D20013. Encore un triangle baladeur
a) On d´eplace un triangle ABC dans son plan, B et C ´etant assujettis
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a rester respectivement sur deux droites donn´ees E et F. Sauriez-vous montrer que le lieu deAest une ellipse, et en trouver les axes, en ramenant le probl`eme `a la construction classique de l’ellipse par la bande de papier ? b) Utilisez le r´esultat pr´ec´edent pour placer 3 points A, B, C sur 3 droites donn´eesD, E, F respectivement, de mani`ere `a former un triangle de cˆot´es donn´esBC =a, CA=b, AB=c.
Solution
a) La construction de l’ellipse “par la bande de papier” correspond au cas particulier o`u ABC est plat et E et F `a angle droit : prenant E et F comme axes de coordonn´ees,A a pour coordonn´eesACcosϕ, ABsinϕ si ϕest l’angle deE etBC, et on en tire sans peine l’´equation d’une ellipse ayantE etF pour axes.
Pour traiter le cas g´en´eral et le ramener au pr´ec´edent, embarquons comme observateur `a bord du triangle mobile. Du pointO, intersection deEetF, le segmentBC est vu sous l’angle (E, F). Par rapport au triangleABC,O d´ecrit le cercle capable de l’angle (E, F) sur la corde BC; soit I le centre de ce cercle. Le diam`etre AI passant parA recoupe ce cercle enP etQ.
Les angles BOP ,d P OC,d COQd ne d´ependent pas de la position de O, les arcs correspondants n’en d´ependant pas. Il en r´esulte que les droites OP et OQ sont des droites G et H faisant des angles fixes avec E et F, et orthogonales entre elles. Revenant au plan fixe, les droitesGetH sont des droites fixes commeE etF. Le lieu deA s’obtient donc avec une “bande de papier”AP Q et ses axes de sym´etrie sont les droites GetH.
b) Oublions un instant la droite Det astreignons seulement les sommets B etCdu triangle ind´eformableABC `a rester surE etF respectivement.
Alors le lieu deAest une ellipse, comme on vient de le voir. Les solutions du probl`eme sont donn´ees par les intersections de cette ellipse avec D.
Si le triangleABC n’est pas plat, il faut distinguer les deux orientations qu’il peut prendre. Ce sont alors deux ellipses dont les intersections avec Dfournissent des solutions.
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