Corps des racines

Corps des racines

1

Introduction

Tous les corps considérés dans ce cours seront des corps commutatifs. Soit K un tel corps.

Définition On dit qu’un corps E est une extension du corps K si, et seulement si,

K est un sous-corps de E.

Exemple est une extension de
et de .

Exemple
est une extension de 

2 .

Exemple   

2 est une extension de .

Exemple Le corps KX des fractions rationnelles à une indeterminée sur le corps

K est une extension de K.

Définition On appelle équation polynomiale sur K toute équation de la forme

Px 0, où P est polynôme appartenant à KX.

Le degré de cette équation est le degré du polynôme. Les solutions de cette équa-tion Px 0 sont les racines du polynôme P dans une extension E de K.

Exemple Une équation de degré 1 est de la forme ax b 0 où a K et b K.

Exemple Une équation de degré 2 est de la forme ax2 bx c 0 où a  K,

b K et c K.

Le but de ce cours est de répondre aux deux questions suivantes :

Question 1 : Ayant une équation polynomiale de degré n sur un corps K, est-il possible de trouver une extension E de K, dans laquelle, l’équation possède une solution ?

Question 2 : Dans le cas où l’équation polynomiale Px 0 possède une

solution dans une extension E de K, sous quelles conditions cette solution s’exprime-elle, à partir des coefficients de P, à l’aide des quatre opérations et des radicaux ?

2

Corps des racines

Définition une extension E de K est un corps de rupture pour le polynôme

fX KX sur K si, et seulement si, E contient une racine de f .

Exemple
est un corps de rupture pour X

3

2 sur .

Théorème Si fX est un polynôme irréductible dans KX, alors f possède un

corps de rupture sur K.

Démonstration Soit M l’idéal de KX engendré par le polynôme f . M est un idéal

maximal car KX est un anneau principal et f est irréductible. Si E désigne l’anneau

quotient KX M, alors E est un corps. On peut regarder K comme un sous-corps de E.

Pour voir ça, soit

p; KX 

KX M la surjection canonique. La restriction q de p à K est un

ho-momorphisme non nul car p1 1. Il en résulte que cet homomorphisme est injectif

car son anneau de départ est un corps. On en déduit que K est isomorphe à qK , ce qui

permet d’identifier K et qK. Ainsi E devient une extension de K. Soitα X pX.

En écrivant fX a0 a1X  anX n nous obtenons fα a0 a1α  anα n qa0 qa1 pX  qan pX n pa0 pa1 pX  pan pX  n pa0 a1X  anX n  p f 0

Donc E est une extension de K contenant la racineαde f .

Corollaire Tout polynôme fX KX possède un corps de rupture sur K.

Démonstration En effet, tout polynôme f  KX se décompose en produit de

po-lynômes irréductibles.

Définition Une extension E de K est un corps de décomposition pour un poly-nôme f sur K si, et seulement si, f peut être scindé dans EX c.d. il peut être

décom-posé en produit de polynômes linéaires dans EX.

Exemple Le corps est un corps de décomposition sur
pour le polynôme X

2

Exemple Le corps  est un corps de décomposition sur  pour le polynôme

X2

1.

Théorème Tout polynôme f  KX possède un corps de décomposi-tion sur K.

Démonstration On procède par récurrence sur le degré n de f . Si n 1, alors K

est un corps de décomposition pour f sur K. Supposons le théorème vrai pour tout polynôme de degré plus petit que n et démontrons-le pour les polynômes de degré n. D’après le corollaire précédent , il existe une extension E de K contenant une racine

a de f . Le polynôme X

a divise fX dans EX. Nous avons fX !X



a gX

dans EX, avec degg n



1. L’hypothèse de récurrence nous permet de trouver un corps de décomposition F pour gX sur E. On a gX k

i" n ∏ i" 2 X  ai dans FX et f X #X  a gX $X  a k i" n

∏

∏

dans FX où a1 a. Ainsi, F est un corps de décomposition pour f sur K.

Définition Un corps de décomposition minimal pour f sur K est appelé un corps des racines pour f sur K.

Exemple est un corps des racines sur
pour le polynôme X

2

1.

Exemple 





2 est un corps de décomposition sur

 pour le polynôme X

2

2.

3

Adjonction

Définition Soit A est une partie d’une extension E de K. Le sous-corps de E en-gendré par K% A est appelé le corps engendré par A sur K ou le corps obtenu par

l’adjonction de A à K. On dira alors que A est un système de générateurs de KA

sur K.

Notation Le corps engendré par A sur K sera désigné par KA. Si A est fini et si

a1&(')'('(&ansont ses éléments, alors nous écrirons K a1

&('(')'(&an

 à la place de KA .

Exemple Si A /0, alors KA K.

Exemple *
+i.

Remarque Une extension E de K peut avoir plusieurs système de générateurs sur

K : ainsi
, i *
- 1 i.

Théorème Si A et B sont deux parties d’une extension E de K, alors KA% B

Démonstration Tout sous-corps de E qui contient K&A et B contient K

A et B.

Réciproquement, tout sous-corps de de E qui contient KA et B contient K

&A et B.Il

en résulte que la famille de tous les sous-corps de E contenant K, A et B est égale à celle de tous les sous-corps de E qui contiennent KA et B. Ceci prouve que KA% B,

qui est le plus petit élément de la première famille, est égal à KAB, qui est le plus

petit élément de la seconde. Corollaire Ka1

&)'('(')&an

 Ka1 &(')'('(&an. 1

/an.

Théorème Tout polynôme f  KX, possède un corps des racines sur K.

Démonstration Soit E un corps de décomposition pour f sur K. Ce polynôme s’écrit sous la forme

fX k i" n

∏

. Il est facile de voir que S est un corps de

décompo-sition pour f sur K. Ce corps de décompodécompo-sition est minimal car, si R est un corps de décomposition pour f sur K contenu dans S, alors f s’écrit

fX k0 i" n

∏

dans RX. Mais RX1 SX. Il en résulte que f s’écrit de deux manières comme

pro-duit de polynômes linéaires qui sont irréductibles. L’unicité d’une telle décomposition implique k k 0 et 2 a1 &)'('(')&an3 42 b1 &(')'('(&bn3 . D’où R1 S Ka1 &)'('(')&an  Kb1 &('(')'(&bn 51 R

ce qui prouve R S. S est un corps des racines pour f sur K.

Théorème Si E est un corps de décomposition sur K pour le polynôme f X6

KX, alors E contient un corps de racines unique pour f sur K.

Démonstration Si f X k i" n

∏

est la décomposition de f comme produit de facteurs linéaires dans EX, alors a1

&a2&)'(')'(&an

sont les racines de f dans E et R Ka1

&a2&)'('(')&an

 est un corps de racines pour f sur K

comme nous l’avons vu. Si T est un autre corps de racines pour f sur K, alors f s’écrit

f X k0 i" n

∏

∏

∏

L’unicité d’une telle décomposition implique k k 0 et 2 a1 &)'(')'(&an3 42 b1 &(')'(')&bn3

. Ainsi R1 T et R T car T est un corps de décomposition minimal pour f sur K.

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Degré d’une extension

Soit E une extension de K. E peut être muni d’une structure de K-espace vectoriel en définissant la multiplication par un scalaire par

α &x

7  α

x

Définition On appelle degré de l’extension E, la dimension de E en tant que K-espace vectoriel. Ce degré sera notéE : K.

Exemple  :
8 2, 9( 

2 :;:< 2,
:; est infini.

Exemple K : K 1.

Définition Une extension E de K sera dite finie si, et seulement si,E : K est fini.

Elle sera dite infinie dans le cas contraire.

Théorème de la multiplicativité du degré Si E est une extension de K et L est un corps intermédiaire entre K et L, alors

E : K $E : L=L : K

'

Démonstration Soitxi i> I

une base du L-espace vectoriel E et yj j> J

une base du K-espace vectoriel L. Nous allons prouver que xiyj?

i@jAB> IC J

est une base du K-espace vectoriel E.

C’est un système de générateurs : tout x E s’écrit x ∑ i> I

aixioù ai L pour tout

i I. Or tout aipeut s’écrire ai ∑ j> J bi jyj. Nous obtenons x

∑

∑

∑

∑

C’est un système libre : Si ∑ ? i@jAF> IC J bi jxiyj 0 alors

∑

∑

bi jyj 0 pour tout i  I car xi i> I

est une base du

L-espace vectoriel E. Maisyj j> J

est une base du K-espace vectoriel L, d’où bi j 0

pour touti &j

5 IG J.

La famillexiyj ? i@jAB> IC J

étant une base du K-espace vectoriel E, nous avons

E : K dimKE CardIG J CardIG CardJ dimLEG dimKL #E : LHL : K

'

Corollaire Si (Ei)i" 1@III@nest une suite croissante de corps K

E01 E11 '(')'(' 1 En E alors E : K $En: E0 i" n

∏