Statistique et théorie de la décision

R EVUE DE STATISTIQUE APPLIQUÉE

G. M ^ORLAT

Statistique et théorie de la décision

Revue de statistique appliquée, tome 12, n

^o

2 (1964), p. 5-13

<

http://www.numdam.org/item?id=RSA_1964__12_2_5_0

>

© Société française de statistique, 1964, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Revue de statistique appliquée » (

http://www.

sfds.asso.fr/publicat/rsa.htm

) implique l’accord avec les conditions générales d’uti- lisation (

http://www.numdam.org/conditions

). Toute utilisation commerciale ou im- pression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou im- pression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

5

STATISTIQUE ^ET THÉORIE ^{DE LA} DÉCISION

G. MORLAT Ingénieur

^à

l’E.D.F.

Dans l’ensemble de cette session sur la

statistique, ^à côté d’exposés,

^dont vous avez entendu un certain nombre ce ma - tin et dont d’autres vous seront

présentés

^cet

après - midi

^et

demain

matin, exposés portant

^{sur des}

pro~rès

^{dans les}

appl ica-

tions

à t’h~droto~ie

^et

^à l’hydraulique

^des

techniques

^{statis -}

t i ques,

il est apparu

i ntéressant à

Y. GIBRAT de

fai re

^une

place

tK7Mes, ~ est opparM ~teresso~ta~.G’7M~yde ^m’a demandé de

o ~o

~et/ïodo~o~te stattstK/Me

^e~

ge~eraZ

et ~ ~’a de/~a~de de

faire

^le

point (bien partiellement,

^{car il} n’est pas

possible

de

fai re

^un

exposé exhaut i f

^sur

l’évolution

de la

méthode)

^des

idées fondamentales

^{de la}

statistique.

^Je pense, ^en

effet,

que

c’est

utile parce

qu’ il n’y

^a

probablement

pas

beaucoup d’exemples

de

disciplines

^{dont les}

acceptions

^dans les diverses

techniques

soient aussi diverses que le ^sont les diverses

acceptions

^{de la}

statistique.

L’expansion considérable

de la

statistique,

^{au cours des}

dernières

dix ou

quinze années, expansion qui

^a

fai t

^connaître

à

ces

méthodes

les

succès

_que vous savez dans les domaines et les

techniques

^les

plus variés,

^a

peut-être

un peu

fait

^oublier

des

efforts

^de

réflexion portant

^{sur les bases}

logiques,

^{sur la}

théorie même,

^induction

statistique

^{comme on}

dit, c’est-à-dir e

les

principes

^de raisonnement

qui

^sont

^à

^la

^base

^des

^méthodes statistiques,

^{et il est sans doute}

utile, même

pour ^des

prati- ciens, d’être

tenus au courant de ces travaux.

Même si les

statisticiens, qui

^sont gens

raisonnables,

^s’en

plaignent rarement,

^la

statistique

^{est une}

discipline

^{bien mal}

nommée,

^{et de ce}

fait, parfois

mal renommée. Combien de nos

contemporains pensent

^en-

core, ^{avec un} personnage ^de

Labiche,

que ^le métier du statisticien ^con- siste à

compter

^le nombre de

sexagénaires qui

traversent le Pont Neuf

un dimanche

après-midi.

Il est bien vrai que le rôle de la

statistique,

^il y ^{a un} siècle ou

deux,

^{c’était de}

compter

les choses.

"Science,

^dit

Littré, qui

^a pour but ^de faire connaître

l’étendue,

^la

population,

^les ressources

agricoles

^et industrielles d’un Etat... Les éco-

Revue de Statistique Appliquée. 1964 - Vol. XII ^- N’ 2

6

nomistes ont créé un mot pour

désigner

la science de cette

partie

^de l’économie

politique

-les dénombrements- et

l’appellent statistique".

Cette vocation de

compter

^les

choses,

^{dont on}

pouvait

^se gausser

au siècle

dernier,

^{a revêtu}

quelque noblesse, depuis qu’on

^{a reconnu}

combien elle est essentielle à la bonne marche des

systèmes économiques,

et donc des sociétés humaines.

D’ailleurs,

si les Incas

prenaient

^{très au}

sérieux,

^avec

raison,

^ceux de leurs fonctionnaires

qui

^étaient

chargés

^de

faire des noeuds sur des ficelles de couleurs

diverses,

^{tenant ainsi à}

jour

^les

statistiques

vitales de leur Etat -comment ^nos

contemporains

n’auraient-ils pas de la considération pour des hommes

qui disposent

maintenant de machines à calculer

électroniques, puissantes

^et

coûteuses, qui

^{savent avec une bonne}

précision

^de

quoi

^sont faites la

population

^et

la

production

de leur pays ^et

qui peuvent fournir,

^sur

demande,

^au gou-

vernement,

des chiffres pour éclairer ^ses décisions ?

Nous devons donc constater que la

statistique,

^{au sens de}

Littré,

a connu au cours des dernières décennies une

promotion considérable,

^et

cela suffirait à en faire une

discipline

pour l’honnête homme. Mais ^en même

temps

^{le terme de}

statistique

^a

progressivement désigné

^{un do-}

maine d’activité intellectuelle infiniment

plus vaste,

^{et c’est de cette évo-} lution là que

je

^veux

parler.

La

première phrase

d’un traité élémentaire de

statistique, publié

il y ^a

quelques

^{années aux}

Etats-Unis,

^est celle-ci :

"La statistique

^est

un ensemble de méthodes pour

prendre

des décisions raisonnables en

pré-

sence

d’incertitudes".

Comme toutes les décisions humaines sont

prises

en face

d’incertitudes,

^{cette modeste}

phrase indique

donc que la statis-

tique,

c’est la méthode pour

prendre

^des décisions. Nous voici assez loin de la science des dénombrements. Par

quel

^{chemin la}

statistique

^-sans

changer

^son

étiquette,

^{ce en}

quoi

^{elle a}

peut

^{être eu}

tort, puisque

^c’est

source de

malentendus,

^{mais il est}

trop

^{tard de toute}

façon

pour y ^reve- nir- par

quel

^chemin a-t-elle pu passer des dénombrements à la théorie des Décisions ? C’est ^ce que nous nous proposons ici de ^{mettre en} lu-

mière,

^en

retraçant

sommairement les

étapes

par

lesquelles

^{la méthode}

statistique

^a

progressé ;

^{nous n’aurons}

guère

le souci de

respecter

l’ordre

historique

^{de cette}

évolution,

mais seulement de montrer comment

s’enchainent,

d’une manière toute

naturelle,

les diverses

conceptions

^de

la

statistique qui

^{vont de la}

"comptabilité

^des

choses"

à la

logique

^des

décisions.

Les

premières étapes

^{sont les mieux connues.} Pour rendre com-

modes les

dénombrements,

^et pour

présenter

leurs résultats sous forme succincte et

maniable,

^{on a} l’habitude de calculer des moyennes ^{et des} écarts moyens, d’établir des

polygones

^de

fréquence,

^{ou des}

histogrammes,

des

fibrogrammes,

des courbes d’observations

classées,

^et

quelques

^autres

représentations

commodes. La manière d’établir des tableaux à double entrée -ou

davantage-

^les

graphiques représentant

^les variations d’un

phé-

Revue de Statistique Appfiquée. 1964 - Vol. XII ^- N’ 2

7

nomène selon les valeurs d’un

autre,

^le

concept

^de

régression,

^{et le cal-}

cul des courbes de

régression

par la méthode des moindres

carrés,

^la

définition et le mode de calcul des divers indices de liaison entre des séries

d’observations,

tels le coefficient de

corrélation,

^{le carré} moyen de

contingence,

^et

beaucoup

^{d’autres -tout} cela fait

partie

de la statis-

tique descriptive ;

^{c’est l’art et} la méthode pour

manier ;

décrire et ré-

sumer des observations nombreuses. Mais

lorsqu’il s’agit d’interpréter- lorsqu’on

^se

demande,

par

exemple,

si deux séries d’observations

peuvent

^être

regardées

^comme

homogènes - ou

^{si tel}

phénomène dépend

de tel autre- les recettes de la

statistique descriptive

^{ne nous}

permettent guère

^{de fonder} des raisonnements solides. Il

faut,

pour de telles inter-

prétations,

^faire

appel

^{à des}

modèles,

^et les modèles convenables sont fournis par le calcul des

probabilités.

Est-ce suffisant ? Le calcul des

probabilités,

^{au sens strict} nous

apprend

par

exemple

^{comment on}

peut tirer,

d’un modèle

probabiliste donné,

la loi de

probabilité

de la moyenne d’une série d’observations.

Cela éclaire

grandement

^la

situation,

mais le statisticien

voudrait,

^con-

naissant des

observations,

^et

ayant quelque

^{idée sur} les modèles con-

venables, préciser

^{ces modèles ou} les mettre à

l’épreuve :

^{il veut in-}

duire et non pas déduire. Voilà

pourquoi

le calcul des

probabilités

^n’est

pas

suffisant,

^et

pourquoi

^{il a} fallu élaborer une discipline

nouvelle

étroitement fondée sur le calcul des

probabilités,

^mais

parfaitement

^ori-

ginale cependant,

par les

problèmes qu’elle aborde,

^et par ^son

objet pré- cis, qui

^est de formaliser

l’induction,

^{et de} fournir le modèle de ce que l’observation nous

apprend

des modèles. Cette nouvelle

discipline

^{a con-}

tinué à

s’appeler statistique

^-ou pour être

plus précis,

^on la dénomme

statistique mathématique.

.

On convient

généralement

de considérer que la

première pierre

^de

la

statistique mathématique

^fut

posée

par Karl

Pearson,

^{avec son célèbre} mémoire de 1900 dans le

Philosophical Magazine :

^{"On the} criterion that

a

given system

of deviations from the

probable

^{in the case of a corre-} lated

system

of variables is such that it can be

reasonably supposed

^{to have}

arisen from random

sampling".

^En

réalité,

^le

problème

de l’induction

statistique

avait été bien vu

depuis

^fort

longtemps,

^et le Révérend Thomas

Bayes

avait écrit un mémoire,

publié après

^sa mort, ^en 1764 dans les Phi-

losophical

Transactions

-"An

_essay towards

solving

^a

problem

^{in the doc-}

trine of

chances"-

où il

proposait

^{une solution}

générale

^{à ce}

problème.

Mais la

"formule

de

Bayes"

^-dont

C ondorc et, Laplace

^et

beaucoup

^d’autres

usèrent et abusèrent

parfois- pouvait paraître

^bien arbitraire. Au début de ce siècle il semblait souhaitable d’établir la

statistique mathématique

comme une

discipline indépendante

d’éléments

subjectifs

^ou

arbitraires,

comme les

probabilités

^a

priori

^de

Bayes

^{-et il est assez}

plaisant

^de

constater que c’est ^en

s’assignant

^{un tel}

but,

que ^{nous savons}

aujourd’hui

littéralement

insensé,

que de

grands

statisticiens tels que Karl

Pearson,

Sir Ronald A.

Fisher, Jerzy Neyman (pour

^ne citer que les ^noms les

plus justement célèbres)

^ont pu ^en effet échafauder ^les

principaux

^cha-

pitres

^{de la}

statistique mathématique,

^{et donner à cette science une im-}

pulsion

^telle

qu’elle

^{a connu, au cours} des dernières

décennies,

^d’im-

menses succès

théoriques

^et

pratiques,

^et

qu’elle

^{est devenue}

indispen-

sable dans la

plupart

des domaines d’activités

scientifiques.

Revue de Statistique Appliquée. 1964 - Vol. XII ^- N’ 2

8

Mais les différents problèmes de la statistique mathématique-esti- mation des

paramètres,

^tests

d’hypothèses, analyse

^{de la}

variance, plans d’expériences, statistiques d’ordre,

^etc.

-pouvaient apparaître

^{comme une} collection de problèmes ayant ^{certes en commun ce trait} fondamental d’im-

pliquer

^une

induction,

des observations au

modèle,

^mais pour le reste assez différents entre eux, et presque

hétéroclites,

^{en ce}

qui

^concerne leurs formalisations

respectives.

^{Il a} fallu attendre l’oeuvre d’Abraham Wald pour voir ^se réaliser l’unité de la

statistique mathématique,

^sous

la forme de la Théorie des Fonctions de Décision

statistiques,

^{dont les}

divers

chapitres

que nous avons énumérés à l’instant

apparaissent

^comme

des cas

particuliers.

^{C’est une}

étape

^un peu moins

généralement

connue, et nous nous y arrêterons un

instant,

pour décrire d’une

façon

^sommaire

la Théorie

proposée

par Wald. L’intérêt ^est double à nos yeux : ^montrer l’unité des

problèmes

^{de la}

statistique mathématique

et mettre en lumière la nécessité de fondements

logiques

que l’on ne

peut

^trouver que dans

une autre

théorie,

^{dont nous dirons}

quelques

^{mots in fine.}

Un

problème

statistique comporte ^les éléments formels suivants : L’ensemble des

observations, X,

^est l’ensemble de tous les

"points"

x

qui

constituent tous les résultats d’observations

possibles

^a

priori,

pour le

phénomène

^étudié.

Naturellement,

^x

peut

^{être un}

nombre,

^un vecteur,

une fonction du

temps,

^ou tout autre élément que l’on voudra.

Les diverses lois de

probabilité prises

^en

considération, F,

^forment

un ensemble Q. Ce sont des distributions de

probabilité

^sur

X,

^{et elles}

peuvent

^{être en nombre}

fini,

^ou bien former une famille

paramétrique,

ou être définies de

quelque

^autre

façon.

Le statisticien

doit,

^{au vu des}

observations, prendre

^{une décision.}

Les décisions

possibles

^{d forment un} ensemble D. Dans certains cas, ^on

peut

^{être amené à}

prendre

^en considération le

tirage

^au sort entre

plu-

sieurs

décisions,

^{avec des}

probabilités

^{choisies au}

mieux :

cela

signifie qu’on prend

^en considération l’ensemble

D

des distributions de

probabi-

lité sur D. ^Du

point

^{de vue}

qui

^nous occupe

ici,

cela constitue un détail

technique,

^{dont nous ne nous} encombrerons

guère

par la suite.

Le

problème posé

^est de choisir une décision d

chaque

^fois

qu’on disposera

d’observations _x, c’est-à-dire de choisir une manière de faire

correspondre

^{un d à} tout x ; ^en d’autres

termes,

^nous devons

envisager

les

applications

^{de X} dans D. Une telle

application, Õ,

^{constitue ce} que Wald

appelle

^une fonction de

décision,

^{et nous} noterons A l’ensemble des fonctions de décision 6 .

Maintenant,

^{en vertu de}

quelles

considérations

peut-on

être amené à

choisir,

^une fonction de décision

plutôt qu’une

autre ? Si l’on

prend

une décision

d,

alors que la loi

qui représente

^{le mieux le}

phénomène

étudié -ce que ^nous

appellerons

conventionnellement la

"vraie"

loi- est

F,

alors on encourt certains

avantages

^{et certains}

désagréments. Admettons,

avec

Wald,

que ^ces

conséquences peuvent

^être

représentées

valablement par ^un

nombre,

que ^nous

appellerons

^la

"perte",

^{ce nombre est donc une}

fonction de F et de

d,

que ^nous

représenterons

par

Revue de Statistique Appliquée. 1964 - Vol. XII ^- N’ 2

9

W

(F , d) (fonction

^de

perte)

Dans certains

problèmes

de contrôle des

fabrications,

^ce

concept peut

être rattaché à une

perte

^{au sens}

ordinaire,

^{chiffrée en}

argent (ce

sera

quelque

^{chose comme}

l’espérance

des divers coûts actualisées ré- sultant d’une décision de

rejet

^ou

d’acceptation

d’un lot de

fabrication).

Mais dans la

plupart

des

problèmes statistiques,

il faut admettre que la fonction de

perte représente, forfaitairement,

^des inconvénients de toute nature ; ^on verra

plus

^loin

qu’il

suffit de lui attribuer des formes extrê- mement

simples

pour retrouver et dans une certaine mesure

justifier

^les

techniques classiques

^{de la}

statistique.

On doit

choisir,

avons-nous

dit,

^non pas ^une

décision,

^{mais une}

fonction de décision : la fonction de

perte

^n’est

qu’un intermédiaire,

^et l’on attachera à toute fonction de décision Ô

l’espérance

^{de la}

perte

^cor-

respondante,

^ce que ^nous écrivons :

et que ^nous

appellerons.

^en

reprenant toujours

^la

terminologie

^de

Wald,

fonction de

risque.

^{Le sens de ce nouveau}

concept peut

être rendu

plus explicite :

^{à une} distribution de

probabilité

^{F sur}

X,

la fonction de déci-

sion, qui

^{est une}

application

^{de X dans}

D,

^{associe une} distribution de

probabilité

^sur

D,

^{et en}

conséquence également

^une distribution de pro- babilité pour ^{W : d’où la}

possibilité

d’en calculer

l’espérance, qu’exprime

bien la formule ci-dessus.

La considération de la fonction de

risque, permet-elle

de choisir

une

règle

de décision ? Ce sera vrai dans des cas

exceptionnels

où il existera une fonction de décision Ô rendant minimum le

risque quel

que soit F. Mais en

général,

^on

peut

s’attendre à ^ce que la

règle

^{de déci-}

sion, qui

minimise le

risque dépende

de F. Avant de

signaler

^comment

on

peut

surmonter cette

difficulté,

illustrons les notions que ^{nous venons}

d’introduire,

^{en examinant}

quelques problèmes statistiques classiques .

On connaft le

problème

de l’estimation d’un

paramètre :

^{la famille}

Q des lois de

probabilité

est par

exemple

^{une famille à un}

paramètre, F (x, e)

^{et on} veut,

d’après

^des

observations, assigner

^{une valeur appro-}

ximative à 8. C’est bien ^un cas

particulier

^des

problèmes

que ^{nous ve-}

nons de décrire. Une décision est constituée par la valeur t

qu’on

^attri-

buera au

paramètre,

^une

règle

de décision n’est pas autre chose

qu’une

fonction t

(x) -

c’est ce

qu’on appelle

^en

statistique mathématique

^{un es-}

timateur.

Supposons

que la fonction de

perte

admise soit

proportionnelle

^au

carré de l’écart entre la valeur vraie du

paramètre

^{et sa} valeur esti- mée :

Alors la fonction de

risque

^{sera, dans le cas} d’un estimateur sans biais :

Revue de Statistique Appliquée. 1964 - Vol. XII ^- N’ 2

10

Minimiser la fonction de

risque,

c’est donc ici rechercher les estima- teurs de variance minimum : on voit comment ^on pourra

justifier

^{la mé-}

thode du maximum de vraisemblance et

quelques

^autres méthodes clas-

siques

d’estimation.

Considérons maintenant un

problème

^de test -et pour

simplifier l’exposé,

^nous admettrons

qu’on

s’intéresse exclusivement à des modèles entièrement déterminés : on veut tester une

hypothèse simple F,

^contre

une alternative

simple,

G. L’ensemble X étant au reste

quelconque,

^Qest

formé des deux lois F et G. L’ensemble des décisions

possibles comporte

aussi deux

éléments,

à savoir :

dl:

^conserver

l’hypothèse

^F

d2: rejeter l’hypothèse

^F

Dès

lors,

^une fonction de décision est

simplement

^une

partition

^de

X en deux sous-ensembles -ou encore c’est la donnée d’une

région

^cri-

tique,

^ou

région

^de

rejet.

Prenons _pour fonction de

perte

la fonction

représentée

par ^{le ta-} bleau ci-dessous :

Autrement

dit,

^la

perte

^{est nulle}

quand

^on

prend

^{une décision cor-}

recte, égale

^{à l’unité}

quand

^{on commet une erreur.} On calcule sans

peine

la fonction de

risque, qui

^{vaut a} pour ^F

et j3

pour

G,

^a

désignant

^{le seuil}

de

signification

^du

test, et (3

^la

probabilité

d’erreur de seconde

espèce.

Là _encore, nous retrouvons tout naturellement des notions

classiques.

Dans

l’exemple

^de l’estimation - et du moins pour la

plupart

^des

formes de lois de

probabilité d’usage

^{courant -} l’estimateur de variance

minimum,

^ou l’estimateur de

Fisher,

^ne

dépend

pas de la valeur du pa- ramètre que l’on cherche à estimer : nous sommes dans ce cas

privi- légié

^{où il existe une} fonction de décision uniformément meilleure _que toutes les autres- cette

proposition

^{étant vraie sans} restriction

lorsqu’il

existe un estimateur

exhaustif,

^et n’étant vraie

qu’asymptotiquement

^dans

d’autres cas.

Nous constatons

qu’il

^{en va tout} différemment dans

l’exemple

^des

tests : même dans les cas les

plus simples,

^il faut choisir un compro- mis entre les deux

risques

^{d’erreurs a}

et P :

^{: on} sait bien

qu’il

^n’existe

pas de ^test

qui

^{rende à la fois a}

et P

^aussi

petits

que

possible.

Revue d. Statistique Appliquée. ^{1964 - Vol.} XII - N’ 2

11

C’est la difficulté

déjà signalée plus

haut : la fonction de

risque

^dé-

pend

^{des deux}

arguments

^{F et} Õ. Il faut décider d’un

principe

^{de choix.}

Wald a

suggéré qu’on pourrait

^{trancher cette} ultime difficulté en

adoptant

^le

principe

du minimax : la fonction de décision ^retenue serait celle

qui

^réalise la condition :

mins

maxF x

(F, ^Õ)

C’est une

règle

^de

prudence extrême,

^et

l’analogie

^{formelle entre}

les

problèmes

^{de la}

statistique

^{et ceux de} la Théorie des Jeux à deux

joueurs

^a pu rendre ^cette

règle

fort séduisante. Mais il convient de ^noter que la

justification

du minimax dans la Théorie des Jeux réside ^essen- tiellement en

ceci,

que le minimax conduit à ^un

point d’équilibre :

^{si l’un}

des

joueurs

s’écarte de la

stratégie optimale,

^{il sera}

pénalisé

^{Dans les}

problèmes statistiques,

^{l’un des}

joueurs

^{est le}

statisticien,

^{l’autre est la}

"nature", qui

^est censée choisir la loi de

probabilité

^F inconnue. On ^ne

peut guère

considérer sérieusement que les intérêts de la nature sont op-

posés

^{à ceux du}

stàtisticien

^-et le minimax

perd

^{de ce} fait toute

espèce

de

justification.

^’

Wald a étudié par ailleurs ^une

catégorie

de fonctions de décision dont il a montré

l’importance :

^{ce sont les} fonctions de décision de

Bayes,

c’est-à-dire celles

qui

^{réalisent une condition du}

type

min~ EE r (F, o)

E étant ^une distribution de

probabilité

^sur

l’ensemble Q

des lois de pro- babilité F

(~

^est

appelée

habituellement "distribution de

probabilité

^a

prio- ri").

^{Wald a} montré que, dans des cas très

généraux,

^les fonctions de décision de

Bayes

^sont les seules fonctions de décision admissibles -c’est- à-dire telles

qu’il

^{n’existe aucune autre} fonction de décision dont le

risque

serait

plus

^{faible pour tout F. Aux} yeux de

Wald,

^il

s’agit

^{là d’une} pro-

priété purement

formelle et la distribution de

probabilité

^à

priori

^n’est

qu’un

élément formel

intermédiaire, permettant

^de sélectionner une classe de fonctions de décision intéressante : c’est que la

statistique

^{était encore} fortement

tournée,

^il y ^{a une} dizaine

d’années,

^vers la recherche de

prin- cipes objectifs.

Aujourd’hui,

^un nombre croissant de statisticiens admettent que la recherche d’un

principe

^{de choix}

objectif

^est vaine. Les

problèmes

^de

décisions

statistiques

^dont nous venons

d’esquisser

sommairement les ^con-

tours,

^{entrent dans la}

catégorie

^des

problèmes

^{de décision en} face d’in-

certitudes,

^et la Théorie Générale des Décisions nous

apprend

que des choix cohérents -ou rationnels- la définition

précise

^{de ces}

adjectifs peut

être traduite dans des

postulats

aussi convaincants

qu’on peut

le souhaiter -de tels choix sont nécessairement ceux que l’on commettrait ^en maxi- misant

l’espérance

^d’une fonction d’utilité des

conséquences-

ou, ^ce

qui

revient au

même,

^en minimisant

l’espérance

d’une fonction de

perte

^con- venablement choisie.

L’espérance

doit être

prise

par

rapport

^{à une dis-}

tribution de

probabilité

traduisant tous les éléments d’incertitude sur les-

quels

n’influe pas la décision du statisticien -et ^en

particulier

^des pro- babilités doivent être affectées aux éléments de l’ensemble Q des modèles.

Revue de Statistique Appliquée. 1964 - Vol. XII ^- N’ 2

12

C’est dire que la seule

façon

^{de donner un fondement}

logique

^solide

à la

statistique,

semble bien être de considérer _{que les} distributions a

priori ~

^doivent

représenter

^{un certain}

degré

^de

connaissance,

^{ou de con-}

fiance, préalable,

^à

l’égard

^{des diverses lois F.}

Cela,

^{c’est en}

quelque

^{sorte le droit le}

plus général.

^{Dans la} pra-

tique

faut-il recommander de traduire

toujours

^les connaissances a

priori

par ^une distribution de

probabilité,

^et considérer _{que tous} les efforts de la

statistique classique

^-celle

qu’on appelait

moderne il _y a dix ans-

doivent être

passés

par

pertes

^et

profits ?

Certains n’hésitent _{pas à} l’af- firmer.

Personnellement,

^{nous admettons sans} réserve que la Théorie Gé- nérale des

Décisions,

^{ou encore} Théorie de la

Probabilité-Utilité,

^cons-

titue le seul modèle

logique

valable. Mais le choix effectif des

probabi-

lités a

priori

éveille dans

beaucoup

de situations

pratiques

^des

scrupules

trop ^vifs pour

qu’on puisse

penser

qu’ils

^sont dénués de fondement. Il convient de

juger

^en connaissance de cause, et dans

chaque

^cas

particu- lier, quels

inconvénients

pèsent

^le

plus lourd,

^{de ceux} d’un choix hasar- deux des

probabilités

^a

priori,

^{et de ceux d’une}

règle

^{de choix conven-}

tionnelle, permettant

^{de s’en} passer.

Heureusement,

^{dans les}

problèmes

les

plus

^{courants de la}

statistique,

^on peut reconnaître _que ce dilemne est facilement tranché. Nous avons eu l’occasion de constater que le pro- blème de l’estimation des

paramètres

^donne

lieu,

^sous certaines condi-

tions,

^{à une}

règle

de décision

optimale

évidente. On

peut montrer,

^d’autre

part,

que dans

beaucoup

^de

problèmes

^de

tests,

^des

hypothèses

^très

géné-

ralement raisonnables concernant à la fois les

probabilités

^a

priori

^des

diverses

hypothèses

^et les coûts des diverses erreurs,

permettent

^de

jus-

tifier les méthodes

classiques

^-en montrant que la

règle, optimale,

^au

sens de la Théorie des

Décisions,

^{s’écarte assez} peu de la convention

courante, qui

consiste à choisir des tests

ayant

^un niveau de

signification

faible. Bien

entendu,

^cette

propriété

n’est nullement

générale,

^{c’est une}

des raisons pour

lesquelles,

^{il nous} semble nécessaire que ^les

Ingénieurs,

de même que les autres utilisateurs

possibles

^{de la}

statistique,

^soient

informés des

rapports

^{entre les}

techniques statistiques

^{et la} Théorie de la

Décision ;

nous avons

essayé,

^d’une

façon beaucoup trop

^{succincte sans}

doute,

d’en donner seulement les

grandes lignes.

^{Peut-être e-at-il été bon}

d’esquisser

^avec

plus

^de

précision

^{le contenu de la Théorie} Générale des

Décisions ;

mais ceci est une autre histoire...

NOTE

BIBLIOGRAPHIQUE

A. Wald - Statistical Decision Functions.

Wiley,

^1950.

J. L. SAVAGE - The Foundations of

Statistics. Wiley,

^1954.

Concernant la Théorie Générale des

Décisions,

^on pourra consulter :

Revue de Statistique Appliquée. ^{1964 - Vol.} XII - N’, 2

13

La Décision -

Colloques

Internationaux du

CNRS,

^1961.

R.D. LUCE et H. RAIFFA - Games and Decisions.

Wiley,

^1957.

G. MORLAT - Des Poids et des Choix.

Mathématiques

^et Sciences Hu- maines

n° 3,

^{ou Bulletin}

S.E.D.E.I.S., Futuribles, ^n°

^26.

DISCUSSION (Président :

^M.

MORLAT)

M.

Ferry signale

^une difficulté

supplémentaire

^à

laquelle

M. Morlat ne

semble pas avoir fait allusion : l’arbitraire ^du choix de la fonction de perte. ^Par exemple, ^{dans les} problèmes ^les plus ^courants d’estimation où l’on minimise une somme d’écarts, ^{on choisit la somme} des carrés de préférence ^{à la somme des} valeurs absolues parce que cela présente ^{des facilités}

mathématiques,

^{mais on} peut ^{se demander si la}

première

^méthode peut ^être

logiquement

considérée comme

supérieure ^{à la deuxième.}

M. Morlat fait remarquer

qu’une

présentation

générale

^{de la} théorie des fonctions de décision

statistique

permet de recouvrir les divers cas. Il a cité , dans son exposé,

uniquement l’exemple

^des techniques d’estimation

classiques.

^Mais

il est bien d’accord sur la

suggestion

^{de M.} Ferry : ^il peut y avoir intérêt, ^dans certains cas, ^à remplacer la fonction de perte (t -

9)2

par

quelque

^{autre fonction ;}

si on adopte par exemple pour fonction de perte ^la

quantité

^Prob ( ^{t - e}

c),

^on

retrouvera comme méthode d’estimation la méthode que Pittman avait présentée

en 1935 ou 1937 sous le nom de "closest

estimate".

^On peut ^aussi bien, ^{en choi-} sissant d’autres fonctions de perte, retrouver, ^et

justifier

^{dans une certaine}

mesure, des méthodes d’estimation assez diverses.

La remarque de M. Ferry ^{vient à} point pour

souligner

que, dans certains problèmes, ^on pourra avoir intérêt à s’écarter des solutions

classiques.

Revue de Statistique Appliquée. 1964 - Vol. XII ^- N’ 2