Cours de Mathématiques financières

Cours de Mathématiques financières

5ème séance

Defouad Rhizlane

Chapitre 2 :

Les intérêts simples et composés

Rappel

On appelle intérêt le loyer que rapporte une certaine somme d’argent, le capital, prêtée pour une certaine durée de temps.

L’intérêt se calcule selon un certain taux, indiqué en pourcentage, précisant l’intérêt à verser par unité de 100 DH du capital pendant un an.

Ø L’intérêt

I

C

ØLa somme à rembourser après une période est :

) i 1 ( C

C

^{= +}

C C

1 période

i

C

I ⁼

a) Intérêts Simples

Dans le système des Intérêts simples :

Ø Les intérêts sont versés à la fin de chacune des périodes de prêt

Ø Le capital initial reste invariable pendant toute la durée du prêt

On emprunte un capital C_o pendant n périodes au taux i par période.

Ø L’intérêt à payer après la première

période est C0i et, puisque c’est le capital de départ C0 qui produit l’intérêt ; l’intérêt à payer après chaque période est C0i

Ø L’intérêt total (ou global) à payer (le coût de l’emprunt) est donc :

(n ^fois)

c’est-à-dire:

Ø La somme totale à rembourser est donc :

i n C

I

) ni 1

( C i

n C

C

C

i C

i C

i

C

⁺

^{+ ... +}

b)

Intérêts Composés

Définition

Un capital est placé à intérêts composés, lorsque, à la fin de chaque période convenue comme unité de temps, l’intérêt produit est ajouté au capital de façon à constituer un nouveau capital amenant des intérêts à la fin de la période suivante.

Ø En intérêts composés, les intérêts sont ajoutés au capital. On dit qu’ils sont capitalisés à la fin de chaque période

Ø La capitalisation des intérêts est généralement annuelle mais elle peut être semestrielle, trimestrielle, mensuelle ou autre (selon la période)

C₀ C₁ C₂ C_n-1 C_n

0 1 2 n-1 n i

C₀ C₁ C₂ C_n-1 C_n

0 1 2 n-1 n i

Valeur définitive ( ^ou valeur acquise)

1) La durée de placement est un nombre entier de périodes :

Si on désigne par :

Ø C₀ : le capital initial

Ø n : le nombre de périodes

Ø i : taux d’intérêt par ^DH et par période

Ø C_n : le capital « définitif » acquis à la fin de la n^ème période

Valeur définitive (

valeur acquise)

Ø La formule générale de la valeur définitive ou acquise à intérêts composés est :

Ø L’intérêt total ( ou global) à payer (le coût de l’emprunt) est :

) n

i 1 ( C

C

⁼

) 1 )

i 1 ((

C C

) i 1 ( C

I

⁼

^{n -}

⁼

^{n -}

Exercices récapitulatifs

• Trois capitaux en progression arithmétique sont placés à intérêts simples. Le premier pendant 12 mois, le second pendant 8 mois et le troisième pendant 6 mois.

• Calculer ces trois capitaux sachant que leur somme est égale à 90 000 dirhams et que les trois placements sont effectués au même taux d’intérêt et ont rapporté le même intérêt global. (la méthode à suivre pour la résolution est dans la diapositive suivante)

Méthode de résolution

1- Bien lire et relire son énoncé

2- Essayer de traduire chaque phrase en une équation 3- Utiliser les formules adéquates du cours (les formules qui contiennent les variables recherchées)

À titre d’exemple :

« Trois capitaux en progression arithmétique sont placés à intérêts simples. » :

- C₁, C₂ et C₃ sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique. C₂ = C₁ + r et C₃ = C₂ + r

- Le système est d’intérêts simples : I = C*i*n

« Le premier pendant 12 mois, » : I₁ = C₁*i₁*n₁ = C₁*i₁*(12/12)

« le second pendant 8 mois, » : I₂ = C₂*i₂*n₂ = C₂*i₂*(8/12)

« le troisième pendant 6 mois. » : I₃ = C₃*i₃*n₃ = C₃*i₃*(6/12)

« leur somme est égale à 90 000 dirhams » : C₁ + C₂ + C₃ = 90 000

« les trois placements sont effectués au même taux d’intérêt » :

i₁ = i₂ = i₃ = i

« ont rapporté le même intérêt global. » : I₁ = I₂ = I₃

Récapitulons :

C₂ = C₁ + r et C₃ = C₂ + r

I₁ = C₁*i₁*n₁ = C₁*i₁*(12/12) I₂ = C₂*i₂*n₂ = C₂*i₂*(8/12) I₃ = C₃*i₃*n₃ = C₃*i₃*(6/12) C₁ + C₂ + C₃ = 90 000

i₁ = i₂ = i₃ = i (on remplace dorénavant i_1, i₂ et i₃ par i)

I₁ = I₂ = I₃

Voilà donc la traduction de notre énoncé en équations

Nous voulons trouver la valeur des trois capitaux C₁, C₂ et C₃. Donc on a besoin de 3 équations :

C₁ + C₂ + C₃ = 90 000 (équation 1)

I₁ = I₂ (équation 2)

I₂ = I₃ (équation 3)

On remplace chaque terme par sa formule :

(équation 1) => (C₂ – r) + C₂ + (C₂ + r) = 90 000

=> 3*C₂ = 90 000

=> C₂ = 30 000

(équation 2) => C₁*i*(12/12) = C₂*i*(8/12)

=> C₁ = C₂ * (8/12)

=> C₁ = 20 000

(équation 3) => C₃*i*(6/12) = C₂*i*(8/12)

=> C₃ = C₂ * (8/6)

=> C₃ = 40 000

NB :Si nous devons calculer la somme de plusieurs termes (C₁, C₂, C₃,…), il faut utiliser la formule de la somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique à savoir :

2

) u

u n (

u u

u

u

n p

1 p

= + +

+ +

å

Exercice 2

• Un capital de 10000 est placé à intérêts composés pendant 9ans et 9mois aux conditions suivantes:

• 12% les cinq premières années

• 14% les sept semestres suivants

• 9% le reste du temps

• Calculer la valeur acquise par ce capital en fin de placement.

Corrigé

C₅ le valeur acquise à la fin des 5 premières années : On applique la formule du cours :

Donc C₅ = 10 000 * (1 + 0,12)⁵ = 17 623,42

Sachant qu’un semestre équivaut à la moitié d’une année, alors sept semestres représentent trois ans et demi. Càd 3,5ans.

Donc à la fin des sept semestres suivants, on aura comme valeur acquise :

C₅ * (1 + 0,14)^3,5 = 27 877,71

De la même manière, on calcule la valeur acquise définitive acquise à la fin du placement :

Calculons d’abord la durée restante :

(9ans et 9mois) – (5ans + 3,5ans) = 1ans et 3mois 3mois = 0,25année donc il reste 1,25an, ce qui donne :

27 877,71 * (1 + 0,09)^1,25 = 31 048,47

)

i 1 ( C

C

Taux proportionnels

Deux taux sont proportionnels lorsque leur rapport est égal au rapport des durées de leurs périodes respectives.

En intérêts simples, deux taux proportionnels produisent sur un même capital les mêmes intérêts au bout du même temps

(Pour le calcul de la valeur acquise à Intérêts Simples):

Ø Le taux proportionnel au taux

i

k

) k i 1 ( C )

ki 1

(

C i

k

k ₀

i

0 + = +

Û

0 1 2 « k sous-périodes » k

1 période

1- Quel est le taux semestriel proportionnel au taux annuel de 10% ?

i_k = i / k avec i_k : le taux semestriel i : le taux annuel

k = 2 ( car 1an = 2semestres )

Donc i_k = 10% / 2 = 5%

2- Quel est le taux trimestriel proportionnel au taux annuel de 10% ?

i_k = i / k avec i_k : le taux trimestriel i : le taux annuel

k = 4 ( car 1an = 4trimestres )

Donc i_k = 10% / 4 = 2,5%

3- Quel est le taux mensuel proportionnel au taux annuel de 24% ?

i_k = i / k avec i_k : le taux mensuel i : le taux annuel

k = 12 ( car 1an = 12mois)

Donc i_k = 24% / 12 = 2%

4- Quel est le taux bimensuel proportionnel au taux annuel de 24% ?

i_k = i / k avec i_k : le taux bimensuel i : le taux annuel

k = 12 ( car 1an = 6 * 2mois)

Donc i_k = 24% / 6 = 4%

Taux équivalents

Deux taux sont équivalents lorsque, à intérêts composés, ils aboutissent pour un même capital, à la même valeur acquise pendant la même durée de placement

(Pour le calcul de la valeur acquise à Intérêts Composés):

Ø Le taux équivalent au taux

i

période divisée en

k

1 )

i 1 ( )

i 1 ( C )

i 1 (

C

Û i

0 1 2 « k sous-périodes » k

1 période

Exemple

Rayane et Oussama placent chacun le même capital C₀ de 10 000 pendant la même période d’une année pour réaliser la même valeur acquise.

Rayane l’a placé à un taux d’intérêt semestriel i_Semestriel de 12% tandis que Oussama l’a placé à un taux d’intérêt annuel i_Annuel équivalent à celui de Rayane.

1- Calculer à quel taux Oussama a placé son capital.

- Solution :

On utilise la formule : (diapositive précédente)

C₀(1 + i_k)^k = C₀(1 + i)

1 année = 2 semestres donc k = 2 i_k = i_Semestriel et i = i_Annuel

C₀(1 + i_k)^k = C₀(1 + i) => (1 + i_k)^k = 1 + i

=> (1 + i_k)^k - 1 = i

=> i = (1 + i_k)^k – 1 Application numérique :

I = (1 + 0,12)² – 1 = 0,2544 = 25,44%

2- Calculer la valeur acquise :

C = C₀(1 + i_k)^k = C₀(1 + i) = 10 000 * (1 + 0,2544) Donc :

C = 12 544

Fin de la séance