ≥ N, ∀ p ≥ 0, k u n+p − u n k ^V ≤ ε.

^(2.1)

Proposition2.2. Toutesuiteonvergenteest deCauhy.

Preuve. Conséqueneimmédiatede(2.1).

Proposition2.3. ToutesuitedeCauhy estbornée.

Preuve. Immédiate.

Proposition2.4. Soit

V 1

^et

V 2

^deux

K

^{-ev norméset}

(u n ) _n≥0

^{une suitede Cauhydans}

V 1

^.Soit

f : V 1 → V 2

^{uneappliation}uniformémentontinue.Alors,lasuite

(f (u n )) _n≥0

^{estdeCauhydans}

V 2

^.

2.1.2 Espaes omplets

La réiproque de la proposition 2.2 n'étant pas vraie d'une façon générale, ela motive la

dénition suivante.

Dénition 2.5. Un

K

^-ev

V

^{est dit omplet pour lanorme}

k · k ^V

^{si toute suite de Cauhy est}

onvergente.Un

K

^{-ev ompletpoursa normeest appelé unespaedeBanah.}

Proposition2.6. Soit

V

^un

K

^{-evéquipédedeuxnormes}équivalentes

k · k ^V,1

^et

k · k ^V,2

^.Alors,

V

est ompletpourla norme

k · k ^V,1

^{sietseulement siilest ompletpour lanorme}

k · k ^V,2

^.

Preuve. Supposons

V

^{omplet pour la norme}

k · k ^V,1

^{. Soit}

(u n ) n ≥ 0

^{une suite de Cauhy dans}

V

^{pour lanorme}

k · k ^V,2

^{. De} l'inégalité

k v k ^V,1 ≤ c 2 k v k ^V,2

^{, nous déduisons que}

(u n ) n ≥ 0

^{est une}

suite de Cauhy pour la norme

k · k ^V,1

^{. Elle est don onvergente par hypothèse. De} l'inégalité

k v k ^V,2 ≤ c 1 k v k ^V,1

^{,nousdéduisons qu'elleonvergeégalementpourlanorme}

k · k ^V,2

^.

L'étudedesespaesompletsesttrèssimpleendimensionnie,puisque nousavonslerésultat

suivant.

Proposition2.7. Toutespae vetorielnormé de dimension nieestomplet.

Preuve. (i)Nousadmettonsque

R

^{estomplet,propriétéquirésultedelaonstrutionde}

R

^(voir

parexemple[AF 88,hapitreI℄).

(ii)Considéronsmaintenantun

R

^{-evdedimensionnie}

d

^.Soit

(u n ) n ≥ 0

^{unesuitedeCauhydans}

etespae.Notons

(u n,1 , . . . , u n,d )

^{lesomposantesde}

u n

^{dansunebasedonnée.Touteslesnormes}

étant équivalentes endimension nie d'aprèsla proposition 1.11,nous pouvonsutiliser lanorme

k · k ∞

^{et en déduire quepourtout}

i

^,

1 ≤ i ≤ d

^{, les}

(u n,i ) n ≥ 0

^{sontdes suitesdeCauhy dans}

R

^.

Ces suitessontdononvergentes versune limite

l i

^,

1 ≤ i ≤ d

^{, etil estimmédiat deprouverque}

(u n ) n ≥ 0

^onvergevers

(l 1 , . . . , l d )

^.

(iii)Leasd'un

C

^{-evsetraitedemanièreidentiquegrâeaufaitque}

C

^estun

R

^{-evdedimension}

deux.

Remarque2.8. Dufaitdurésultatpréédent,l'expressionespaedeBanahnes'emploieguère

en dimensionnie.Elle est pluttréservéeàla dimensioninnieoù lanotionde omplétudeest

plusrihe.

Donnonsdeux exemplespuisunontre-exempled'espaesdeBanah.

Proposition2.9. Pour

1 ≤ p ≤ ∞

^,

l ^p

^{équipéde la norme}

k · k ^{l p}

^{estunespaede Banah.}

Preuve. Voirexerie2.1.

Proposition2.10.

C ⁰ ([a, b])

^{équipéde la norme}

k · k ^{C 0 ([a,b])}

^{estunespaede Banah.}