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CHAPITRE

4

Classification expérimentale des régimes d’ondes de surface

Sommaire

4.1 Etat de base souscritique . . . 74 4.2 Etat de base supercritique . . . 80 4.3 Influence de la forme de l’obstacle . . . 86 4.4 Comparaisons avec les classifications issues des modèles

Il n’existe pas, à notre connaissance, de véritable validation expérimentale des classifications en régimes d’ondes de surface introduits dans le chapitre 2. Les travaux existants (e.g. Lawrence [Law 1987], Long [Lon 1954]) sont en effet limités à quelques points de fonctionnement dans le plan {α, F0}.

Dans ce chapitre, nous présentons une classification des régimes d’écoulements obtenus à partir de mesures expérimentales de la surface libre. Les points de fonctionnement étudiés sont représentés sur la figure (3.2). En outre, ce travail est réalisé pour deux obstacles de forme et de rapport d’aspect différents (un demicylindre, β = 0.58 et une gaussienne, β = 0.23)), afin d’analyser l’influence de la nature de l’obstacle.

Ce chapitre s’organise en quatre parties. La présentation des différents régimes pour un état de base souscritique, puis supercritique, fait l’objet des deux premières. Ensuite, l’influence de l’obstacle est étudiée. Dans la quatrième partie, la classification obtenue expérimentalement est comparée aux résultats issus des modèles asymptotiques. Ces comparaisons aboutissent aux questions auxquelles nous tenterons de répondre dans les chapitres ultérieurs.

4.1

Etat de base souscritique

Dans cette partie, la classification des ondes de surface est établie pour des écoulements dont l’état de base est souscritique (F0 <1). L’obstacle utilisé est le demi-cylindre

L’ensemble des points de fonctionnement accessibles dans la région souscritique (Fig. (3.2)) ont été analysés. Plusieurs comportements distincts ont été observés et sont représentés sur la figure (4.1). Les transitions entre les différents régimes, notée Ti, i = 0 . . . 3, ont été tracées. Le détail des caractéristiques de ces cinq régimes, présenté sur la base d’un exemple représentatif de chacun, fait l’objet des paragraphes suivants.

4.1.1 Régime sa

Dans le régime sa, la surface libre comporte une dépression au voisinage et en aval de l’obstacle (Fig (4.2)). On ne distingue pas d’onde à la surface (Fig. (4.3.a)). De plus, le nombre de Froude local, Fl(x), est partout inférieur à 1 (Fig. (4.3.b)), ce qui montre le caractère souscritique de l’écoulement partout dans le canal.

4.1.2 Régime sb

Lorsque, dans le plan des paramètres {α, F0} (Fig. (4.1)), la transition T0 est franchie, un train d’onde apparaît à l’aval de l’obstacle (Fig. (4.4)). En outre, sur le profil de la surface libre (Fig. (4.5.a)), on peut voir que la dépression est présente à aval de l’obstacle comme dans le régime sa, mais on observe en plus des ondes bidimensionnelles à l’aval. De plus, la figure (4.5.b) montre que l’écoulement demeure souscritique dans tout le canal.

4.1.3 Régime sc

Lorsque la transition, notée T1 sur le plan des paramètres (Fig. (4.1)), est franchie, on observe une modification importante de la surface libre comme le montre la figure (4.6). Un exemple de profil de surface libre dans ce régime est présenté sur la figure (4.7.a). Celui-ci permet d’observer, en amont de l’obstacle, des ondes stationnaires de faible amplitude et en aval, une dépression et un train d’ondes bidimensionnels, comme dans le régime sb. Cependant, les amplitudes de la dépression et des ondes sont beaucoup plus grandes. L’évolution du nombre de Froude local, Fl(x) sur la figure (4.7.b), montre que l’écoulement effectue, à l’aval immédiat de l’obstacle, une

4.1. ETAT DE BASE SOUSCRITIQUE 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 F 0 α Frontières observées entre les régimes

T 1 T 2 T 3 T 0

Figure 4.1 – Classification des régimes pour le demi-cylindre et pour un écoulement dont l’état de base est souscritique : (_◦), régime sa; (¢), régime sb; (¤) régime sc; (?) régime sd; (O), régime se.

−30 −20 −10 0 10 20 30 0 2 4 6 x/H d m(x)/H −30 −20 −10 0 10 20 30 0 0.5 1 x/H F l(x) (a) (b)

Figure 4.3 – (a), Profil de la surface libre, d_{m(x), et (b), nombre de Froude local, Fl(x) pour le} régime sa, α = 0.23 et F0 = 0.33, (demi-cylindre).

4.1. ETAT DE BASE SOUSCRITIQUE −30 −20 −10 0 10 20 30 0 2 4 6 x/H d m(x)/H −30 −20 −10 0 10 20 30 0 0.5 1 x/H F l(x) (a) (b)

Figure 4.5 – (a), Profil de la surface libre, d_{m(x), et (b), nombre de Froude local, Fl(x) pour le} régime sb, α = 0.24 et F0 = 0.38, (demi-cylindre).

−400 −20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 2 4 x/H d_m(x)/H −40 −20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 0.8 1 1.2 1.4 x/H F l(x) (a) (b)

Figure 4.7 – (a), Profil de la surface libre, d_{m(x), et (b), nombre de Froude local, Fl(x) pour le} régime sc, α = 0.18 et F0 = 0.62, (demi-cylindre).

transition souscritique/supercritique, et plus en aval, une transition supercritique/souscritique qui est la signature d’un ressaut hydraulique. En outre, on observe des bulles sur la face amont du ressaut hydraulique (Fig. (4.6)). Le taux de bulles est fort pour l’ensemble des tests effectués sauf pour ceux tels que α est petit. Ce troisième régime est donc caractérisé par des ressauts hydrauliques ondulés bidimensionnels.

4.1.4 Régime sd

A la traversée de la transition T2 de la figure (4.1), le ressaut hydraulique ondulé se déplace brutalement vers l’aval (Fig. (4.8.a)) et sa structure spatiale est modifiée. Il se transforme en une succession d’ondes tridimensionnelles de forme triangulaire en vue de dessus (Fig. (4.8.b)). A l’aide du profil de surface libre (Fig. (4.9.a)), nous pouvons observer qu’il n’y a plus d’ondes en amont de l’obstacle. De plus, grâce à l’évolution du nombre de Froude local, Fl(x) de la figure (4.9.b), on observe d’une part des transitions souscritique/supercritique au niveau des ondes tridimensionnelles et d’autre part l’augmentation radicale de la longueur de la portion supercritique de l’écoulement, notée ls, par rapport au régime sc (Fig. (4.7.a) et Fig. (4.9.a)). La figure (4.9.b) montre également que les ondulations tridimensionnelles présentes en aval du ressaut ne sont pas des ondes simples mais d’autres ressauts hydrauliques.

Des ondes capillaires sont mises en évidence sur la crête du ressaut. De plus, lorsque α < 0.5, on n’observe pas de bulles sur la face avant du ressaut. La figure (4.8.b) représentant une vue de dessus du ressaut hydraulique montre bien ces deux caractéristiques (α = 0.26). Par contre, lorsque α ≥ 0.5, un petit rouleau est observé sur la crête du ressaut hydraulique.

4.1.5 Régime se

Pour de très grandes valeurs de α ({α = 0.68, F0 = 0.64} et {α = 0.7, F0 = 0.64}), la transition, notée T3 sur la figure (4.1), est observée. Un nouveau régime tel que l’écoulement

4.1. ETAT DE BASE SOUSCRITIQUE

(a) (b)

Figure 4.8 – Régime s_d : (a) surface libre en aval de l’obstacle et (b), forme du ressaut hydrau-lique et des ondes à sa suite, α = 0.26 et F0= 0.66.

−400 −20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 1 2 3 4 x/H d_m(x)/H −40 −20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 0.5 1 1.5 2 x/H F l(x) (a) (b)

Figure 4.9 – (a), Profil de la surface libre, d_{m(x), et (b), nombre de Froude local, Fl(x) pour le} régime sd, α = 0.26 et F0 = 0.66, (demi-cylindre).

−200 0 20 40 60 80 100 0.5 1 1.5 x/H d m(x)/H −200 0 20 40 60 80 100 1 2 3 4 x/H F l(x) x/H (a) (b)

Figure 4.10 – (a), Profil de la surface libre, d_{m(x), et (b), nombre de Froude local, Fl(x) pour} le régime se, α = 0.68 et F0= 0.64, (demi-cylindre).

demeure supercritique après l’obstacle apparent apparaît (4.10.b). La mesure de dm(x) présentée sur la figure (4.10.a) montre d’une part qu’il n’y a pas de perturbation de la surface libre en amont de l’obstacle et d’autre part qu’à partir de x

H = 55, un train d’ondes bi-dimensionnelles se développe. La zone du canal où se situent ces ondulations est proche du déversoir.

4.2

Etat de base supercritique

Dans ce paragraphe, la classification des ondes de surface est établie pour des écoulements dont l’état de base est supercritique (F0 >1). L’obstacle utilisé est le demi-cylindre.

L’ensemble des points de fonctionnement accessibles dans la région souscritique (Fig. (3.2)) ont été analysés. Plusieurs comportements distincts ont été observés et sont représentés sur la figure (4.11). Les transitions entre les différents régimes, notée Ti, i = 4 . . . 7, ont été tracées. Le détail des caractéristiques de ces cinq régimes, présenté sur la base d’un exemple représentatif de chacun, fait l’objet des paragraphes suivants.

4.2.1 Régime Sa

Les valeurs du nombre de Froude local, Fl(x) (Fig. (4.13.b)) montrent que l’écoulement est supercritique dans tout le canal. En outre, on distingue, sur la figure (4.12), que la surface libre présente une surélévation bidimensionnelle au-dessus de l’obstacle. Sur cette même figure, on peut également voir que la surélévation est asymétrique par rapport à l’obstacle et que la hauteur d’eau en aval de la surélévation est supérieure à celle en son amont. L’amplitude, as, de la surélévation est d’ordre O(H) (as= 1.66 cm = 0.97H sur la figure (4.13.a)).

4.2. ETAT DE BASE SUPERCRITIQUE 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 1.5 2 2.5 3 3.5 F 0 α T 4 T 5 T 6 T 7

Figure4.11 – Classification des régimes pour le demi-cylindre et pour un écoulement dont l’état de base est supercritique : (¤), S_a; (N), Sb; (¦), Sc; (•), Sd; (×), Se; demi-cylindre.

−400 −20 0 20 40 2 4 6 x/H d m(x)/H −400 −20 0 20 40 1 2 3 x/H F l(x) (a) (b)

Figure 4.13 – (a), Profil de la surface libre, d_{m(x), et (b), nombre de Froude local, Fl(x) pour} le régime Sa, α = 0.23 et F0 = 1.75, (demi-cylindre).

Figure 4.14 – Illustration de phénomènes tridimensionnels en aval du demi-cylindre dans de régime Sb pour α = 0.31 et F0 = 2.61.

4.2. ETAT DE BASE SUPERCRITIQUE −40 −20 0 20 40 0 2 4 6 x/H d m(x)/H −40 −20 0 20 40 0 1 2 3 4 x/H F l(x) (b) (a)

Figure 4.15 – (a), Profil de la surface libre, d_{m(x), et (b), nombre de Froude local, Fl(x) pour} le régime Sb, α = 0.31 et F0= 2.61, (demi-cylindre).

Figure 4.16 – Surface libre dans le régime S_c pour α = 0.20 et F_{0= 1.39.}

4.2.2 Régime Sb

Lorsque l’on franchi la ligne notée T7 sur la figure (4.11), l’écoulement devient tridimensionnel (Fig. (4.14)). La surface libre est très perturbée et l’on peut même observer, pour de grandes valeurs des paramètres α et F0 (α = 0.77 et F0 = 3.11), des projections d’eau au voisinage de l’obstacle. De plus, l’écoulement reste supercritique dans tout le canal (Fig. (4.15.b)). L’évolution du profil de surface libre, dm(x), montre qu’il n’y a pas de perturbation de la surface libre (profil plat) en amont de l’obstacle. Par contre, en aval de l’obstacle, dm(x) présente des ondulations (Fig. 4.15.a) et celles-ci sont tridimensionnelles. Enfin, une surélévation asymétrique de la surface libre se forme en aval de obstacle.

4.2.3 Régime Sc

Dans la région délimitée par les quatre courbes F0 = 1 et celles notées T4, T5 et T6 (Fig. (4.11)), un autre régime d’écoulement est mis en évidence dans lequel un ressaut hydraulique ondulé se forme en amont de l’obstacle. Les ondes présentes à l’aval de ce ressaut hydraulique

−30 −20 −10 0 10 20 30 0 5 10 x/H d m(x)/H −30 −20 −10 0 10 20 30 0 0.5 1 1.5 2 x/H F l(x) (b) (a)

Figure 4.17 – (a), Profil de la surface libre, d_{m(x), et (b), nombre de Froude local, Fl(x) pour} le régime Sc, α = 0.16 et F0= 1.01, (demi-cylindre).

surface libre, dm(x) de la figure (4.17.a), met en évidence que le caractère ondulatoire de la surface libre est préservé en aval de l’obstacle. En outre, la variation longitudinale du nombre de Froude local correspondant, (Fig. (4.17.a), montre une transition souscritique/supercritique en aval de l’obstacle (x

H = 5) puis une transition supercritique/souscritique en x

H = 24.7. Il se forme donc un deuxième ressaut hydraulique ondulé à cet endroit. Au final, il y a donc deux ressauts hydrauliques ondulés de part et d’autre de l’obstacle dans ce régime.

4.2.4 Régime Sd

Lorsque, l’on franchit la transition T4 de la figure (4.11), un ressaut hydraulique se forme en amont de l’obstacle (Fig. 4.18.b)). En amont de ce ressaut hydraulique, l’écoulement est supercritique sans onde. Un fort taux de bulles est observé au voisinage du ressaut hydraulique (Fig. (4.19)). De plus, on ne distingue pas d’ondes entre l’aval de celui-ci et l’amont de l’obstacle (Fig. (4.18.a)). En aval de l’obstacle, des ondulations de faible amplitude sont mises en évidence (Fig. (4.18.a)). Le nombre de Froude local, Fl(x), (Fig. (4.18.b)), montre que l’écoulement reste souscritique. En outre, on peut noter que des ondes bidimensionnelles de faible amplitude sont présentes loin en aval de l’obstacle (x

H ≥ 65). Enfin, nous avons remarqué que, pour certains points de fonctionnement appartenant à ce régime, le pied du ressaut hydraulique se situe au niveau de la vanne amont.

4.2.5 Régime Se

Le dernier régime observé est situé, sur la figure (4.11), entre les courbes T4, T5, T6 et T7. Dans celui-ci, la variation longitudinale du nombre de Froude local, Fl(x) montre qu’un train de ressauts hydrauliques (Fig. (4.21.b)) tridimensionnels est présent de part et d’autre de l’obstacle

4.2. ETAT DE BASE SUPERCRITIQUE −200 −15 −10 −5 0 5 10 15 1 2 3 4 x/H d m(x)/H −200 −15 −10 −5 0 5 10 15 0.5 1 1.5 2 x/H F l(x) (b) (a)

Figure 4.18 – (a), Profil de la surface libre, d_{m(x), et (b), nombre de Froude local, Fl(x) pour} le régime Sd, α = 0.68 et F0= 1.80, (demi-cylindre).

Figure 4.20 – Surface libre dans le régime S_e pour α = 0.45 et F_{0= 1.73.} −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 0 2 4 6 x/H d m(x)/H −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 0 1 2 3 x/H F l(x) (b) (a)

Figure 4.21 – (a), Profil de la surface libre, d_{m(x), et (b), nombre de Froude local, Fl(x) pour} le régime Se, α = 0.45 et F0 = 1.73 (demi-cylindre).

(Fig. (4.20)). Le profil de la surface libre, dm(x), représenté sur la figure (4.21.a) met en évidence la grande amplitude moyenne du train d’onde tridimensionnelles.

4.3

Influence de la forme de l’obstacle

Dans ce paragraphe, l’influence de la forme de l’obstacle sur les régimes d’ondes de surface est analysée. Pour cela, nous comparons les régimes du demi-cylindre (Figs. (4.1) et (4.11)) avec ceux de la gaussienne (β = 0.23).

4.3.1 Etat de base souscritique

Sur la figure (4.22) est présentée la classification en régimes d’ondes de surface, dans le plan {α, F0}, obtenue pour la gaussienne dans le cas où l’état de base est souscritique. Comme on peut l’observer sur la figure, on retrouve les mêmes régimes, saà se que nous avons obtenus avec le demi-cylindre. En outre, la localisation des transitions entre les régimes est la même que pour le demi-cylindre (Fig. (4.1)), dans la limite de précision de nos mesures. Les profils de surface

4.4. COMPARAISONS AVEC LES CLASSIFICATIONS ISSUES DES MODÈLES ASYMPTOTIQUES 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 F 0 α T 0 T 1 T 2 T3

Figure 4.22 – Régimes d’ondes de surface dans le plan {α,F₀} pour une gaussienne, lorsque l’état de base est souscritique : (_◦), régime sa; (¢), régime sb; (¤) régime sc; (?) régime sd; (O), régime se.

libre présentent quelques différences.

4.3.2 Etat de base supercritique

Sur la figure (4.23) est présentée la classification en régimes d’ondes de surface, dans le plan {α, F0}, obtenue pour la gaussienne dans le cas où l’état de base est supercritique. Sur la figure (4.23), quatre régimes, Sa, Sb, Sdet Se, déjà observés pour le demi-cylindre, sont mis en évidence pour la gaussienne. Par contre, le régime Sc obtenu pour le demi-cylindre, n’apparaît pas avec la gaussienne. Contrairement au cas souscritique, la localisation des transitions entre les régimes n’est pas identique à celles du demi-cylindre.

Avec la gaussienne, on observe, sur la figure (4.23), les trois transitions, T4, T5 et T7, déjà décrites pour le demi-cylindre. Par contre, la transition T6 n’est pas observée avec la gaussienne. La localisation et la concavité des transitions T4 et T7 observée pour le demi-cylindre (Fig. (4.11)) sont les mêmes pour la gaussienne (Fig. (4.23)). Par contre, la localisation et la concavité de la transition T5 différent entre les deux obstacles (Fig. (4.23) et Fig. (4.11)). En outre, comme le régime Sc n’a pas été observé avec la gaussienne, cette transition T5 ne sépare pas les mêmes régimes pour les deux obstacles.

4.4

Comparaisons avec les classifications issues des modèles

asymp-totiques

Dans ce paragraphe, une comparaison entre les régimes ondulatoires obtenus expérimentale-ment et les classifications obtenues à l’aide des solutions des modèles asymptotiques du chapitre

1 1.5 2 2.5 3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 F 0 α T 7 T 5 T 4

Figure 4.23 – Régimes d’ondes de surface pour une gaussienne, lorsque l’état de base est super-critique : : (¤), S_a; (N), Sb; (•), Sd; (×), Se.

4.4.1 Modèle de Saint-Venant linéaire monodimensionnel

Ce modèle asymptotique possède deux types de solutions (Fig. (2.1.b)). Pour F0 <1, l’écou-lement est partout souscritique et une dépression dans la surface libre se forme à la verticale de l’obstacle. Pour F0 >1, l’écoulement est partout supercritique et une surélévation de la surface libre est observée à la verticale de l’obstacle.

Les profils de surface libre obtenus pour chaque régime lorsque F0 < 1 (§4.1.1 à §4.1.5), montrent que seul le régime saa un profil de surface libre proche de la solution du modèle. Nous présentons sur la figure (4.24.a), une comparaison entre le profil de surface libre expérimental et la solution du modèle de Saint-Venant linéaire. Cette comparaison conduit à trois remarques essentielles :

➢ L’amplitude de la dépression est bien reproduite par le modèle. Pour l’exemple proposé, la solution du modèle sous-estime de 10% l’amplitude mesurée.

➢ Il existe un décalage entre la position théorique du minimum de la dépression et celle mesurée. Le modèle prévoit un minimum à la verticale de la crête de l’obstacle alors que ce minimum se situe en x

H = 3.1 (Fig. (4.24.a)).

➢ Alors que le modèle prédit une longueur de dépression égale à la longueur de l’obstacle, la dépression mesurée est beaucoup plus grande (ldexp.

l_dth = 6 sur la figure (4.24.a)).

Ces trois remarques permettent de soulever deux questions qui seront abordées dans le cha-pitre 6 :

Pourquoi la dépression observée expérimentalement est-elle décalée en aval de l’obstacle ? Pourquoi la forme de la dépression mesurée est elle différente de celle du modèle ?

En outre, il est important de noter que le régime sa, dans le plan des paramètres {α, F0}, est situé sous la transition T0 de la figure (4.1), donc apparaît pour des valeur de F0 et α petites.

4.4. COMPARAISONS AVEC LES CLASSIFICATIONS ISSUES DES MODÈLES ASYMPTOTIQUES −300 −20 −10 0 10 20 30 1 2 3 4 5 −300 −20 −10 0 10 20 30 2 4 6 d m (x) ____ H d m (x) ____ H x/H (a) (b)

Figure 4.24 – Comparaison entre le modèle de Saint Venant linéaire (−) et le profil de surface libre mesuré (. . .) dans les régimes : (a), sa avec α = 0.23 et F0 = 0.33 et (b), Sa avec α = 0.23 et F0 = 1.75.

Cet élément est à retenir pour la détermination de l’effet du paramètre α sur la dynamique des ondes.

Les autres régimes, obtenus pour un état de base souscritique, diffèrent des solutions du modèle de Saint Venant linéaire soit parce que des ondes se forment à la surface libre : régime sb; soit parce qu’une portion de l’écoulement en aval de l’obstacle est supercritique d’après l’évolution du nombre de Froude local, Fl(x) : régimes sc, sd et se.

L’observation des profils de surface libre obtenus pour chaque régime lorsque F0 >1 (§4.2.1 à §4.2.5), montre que seul le régime Sa a un profil de surface libre que l’on peut rapprocher de la solution du modèle. Nous présentons, sur la figure (4.24.b), une comparaison entre le profil de surface libre expérimental (Fig. (4.13.a)) et la solution du modèle de Saint-Venant linéaire (eq. (2.33)). Il existe un décalage longitudinal entre la position du maximum de la surélévation de la surface libre de la solution analytique, située à la verticale de la crête de l’obstacle et celle du profil mesuré, située en x

H = 3.3.

De plus, on observe sur la figure (4.24.b) que l’amplitude, la forme et le longueur des sur-élévations obtenues analytiquement et expérimentalement ne sont pas concordantes. L’étude de l’origine des divergences entre la solution asymptotique et le profil de surface libre mesuré sera conduite dans le chapitre 6.

On peut noter que le régime Sa est situé dans une région de la figure (4.11) pour laquelle les valeurs de α sont petites (inférieures à 0.4).

Les autres régimes, obtenus pour un état de base supercritique, diffèrent des solutions du modèle de Saint-Venant linéaire monodimensionnel soit parce que des effets tridimensionnels

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8

F

α

s

s

s

s

s

Ressaut hydraulique sur l’obstacle Soucritique amont et supercritique aval

Figure 4.25 – Comparaison entre les régimes expérimentaux (___) et les solutions du modèle de Saint Venant non-linéaire (—)

4.4.2 Modèle de Saint-Venant non-linéaire

Pour le modèle de Saint-Venant non-linéaire, nous utilisons la classification de Baines [Bai 1995] (Fig. (2.2)).

Sur la figure (4.25), nous avons représenté les transitions des régimes d’écoulements obtenus expérimentalement et les courbes limitant les régimes du modèle (Baines [Bai 1995]) pour les écoulements dont l’état de base est souscritique.

Expérimentalement, cinq régimes d’ondes de surface sont mis en évidence alors que le modèle de Saint-Venant non-linéaire prédit trois régimes de solutions. En outre, aucune transition obtenue expérimentalement ne se superpose avec les courbes (AB) et (AD).

La transition T0 sépare les régimes saet sb, différentiés par la présence d’ondes dans le régime sb. Comme le modèle de Saint-Venant non-linéaire est non-dispersif, il ne permet pas de prédire la formation d’ondes observée dans le régime sb. La transition T0 de la figure (4.25) n’existe pas pour ce modèle.

En outre, les mécanismes de formation des ondes situées proche du déversoir, dans le régime se, sont découplées de l’influence de l’obstacle, car elles sont sans doutes provoquées par le déversoir. Or les solutions du modèles de Saint-Venant considérées par Baines [Bai 1995] sont localisées au voisinage de l’obstacle. La transition T3 ne peut donc pas être obtenue pas dans les solutions de Baines [Bai 1995]. Le régime se n’est donc pas prédit avec ce modèle.

Il reste donc à comparer d’une part les profils des régimes sa, sc et sdavec ceux obtenus par Baines [Bai 1995] et d’autre part la position des frontières T1 et T2 avec les courbes (AB) et (AD).

D’après leurs caractéristiques, les régimes sa, scet sdcomportent des analogies avec les régimes obtenus avec le modèle de Saint-Venant non-linéaire.

4.4. COMPARAISONS AVEC LES CLASSIFICATIONS ISSUES DES MODÈLES ASYMPTOTIQUES Le profil de surface libre obtenu dans le régime saprésente une dépression en aval de l’obstacle et l’écoulement est souscritique partout dans le canal. De plus, la solution du modèle de Saint-Venant non-linéaire, notée "‘souscritique"’ sur la figure (4.25), est telle qu’une dépression se forme au-dessus de la crête de l’obstacle. Le profil de surface libre du régime sa est donc proche de la solution du modèle dans la région "‘souscritique"’. Or, d’après la figure (4.25), le domaine du plan {α, F0} où se situe le régime saest inclu dans la région "‘souscritique"’. Il y a donc une bonne concordance entre les domaines d’apparition de ces deux régimes.

Dans le régime sc, les expériences montrent qu’un ressaut hydraulique se forme à l’aval immédiat de l’obstacle, mais jamais au-dessus de celui-ci. Dans la région (BAD), un ressaut hydraulique se forme également en aval de l’obstacle, mais il est toutefois positionné au-dessus de l’obstacle. Pour le régime sc, il semble donc que le modèle de Saint-Venant non-linéaire prédise bien un ressaut hydraulique, mais ne prévoit pas la bonne localisation par rapport à la crête de l’obstacle de celui-ci. Dans le chapitre 7, nous nous sommes donc intéressé à la question :

Pourquoi n’observe-t-on pas expérimentalement de ressaut hydraulique au-dessus de l’obs-tacle ?

La transition T1de la figure (4.25), sépare les régimes sb, sans ressaut hydraulique, et sc, avec un ressaut hydraulique. Elle a donc une nature similaire à la courbe (AB). Cependant (AB) et T1 ne sont pas confondues. Nous souhaitons alors déterminer :

Pourquoi T1 ne se superpose pas à (AB) ? Cette question est abordée d’un point de vue qualitatif dans le chapitre 6.

Lorsque l’on franchi la transition T2 dans le plan {α, F0}, le ressaut hydraulique à l’aval immédiat de l’obstacle disparait et un train de ressauts hydrauliques se forme, loin en aval de l’obstacle. Au voisinage de l’obstacle, le profil de la surface libre est souscritique en amont de l’obstacle et supercritique en aval de celui-ci, c’est à dire similaire à la solution du modèle de Saint-Venant non-linéaire dans la région située au dessus de la courbe (AD) (Fig. (4.25)). Il y a donc une bonne concordance entre les solutions asymptotiques et les profils de surface libre du régime sd, sauf pour les points du plan {α, F0} du régime sc situés au-dessus de (AD) et les points du plan {α, F0}, situés au-dessous de (AD). La différence de position entre T2 et (AD) soulève deux questions :

Quels sont les mécanismes à l’origine de la formation des ressauts hydrauliques dans le régimes sc et sd?

Quels mécanismes contrôlent leur position en aval de l’obstacle ? Ces questions seront traitées dans le chapitre 7.

Enfin, lorsque l’état de base est supercritique, les solutions de Saint-Venant non linéaires dans un voisinage proche de l’obstacle prévoient deux types de solutions : partout supercritique avec une surélévation de la surface libre à la verticale de l’obstacle (analogue à la solution de Saint-Venant linéaire supercritique) ou souscritique en amont de l’obstacle et supercritique en aval (analogue à la région située au-dessus de (AD) lorsque F0 < 1). La comparaison entre les solutions de Saint-Venant non-linéaire et nos résultats expérimentaux lorsque F0 > 1 sera donc effectuée en même temps que la comparaison avec le modèle de Saint-Venant linéaire pour la solution partout supercritique et en même temps que l’analyse des régimes sc et sd pour la solution souscritique en amont de l’obstacle et supercritique en aval.

4.4.3 Modèle potentiel linéaire

b

sente des similitudes avec les solutions du modèle potentiel linéaire. Les autres régimes diffèrent des solutions de ce modèle soit parce qu’on ne distingue pas d’onde en aval de la dépression (régime sa), soit parce qu’une portion de l’écoulement en aval de l’obstacle est supercritique (régimes sc, sdet se). Les différences entre les résultats expérimentaux et les solutions du modèle potentiel linéaire ne sont pas surprenantes dans les régimes sc, sdcar l’hypothèse de linéarité est incompatible avec la formation des ressauts hydrauliques. En outre, comme pour le modèle de Saint-Venant linéaire, le passage Fl(x) = 1 ne peut être observé avec le modèle potentiel linéaire, ce qui explique l’absence du régime se dans le modèle. A l’aide du modèle potentiel, nous avons vu (§2.6) que l’amplitude des ondes augmente avec les paramètres α et F0. Or comme le régime sa, dans lequel on ne distingue pas d’onde dans le profil de la surface libre, est observé pour des valeurs de paramètres α et F0 plus petites que le régime sb (Fig. (4.1)), nous souhaitons déterminer :

Quelle est l’origine des ondes dans le régime sb? Nous tenterons d’y répondre dans le chapitre 6.

4.4.4 Modèle potentiel non-linéaire

Pour le modèle de potentiel non-linéaire, Lowery et Liapis [LL 1999] produisent la classifi-cation de la figure (2.8), établie sur la base de simulations numériques bi-dimensionnelles. Ce-pendant, une comparaison entre leur classification et la classification expérimentale n’est pas pertinente car les solutions issues de Lowery et Liapis [LL 1999] ne sont pas stationnaires, no-tamment tous les régimes pour lesquels ces auteurs obtiennent une solution avec déferlement. Par ailleurs, pour les solutions aux temps longs obtenues avec ces simulations numériques dans les régimes sans déferlement, Lowery et Liapis [LL 1999] obtiennent une solution analogue à celle du modèle potentiel linéaire lorsque F0 <1 et une solution analogue à celle du modèle de Saint-Venant linéaire lorsque F0 >1. Dias et Vanden-Broeck [DV 2002.a] ont également étudié les écoulements potentiels non-linéaires.

4.4.5 Modèle de Korteweg-de Vries forcé

Le modèle de Korteweg-de Vries est valide seulement au voisinage du point de fonctionnement α = 0, F0 = 1, difficilement mesurable expérimentalement. Il est cependant intéressant d’observer si l’on peut extrapoler ces solutions au-delà du domaine de validité stricte du modèle.

Certains profils de surface libre expérimentaux sont analogues aux solutions obtenues par Dias et Vanden-Broeck [DV 2002.a] (§2.10.2). Par exemple, la solution onde cnoidale, déterminée par Dias et Vanden-Broeck [DV 2002.a] pour des valeurs de α proche de 0 s’apparente à la solution du régime sb. De même, les solutions de type hydraulic fall déterminées par ces auteurs s’apparentent à celles des régimes sc et sd pour un état de base souscritique et Sc à Se pour un état de base supercritique.

Pour le modèle Korteweg-de Vries étendu, la forme générale de la solution (Fig. (2.15.b)) rappelle celle du profil de surface libre des régimes sc et sd. Notamment, on peut y observer une zone en aval de l’obstacle où l’écoulement est supercritique à la suite de laquelle des ondes non-linéaires de grande amplitude se développent. Qualitativement, ces ondes s’apparentent à un ressaut hydraulique, compte tenu de leur cambrure, C, importante. Pour les deux exemples présenté, C = 0.18 pour la figure (2.15.b.i) et C = 0.08 pour la figure (2.15.b.ii).

4.4. COMPARAISONS AVEC LES CLASSIFICATIONS ISSUES DES MODÈLES ASYMPTOTIQUES

Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons mis en évidence, en fonction de la nature de l’état de base, diffé-rents régimes d’écoulement (demi-cylindre : cinq régimes lorsque F0 <1 et cinq régimes lorsque F0 >1), dans les diagrammes de fonctionnement des figures (4.1) et (4.11). De plus, nous avons montré (paragraphe 4.3) que l’influence de la forme de l’obstacle sur les régimes d’écoulement est faible. Plusieurs questions, issues des comparaisons avec les modèles asymptotiques ont été soulevées.

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