Modèles couplés en milieux poreux : transport réactif et fractures

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fractures

Laila Amir

To cite this version:

Laila Amir. Modèles couplés en milieux poreux : transport réactif et fractures. Mathématiques [math].

Université Paris Dauphine - Paris IX, 2008. Français. �tel-00373688�

EDDIMO

N

◦

attribué par labibliothèque

THÈSE

pour obtenir legrade de

Do teur en Mathématiques Appliquées

préparée au entre de re her he INRIA (Ro quen ourt)

& ITASCA Consultants S.A.S (E ully)

présentée et soutenue publiquement

par

Laila AMIR

le18 Dé embre 2008

Titre:

Modèles ouplés en milieux poreux :

transport réa tif et fra tures

Dire tri ede thèse: Jean E. ROBERTS

Co-dire teurde thèse:Mi hel KERN

Jury

M. Guy CHAVENT, Professeurà l'université Paris Dauphine Président du jury

M. Brahim AMAZIANE, Maître de onféren es à l'université de Pau Rapporteur

M me

. Jo elyne ERHEL, Dire tri ede re her he àl'INRIA de Rennes Rapporteur

M. Daniel BILLAUX, Président de laso iété ITASCA Consultants Examinateur

M. Mi hel KERN, Chargéde re her he àl'INRIA Ro quen ourt Co-dire teurde thèse

M me

méthode de ouplage entre les réa tions himiques et le transport en utilisant une

méthode de Newton-Krylov, et nous étudions également un modèle d'é oulement

en milieu fra turé qui traite l'interse tion des fra tures par une méthode de

dé- omposition de domaine. Ce travail est divisé en trois parties : la première partie

ontient une analyse de diérents s hémas numériques pour la dis rétisation des

problèmes d'adve tion-diusion,notammentpar unete hniquede séparation

d'opé-rateurs, ainsi que leur mise en oeuvre informatique, dans un ode industriel. La

deuxième partie, qui est la ontribution majeure de ette thèse, est onsa rée à la

modélisationetàl'implémentationd'uneméthodede ouplageglobalepourle

trans-port réa tif. Le système ouplé transport- himie est dé rit, après dis rétisation en

temps, par un système d'équations non linéaires. La tailledu système sous-ja ent,

à savoir le nombre de points de grille multiplié par lenombre d'espè es himiques,

interdit la résolution du système linéairepar une méthode dire te. Pour remédier à

ette di ulté, nous utilisons une méthode de Newton-Krylov qui évite de former

et de fa toriser la matri e Ja obienne. Dans la dernière partie, nous présentons un

modèled'é oulementdansun milieufra turétridimensionnel,basé suruneméthode

de dé ompositionde domaine,etquitraitel'interse tiondesfra tures.Nous

démon-trons l'existen e et l'uni itéde la solution, etnous validonsle modèle par des tests

numériques.

Mots lés : Milieu poreux, é oulement, adve tion-diusion, réa tion himique,

ouplage, Newton-Krylov, interse tion des fra tures,dé omposition de domaine.

Abstra t : This thesisdealswithnumeri alsimulationof oupledmodelsforow

and transport in porous media. We present a new method for oupling hemi al

rea tions and transport by using a Newton-Krylov method, and we also present a

model of ow in fra tured media, based on a domain de omposition method that

takes into a ount the ase of interse ting fra tures. This study is omposed of

three parts : the rst part ontains an analysis, and implementation, of various

numeri al methods for dis retizing adve tion-diusion problems, in parti ular by

using operatorsplittingmethods.The se ondpart is on erned withafully oupled

method for modeling transport and hemistry problems. The oupled

transport- hemistry modelis des ribed, after dis retizationin time, by asystem of nonlinear

equations. The size of the system, namely the number of grid points times the

number a hemi al spe ies, pre ludes a dire t solution of the linear system. To

alleviate this di ulty, we solve the system by a Newton-Krylov method, so as to

avoidformingandfa toringtheJa obianmatrix.Inthelastpart,wepresentamodel

of ow in 3D for interse ting fra tures, by using a domain de omposition method.

The fra turesare treatedasinterfa esbetweensubdomains.Weshowexisten eand

uniqueness of the solution,and we validatethe modelby numeri altests.

Keywords : Porous media,ow, adve tion-diusion, hemi alrea tion, oupling,

Cette thèse a été ee tuée dans le adre d'une onvention CIFRE (Convention

Industriellede Formationpar laRe her he) qui a réunila so iété ITASCA

Consul-tantset le groupeESTIME de l'INRIARo quen ourt.

Ce travail de re her he n'aurait pu aboutir sans une réelle ollaboration et un

é hange des idées entre tous eux qui y ont parti ipé;je tiens i i lesremer ier.

En premierlieu, je tiens à exprimerma vive re onnaissan e à mes dire teurs de

thèse Madame Jean. E. Roberts, Dire tri e de re her he à l'INRIA Ro quen ourt

et Monsieur Mi hel Kern Chargé de re her he àl'INRIA Ro quen ourt. Ils se sont

montrés toujours disponible et m'ont onstamment aidé à y voir plus lair. Ils ont

fait preuve à la fois d'une grande patien e, gentillesse, et d'un esprit responsable,

ritiqueetrigoureux.Ilsm'ontvivementen ouragépourparti iperàdenombreuses

onféren esinternationalesetnationalesquim'ontenri hieetdonnée del'assuran e.

Jen'oublieraijamaisleursympathieetl'amitiéquej'aitrouvéeneux,je ne saispas

omment je peux leur exprimertoute magratitude, mer i.

Mes remer iements vont également à Monsieur Daniel Billaux, Président de la

so iété Itas aConsultantsS.A.SàE ully,pourla onan e qu'ilm'a a ordé en

a - eptantlenan ementde e travail.Jeleremer ieégalementd'avoira eptédefaire

partiede mon juryde thèse.J'adresse aussi mes remer iementsàMadameCaroline

DARCEL, Ingénieur en hydrogéologie pour ses onseils s ientiques avisées, ainsi

je tiens àremer ie toute l'équipeITASCA plus parti ulièrementMadame Christine

ARNAUD pour leur a ueil haleureuxdans l'entreprise.

Mesplusvifs remer iementsvontàMonsieurJermeJAFFRE,Dire teurde

Re- her he à l'INRIA Ro qen ourt et hef du projet ESTIME, pour la onan e qu'il

m'a a ordée en m'asso iant aux re her hes de son équipe. Son suivi pré ieux, ses

qualitéss ientiques ethumainsontlargement ontribuéàl'aboutissementde ette

thèse. Tous mes remer iementsvont aussi aux membres de l'équipeave quij'ai eu

un très grandplaisir de travailler.

Mes sin ères re onnaissan es vont aux personnes quiont a epté d'être

rappor-teursde ettethèse,etainsiévaluermon travail:MadameJo elyneERHEL,

Dire -tri e de re her he à l'INRIA de Rennes et Monsieur Brahim AMAZIANE, Maître

de onféren es à l'Université de Pau et de Pays de l'Adour. Je remer ie également

Monsieur Guy CHAVENT, Professeur à l'université Paris IX Dauphine de m'avoir

Jalila,Tayeb, Bruno, ...

Mes plus profonds remer iements vont à mes parents, à mes frères et soeurs.

Tout au long de mon ursus, ils m'ont toujours soutenu, en ouragé et aidé. Ils ont

su medonnertoutes les han espour réussir. àqui je doit tout.

Jepasse ensuiteunedédi a e spé ialeàma hèrepetitesoeur Mouna,pour tout

e qu'elle a fait et pour le soutien qu'elle m'a apporté durant les deux dernières

Table des matières . . . vii

1 Introdu tion générale 1 1 Motivations . . . 2

1.1 Sto kage de dé hets radioa tifsen formationprofonde . . . 2

1.2 Problèmede sto kage de gaz arbonique . . . 3

1.3 Hétérogénéité des milieuxporeux . . . 3

2 Sujets abordés dans lathèse . . . 6

2.1 Chapitre 2 :problème d'adve tion diusion. . . 7

2.2 Chapitres 3 et4 :transport des ontaminants himiques . . . 7

2.3 Chapitre 5 :E oulement dans l'interse tion des fra tures . . . 8

2 Résolution du problème de transport 9 1 Introdu tion . . . 9

2 Équationsde l'é oulement etdu transport . . . 9

2.1 Laloi de Dar y . . . 10

2.2 L'équationde onservation de la masse . . . 10

2.3 L'équationd'adve tion-diusion . . . 10

3 Choix d'une méthode numérique. . . 11

4 Etude générale de la méthode de dé omposition d'opérateurs . . . 14

5 Étude des s hémas numériques pour l'équation d'adve tion-diusion en 1D . . . 16

5.1 Étude du as homogène . . . 16

5.2 Étude du as hétérogène . . . 25

5.3 Etude de onvergen e numérique . . . 32

6 Mise en oeuvre du transport par dé omposition d'opérateurs en 3D dans lelogi iel 3FLO . . . 33

6.1 L'é oulement transitoire par la méthode mixte hybride . . . . 34

6.2 Transport: l'adve tionpar VFetla diusion par EFMH . . . 42

6.3 Miseen oeuvredans 3FLO pour lapartiediusivedu transport 45 7 Validation numériquedu transportave lasolution analytique . . . . 48

7.1 Cas test a adémique . . . 48

7.2 Lasolution analytique . . . 49

8 Con lusion . . . 53

3 Résolution du modèle d'équilibre himique 55 1 Modélisationdes réa tions himiques . . . 55

1.1 Réa tionshomogènes ouhétérogènes . . . 56

1.2 Réa tions inétiques ouà l'équilibre . . . 56

2 Modélisationdes réa tions d'équilibre . . . 57

2.1 Espè es omposantes etse ondaires . . . 57

2.2 Miseen équation . . . 59

2.3 Letableau de Morel . . . 60

2.4 Existen e etuni ité pour le système d'équilibre . . . 61

3 Résolutionnumérique du système d'équilibre . . . 62

3.1 Exemples . . . 63

4 Modélisationdes réa tions de sorption . . . 65

4 Le ouplage transport himie 67 1 Introdu tion . . . 67

2 Équationsdu transportréa tif . . . 69

2.1 Modèle de transport, f hapitre 2 . . . 69

2.2 Équations himiques, f hapitre3. . . 69

2.3 Couplage transport et himie . . . 73

3 Formulationsetalgorithmes pour le ouplage . . . 74

3.1 Lesdiérents méthodes de ouplage . . . 76

4 Appro he globale basée sur laméthode NewtonKrylov . . . 81

5 Résultatsnumériques . . . 86

5.1 É hange d'Ions : exemple EX11de PhreeqC . . . 86

5.2 Ben hmark GDR MoMaS :1D easy . . . 88

5 Theoreti al and numeri al study for ow in a porousmedium with interse ting fra tures 95 1 Introdu tion . . . 95

2 Flowina porous medium: problemwith fra tures . . . 96

3 The weak formulationof the problem . . . 100

4 Existen eand uniqueness of the solution . . . 101

5 The dis reteformulation of the problem . . . 107

6 Domain de ompositionfor dealing with fra tures. . . 109

7 Numeri alresults . . . 111

7.1 Des riptionthe test ases . . . 111

7.2 Performan e of the pre onditioner . . . 115

8 Con lusion . . . 117

Perspe tives 121

Introdu tion générale

Lamigrationd'un ontaminantensolutionestgénéralementlerésultatde

l'inter-a tionde nombreux pro essus physiques, himiques etbiologiques.Lesquatre

prin- ipauxpro essus ontrlantlemouvementdes ontaminantsensubsurfa esont

l'ad-ve tion, ladispersion, le transfert de masse entre diérentes phases et lesréa tions

(les phénomènes de sorption, lespartitions liquide-liquide oula volatilisation). Les

réa tions orrespondent à tous les pro essus modiant la nature physi o- himique

du ontaminant.

La modélisationmathématique de es phénomènes onduit à un problème

ou-plé. Pour e qui est des méthodes numériques, les problèmes de ouplage sont le

plus souventà l'originede beau oup de di ultés.On peuten eetdistinguerdeux

grandesfamilles de problèmes de ouplage :

 le ouplage de diérents pro essus qui évoluent dans la même région de

l'es-pa e. Ainsi les ouplages himie-transport, é oulement-transport ou le

ou-plage thermo-hydro-mé anique. Prenons l'exemple du ouplage

é oulement-transport, le hamp de vitesse est transmis du ode é oulement vers le ode

transportetinversement,la on entrationesttransmisedu odetransportvers

le ode é oulement.

 le ouplage de pro essus qui évoluent dans des régions diérentes de l'espa e,

ara térisés par leur très fortehétérogénéité venant de la large variabilitédes

propriétés hydrauliques du milieu. On peut donner omme exemples le

ou-plageentreunaquifèreoùletransportestdominéparl'adve tionetunerégion

oùle pro essusde diusionest dominant,oubien le ouplage entre un entre

de sto kage et le milieu géologique, ou en ore le ouplage entre des ro hes et

lesfra tures qui lestraversent.

Ces deux types de ouplage présentent des di ultés numériques que les

logi- iels a tuelsprennentplus oumoinsbien en ompte. Engénéral,lasolutionutilisée

phy-siques, equirendles al uls oûteuxetmènerapidementauxlimitesdespossibilités

a tuellesdes al ulateurs,notammentpour lessimulations en trois dimensions.

Nous nous intéressons prin ipalement dans ette thèse au ouplage transport

himie sous l'hypothèse d'équilibre himique. Et nous nous sommes

parti ulière-ment préo upés de problèmes liés à l'hétérogénéité des milieux, en étudiant

éga-lement l'é oulementdans lesmilieuxporeux tridimensionnels fra turés, en prenant

en ompte l'interse tiondes fra tures.Il s'agit d'un ouplage géométrique fra tures

2D-milieu 3D, interse tion 1D-fra tures 2D.

1 Motivations

1.1 Sto kage de dé hets radioa tifs en formation profonde

La plupart des a tivités humaines produisent des dé hets dont ertains restent

potentiellementdangereux pendantde trèslonguesdurées(despolluants himiques,

des dé hets radioa tifs).Lesdé hetsradioa tifssont onsidérés(àvie ourte)quand

au bout de trente ans, plus de la moitié de la radioa tivité a disparu. Dans le as

ontraireles dé hets sont onsidérés à vielongue (de entaines d'années àplusieurs

milliers d'années).

Maisdans tous les as, lagestionde es dé hets dangereux appellebien

évidem-ment au devoir de nous assurer que les dé hets que nous produisons aujourd'hui

n'imposerontà nos des endants au une nuisan eina eptable,ni demain,ni àplus

long terme.

Lagestiondesdé hetsradioa tifs onsisteessentiellementàlesemprisonnersous

forme solide et stable à l'intérieur de stru tures étan hes, elles-même durables, de

façon à non seulement se protéger de leurs rayonnements, mais aussi à éviter leur

retour etleur dispersion dans labiosphère.

C'est au regard de ette exigen e éthique que plusieurs organismes analysent

le problème des dé hets radioa tifs. En parti ulier, L'ANDRA (l'Agen e Nationale

pour lagestiondes Dé hets RAdioa tifs),est un organisme publi hargéde l'étude

et de la gestion présente et future des dé hets nu léaires. Cela on erne aussi le

CEA (Commissariat à l'Énergie Atomique) et la COGEMA (Compagnie générale

des matières nu léaires).

D'autresorganismespubli sde ontrlesontimpliqués:laDSNI (Dire tionpour

laSûreté des InstallationsNu léaires), l'ASN (Agen e pour laSûreté Nu léaire)ou

l'IRSN(InstitutdeRadioprote tionpourlaSûretéNu léaire).Ilsinterviennentdans

de nombreuse étapes de l'industrie nu léaire : dans les entrales, les réa teurs

nu- léaires,dans letransportet lasurveillan edes dé hets, dans le ontrle du respe t

des normes etdes diposotifsde sé urité.

ables est indispensable, puisque 'est le seul moyen de prédire le omportement

des dé hets en sous-sol sur des durées de plusieurs milliers d'années. Il est

notam-mentné essaired'ee tuer des simulationsdu transportde radionu léidesen milieu

souterrain an de vérier dans quelles onditions la proportion de radio éléments

qui ressortent dans la biosphère reste en dessous des normeslégales.

1.2 Problème de sto kage de gaz arbonique

Le hangement limatiqueapparaît omme l'un des prin ipauxdangers qui

me-na ent notre environnement. Le

CO

2

est ité omme l'un des fa teurs de risque

majeurs, puisque son augmentation serait responsablede la tendan e au

ré haue-ment limatique,et pourrait avoir des onséquen es dramatiques si au une mesure

n'estprise.Letransport,la apture etlesto kagede

CO

2

onstituentundé

impor-tantpourlutter ontrel'a umulationde

CO

2

dansl'atmosphère.Uneautresolution

est de réduire la onsommation d'énergie, ou de mettre en oeuvre de ombustibles

oude arburants émettant moins de

CO

2

par unitéd'énergie produite.

Le sto kage du

CO

2

est onfronté à des enjeux te hniques et réglementaires, il

doit notammentdémontrer qu'ilne ause au un dommage à l'environnement lo al.

Troissolutions de sto kage sont envisagées pour assurer le onnement du

CO

2

sur

le long terme:

 lesan iens réservoirsd'hydro arbures liquides ou gazeux,

 lesaquifères salins profonds,

 lesveines de harbon non exploitées.

L'IFP (l'Institut Français de Pétrole) travaille sur es 3 axes, en mettant au point

des logi iels industriels permettant de modéliser et de gérer les sto kages. Il s'agit

notammentdeslogi ielsquimodélisentlesvoiespossiblesde migrationdu

CO

2

dans

le sous-sol, en fon tion de la stru ture géologique du sto kage et des intera tions

géo himiques entre le

CO

2

et lesstru tures minéralesren ontrées.

Diérents phénomènes sontmis en enjeu lors de l'inje tion de

CO

2

:

 Le transport: adve tion, diusion etdispersion

 Les ré tions himiques : dissolution du

CO

2

dans l'eau, réa tions entre l'eau

etla ro he.

Ces phénomènes se produisent à des é helles de temps très diérents (réa tions

himiques instantanées, réa tions inétiques lentes, transport à faible vitesse). La

modélisationde l'ensemblede esphénomènesrevientà ouplerdesmodèles

d'é ou-lement multiphasiques et des modèles géo himiques.

1.3 Hétérogénéité des milieux poreux

Les milieux poreux sont généralement hétérogènes. Parmi les raisons itons la

matière). La prise en ompte de l'hétérogénéité du milieu dans les modèles

d'é ou-lement et de transport est un problème majeurde l'hydrogéologie.

a) Présen e des fra tures

L'hétérogénéité est souvent asso iée à la présen e de fra tures qui, malgré le

faiblevolume qu'elleso upentdans l'aquifère, ontrlentl'essentieldes heminsde

ir ulation.Lesfra tures formentles heminsde ir ulation préférentielsdes uides

souterrains. Elles augmentent la vitesse d'é oulement des uides e qui favorise les

transferts de masse et d'énergie.

Fig. 1.1: une ro he fra turé

On peut distinguer deux types de fra tures :

 lesgrandes fra turesquireprésententdesdis ontinuitésgéologiques.Ellessont

en général beau oup plus perméables que lemilieu ambiant, devenant des

a-naux privilégiés pour l'é oulement. Mais elle peuvent être au ontraire peu

perméables, représentant des barrières géologiques.

 Ledeuxièmetypede fra tureest eluide petitesfra tures quiapparaissenten

grand nombre dans le milieu,formant un réseau de ssures, dont les

lo alisa-tions pré isessont di iles àdéterminer.

Vu leur rle hydraulique, il est important de prendre en ompte les fra tures dans

un modèlenumériqued'é oulement oude transport dans lesmilieuxporeux.

La modélisationde l'é oulement ou du transport dans les milieux ontenant les

réseaux de ssures est souvent traitée par un modèle de double porosité [29℄, [30℄.

Pour la modélisationdans lesmilieux ontenantles grandesfra tures,une méthode

d'utiliserune méthode inspirée de la dé omposition de domaines. La fra ture,

sup-posée sans épaisseur mais ave des propriétés physiques propres, est rempla ée par

une onditionde transmission.Enéliminantlapressiondanslessous-domainesainsi

dénis, onse ramèneà un problème d'interfa e de type non-standard.

b) Réa tions hétérogénes

Uneautreraisondel'hétérogènèité,lesréa tions himiquesdanslemilieuporeux.

De e point de vue, les réa tions les plus favorisées sont les réa tions homogènes

qui se déroulent au sein d'une seule phase (liquide : solution, mélange de liquides

mis ibles ou gazeuse). En eet, dans es as, les molé ules des réa tifs sont dans

une même phase et peuvent don fa ilement entrer en onta t pour réagir. Dans le

as de systèmes hétérogènes, 'est-à-dire de réa tions entre un solide et un gaz, un

solide et un liquide, un liquide et un gaz, ou entre deux liquides non mis ibles, la

réa tionne peut avoirlieuqu'aux surfa esde séparationdesphases(interfa es).Les

réa tionsquiseproduisentàl'interfa eentreleuideetlaro hesontprin ipalement

lesréa tions de sorption.

Fig. 1.2: pollutiond'un milieu souterrain

Dans le milieu souterrain, l'évolution des polluants est très lente,

omparative-ment à e qui se passe en surfa e. Il s'é oule des mois, des années, ou même des

dizainesd'années, entre le débutde lapollution etsa mise en éviden e.

Le tempsde transfert d'unpolluant himique àlanappevarie de quelques jours

à plusieurs années. Il dépend prin ipalement de l'épaisseur de la zone non saturée,

de la perméabilité du réservoir et des ara téristiques du polluant. Les terrains à

Le soluté traverse la zone non saturée, et d'abord le sol, ara térisée par la

présen e d'oxygène, de minéraux argileux et matières organiques.... Les réa tions

d'adsorption/désorptionentraînentunretarddansletransfertdupolluant.Cesdeux

phénomènes sont favorisés par la présen e d'argiles, oxydes et hydroxydes, et par

les onstituants organiques. L'adsorption prédomine sur la désorption. Les métaux

sous forme ionique sont retenus par é hanges d'ions ou adsorption, par les argiles,

a ides humiques ethydroxydes.

En zone saturée, la vitesse de propagation du soluté n'est pas identique à elle

de l'eau souterraine.Elledépend du typede polluant,en parti ulier de savis osité,

et de sa on entration (phénomène de diusion). Le débit de la nappe et les

u -tuationsde lasurfa e piézométrique jouent également un rle.

Transfertdanslesol:Grâ eàsespropriétésd'adsorptionetd'é hange,duesà

laprésen ede olloïdesminérauxetorganiques, lesolpeut retenirun grandnombre

de substan es très diverses. Lespolluantspeuvent être piégés dans lespores du sol.

Transfert dans la zone non saturée : Le uide polluantmigre d'abord

ver-ti alement dans le milieu non saturé entre la surfa e du sol et la nappe, laissant

dans sonsillage des terrainsimprégnésà une on entration pro he de lasaturation.

Suivant sa volatilité, le polluant a tendan e à plus ou moins diuser dans la phase

gazeuse du milieu non saturé. C'est notamment le as des solvants hlorés et des

hydro arbures aromatiques.

Evolution en milieu saturé : Dans l'aquifère, les mé anismes de transport

du soluté sont omplexes. Ils sont la onséquen e de l'hétérogénéité du réservoir.

La dispersion du soluté se fait à la verti ale de la zone non saturée, puis selon un

étalement latéral dans le sens de l'é oulement de l'eau souterraine (zone saturée).

La vitesse d'é oulementest assez lenteen aquifère homogène, mais peut être

extrê-mement rapideen milieu plus pérmeable.

Ondistingueleséléments himiquessolublesdesinsolubles,ilspeuventresteràla

surfa edelanappeoùilss'étalent.La on entrationdespolluantsminérauxdépend

de leur solubilité. Les substan es organiques solubles sont maintenues en solution

sousformemolé ulairepardes liaisonshydrogènes. Lesproduitsorganiquespeuvent

être totalement détruits dans l'eau, ou transformées en produits non toxiques, par

des réa tions himiques.

2 Sujets abordés dans la thèse

Nous avons mené des études prin ipalementdans trois dire tions qui ont toutes

en ommun la simulation des é oulements et du transport en milieu poreux. Cette

oeuvredediérentss hémasnumériquespourlarésolutionduproblème

d'adve tion-diusion. La deuxièmepartie est onsa rée àla modélisationet à l'implémentation

d'une méthode de ouplage globale entre le transport et la himie, basée sur une

méthode de Newton-Krylov.Dans ladernièrepartie, onprésente un modèle

d'é ou-lement pour les fra tures qui s'interse tent dans les milieux poreux. Les fra tures

sont traitées ommedes interfa es entre des sous domaines. Plus pré isement, nous

résumons le ontenu des diérents parties:

2.1 Chapitre 2 : problème d'adve tion diusion

Cette partie porte sur la résolution de l'équationde transport en milieu poreux

saturé. L'hydrodynamique des é oulements est dé rite par un système d'équations

omposé de la loi de Dar y et de l'équation de onservation de la masse. Le

trans-port des polluants est régi par l'équation lassique de diusion-adve tion. A ette

équationde transport, onpeutadjoindrediérentstermesdé rivantlesmé anismes

himiques.

La résolution de l'équation du transport né essite de onnaître lavitesse de

l'é ou-lement. Cette vitesse est appro hée en résolvant les deux équations d'é oulement

par la méthode des éléments nis mixtes hybride, indépendamment du transport.

Ensuite, ette vitesse est utilisée pour simuler le transportdes polluants.

Pourlarésolutiondel'équationdutransport,late hniquedeséparation

d'opéra-teurs est utiliséepour dis rétiser l'équationde diusion-adve tion.Le termediusif

est appro hé en utilisantune méthode d'éléments nis mixtes hybrides, etle terme

onve tif est appro hé par une méthode de volumesnis.

Dans un premier paragraphe nous rappelons les équations d'é oulement et du

transport, ensuite nous étudions trois s hémas pour la dis rétisation de l'équation

du transport en 1D dans les as homogène et hétérogène. La suite du hapitre

se on entre sur la résolution des équations d'é oulement en régime transitoire ou

permanent et la résolution de l'équation de transport en 3D par la méthode de

sé-parationd'opérateurs. Nousdétaillonslamiseen oeuvrede l'é oulementtransitoire

et du transport dans un ode industriel. Toutes les méthodes numériques ont été

validées par des solutions analytiques sauf dans le as hétérogène où la solution

numérique aété validée par une solution référen e.

2.2 Chapitres 3 et 4 : transport des ontaminants himiques

Prédire la migrationd'un radionu léide dans un milieu né essite d'être apable

de modéliserl'inuen edutransportsur la himieetré iproquement.Dans ertains

as, e ouplage peut se modéliser simplement par un terme de retard relié au

oe ient de distribution introduit dans l'équation du transport et qui prend en

omptelarétentionauxinterfa es.Cependant,ilestsouventné essairedemodéliser

expli itementetsimultanémentlaréa tivité himiqueetletransportparl'utilisation

Ilexisediérentestypesd'appro hepourrésoudreletransportréa tif.Laplupart

desmodèlesee tuentle ouplage himie-transportselondeuxgrandes atégories,les

appro hes globales (GIA, Global Impli it Approa h) etles appro hes séquentielles,

SNIA (Sequentiel Non IterativeApproa h) etSIA (SequentielIterative Approa h).

Le transport de solutés réa tifs en milieu poreux est un problème di ile du

point de vue numérique. Il faut d'une part oupler le modèle de transport et le

modèle de himie. D'autre part, il faut résoudre de manière robuste le problème

de l'équilibre himique, qui est un système d'équations algébriques. Nous étudions

d'abordlarésolutiondeséquationsd'équilibre,sansprendre en omptelesréa tions

de pré ipitation-dissolution. Les réa tions de pré ipitation-dissolution présentent

une di ulté parti ulière par leur ara tère à seuil, don non-diérentiable. Nous

examinonslesméthodes lassiques de ouplage, enlesréinterprétantàlalumièrede

l'analyse numérique, e qui permet de suggérer des améliorations. Pour résoudre le

problème ouplé, onpropose d'utiliserune (variante de la)méthode de Newton, en

gardantàl'espritqu'iln'estpaspossibledeformerlamatri eja obiennedu système

ouplé. Une solutionpossible est de résoudre le système linéaire à haque itération

par un solveur linéaire itératif, par exemple GMRES. On parle d'une méthode de

Newton-Krylov. Nous montrons omment formuler le problème ouplé

transport- himie dans e formalisme, de manière à onserver la séparation entre les modules

de transport et de himie. Nous illustrons la méthode sur des exemples, dont un

ben hmark proposé par le groupe MoMaS.

2.3 Chapitre 5 : E oulement dans l'interse tion des fra tures

Nous nous intéressons à la modélisation de l'é oulement d'un uide

monopha-sique dans un milieu poreux fra turé, ave des fra tures qui s'interse tent ( 'est le

as des grandes fra tures quinous intéresse i i),en utilisantles méhodes de

dé om-position de domaine. Lesfra tures sonttraitées ommedes interfa es entre lessous

domaines. Nousdémontrons l'existen e etl'uni itéde lasolution,etpour la

valida-tion numérique, nous présentons les résultats obtenues sur un as test a adémique

Résolution du problème de transport

1 Introdu tion

L'objet de e hapitre est la simulation de l'é oulement et du transport en

mi-lieu poreux saturé. L'hydrodynamique des é oulements est dé rite par un système

d'équations omposéde laloide Dar yetdel'équationde onservation delamasse.

Le transport des polluants est régi par l'équation lassique de diusion-adve tion.

A ette équationde transport, onpeutadjoindrediérentstermesdé rivant les

mé- anismes himiques.

La résolution de l'équationdu transport né essite de onnaître lavitesse de

l'é ou-lement. Cette vitesse est appro hée en résolvant les deux équations d'é oulement

par la méthode des éléments nis mixtes hybride, indépendamment du transport.

Ensuite, ette vitesse est utilisée pour simuler le transportdes polluants.

Pour la résolution de l'équation du transport, la te hnique de séparation

d'opéra-teursestutiliséepourdis rétiserl'équationdediusion-adve tion.Letermedispersif

est appro hé en utilisantune méthode d'éléments nis mixtes hybrides, etle terme

adve tif est appro hé par une méthode de volumes nis.

Dans un premier paragraphe nous rappelons les équations d'é oulement et du

transport, ensuite nous étudions trois s hémas pour la dis rétisation de l'équation

du transport en 1D dans les as homogène et hétérogène. La suite du hapitre

se on entre sur la résolution des équations d'é oulement en régime transitoire ou

permanentet larésolution du transporten 3D par laméthode de séparation

d'opé-rateurs. Les méthodes numériques sont validées par des solutions analytiques, et

mises en oeuvre dans un ode industriel.

2 Équations de l'é oulement et du transport

L'é oulementd'unuidedansunmilieuporeuxestrégipardeuxloisprin ipales:

2.1 La loi de Dar y

Les auses de dépla ement d'un uide en milieux poreux sont les gradients de

pressionetlagravité.Laloide Dar y exprimelavitesse de ltrationen fon tionde

la harge hydraulique. Pour un uidein ompressible, la loide Dar y s'é rit:

u =

₋

kρg

µ

∇

 p

ρg

+ z



=

_−K∇h,

(2.1)



u

leve teur vitesse de Dar y,

[LT

−1

_]

,



k

la perméabilité intrinsèque du milieu,

[L

2

_]

,



ρ

lamasse volumique de l'eau,

[ML

−3

_]

, 

g

lagravité,

[LT

−2

_]

, 

z

la ote verti ale,

[L]

, 

p

lapression 

h =

p

ρg

+ z

la harge hydraulique,

[L]

,



K

le oe ient oule tenseur de perméabilité,

[LT

−1

_]

.

Entrois dimensions, letenseur de perméabilité

K

est une matri esymétrique

éven-tuellementpleine.Cetenseurpeutseréduireàses omposantesdiagonaleslorsqu'on

sepla edanslerepèrede oordonnéesdontlesaxessontlesdire tionspourlesquelles

l'é oulement est ee tivement parallèleaugradient de la harge (de Marsily,[28℄).

2.2 L'équation de onservation de la masse

L'équationde onservationde lamasseexprimeleprin ipedela onservationde

masse d'un uide en mouvement,dans un volumeélémentaire (on parle de Volume

Elémentaire Représentatif pour pouvoir faire un modèle ontinue d'un milieu

hété-rogèneàl'é helle mi ros opique),lavariationdelamassedeuidedurantune unité

de temps est égale à la somme algébrique des ux massiques traversant la surfa e

du volume onsidéré. L'équationde bilan de masse s'é rit sous laforme générale :

S

∂h

∂t

+

div

u = ˜

f ,

(2.2) où:  S le oe ient d'emmagasinement

[L

−1

_]

,



f

˜

le terme sour epar unité de volume

[T

−1

_]

.

Sila harge ne varie pas ave letemps, 'est le as du régimepermanent,l'équation

(2.2) seréduit à laforme :

div

u = ˜

f .

(2.3)

2.3 L'équation d'adve tion-diusion

Le transport des polluantsest lasuperposition de plusieursphénomènes

peuvent inuer sur le dépla ement. Le transport d'un polluant non réa tif dû à

l'adve tion etla dispersionest donné par :

φ

∂c

∂t

+

div

(

−D∇c) +

div

(uc) = f,

(2.4)

 représente la on entrationen solution

[ML

−3

_]

,

 u la vitesse de ltrationde l'é oulement, .à.d la vitesse de Dar y

[LT

−1

_]

, f. se tion2.1. 

φ

la porosité du milieu

[.]

, 

f

le terme sour e

[MT

−1

_]

,



D

est le tenseur de dispersion-diusiondonnéen fon tion de lavitesse

u

par :

D(u) = d

m

I +

|u| [d

l

E(u) + d

t

(I

− E(u))] ,

ave

E

ij

(u) =

u

i

u

j

|u|

2

,

(2.5) 

d

m

la diusion molé ulaire

[L

2

_T

−1

_]

, 

d

l

la diusionlongitudinale

[L]

, 

d

t

ladiusion transversale

[L]

,

La partie adve tive (2.6) de ette équation (2.4) représente le débit de l'adve tion,

et 'estle dépla ement moyen à lavitesse de Dar y,

ϕ

a

= uc.

(2.6)

La partie diusive (2.7) représente le débit de la diusion, et 'est le dépla ement

dû à l'agitationmolé ulaire ouà l'hétérogénéité des vitesses mi ros opiques,

ϕ

d

=

−D∇c.

(2.7)

Le débittotal

ϕ

est la sommede deux debits adve tif etdiusif :

ϕ = ϕ

a

+ ϕ

d

.

On résout d'abord l'équation de Dar y et de onservation indépendamment du

transport pour obtenir la vitesse. Ensuite, ette vitesse est utilisée pour simuler le

transfert de polluant.

3 Choix d'une méthode numérique

On peut se voir obligé d'utiliserune solution numérique des équations

d'é oule-mentet du transport plutt quela solutionanalytique pour plusieurs raisons:

 Le domaine d'é oulement est borné par des limites qui inuen ent au ours

du temps sur la solution re her hée. Généralement les solutions analytiques

 Le milieu est hétérogène : ses propriétés varient dans l'espa e, tandis que les

solutionsanalytiques supposent que milieu est homogène ouque la géométrie

des hétérogénéités est très simple.

 Le problème est non linéaire etil n'existe pas de solution analytique.

Dansle as oùlessolutionsnumériquessontné essaires, ilfaut hoisirune méthode

bien adaptée pour larésolution d'un problème donné.

Diérentes méthodes numériques, ommela méthode de Diéren es Finis(DF),

de Volumes Finis (VF), des ÉlémentsFinis de Galerkin(EFG), des Éléments Finis

Mixtes(EFM),desÉlémentsFinisDis ontinus(EFD),oudesÉlémentsFinis

Mixte-Hybride (EFMH) peuvent être utilisées pour la résolution des équations

d'é oule-menten milieuxporeux.

Les méthodes DF et VF permettent le al ul d'une harge (pression) ou d'une

on entration (moyenne par élément pour les VFet aux noeuds pour les DF).Ces

méthodes présentent des ontraintes sur la dis rétisation en espa e. Les DF sont

limitées à des mailles régulières simples (des arrés réguliers, des re tangles). Elles

nesontpas adaptéesàdes domainesàgéométrie omplexe.LaméthodeVFestplus

exible que elle des DF, ependent ette appro he né essite le respe t des

ondi-tions de Delaunauy sur la dis rétisation spatiale du maillage triangulaires e qui

devientdi ilepour unmaillageen tétraèdrespourle as tridimensionnel.De plus,

es deux méthodes ne permettent pas de traiter de manière ommode le as d'une

perméabilité anisotroped'orientation quel onque (tenseur non diagonal, plein).

Par ailleurs, les méthodes EFG standards permettent le al ul d'une harge ou

d'une on entration aux noeuds des maillages. En pratique, on prend des triangles

et des re tangles en deux dimension, et des tétraèdres ou des parallélépipèdes

re -tangles en trois dimension. Ce i permet de dé rire d'une manière satisfaisente la

geométrie du milieu ainsi que les hétérogénéités, et permet aussi de traiter toutes

les dire tions d'anisotropie (tenseur de perméabilié plein). Cependent la méthode

standard negarantitpas la ontinuité desuxàl'interfa eentre leséléments, e qui

a pour eet de donner un hamps de vitesse quin'est pas physique.

La méthode des élémentsnis mixtes (EFM) (présentée par lapremière foispar

Meissner [62℄ etdéveloppée par d'autres [66℄, [31℄, [67℄, [15℄, [14℄, [16℄, [87℄, [70℄,...)

apporte une réponse à e type de problème en appro hant simultanément soit la

pression et la vitesse de Dar y, soit la on entration et le ux diusif. Cette

mé-thode aboutit à un système d'équations dont les in onnues sont les on entrations

moyennes par maille et les ux diusifs à travers les interfa es des éléments. La

matri e asso iée à e système est symétrique non dénie positiveet don di ile à

La formulation EFMH (G.Chavent et J-E. Roberts [21℄, G. Chavent etJ.

Jaf-fré [20℄ , J-E. Roberts et J.M. Thomas [71℄, F. Brezzi et M. Fortin [16℄) permet

de suprimer l'in onvénient en hoisissant omme une nouvelle in onnue qui est un

multipli ateur de Lagrange utilisé pour assurer la ontinuité du ux (de Dar y, ou

diusif).Cemultipli ateurestuneapproximationdelatra edelapressionmoyenne

surlesarêtesoulesfa esdumaillage,onl'apelletra edelapressionoudela

on en-tration.Lamatri easso iéeausystèmemixtehybrideestsymétriquedéniepositive

et etypedesystèmeserésoutdemanièree a eave desalgorithmestelsque

Cho-lesky,Gradient onjugué, ...

L'équation du transport peut être résolue par diverses méthodes : diéren es

nies, élément nis, volumes nis, méthodes des parti ules, ... Le su ès de es

méthodes repose souvent sur le respe t du ritère de Courant etde Pé let.

Le nombre de Courant CFL et de Pé let de maille sont dénis en une dimension

par : CFL

=

u∆t

φ∆x

,

et Pe

=

u∆x

D

,

où

∆x

est le pas d'espa e,

∆t

est le pas du temps,et en trois dimension par :

CFL

=

1

2

Z

∂K

|u · n|dx

φ

K

|K|

,

Pe

=

1

2

Z

∂K

|u · n|dx

kDk

,

où

K

est un élément de dis rétisation, et les limites à respe ter sont : CFL

≤

1 et

Pe

≤

2. Le respe t du ritère CFL assure une stabilité du s héma numérique, et

le respe t de la limite Pe permet d'éviter lesos illations en vériant le prin ipedu

maximum.

Les ritèresde Courant etde Pé let imposent des ontraintes très stri tessur le

pasde tempsetlataillesdesmailles, equiexigeun tempsde al uletunbesoinen

pla e mémoireimportants.Diverses méthodes ont été développées pour s'aran hir

de es ritères. Une appro he développée depuis plusieursannées (Siegel et al [80℄)

s'appuie sur une résolution séparée des opérateurs d'adve tion et de dispersion. La

méthode de séparation d'opérateurs onsiste à séparer l'équation du transport en

diérentes sous équations, qui sont traitées ha une de manière spé ique. Cette

te hnique permetainsi de traiter des pro essusdiérents ommel'adve tion, la

dif-fusion, la himie, ave des méthodes appropriés pour haque type de phénomène.

La onstru tion des méthodes de séparation d'opérateurs n'est pas unique, elle

varie selon le hoix des méthodes numériques utilisées pour les sous-problèmes

ob-tenus. Douglas & Russell [32℄, et Ber ovier et al [7℄, ont appro hé l'équation du

adve tive et la méthode EF pour appro her la partie diusive. D'autres

ombinai-sons sont utilisées omme elle de la méthode EFMH et EFD, elle de la méthode

EFMHet VF.Ces méthodes sont exposées dans [78℄, [47℄, [51℄, [23℄.

Pour le développement dans le ode 3FLO (dont nous reparlerons plus tard),

ona hoisi

1

la dernière ombinaisonpour résoudre leproblème du transport. Pour

la partie adve tive du transport (2.6), on a utilisé la méthode de volumes nis

dé- entré en amont dans le but de préserver le bilan de masse lo alement, de donner

une bonne représentation des fronts et de limiter la dispersion numérique. Pour la

partie diusive (2.7),on autilisé laméthode des élémentsnis mixtes hybrides qui

onserve lamasse lo alementen assurantla ontinuité du uxàtravers lesfa es, et

qui permet de traiter des tenseurs de dispersion pleins.

La onditiondestabilitépourl'adve tionimposeune ontrainteparti ulièrement

sévère sur le pas de temps quand l'adve tion est signi ative. Ce i se traduit par

un oût de al ul très important, ar le traitement impli ite de la diusion impose

larésolution d'un systèmelinéaire à haque pas de temps.D'où vient l'idéede faire

de petits pas de temps d'adve tion, ontrlés par une ondition CFL, et des plus

grandspasdetempsdediusionen utilisantlate hniquededé omposition

d'opéra-teurs (splitting). Cette te hnique nous permet d'utiliser deux é helles diérents du

pas de temps. Pour ela, on divise le pas de temps de diusion en M pas de temps

d'adve tion ontrlé par la ondition CFL. En pro édant ainsi on pourra faire

plu-sieurspasdetempsd'adve tionpourun pasdetempsdediusion, equi onduiraà

d'importantsgainsde tempsde al ul,lespas detempsdediusion-dispersionétant

beau oupplus oûteuxque euxd'adve tionpuisqu'ilsimpliquentlarésolutiond'un

système linéairede grandetaille.

4 Etude générale de la méthode de dé omposition

d'opérateurs

Cette partie on erne une étude générale de l'ordre et de l'erreur

d'approxima-tion numérique due à ladé omposition d'oprérateurs dans la méthode splitting.

1

Montravailporteprin ipalementsurle ouplageentreletransportetla himie,j'aieubesoin

demettre enoeuvre le odedutransport en3Ddanslelogi ielindustriel3FLO,et pourpouvoir

hoisir la bonne méthode à implémenter, j'ai fait d'abord des études du transport en 1D ave

diérentes s hémasnumériques, et une omapraisonave unesolutionanalytique et unesolution

deréféren eapermetdefavoriserle hoixdelate hniquededé ompositiond'opérateurs,enplus,

'est une méthode qui amar hé dans divers appli ations, omme exemple ( f. P. A kerer et al,

Soit l'équation suivante:







∂c

∂t

= (

A + B)c

c(x, 0) = c

0

,

(2.8)

où

A

et

B

sont deux opérateurs diérentiels.

Laméthode de dé ompositiond'opérateurs est déniepar deux étapessu essives :

 Etape1 de résolution du pro essus

A

:







∂c

∗

∂t

=

Ac

∗

c

∗

(x, 0) = c

0

,

 Etape2 de résolution de résolution du pro essus

B

:







∂c

∗∗

∂t

=

Bc

∗∗

c

∗∗

(x, 0) = c

∗

,

Lavaleurde

c

est appro hée par

c

∗∗

. L'analysede l'erreurinduitepar la séparation

des opérateurs est ee tuée à partir des solutions exponentielles en utilisant un

développement en série de Taylor.

La solutionexa te de l'équation(2.8) s'é rit :

c(x, k) = e

k(A+B)

c(x, 0).

alors que lasolution al uléeest :

c

∗

(x, k) = e

kA

c(x, 0),

c

∗∗

(x, k) = e

kB

e

kA

c(x, 0),

L'erreur de séparation d'opérateurs est don :

c(x, k)

_{− c}

∗∗

(x, k) = e

k(A+B)

_{− e}

kB

e

kA

c(x, 0),

(2.9)

et par utilisationde la série de Taylor,

c(x, k) = c(x, 0) + k(

_{A + B)c(x, 0) +}

1

2

k

2

₍

A + B)

2

c(x, 0) +

_{· · ·}

=



I + k(

_{A + B) +}

1

2

k

2

₍

A + B)

2



c(x, 0),

et

c

∗∗

_{(x, k) =}



I + k

_{B +}

1

2

k

2

_B

2

₊

_{· · ·}

 

I + k

_{A +}

1

2

k

2

_A

2

₊

_{· · ·}



c(x, 0),

=



I + k(

_{A + B) +}

1

2

k

2

₍

_A

2

_{+ 2}

_{AB + B}

2

_{) +}

_{· · ·}



c(x, 0)

(2.10)

don

c(x, k)

− c

∗∗

_{(x, k) =}

1

2

k

2

₍

_{AB − BA) c(x, 0) + O(k}

3

_).

(2.11)

Ce i montre quel'erreur due à dé omposition d'opérateurs est d'ordre1 en temps,

elleest nulledans le as oùles deux oprérateurs

A

et

B

ommutent.

5 Étude des s hémas numériques pour l'équation

d'adve tion-diusion en 1D

5.1 Étude du as homogène

Le modèle

Ons'intéressedans ettepartieàl'étudedel'équationd'adve tion-diusiondans

le as monodimentionel, sur un intervalle borné

Ω =]0, L[

. Soit

c

la on entration

du omposant transporté,

u

lavitesse de Dar y qu'on suppose stri tement positive,

D

le oe ient de diusionet

f

letremesour e, les onditionsaux limitesétantde

typeDiri hlet :

∂c

∂t

− D

∂c

∂x

2

+ u

∂c

∂x

= f,

0 < x < L, 0 < t < T

c(0, t) = c

g

(t),

c(L, t) = c

d

(t),

c(x, 0) = c

0

(x)

à

t = 0.

(2.12)

Pour toutes les expérien es numériques, nous avons utilisé un s héma aux

dif-féren es nies ave

x

i

= i

L

I

, i = 0, .., I

, et nous avons testé et omparé plusieurs

s hémas de dis rétisation en temps.

Nous ne onsidérons que des s hémas ave traitement impli ite de la diusion ar

dans le as d'un traitement expli itede ladiusion la ondition de stabilitéimpose

que lepas de temps soit de l'ordre du arré du pas d'espa e, e qui rendle oût de

al ul prohibitif.

S héma totalement impli ite en adve tion et en diusion

Les hémadis retasso iéauproblème(2.12)dontl'adve tionetladiusionsont

traitées,toutes les deux impli itements'é rit:

c

n+1

_i

− c

n

i

∆t

− D

c

n+1

_i+1

_{− 2c}

n+1

_i

+ c

n+1

_i−1

∆x

2

+ u

c

n+1

_i

_{− c}

n+1

_i−1

∆x

= f

n+1

i

,

pour

i = 1,

· · · , I − 1

c

n+1

0

= c

g

(t

n+1

),

c

n+1

I

= c

d

(t

n+1

),

f

_i

n+1

= f (x

i

, t

n+1

).

(2.13)

Les formules sont maintenant

−a

d

c

n+1

i+1

+ (1 + 2a

d

+ a

v

)c

n+1

i

− (a

d

+ a

v

)c

n+1

i−1

= c

n

i

+ f

i

n+1

∆t

pour

i = 1,

· · · , I − 1

(2.14)

e quisignie que

X = (c

n

1

, ., ., ., c

n

I−1

)

T

est solutiondu système linéaire

A

1

X = B

1

,

oùla matri eA est déniepar :

A

1

=













1 + 2a

d

+ a

v

−a

d

−a

d

− a

v

1 + 2a

d

+ a

v

−a

d

.

.

.

−a

d

− a

v

1 + 2a

d

+ a

v

−a

d

−a

d

− a

v

1 + 2a

d

+ a

v













et oùlese ond membre vaut :

B

1

=













c

n

1

+ (a

v

+ a

d

)c

n+1

0

+ f

1

∆t

c

n

2

+ f

2

∆t

.

.

c

n

I−1

+ a

d

c

n+1

I

+ f

I−1

∆t













.

S héma expli ite en adve tion et impli ite en diusion

Pourladis rétisationde etteéquation,on onsidère uns héma expli ite

dé en-tré pour l'adve tionet impli ite entré pour ladiusion, 'est à dire :

c

n+1

_i

− c

n

i

∆t

− D

c

n+1

_i+1

_{− 2c}

n+1

_i

+ c

n+1

_i−1

∆x

2

+ u

c

n

i

− c

n

i−1

∆x

= f

n+1

i

,

pour

i = 1,

· · · , I − 1

c

n+1

0

= c

g

(t

n+1

),

c

n+1

I

= c

d

(t

n+1

)

f

_i

n+1

= f (x

i

, t

n+1

).

(2.15)

Les équationsaux points intérieurs

i = 1,

· · · , I − 1

peuvent se reé rire:

c

n+1

_i

₋

D∆t

∆x

2

(c

n+1

i+1

− 2c

n+1

i

+ c

n+1

i−1

) = c

n

i

−

u∆t

∆x

(c

n

i

− c

n

i−1

) + f

i

n+1

∆t.

En posant

a

d

=

D∆t

∆x

2

et

a

v

=

u∆t

∆x

, onobtient :

−a

d

c

n+1

i+1

+ (1 + 2a

d

)c

n+1

i

− a

d

c

n+1

i−1

= (1

− a

v

)c

n

i

+ a

v

c

n

i−1

+ f

i

n+1

∆t

e quisignie que

X = (c

n

1

, ., ., ., c

n

I−1

)

T

est solutiondu système linéaire

A

2

X = B

2

,

oùla matri eA est tridiagonaledénie par :

A

2

=













1 + 2a

d

−a

d

−a

d

1 + 2a

d

−a

d

.

.

.

−a

d

1 + 2a

d

−a

d

−a

d

1 + 2a

d













et oùlese ond membre vaut :

B

2

=













(1

− a

v

)c

n

1

+ a

v

c

n

0

+ a

d

c

n+1

0

+ f

1

∆t

(1

_{− a}

v

)c

n

2

+ a

v

c

n

1

+ f

2

∆t

.

.

(1

_{− a}

v

)c

n

I−1

+ a

v

c

n

I−2

+ a

d

c

n+1

I

+ f

I−1

∆t













Splitting : impli ite en diusion et expli ite en adve tion

Soit

∆t

le pas de temps pour la diusion. Il sera divisé en

M

pas de temps

d'adve tion

∆t

a

tels que

∆t = M∆t

a

ave

M

≥ 1

, lepas de temps d'adve tion sera

ontrlé par une ondition CFL :

∆t

a

≤

∆x

u

.

Étape d'adve tion

L'intervalle

[t

n

, t

n+1

]

est divisé en M intervalles

[t

n,m

, t

n,m+1

]

,

m = 0, ..., M

− 1

,

ave

t

n,0

= t

n

,

t

n,M

= t

n+1

. On note par

c

n,m

l'approximation de

c

à l'instant

t

n,m

ave

c

n,0

_{= c}

n

, les héma dé entré expli ite pour l'adve tion s'é rit :

c

n,m+1

_i

− c

n,m

i

∆t

a

+ u

c

n,m

i

− c

n,m

i−1

∆x

= 0,

m = 0, ..., M

− 1, i = 0, .., I,

(2.16) ou

c

n,m+1

_i

= c

n,m

_i

−

∆t

a

u

∆x

(c

n,m

i

− c

n,m

i−1

),

m = 0, ..., M

− 1

(2.17)

On al uleainsiexpli itementl'adve tion,etonobtient

c

n,M

i

après

M

pas de temps

d'adve tion.Cette on entrationreprésenteuneprédi tionde

c

n

obtenue enprenant

en ompte seulementl'adve tion.

Étape de diusion

Étantdonné

c

n,M

i

obtenudansl'étaped'adve tion,on al ule

c

n+1

i

par uns héma

impli ite,en résolvant l'équationde diusionave lepas de temps

∆t

c

n+1

_i

_{− c}

n,M

_i

∆t

−

D

∆x

2

(c

n+1

i+1

− 2c

n+1

i

+ c

n+1

i−1

) = f

i

n+1

(2.18) ou

−a

d

c

n+1

i+1

+ (1 + 2a

d

)c

n+1

i

− a

d

c

n+1

i−1

= c

n,M

onobtientle système

A

3

X = B

3

ave :

A

3

=













1 + 2c

d

−a

d

−a

d

1 + 2a

d

−a

d

.

.

.

−a

d

1 + 2a

d

−a

d

−a

d

1 + 2a

d













et

B

3

=













c

n

1

+ a

d

c

n+1

0

+ f

1

∆t

c

n

2

+ f

2

∆t

.

.

c

n

I−1

+ a

d

c

n+1

I

+ f

I−1

∆t













La solution analytique

On onsidère dans notre étude le transport d'un tra eur dans un domaine

mo-nodimensionnel semi-inni, on impose une on entration onstante en

x = 0

pour

t

_{≥ 0}

, lemodèle mathématique revientau problème dé rit pré édemment. On peut

obtenirlasolutionanalytiqueenutilisantlatransformationdeLapla e,etlasolution

exa te [84℄ s'é rit :

c(x, t) =

c

0

2



erf

 x − ut

2

√

Dt



+

exp



ux

D



erf

 x + ut

2

√

Dt



.

(2.20)

Comparaison des résultats numériques ave la solution analytique

Sur touteslesgures,les ourbesrougesreprésententlessolutionsanalytiqueset

les ourbes bleuesreprésentent la on entration al ulée. Danstous les as tests,on

xelaporosité

0.1

,ladiusion

0.05

(saufdans le as d'adve tionpure, oùonprend

unediusionégaleà

10

−22

),lavitessede Dar y

1

(saufdansle asde diusionpure,

où on prend une vitesse égale à

0

), on prend le pas d'espa e

∆x = 0.05

, et on fait

varier les pas de temps.

0

1

2

3

4

5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

C(x,t)

Numeric

Exact

Diffusion pure

dt=0.45

dx=0.05

Diffusion=0.05

Porosity=0.1

Velocity=0

0

1

2

3

4

5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

C(x,t)

Diffusion pure

Numeric

Exact

dt=0.0045

dx=0.05

Diffusion=0.05

Porosity=0.1

Velocity=0

Fig. 2.1: Cas d'une diusion pure : le pas de temps est 0.45 à gau he, et 0.0045 à

droite.

Dans le as de diusion pure, lestrois s hémas donnent des résultats identiques

ar la diusionest traitéede mêmemanière par un s héma impli iteen temps. Les

gures (2.1) représentent les résultats obtenus pour une diusion pure sans

adve -tionpour deuxpas detempsdiérents.On onstate l'eetdu hoixdupasde temps

sur la solution al ulée. L'erreurdiminue ave le pas de temps.

Adve tion pure

0

1

2

3

4

5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

C(x,t)

Numeric

dtcmax=0.0045

dt=0.00045

dx=0.05

Diffusion=1e−22

Porosity=0.1

Velocity=1

CFL=0.09

Advection pure

0

1

2

3

4

5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

C(x,t)

Advection pure

Numeric

dtcmax=0.0045

dt=0.0045

dx=0.05

Diffusion=1e−22

Porosity=0.1

Velocity=1

CFL=0.9

Fig.2.2: Casd'uneadve tionpure:lepas detemps est0.00045àgau he, et0.0045

à droite

Les gures (2.2) montrent l'inuen e du pas de temps sur la solution al ulée

pourles hémaexpli iteentemps.Adroitelasolution orrespondàunpasdetemps

lasolutionave un pasdetempsdixfoisplus petit.Pour e s hémadé entré amont,

l'erreur diminue quand le pas de temps se rappro he du pas de temps maximum

autorisépar la ondition CFL.

Diusion et adve tion

0

1

2

3

4

5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

C(x,t)

Conv Imp & Diff Imp

Numeric

Exact

dtcmax=0.0045

dt=0.0045

dx=0.05

Diffusion=0.05

Porosity=0.1

Velocity=1

0

1

2

3

4

5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

C(x,t)

Conv Exp & Diff Imp

without splitting

Numeric

Exact

dtcmax=0.0045

dt=0.0045

dx=0.05

Diffusion=0.05

Porosity=0.1

Velocity=1

CFL=0.9

Fig. 2.3: Diusion et adve tion sans splitting : à gau he diusion et adve tion

impli ite,à droitediusion impli iteet adve tion expli ite.

0

1

2

3

4

5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

C(x,t)

Splitting: Conv Exp & Diff Imp

Numeric

Exact

dtcmax=0.0045

dtc=0.0045

dt=0.0225

M=5

dx=0.05

Diffusion=0.05

Porosity=0.1

Velocity=1

CFL=0.9

Fig. 2.4: Diusion etadve tion ave splitting: le pas de temps de diusionest dix

fois plus grand quele pas de tempsd'adve tion

Sur les gures (2.3), on ompare le s héma (2.15) oùl'adve tion est expli ite (à

droite)etle s héma(2.23) oùl'adve tionest impli ite(àgau he), ladiusionétant

traitée impli itement dans les deux as. Le pas de temps hoisi est pro he du pas

que, quand on traite impli itement l'adve tion, la diusion numérique est plus

im-portante.

La gure(2.4) montre un résultatobtenu ave dé omposition des opérateurs de

diusionetd'adve tion(splitting).I ilepasde tempsd'adve tionestpro hedupas

de temps maximum autorisé par la ondition CFL, et le pas de temps hoisi pour

la diusion est inq fois plus grand que le pas de temps d'adve tion, e qui donne

un rapportde inqpas de tempsd'adve tion pour un pasde tempsde diusion.On

onstate que la solution est aussi bonne que sur la gure (2.3) à droite mais pour

un oût inq fois inférieur.

D'après les résultats que nous avons obtenus, on onstate qu'une méthode de

dé omposition des opérateurs de diusion et d'adve tion, ave adve tion expli ite,

donne de bons résultatsquand l'adve tion est importante. Le fait de séparer

diu-sion et adve tion nous permet d'utiliser un pas de temps optimal pour ha un des

opérateurs.Laséparationdesopérateurs, pourless hémasquenous onsidérons,ne

dégrade pas la qualité de la solution. Nous généralisons ette étude au as des

mi-lieuxhétérogènes, f. se tion 5.2.Nous allonsmaintenant donnerquelques éléments

théoriques sur less hémas que nous avons présentés.

Ordres des s hémas et erreurs d'approximation

Dans ette partie, onva étudierl'erreur d'approximationdes trois s hémas

étu-diés pré édemment. Soit

c(x, t)

la solution exa te (2.20). Pour al uler l'ordre du

s héma,oumesurer l'erreurd'uneapproximationnumérique,onutilise des

dévelop-pements de Taylor su essifs. On note

h

le pas d'espa e et

k

le pas de temps. On

a :

c(x, t

± k) = c(x, t) ± k

∂c

∂t

+

k

2

2

∂

2

_c

∂t

2

+ O(k

3

_),

c(x

± h, t) = c(x, t) ± h

∂c

∂x

+

h

2

2

∂

2

_c

∂x

2

±

h

3

6

∂

3

_c

∂x

3

+ O(h

4

_),

c(x

_{− h, t − k) = c(x, t) − h}

∂c

∂x

− k

∂c

∂t

+

h

2

2

∂

2

_c

∂x

2

+

k

2

2

∂

2

_c

∂t

2

+hk

∂

2

_c

∂x∂t

+ O(h

3

_{) + O(k}

3

_{) + O(h}

2

_{k) + O(k}

2

_h),

(2.21)

Appliquant es développementsde Taylor aux ombinaisonsqui interviennent dans

less hémas :

c

n

i−1

− 2c

n

i

+ c

n

i+1

=

h

2

2

∂

2

_c

∂x

2

+ O(h

4

_),

c

n−1

_i

_{− c}

n−1

_i−1

= h

∂c

∂x

−

h

2

2

∂

2

_c

∂x

2

− hk

∂

2

_c

∂x∂t

+ O(h