Conception et amélioration des propriétés amortissantes des composites auxétiques basés sur l'utilisation des outils de la micromécanique

(1)

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Conception et amélioration des propriétés amortissantes

des composites auxétiques basés sur l’utilisation des

outils de la micromécanique

Wiyao Leleng Azoti

To cite this version:

Wiyao Leleng Azoti. Conception et amélioration des propriétés amortissantes des composites auxé-tiques basés sur l’utilisation des outils de la micromécanique. Autre. Université de Lorraine, 2012. Français. �NNT : 2012LORR0218�. �tel-01749311�

(2)

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(3)

Ecole doctorale EMMA : Energie, Mécanique, Matériaux

THESE

Présentée par

AZOTI Wiyao Leleng

Pour l’obtention du grade de :

Docteur de l’Université de Lorraine

Spécialité : Sciences des Matériaux

Soutenue le 25 Septembre 2012 à 14h (Auditorium, ENIM) devant le jury composé de :

Pr. Paul LIPINSKI ENIM, Metz Directeur de thèse

Dr. MCF. Napo BONFOH ENIM, Metz Co-directeur de thèse

Dr. Yao KOUTSAWA CRP Henri Tudor, Luxembourg Co-directeur de thèse

Pr. Jean Claude GRANDIDIER

ENSMA, Poitiers Rapporteur

Pr. Antonio FERREIRA Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Portugal

Rapporteur

Pr. Djimedo KONDO UPMC, Paris Examinateur

Pr. Issam DOGHRI UCL, Belgique Examinateur

Dr. HDR. Salim BELOUETTAR CRP Henri Tudor, Luxembourg Examinateur

Conception et amélioration des propriétés amortissantes des composites

auxétiques basées sur l’utilisation des outils de la micromécanique

Design, concepts and methods for high damping/dynamic properties of

(4)

i

Remerciements

Les travaux de cette thèse ont été conjointement menés entre le Centre de Recherche Public Henri Tudor (CRP Henri Tudor) au Luxembourg et le Laboratoire de Mécanique Biomécanique Polymères Structures (LaBPS) de l’Ecole Nationale d’Ingénieurs de Metz sous le financement du Fonds National de la Recherche Luxembourg (FNR-Luxembourg). Je tiens à remercier Monsieur Paul LIPINSKI, mon directeur de thèse pour avoir dirigé ce travail de thèse avec un grand sens de rigueur scientifique et pédagogique. Ses qualités d’humaniste ont toujours contribué à l’avancement des travaux;

J’adresse également mes remerciements à Monsieur Napo BONFOH, mon co-directeur de thèse pour sa contribution remarquable dans ce travail. Sa simplicité d’être m’a toujours ouvert les portes de son bureau;

Un remerciement particulier est adressé à Monsieur Yao KOUTSAWA pour la confiance placée en ma personne en me confiant ce sujet de thèse. Grace à lui, j’ai fait mes premiers pas dans la mécanique numérique.

J’adresse mes vifs remerciements à Monsieur Salim BELOUETTAR, Chef de l’Unité Modélisation et Simulation (MODSI) du CRP Henri Tudor, pour la confiance placée en ma personne et m’avoir accueilli au sein de son équipe ;

Je tiens à exprimer ma gratitude à Messieurs les Professeurs, Antonio FERREIRA, Jean-Claude GRANDIDIER, KONDO Djimedo, Issam DOGHRI pour avoir accepté rapporter et examiner cette thèse ;

J’adresse un profond remerciement à Monsieur Sonnou TIEM, par qui mon troisième cycle universitaire en France a commencé. Qu’il trouve ici, l’expression de ma sincère gratitude; Enfin, je ne saurai oublier mes camarades de laboratoire du CPR Henri Tudor à l’instar de Christelle TCHALLA, Marco MONTEMURRO, Anita CATAPANO, Vanessa GEORGES, Duc TUE, Daniella CRISAFULLI, Stan ATTIPOU. A Metz, je pense particulièrement à Olivier Wiyao KPOBIE, Jérôme OLHAGARAY, Florian GHERING et Sana Ben KHLIFA.

(5)

ii

Dédicaces

A la mémoire de mon père,

A ma mère,

(6)

iii

Table des matières

Tables des matières

Dédicaces ... ii

Liste des Figures ... vii

Liste des tableaux ... x

Liste des symboles et abréviations ... xi

Introduction générale ... 1

Chapitre 1: Etude bibliographique

Introduction ... 6

1.1. Les matériaux auxétiques : Echelle de longueur et origine ... 6

1.1.1. Matériaux d’origine naturelle ... 6

1.1.2. Matériaux d’origine manufacturée et synthétisée ... 7

1.2. Microstructure et comportement auxétique ... 9

1.2.1. La microstructure ré-entrante ... 9

1.2.2. La microstructure chirale... 10

1.3. Méthodes d’homogénéisation et comportement auxétique ... 12

1.3.1. Homogénéisation asymptotique discrète (HAD) ... 13

1.3.2. Homogénéisation numérique ... 17

1.3.3. Homogénéisation par la théorie de champs moyens ... 21

1.4. Propriétés et applications des matériaux auxétiques ... 22

1.4.1. Propriétés ... 22

(7)

iv

Conclusion ... 28

Chapitre 2: Modélisation micromécanique

2.1. Motivation et objectifs ... 30

2.1.1. Motivations ... 30

2.1.2. Objectifs ... 30

2.2. Introduction aux méthodes d’homogénéisation par champs moyens ... 31

2.2.1. Localisation des champs macroscopiques ... 31

2.2.2. Technique de la moyenne ... 33

2.3. Détermination des déformations locales



: Equation cinématique intégrale ... 34

2.4. Modélisation micromécanique utilisant le concept d'une inclusion ellipsoïdale ... 36

2.4.1. Modèle de deux inclusions ellipsoïdales ... 37

2.4.2. Inclusion ellipsoïdale multi-enrobée ... 42

2.5. Conclusion ... 47

Chapitre 3: Investigation analytique et applications

micromécaniques

Introduction ... 49

3.1. Objectifs ... 49

3.2. Modélisation analytique du comportement auxétique ... 50

3.3. Le modèle de l’hétérogénéité multi-enrobée ... 55

3.4. Simulations par élements finis du modèle multi-enrobé ... 58

3.4.1. Définition des fractions volumiques ... 59

3.4.2. Relation entre les fractions volumiques et les dimensions des différentes phases ... 59

3.4.3. Propriétés des phases ... 60

(8)

v

3.6. Approche éléments finis de la microstructure « réentrante » ... 74

Conclusion ... 80

Chapitre 4:Effet du renfort auxétique sur les propriétés d'une

matrice viscoélastique

Motivations... 83

4.1. Introduction ... 83

Objectif ... 85

4.2. Principes de viscoélasticité dans le domaine temps / fréquence ... 86

4.3. Propriétés effectives d’un composite viscoélastique ... 87

4.3.1. Equation cinématique intégrale viscoélastique... 87

4.3.2. Estimation des propriétés viscoélastiques d’un composite à matrice ... 92

4.4. Applications numériques et discussions ... 96

4.4.1. Propriétés mécaniques des constituants ... 97

4.4.2. Comparaison des modèles micromécaniques ... 100

4.4.3. Composite impliquant des phases viscoélastiques ... 103

4.4.4. Composite impliquant des phases élastiques et viscoélastiques ... 105

4.4.5. Réponse en fréquence du composite ... 112

Chapitre 5: Comportement dynamique des structures sandwichs à

couches auxétiques

5.1. Introduction ... 117

Objectifs ... 118

5.2. Formulation cinématique du champ de déplacement ... 118

(9)

vi

5.3.1. Principe des travaux virtuels ... 120

5.3.2. Solution du problème dynamique ... 122

5.4. Modélisation éléments finis: Technique du « Modal Strain Energy »(MSE) ... 125

5.5. Applications numériques et discussions ... 127

5.5.1. Influence du coefficient de Poisson ... 128

5.5.2. Influences d’autres paramètres du modèle ... 132

Conclusion générale ... 136

Annexes ... 140

(10)

vii

Liste des Figures

Figure. 1.1: Structure brique de graphite dans le cœur des réacteurs nucléaires Magnox

[16] ... 8

Figure. 1.2: Illustration de la microstructure hexagonale ... 10

Figure 1.3: Illustration de la microstructure chirale ... 11

Figure 1.4: Cellule unitaire hexagonale « ré-entrante » (gauche) et hexachirale (droit) . 14 Figure 1.5: Cellule « ré-entrante »: ... 16

Figure 1.6: Cellule hexachirale: ... 16

Figure. 1.7. Différentes microstructures chirales étudiées... 18

Figure 1.8. Différentes microstructures tétrachirales étudiées ... 20

Figure 1.9. Variantes de microstructures trichirales étudiées ... 21

Figure 1.10: Mousses en chargement et mode de rupture: ... 25

Figure 1.11: Tests statiques: contrainte-déformation ... 26

Figure 1.12: Dégradation de rigidité en fonction du nombre de cycles [52] ... 26

Figure 1.13: Dissipation d’énergie par unité de volume en fonction du nombre de cycles: ... 27

Figure 2.1: Illustration du VER ... 32

Figure 2.2 :Décomposition du tenseur des propriétes elastiques

c x

 

... 35

Figure 2.3 : Microstructure de la paire d’inclusions plongée dans 0 C ... 37

Figure 2.4 : Illustration de l’interaction d’une paire d’inclusions ... 40

(11)

viii

Figure 3.1. Frontières du domaine auxétique en fonction de la fraction volumique

f

pour  2 ... 54

Figure 3.2. Frontières du domaine auxétique en fonction du rapport  pour f 0.354 Figure 3.3: Microstructure multi-enrobée décrite dans les travaux de Stagni ... 56

Figure 3.4 : Evolution du coefficient de Poisson 12 GSC  en fonction de la porosité ... 57

Figure 3.5 : Topologie Eléments Finis de la microstructure multi-enrobée ... 58

Figure 3.6: Maillage de la microstructure multi-enrobée ... 61

Figure 3.7: Contours Plots du champ de déformation issus du calcul EF sur Abaqus 6.10 ... 65

Figure 3.8: Evolution de



₁₂ versus la porosité: EF, micromécanique, Stagni ... 65

Figure 3.9: Approche micromécanique de l’architecture « ré-entrante » ... 67

Figure 3.10: Prise en compte de l’Interaction des inclusions ... 68

Figure 3.11. (a) Configuration contrainte plane, (b) configuration déformation plane. 69 Figure 3.12. Coefficient de Poisson  versus fT pour différentes valeurs de T and 0.4  ... 71

Figure 3.13. Coefficient de Poisson versus fT pour différentes valeurs de r, 0.4, T 10   ... 73

Figure 3.14: Modèle EF de la microstructure « réentrante » pour f_T 0.9 ... 75

Figure 3.15: Contours Plots de déformation de la microstructure réentrante pour 0.9 T f  ... 76

Figure 3.16 : Evolution du coefficient de Poisson versus la fraction volumique: FE et solutions micromécaniques pour  0.4, T10, r0.1 ... 77

Figure 3.17: Déformation 3-D du RVE sous sollicitation en traction ... 78

Figure 3.18:MEF, déformation plane 2-D, inclusions interconnectées ... 79

(12)

ix

Figure 4.1 : Représentation schématique du VER viscoélastique ... 92

Figure 4.2 : Propriétés viscoélastiques du PVB et des matériaux A et B ... 98

Figure 4.3: Encadrements micromécaniques pour E_C 658 MPa et  0.3 ... 101

Figure 4.4 : Propriétés viscoélastiques normalisées issues de phases viscoélastiques ... 104

Figure 4.5: Propriétés viscoélastiques normalisées issues de phases viscoélastiques et élastiques pour 0 10 Q ... 107

Figure 4.6: Influence du coefficient de Poisson  pour 1 10 Q  ... 109

Figure 4.7: Influence du rapport de rigidité Q pour   0.7 ... 111

Figure 4.8: Propriétés viscoélastiques versus Fréquence pour Q10, f_I 0.7 ... 115

Figure. 5.1: Illustration de la structure multicouche étudiée ... 120

Figure. 5.2: Conditions aux limites du problème dynamique ... 126

Figure. 5.3: Maillage de la structure ... 127

Figure. 5.4: Facteur de perte normalisé versus le coefficient de Poisson ... 130

Figure. 5.5: Premier mode de vibration du sandwich avec des couches auxétiques .... 131 Figure. 5.6: Deuxième mode de vibration du sandwich avec des couches auxétiques . 131 Figure. 5.7: Troisième mode de vibration du sandwich avec des couches auxétiques . 132

(13)

x

Liste des tableaux

Tableau 3.1 : Propriétés des phases ... 70

Tableau 5.1: Propriétés mécaniques et physiques ... 128

Tableau 5.2: fréquences propres et facteur de perte normalisé

pour

H_v H_e1

,

L H_t 50

... 129

Tableau 5.3: Influence du rapport de longueur pour

H_v H_e1

. 133

Tableau 5.4: Influence du rapport d’épaisseur pour

L H_t 50

, . 134

(14)

Liste des symboles et abréviations

xi

Liste des symboles et abréviations

Symboles latins

,

L t

: Paramètres géométriques d’une cellule

r

: Rayon du cylindre dans le réseau hexachiral

:

d

Largeur des segments et du cylindre dans le réseau hexachiral

D

: Diamètre des ligaments circulaires dans le réseau rotachiral

1

,

2

Y Y

: Vecteurs de translation périodique en Homogénéisation asymptotique

s

E

: Module de Young de la poutre utilisée en Homogénéisation asymptotique

i

V

Vecteurs de périodicité en Homogénéisation numérique

E

: Déformation imposée

V

: Volume du domaine étudié

u

: Champ de déplacement lié aux conditions aux limites en homogénéisation numérique

v

: Fluctuation périodique en Homogénéisation numérique

,

t n

: Vecteur traction et vecteur normal

c, s

: Tenseur des constantes et souplesses élastiques

d

E

: Dissipation d’énergie par unité de volume

, ,

d l L

: Longueurs d’échelle du VER

0

d

Limite de validité des lois de la MMC

d

U

: Déplacement imposé sur les frontières du VER

x

: Vecteur définissant un point du VER

,

(15)

xii

r

C

: Milieu de référence



c

: Fluctuations des propriétés élastiques

G

: Tenseur de Green

r

E

: Déformation macroscopique liée au milieu de référence

IJ

T

: Tenseur d’interaction en multi-site

P

: Opérateur interfacial

h

: Matrice de Christoffel

,

J K

: Tenseurs idempotents

I

: Tenseur identité d’ordre 4

f

: Fraction volumique d’inclusions dans le VER

k

: Epaisseur relative d’enrobage

e

: Ouverture des renforts horizontaux et adjacents

T

: Epaisseur de la cellule unitaire

I

a

: Tenseur de localisation relatif au milieu de référence

,

R J

: Fonction de relaxation et de retard

t

: Variable temporelle

: Transformée de Carlson-Laplace

ˆL

: Tenseur des propriétés viscoélastiques

ˆA

: Tenseur de localisation en déformation viscoélastique

ˆu

: Champ de déplacement viscoélastique

ˆ

IJ

T

: Tenseur d’interaction viscoélastique

s

r

: Facteur de proportionnalité défini au schéma incrémental

s

: Etape courante d’injection au schéma incrémental

(16)

xiii

Q

: Rapport de rigidité des phases

,

e v

H

: Epaisseurs des couches élastiques et viscoélastiques

t

H

: Epaisseur totale



, ,



U x z t

: Cinématique définissant les couches dans le sandwich

 

f z

: Fonction de cisaillement

 

0

,

u

x t

: Déplacement longitudinal du plan moyen

 

acc

P



: Puissance des forces d’inertie

 

int

P



: Puissance des forces internes

 

ext

P



: Puissance des forces extérieures

k

S

: Surface d’intégration de la couche

k

j

: Variable complexe

 

,

w z t

: Déplacement transversal de la structure

0

f

: fréquence propre

n v

U

: Energie de déformation dans la couche viscoélastique

n T

U

: Energie de déformation dans toute la structure

Symboles grecs



: Coefficient de Poisson



: Paramètre angulaire caractérisant l’auxétisme d’une cellule

(17)

xiv



: Rapport de finesse en Homogénéisation asymptotique



: Contrainte imposée

,

eff eff





: Coefficient de Poisson effectif, Module de cisaillement effectif



 

: Tenseurs des contraintes et déformations à l’échelle locale



: Tenseur de Green modifié

I



: Fonction indicatrice

i



: Fraction volumique du constituant

i

dans l’inclusion composite



: Tenseur de polarisation

i



: Tenseur de localisation de la phase

i

dans l’inclusion composite



: Saut moyen de déformation d’une phase à l’autre dans l’inclusion composite

,

MT MT





: Modules de cisaillement et de compressibilité de Mori-Tanaka

ˆ



: Tenseurs des contraintes et déformations viscoélastiques

,

 

: Module de stockage, facteur de perte

 

x t

,



: Rotation additionnelle

k



: Masse volumique de la couche

k



: Pulsation complexe

0



: Pulsation propre

Abréviations

PVB

: Poly Vinyle de Butyral

(18)

xv

SENER

: Densité d’énergie de déformation par unité de volume

CLT

: classical laminate theories

FSDT

: first order-shear deformation theories

HSDT

: high-order shear deformation theories

Notations





: Quantité virtuelle

,

_x

x

 

 



: Dérivée spatiale

,

_t

t

 

 



: Dérivée temporelle



: Partie réelle



: Partie imaginaire

(19)

Introduction générale

1

Introduction générale

Contexte général

Le coefficient de Poisson ν est l’une des deux propriétés mécaniques utilisées dans la description du comportement élastique et isotrope des matériaux solides suivant l’approximation des petites déformations [1]. Dans le cas des tests mécaniques de traction/compression, ν est défini par le rapport négatif de la déformation transverse sur la déformation axiale. Son effet relève d’une importance fondamentale dans le comportement des matériaux si bien qu’une variation de sa valeur conduit à des modifications significatives des performances mécaniques. Dans le cas des matériaux isotropes, la valeur de ν est définie suivant les restrictions thermodynamiques telles que 1  ν 1 2. La plupart des matériaux possèdent un ν positif. Par conséquent, ces derniers se déforment par une section transversale contractée ou amincie lorsqu'ils sont sollicités longitudinalement.

La possibilité que le coefficient de Poisson ν soit négatif est admise et demeure une conséquence de la théorie classique de l’élasticité [2]. Ceci implique que les matériaux « auxétiques », (terme désignant dans la littérature les matériaux à coefficient de Poisson négatif) se comportent par un gonflement ou une dilatation de leur section transversale sous sollicitation longitudinale en traction et une contraction sous l’effet d’un chargement en compression.

Observée dans la pyrite de fer par Voigt, au début du siècle précédent, et reportée par Love [2], cette propriété fut considérée comme anormale à cette époque. Depuis, des matériaux auxétiques synthétiques ont été produits incluant les mousses, les nids d’abeilles, les polymères microporeux et des fibres renforts de composites [3-6].

Dans la plus part des cas, les matériaux auxétiques résultent d’une altération de la microstructure interne de matériaux conventionnels. De là, la question de la microstructure d’un tel matériau surgit de la part de certains auteurs comme Lakes [3] et Gaspar et al. [7] par exemple. Ces derniers affirment que ce type de comportement résulte d’une microstructure

(20)

2 spécifique. La microstructure dite de nid d’abeille inversée ou « ré-entrante » peut être évoquée comme exemple. Par ailleurs, en analysant le mécanisme de déformation aboutissant au comportement auxétique, surviennent des interrogations quant à la nature de cette dernière. Ce comportement macroscopique résulte t-il d’un effet « structure » ou d’un effet « matériau » ? L’effet « structure » décrit un comportement lié à un réseau de renforts architecturés ou périodiques tandis que l’effet « matériau » fait référence ici, à un comportement équivalent issu de renforts hétérogènes dans une matrice. En effet, peu de travaux dans la littérature se confrontent à ce dernier point. Dans cette thèse, nous essayerons de comprendre le mécanisme gouvernant la microstructure d’un matériau auxétique d’un point de vue micromécanique.

Objectifs

Du fait de la présence d’un ν0, la possibilité d’amélioration de propriétés acoustiques, vibratoires et mécaniques [8] est confirmée. Aussi, est il bien connu que l’insertion d’inclusions améliore les propriétés du composite [9]. En effet, les travaux de Scarpa et al. [10], basés sur une configuration géométrique particulière (renforts « ré-entrants » noyés dans une matrice) de la microstructure, ont montré une augmentation des propriétés viscoélastiques des composites auxétiques telles que leur module de stockage. Aussi, des mousses cellulaires auxétiques affichent une amélioration significative de leur résistance aux chargements statique et cyclique de tension en fatigue [11] comparée aux mousses conventionnelles. D’autres travaux font cas d’une augmentation de l’énergie de dissipation par un facteur 15 [6] au niveau des mousses auxétiques en chargement cyclique de fatigue de compression. Récemment, des polymères auxétiques ont été combinés à des céramiques ferroélectriques dans le but d'obtenir des propriétés multifonctionnelles contrôlées en terme de réponses hydrostatiques piézoélectriques du composite [12]. Ces intéressantes propriétés donnent ainsi lieu à une multitude d’applications potentielles dans différents domaines technologiques (aérospatiale, défense, construction) [13].

Prenant en compte la large palette d’avantages et d’applications potentielles des matériaux composites à renforts auxétiques, leurs contributions respectives dans l’amortissement, les vibrations libres, la résistance à la fatigue etc. doivent être préalablement bien comprises. L’objectif principal de cette thèse, est de contribuer au développement d’un modèle multi-échelle afin d'explorer les aspects microstructuraux de tels matériaux d’une part et de

(21)

3 concevoir des matériaux composites à hautes propriétés multifonctionnelles à base de renforts auxétiques d’autre part.

Organisation de la thèse

Le plan de la thèse sera le suivant:

Le chapitre 1 constitue une étude bibliographique dressant l’état de l’art sur les matériaux auxétiques. Le comportement auxétique est présenté sous différentes origines, naturelle comme élaborée ou manufacturée. Les différentes microstructures conduisant à un tel comportement sont étudiées à travers diverses techniques d’homogénéisation aboutissant à un coefficient de Poisson négatif. Un accent particulier sera mis sur la technique d’homogénéisation par la théorie des champs moyens, domaine dans lequel, peu de travaux sur le comportement auxétique sont recensés. Ceci donnera lieu à diverses interrogations quant à la prise en compte d’un tel comportement par une approche multi-échelle telle que la micromécanique.

Le chapitre 2 est consacré à la mise en œuvre de réflexions théoriques quant à l'obtention du comportement auxétique d’un point de vue « effet matériau ». Ici, le terme « effet matériau » fait référence à la forme, les orientations et les différentes propriétés des phases constitutives. Dans ce chapitre, nous poserons les équations mises en œuvre dans le traitement de la microstructure multi-enrobée à travers le modèle développé par Lipinski et al. [14]. Les prémices d’homogénéisation de la microstructure dite « ré-entrante » seront analysées dans le cas du problème du matériau hétérogène à travers le problème de la paire d’inclusions hétérogènes. Ceci permettra la prise en compte de l’interaction des inclusions à travers un milieu dit de « référence ».

Dans le chapitre 3, l’applicabilité micromécanique du comportement auxétique d’un point de vue « effet matériau » est examinée par le biais du formalisme micromécanique introduit au chapitre 2. Ainsi, les microstructures recensées au chapitre 2, en l’occurrence la microstructure à géométrie sphérique du vide multi-enrobée [15] et celle dite « ré-entrante » seront étudiées. Les résultats de ce chapitre, qui se prédestine à une meilleure compréhension de la prise en compte des outils micromécaniques dans la description du comportement auxétique, seront confrontés à des modélisations Eléments Finis.

(22)

4 Le chapitre 4 vise à analyser le comportement amortissant de matériaux composites viscoélastiques linéaires renforcés par des hétérogénéités élastiques et auxétiques aux moyens d’outils de la micromécanique. A cet effet, la dépendance temporelle des problèmes viscoélastiques linéaires, grâce à l’utilisation de la transformée de Laplace-Carson (C-LT), est étudiée au travers d'un problème associé d'élasticité. Le formalisme micromécanique, basé sur l'équation cinématique intégrale introduite dans les chapitres précédents, conduira à la détermination du module de stockage effectif et de son facteur de perte associé, dans le domaine quasi-statique. La possibilité d'accroître les propriétés viscoélastiques (VE) d'un matériau polymérique, comme le PVB, sera donc examinée par plusieurs configurations de mélange.

Dans le chapitre 5, l’influence de couches viscoélastiques présentant un comportement auxétique est analysée dans les structures composites sandwichs à travers une formulation analytique et une simulation numérique sous la version 6.10 d’Abaqus de Dassault Systèmes. La formulation analytique est introduite par la spécification du champ cinématique gouvernant le déplacement dans chaque couche. En l’occurrence, des théories cinématiques simples et représentatives comme CLT (Classical Laminate Theory) et HSDT ( Higher Order Shear Deformation Theory ) d’ordre supérieur en termes de déformation de cisaillement seront considérées. Ceci permettra donc la définition d’un problème dynamique pour une structure sandwich à 5 couches par le biais du principe des travaux virtuels. Des quantités modales telles que la fréquence propre et le facteur de perte seront extraites par l'analyse du déplacement transversal. Pour sortir les mêmes grandeurs à partir des simulations par la méthode des éléments finis, la méthode des énergies modales MSE (Modal Strain Energy) sera employée. L’impact du coefficient de Poisson négatif sur la réponse modale sera déterminé, discuté et une confrontation des résultats analytiques et numériques sera présentée.

(23)

Chapitre 1 : Etude bibliographique

5

Chapitre 1: Etude bibliographique

Introduction ... 6 1.1. Les matériaux auxétiques : Echelle de longueur et origine ... 6 1.1.1. Matériaux d’origine naturelle ... 6 1.1.2. Matériaux d’origine manufacturée et synthétisée ... 7 1.2. Microstructure et comportement auxétique ... 9 1.2.1. La microstructure ré-entrante ... 9 1.2.2. La microstructure chirale ... 10 1.3. Méthodes d’homogénéisation et comportement auxétique ... 12 1.3.1. Homogénéisation asymptotique discrète (HAD) ... 13 1.3.2. Homogénéisation numérique ... 17 1.3.3. Homogénéisation par la théorie de champs moyens ... 21 1.4. Propriétés et applications des matériaux auxétiques ... 22 1.4.1. Propriétés ... 22 1.4.2. Applications ... 27 Conclusion ... 28

(24)

6

Introduction

Le terme « auxétique » désigne tout comportement mécanique dû à l’effet du coefficient de Poisson  négatif. La théorie de l’élasticité isotrope définissant les bornes thermodynamiques de

 entre les valeurs de l’intervalle 1   0.5, les matériaux auxétiques peuvent se retrouver sous trois formes :

 des cristaux qui manifestent des propriétés auxétiques à l'échelle microscopique ;  des mousses suite à un traitement mécanique et thermique approprié ;

 des fibres utilisées dans les matériaux composites.

De part la définition de  , qui traduit l’effet de la déformation transversale d’un matériau par rapport à sa déformation dans la direction de chargement, le coefficient de Poisson positif conduit à une diminution de section, et par voie de conséquence à la striction du matériau. Le  négatif produit un effet inverse. En effet, le matériau auxétique tend à augmenter de volume sous l’effet d’une sollicitation en traction et se contracte sous l’effet d’une sollicitation en compression.

1.1. Les matériaux auxétiques : Echelle de longueur et origine

La théorie de l'élasticité est indépendante de l'échelle, de ce fait la structure qui se déforme peut l’être à une échelle macroscopique ou microstructurale, ou encore moléculaire ou mésoscopique [16]. Par voie de conséquence, une grande variété de matériaux et structures auxétiques a été découverte, fabriquée ou synthétisée de l’échelle macroscopique à celle de l’atome. Ils sont généralement qualifiés en fonctions de leurs origines naturelles ou artificielles.

1.1.1. Matériaux d’origine naturelle

L’existence de  négatif dans la pyrite de fer fut observée dès le début du siècle précédent par Love [2] bien que ce fut une propriété considérée anormale à cette époque. Depuis, le comportement auxétique fut successivement observé à l’état naturel dans des monocristaux à l’instar de l’arsenic [17] et du cadmium [18]. Selon Baughman et al. [19], 69% des métaux

(25)

7 cubiques simples et quelques solides cubiques à faces centrées (cfc) deviennent auxétiques sous une sollicitation suivant la direction cristallographique (110). En effet, ils montrent que l'effet auxétique présente une corrélation avec la fonction de travail du métal et propose l’utilisation des métaux auxétiques comme des électrodes dans des applications piézoélectriques. Récemment, Yeganeh-Haeri [20] a mis en évidence la nature auxétique de la molécule de l’α-cristobalite polymorphe. Dans ses travaux, il démontre que le mécanisme responsable de l’auxétisme résulte de la rotation autour des axes tétragonaux de la structure cristalline de cette dernière.

Par ailleurs, le comportement auxétique a été découvert dans le domaine des biomatériaux et tissus biologiques, malgré l’existence de difficultés majeures dans la détermination de leurs propriétés élastiques à l’état naturel [16]. Il s’agit essentiellement des peaux de trayons de vaches [21] et des peaux de chats [22] à cause de leur microstructure fibrillaire. Aussi, est il reporté dans les travaux de Williams et al. [23] sur l’étude théorique et expérimentale des articulations que l’os spongieux de part sa microstructure cellulaire présente également des dispositions à être auxétique.

1.1.2. Matériaux d’origine manufacturée et synthétisée

A ce niveau, l’effet de  négatif demeure le produit de la conception. De ce fait, il est utilisé dans l’objectif de l'adaptation des propriétés mécaniques d'une structure à donner des performances améliorées. Evans et al. [16] mettent en évidence la structure brique de graphite dans le cœur des réacteurs nucléaires Magnox. En effet, la structure requiert une haute résistance à la déformation en cisaillement dans le plan horizontal et une faible résistance à la variation de volume. De ce fait, un comportement auxétique est introduit au niveau du mouvement radial des colonnes autoportantes de briques de graphite par l'intermédiaire des touches (segments) coulissant en vrac (ombrage sombre) dans les rainures reliant les colonnes adjacentes (Figure 1.1). Par conséquent, la structure s’accroit dans toutes les directions radiales quand elle est soumise à une charge de traction dans le plan horizontal et, en outre, conserve le réseau carré lors de la déformation. Ainsi cette structure est auxétique avec   1 dans le plan horizontal [16] et de part sa morphologie isotrope transverse conduit à l’obtention d’un module de cisaillement élevé.

(26)

8

Figure. 1.1: Structure brique de graphite dans le cœur des réacteurs nucléaires Magnox [16]

A cela, s’ajoutent les matériaux cellulaires dont les structures nid d’abeilles sont un exemple principal. Les structures macroscopiques, dans ce domaine, furent réalisées en 1982 en 2D en utilisant l’architecture dite « ré-entrante » dont le mécanisme résulte de la flexion des nervures (brins) de la structure [24, 25]. Divers procédés de fabrication, dont le « laser ablation », furent utilisés pour élaborer des cellules à base de polymères de dimension 1mm [26]. Récemment, des structures bidimensionnelles auxétiques de dimension cellulaire 50 m [27] et des structures tridimensionnelles basées sur l’architecture 2D « ré-entrante » ont été conçues et réalisées sur des substrats cylindriques [28] pour des applications en micro et nanotechnologies (micro positionneurs).

Par ailleurs, les mousses restent le domaine de prédilection des matériaux auxétiques. L'intérêt actuel pour ces derniers fut venu avec le développement en 1987 de mousses cellulaires isotropes par Rodéric Lakes [3]. Ainsi, des mousses thermoplastiques (polyester, uréthane), thermodurcissables (caoutchouc, silicone), et métalliques (cuivre) ont été rapportées par Friis et al. [29]. Il est constaté que, dans tous les cas, la valeur du coefficient de Poisson varie avec la déformation, et des valeurs approchant la limite de   1 pour les matériaux isotropes ont été rapportées au niveau des mousses polymères (  0.7) [3] et métalliques (  0.8) [30]. Par analogie aux structures nid d’abeilles bidimensionnelles, l'effet auxétique, dans les mousses, est réalisé par inversion des cellules polyédriques convexes. Dans le cas de mousses thermoplastiques, la transformation de la forme conventionnelle en celle auxétique est obtenue

(27)

9 par compression triaxiale suivie d'un chauffage de la mousse compressée au-dessus de son point de ramollissement.

Suite aux travaux sur les mousses auxétiques, des chercheurs ont travaillé à concevoir et fabriquer des matériaux plus rigides pour une plus large gamme d'applications. En 1989, Brian Caddock et Ken Evans ont découvert qu'une forme élargie du polytétrafluoroéthylène (PTFE) microporeux présentait un comportement auxétique [31] fortement anisotrope et dépendant de la déformation si bien qu’un  aussi bas que   12 a été observée dans une direction. En effet, à ce niveau, des études morphologiques et analytiques [32] indiquent que la propriété auxétique du PTFE résultait de la microstructure plutôt qu'une propriété intrinsèque au PTFE.

1.2. Microstructure et comportement auxétique

Plusieurs architectures ont été étudiées dans le cadre de l’analyse du comportement auxétique. Dans ce document, nous présentons deux classes d'architectures que sont les structures « ré-entrantes » et chirales.

1.2.1. La microstructure « ré-entrante »

C’est la microstructure la plus répandue dans la littérature. Réalisée pour la première fois en 1982 par Gibson et Ashby [24] en un modèle bidimensionnel, cette architecture a été l’objet de plusieurs études à toutes les échelles de longueur. Elle se base sur la géométrie hexagonale d’une structure nid d’abeille conventionnelle (Figure. 1.2). En définissant un paramètre angulaire, il est possible d’inverser l’orientation des arêtes ou brins de la géométrie et ainsi définir la géométrie « ré-entrante ».

(28)

10

(a)  0 Hexagone conventionnel (b)  0 Hexagone « ré-entrant »

Figure. 1.2: Illustration de la microstructure hexagonale

Outre le paramètre angulaire, des paramètres géométriques comme la longueur L et l’épaisseur

t permettent de définir les solutions en terme de moment de flexion des arêtes (poutres) et par

voie de conséquence les contraintes et déformations. Cette microstructure a été utilisée par Wei [33] dans une modélisation moléculaire en alternant des segments de polymères rigides et mous pour former un réseau macromoléculaire.

1.2.2. La microstructure chirale

Elle se compose d’un cylindre ou encore un nœud sur lequel se raccordent des segments ou brins (Figure. 1.3). Suivant les variantes on peut distinguer plusieurs types de ces architectures.

(29)

11

Figure 1.3: Illustration de la microstructure chirale

1.2.2.1. La microstructure hexachirale

Proposé par Lakes [34], cette microstructure a été étudiée et fabriquée par Prall et Lakes [35] et récemment par Alderson et al. [36]. Elle se distingue par un cylindre de rayon r sur lequel sont raccordés 6 segments ou brins de longueur L (Figure 1.7.a). Le cylindre et les segments ont tous la même épaisseur t et une largeur d . Dans les travaux développés par Dirrenberger et al. [37],

le paramètre d est considéré infini en tenant compte de la périodicité des conditions aux limites. A ces paramètres géométriques s’ajoute un paramètre angulaire  définissant l’orientation du segment reliant tangentiellement deux cylindres par rapport à l’axe passant par les centres de la circonférence de ces derniers.

(30)

12 Etudiée par Alderson et al. [36], cette microstructure (Figure 1.8) se présente comme celle de l’hexachirale à l’exception qu’elle comporte quatre segments reliés tangentiellement aux cylindres.

1.2.2.3. La microstructure tétra antichirale

Elle est l’homologue de la microstructure tétrachirale avec un angle   2 (Figure 1.7.b).

1.2.2.4. La microstructure rota chirale

C’est une microstructure proposée par Dirrenberger et al. [37]. Elle est similaire à l’hexachirale à l’exception que les segments sont remplacés par des ligaments circulaires de diamètre D (Figure 1.7.c). Elle a été élaborée dans le but d’étudier l’impact de la géométrie du ligament sur la réponse auxétique de la microstructure chirale.

1.3. Méthodes d’homogénéisation et comportement auxétique

Le terme « homogénéisation » désigne dans sa globalité toute technique de substitution utilisée en vue de l’obtention du comportement continu et macroscopique (global) d’un matériau hétérogène ou d’une structure. En effet, on peut distinguer les méthodes de substitution par un milieu continu suivant certaines hypothèses dont :

 La présupposition a priori de la forme du milieu continu que l’on nomme « méthodes par milieu continu équivalent » ;

 La non-présupposition du milieu continu équivalent.

Par ailleurs, les méthodes de substitution basées sur l’hypothèse de la non-présupposition du milieu continu équivalent concernent plus les milieux discrets pendant que la présupposition du milieu continu équivalent concerne les milieux continus hétérogènes.

(31)

13

1.3.1. Homogénéisation asymptotique discrète (HAD)

La méthode HAD est une technique mathématique pour calculer le comportement équivalent correspondant au milieu continu d'une structure périodique discrète construite sur la répétition d'une cellule élémentaire de base. Cette technique est inspirée de l'homogénéisation des milieux périodiques développés par Sanchez-Palencia [38], Bakhvalov et Panasenko [39], et plus récemment appliquée par Warren et Byskhov [40] et Mourad et al. [41]. Les principales hypothèses à ce niveau sont :

 la nature quasi périodique du réseau;

 et la petite dimension de la période par rapport à la taille du domaine macroscopique.

La méthode consiste en des développements en série de Taylor (asymptotique) à la fois sur les déplacements nodaux, les tensions et les forces externes en tant que puissances successives d'un petit paramètre noté  défini comme le rapport d'une longueur caractéristique de la cellule unitaire sur la longueur caractéristique de la structure. Ensuite, ces développements en série sont insérés dans l'équation d'équilibre convenablement exprimée sous une forme faible. L'équation de l'équilibre des nœuds, la relation force-déplacement et les relations moment-rotation des poutres sont alors développées en utilisant la méthode des différences finies. Les sommes discrètes sont alors transformées en intégrale de Riemann pour les densités de poutres continues rendant possible la détermination des contraintes et déformations continues. Les calculs ont été développés pour d’assez différentes formes de treillis et les résultats donnent une approximation générale des propriétés élastiques dans le cadre du comportement linéaire. Pour plus de détails sur l'aspect technique et mathématique de cette formulation, on peut se référer à la liste non exhaustive des publications récentes consacrées à ce sujet [42, 43][44]

Dans le cadre de cette revue, nous considérons deux réseaux d’architectures donnant apparition au comportement auxétique (Figure. 1.4). En termes de topologie, il est considéré les vecteurs translations Y Y₁, ₂ utilisés dans la génération périodique de toute la structure dans le plan.

(32)

14

Figure 1.4: Cellule unitaire hexagonale « ré-entrante » (gauche) et hexachirale (droit)

Une approximation des propriétés effectives de ces deux réseaux est donnée dans les travaux de Dos Reis et Ganghoffer [42] en fonction du rapport de finesse h = t L (rapport de l’épaisseur de la poutre t sur sa longueur L) et du module de Young de la poutre utilisée E_s:

 La cellule « ré-entrante »: Elle est anisotrope avec des propriétés effectives, en termes de module de Young et de coefficient de Poisson, données en fonction de l’angle  et du rapport de finesse  par [45]:

















3 η cos Hom E = E_S ; 11 ₂ ₂ ₂

1+ sin η cos θ - cos θ +1 3

η sinθ +1 Hom

E₂₂ _{= -ES}

2 2 2 2

cosθ -cos θ + η cos θ - 3η

 _   _       (1)

 









 









2 η -1 sinθ sinθ -1 Hom ν₁₂ = ; 2 2 2 η cos θ - cos θ +1 2 η -1 sinθ sinθ -1 Hom ν = 21 ₂ ₂ ₂ ₂ -cos θ + η cos θ - 3η          (2)

(33)

15  La cellule hexachirale: Elle est isotrope, son module de Young et son coefficient de

Poisson sont donnés par [45]:



_{139 3 71}





_{575 564} 2 _{44 3} 3



Es 96 E . 2 2 4 47 19729 224148 16908 3 54048 2973 3                (3)



_{74 3 617}





_{20689 76300} 2 _{11932 3} 3 ₆₂₁₁₂ 4 _{1257 3}



1 2 2 4 647 _{19729 224148} _{16908 3} ₅₄₀₄₈ _{2973 3}                    (4)

Pour les deux architectures considérées, un comportement auxétique est observé (Figures. 1.5-1.6). La cellule « ré-entrante » montre un  négatif pour des valeurs d’angles négatives. La valeur maximale de   8 a été observée pour    5 après laquelle le coefficient de Poisson décroit asymptotiquement quand l’angle diminue.

(34)

16

Figure 1.5: Cellule « ré-entrante »:

Coefficient de Poisson et Module de Young en fonction de  [45].

Figure 1.6: Cellule hexachirale:

Coefficient de Poisson versus le rapport de finesse  [45]

Le comportement auxétique reste néanmoins moins marqué pour la cellule hexachirale. Le coefficient de Poisson ne descend pas en dessous d’une valeur   1 (Figure 1.6). Il augmente de façon monotone par rapport à l’évolution du paramètre d'élancement ou de finesse h = t L.

(35)

17

1.3.2. Homogénéisation numérique

L’homogénéisation numérique consiste à déterminer les propriétés effectives sur une cellule unitaire (définie par les vecteurs de périodicité V_i, i1, 2, 3) à travers des conditions aux limites périodiques via la méthode des éléments finis. Une telle approche reste populaire en mécanique des matériaux composites mais demeure rare dans la recherche du comportement auxétique [37].

Les grandeurs macroscopiques en termes de déformation E et contrainte  sont définies à travers la relation de la moyenne sur le volume V :

1 dV V V  



E   (5) 1 dV V V  



   (6)

Les conditions aux limites périodiques sur la cellule unitaire sont appliquées en termes de champs de déplacement u telles que :

. , V

   

u E x v x (7)

où v est définie comme étant une fluctuation périodique.

(a) Cellule unitaire hexachirale :

(36)

18

(b) Cellule unitaire tétra-antichirale :

Génération périodique du treillis tétra-antichiral [37].

(c) Cellule unitaire rota-chirale :

Génération périodique du treillis rota-chiral [37]. Figure. 1.7. Différentes microstructures chirales étudiées

Sur le volume V , le champ de déplacement u prend la même valeur pour deux points homologues situés sur des faces opposées. Dans la même configuration, le vecteur traction

.



t  n prend une valeur opposée. Par application, soit d’une contrainte macroscopique ou d’une déformation macroscopique, les tenseurs des modules effectifs et des souplesses du matériau se calculent par : : :      C E E S   (8)

Dans le cadre de cette revue, nous considérons les microstructures étudiées par Dirrenberger et al [37] à savoir la microstructure hexachirale (Figure 1.7.a), tétra-antichirale (Figure 1.7.b), et rota-chirale (Figure 1.7.c). Dans leur travail, l’homogénéisation de la microstructure auxétique a été élaborée en vue de son utilisation dans une structure sandwich. Les modules élastiques sont alors

(37)

19 calculés pour une fraction volumique de matériau auxétique de _VV 0.06 0.07 . Ainsi, un matériau isotrope avec un module de Young de E₀ 210000MPa et un coefficient de Poisson de ₀ 0.3 est utilisé. Les propriétés effectives telles que le coefficient de Poisson eff , le module de Young normalisé

0 eff E E E _VV 

 et le module de cisaillement normalisé

0 eff VV    

 sont alors exprimées en fonction des angles  et  caractérisant l’anisotropie. Il ressort de leur analyse un comportement isotrope transverse par rapport à la troisième direction pour les microstructures étudiées.

 

231 193 114 0 0 0 193 231 114 0 0 0 114 114 15731 0 0 0 0 0 0 2271 0 0 0 0 0 0 2271 0 0 0 0 0 0 212 C    _                 (9)

Microstructure hexachirale en MPa

 

11 2.45 2.56 0 0 0 2.45 11 2.56 0 0 0 2.56 2.56 16173 0 0 0 0 0 0 1757 0 0 0 0 0 0 1757 0 0 0 0 0 0 6.72 C    _                 (10)

(38)

Chapitre 1 : Etude bibliographique 20

 

1365 1329 10.9 0 0 0 1329 1365 10.9 0 0 0 10.9 10.9 12613 0 0 0 0 0 0 1978 0 0 0 0 0 0 1978 0 0 0 0 0 0 2.01 C    _                 (11)

Microstructure rota chirale en MPa

Outre cette étude, Alderson et al. [36] ont récemment développé une analyse générale bidimensionnelle dont un modèle élément fini traitant de la microstructure chirale. En effet, la géométrie se compose de cylindres interconnectés par des ligaments. Ainsi, des cylindres possédant trois (trichiral et anti trichiral), quatre (tétrachiral et anti tétrachiral), et six (hexachiral) ligaments sont considérés. Les conditions aux limites sur la cellule élémentaire tétrachirale s’appliquent sur un ligament saillie à mi-parcours et contraint de se déplacer le long d'une ligne passant par le centre du nœud circulaire et le ligament opposé à mi-parcours (Figure 1.8.a). Par ce fait, on contraint la déformation au milieu du ligament à suivre celle de la ligne.

(39)

21

Figure 1.9. Variantes de microstructures trichirales étudiées

Les conditions aux limites dans le cas de la microstructure trichirale sont définies de façon à ce que les bords de la cellule élémentaire passent par le milieu des segments (Figure 1.9.a). Ainsi, les points milieux des segments interceptant les bords verticaux de la cellule élémentaire sont contraints à conserver le même déplacement dans la direction y. Aussi, les points milieux des segments interceptant les bords horizontaux de la cellule élémentaire sont contraints à conserver le même déplacement dans la direction x. Ceci a pour but de contrainte la déformation d’une paire de points milieux à se déplacer suivant la ligne reliant ces derniers.

Les résultats de cette analyse montrent essentiellement que contrairement aux systèmes hexachiral et tétrachiral qui sont auxétiques, le système trichiral possède un coefficient de Poisson positif dans le plan d’étude. Le système anti trichiral est auxétique pour de faibles longueurs de segments tandis qu’il devient non auxétique pour de longs segments.

1.3.3. Homogénéisation par la théorie de champs moyens

Les travaux à ce niveau demeurent peu nombreux quant à l’investigation du comportement auxétique. Les travaux développés étaient destinées à l’utilisation des matériaux auxétiques comme inclusions dans des composites en vue de l’amélioration de certaines propriétés mécaniques à l’instar du module de Young. A cet effet, Wei et al. [46] présentent à travers une étude théorique que ces matières composites deviennent auxétiques lorsque la fraction volumique d'inclusions dépasse une valeur critique et le rapport du Module de Young de l'inclusion à celui de la matrice tombe dans un intervalle défini. Dans leur étude, ils considèrent des inclusions sphériques et isotropes statistiquement désordonnées dans une matrice isotrope. Les propriétés effectives sont alors obtenues à travers une équation de type loi de mélange [46]. En plus de l’utilisation de la règle de mélange inhérente à la théorie des champs moyens, un formalisme introduisant des fonctions de corrélation à N points [47] caractérisant la

(40)

22 microstructure est couplé. Plus tard, à travers la même procédure, l’analyse des inclusions de forme ellipsoïdale ou elliptique [48] et de forme en disque et en aiguille [49] dans une matrice incompressible a été faite pour des inclusions conventionnelles et auxétiques.

1.4. Propriétés et applications des matériaux auxétiques

1.4.1. Propriétés

De la littérature, il ressort que les matériaux à propriétés auxétiques se retrouvent dans les domaines où des fortes performances en termes de cisaillement, de rupture en déformation plane [50] sont recherchées. Aussi, des propriétés comme la résistance à l’indentation se trouvent améliorées avec un  négatif. Evans et al. [16] décrivent ces propriétés en terme de dépendance par rapport aux facteurs

 

12 et



1



. En effet, dans le cas des matériaux isotropes, le module de cisaillement se définit par :









3 1 2 2 1 K G      (12)

Tandis que la résistance à l’indentation reste proportionnelle à :

2 1 x H E    _         (13) avec 1, 2 3,

distribution uniforme de pression identation de type Hertzien x x     

Il ressort des équations (12) et (13) qu’une valeur du coefficient de Poisson tendant vers   1 et pour des valeurs données des modules de Young E et de compressibilité K conduisent à l’amélioration de ces propriétés. La résistance à l’indentation dans les mousses de cuivre étudiées par interférométrie holographique montre que la cellule « ré-entrante » présente une contrainte de rupture _y supérieure à celle de la mousse conventionnelle. La résistance à l’indentation de

(41)

23 l'UHMWPE microporeux auxétique est une propriété dépendante de la déformation et sa dureté a été améliorée par un facteur 2 par rapport au matériau conventionnel.

Bien qu’il soit théoriquement montré que le comportement auxétique améliore la résistance à la rupture en mécanique, cette propriété reste peu étudiée. Comparés aux matériaux conventionnels, les matériaux auxétiques améliorent la résistance à la rupture. Cette propriété a été étudiée expérimentalement comme une fonction du taux de compression volumétrique permanent [51] qui est une variable de conception. Dans le cas des mousses polymères en polyuréthane, les travaux de Choi et Lakes [30] montrent des valeurs de résistance à la rupture et du taux de compression volumétrique des mousses auxétiques améliorées par un facteur 1.7, 2.1, 2.3, 2.6 et 3.2 et par un facteur de 2.0, 2.6, 3.2, 3.7, et 4.2, respectivement. Les matériaux auxétiques présentent également une très grande résistance à la fissuration.

Quant à l’amélioration des propriétés viscoélastiques, Scarpa et al. [10] montrent à travers une modélisation éléments finis d’un composite biphasé que le module de stockage a été significativement amélioré par la microstructure « ré-entrante ». En effet, le composite biphasé utilisé dans cette étude se compose d’un renfort « ré-entrant » issu d’un polymère VITON40 à 20°C tandis que la matrice est un polymère viscoélastique ISD112 à la même température. Le facteur de perte a montré une sensibilité significative par rapport à la fraction volumique et la microstructure considérée. Il convient de rappeler à ce niveau que dépendant d’un angle θ la microstructure hexagonale conventionnelle ou « ré-entrante » du renfort peut être obtenue. Ensuite, par une application du composite biphasé aux structures sandwichs à cœur cellulaire à travers l’analyse des vibrations libres il a été démontré la possibilité d’améliorer simultanément la rigidité par unité de masse et le facteur de perte en utilisant un biphasé cellulaire à microstructure « ré-entrante ».

Les mousses polyuréthanes PU sont utilisées dans divers domaines technologiques et constituent une des catégories les plus importantes de plastiques à cause de leur versatilité. Aussi, les mousses cellulaires PU ont été largement utilisées dans le prototypage des mousses auxétiques compte tenu de la transformation facile et applications aux procédés de fabrication liés au matériau auxétique.

(42)

24 En effet, Scarpa et al. [4] suggèrent, par le biais de tests dynamiques sur une mousse cellulaire en polyuréthane, l’utilisation de mousses auxétiques pour combattre le syndrome « hand-arm vibration syndrome » dans les applications vibratoires. Ils montrent aussi que la capacité d'amortissement des mousses auxétiques a augmenté d’un facteur 10 par rapport aux mousses conventionnelles et la dégradation de la rigidité est stabilisée après quelques dizaines de cycles de chargement.

Plus tard, des études statique et dynamique en fatigue ont été conduites par Bezazi et Scarpa [52] sur deux catégories de mousses thermoplastiques PU via des sollicitations de type tension. Ces études ont été conduites à l'aide d'une machine d’essai de type MTS 858 servo-hydraulique avec un chargement à la fatigue évalué à 10 kN pour une fréquence maximale de 30 Hz. Les tests statiques ont été effectués sur des échantillons ayant des longueurs différentes avec une vitesse de déformation constante de 0,1 mm / s.

Les essais de fatigue ont été réalisés en contrôlant le déplacement pour tous les types de mousses suivant une onde sinusoïdale avec 3 Hz de pulsation. Les échantillons ont été préchargés à 70% du déplacement maximal obtenu lors des essais statiques, puis soumis à une série d'amplitudes différentes, conduisant à différents niveaux de chargement r (0,725, 0,75, 0,80, 0,85, 0,90 et 0,95) tels que max

r

U r

U

 , où U_max représente le déplacement maximal pour un niveau de

chargement spécifique et U_r le déplacement maximal conduisant à la rupture.

La première catégorie concerne des mousses PU conventionnelles (Figures 1.10.a et 1.10.b) alors que la deuxième catégorie s’intéresse aux mousses PU auxétiques (Figures 1.10.c et 1.10.d) obtenues par un procédé de fabrication impliquant quatre étapes : (i) la compression, (ii) le chauffage, (iii) le coulage et enfin (iv) la relaxation.

(43)

25

Figure 1.10: Mousses en chargement et mode de rupture: (a) conventionnelle en tension; (b) conventionnelle en rupture;

(c) auxétique en tension; (d) auxétique en rupture, [52]

En statique et à travers des tests de traction (Figure 1.11.a), Bezazi et Scarpa montrent un comportement bilinéaire de la courbe contrainte-déformation de la mousse auxétique avec une augmentation de la contrainte de rupture d’un facteur 1.7 comparé à la mousse conventionnelle. Ils expliquent ces résultats par le fait que les cellules unitaires en mousse se déforment en flambage au moment du procédé de fabrication, occasionnant une sorte de rotation charnière à l'intersection des brins. Cependant, après une certaine déformation à la traction, les brins des cellules tendent à s'aligner, fournissant donc une résistance au chargement externe en raison de la rigidité axiale des brins.

Le comportement en compression (Figure 1.11.b) pour les deux types de matériaux reste substantiellement différent. D’une part, la mousse conventionnelle montre un plateau quasi linéaire de densification avec une contrainte de 0.019 MPa pour une densification aux alentours de 50% de la déformation, puis atteint une contrainte maximale de 0.07 MPa à 80% de déformation. D’autre part, la mousse auxétique montre un comportement exponentiel de la courbe contrainte-déformation tout en atteignant un maximum de 1 MPa à 80% de déformation.

(44)

26

Figure 1.11: Tests statiques: contrainte-déformation (a) tension et (b) compression [52]

Dans le cas des tests de fatigue réalisés sur les mêmes échantillons et dépendant du niveau de chargement r, Bezazi et Scarpa montrent que la mousse auxétique présente une meilleure résistance à la dégradation de rigidité en fonction du nombre de cycles de chargement pour

0.95

r  (Figure 1.12).

(45)

27

Figure 1.13: Dissipation d’énergie par unité de volume en fonction du nombre de cycles: (a) auxétique; (b) conventionnelle [52]

En terme de dissipation d’énergie par unité de volume définie par max min

ε d _ε

E 



σdε, la Figure 1.13 présente la variation de E_d en fonction du nombre de cycles pour différents niveaux de chargement et ceci tant pour la mousse auxétique que conventionnelle. La variation de l’énergie de dissipation évolue en deux étapes. La première se présente en une brute décroissance aux environs de 2000 cycles pour la mousse auxétique et 800 cycles pour la mousse conventionnelle. La deuxième étape est liée à une faible décroissance suivie d’une évolution quasi constante en plateau. A ce niveau, Bezazi et Scarpa [52] notent que le comportement en fatigue montre une variation significative durant la phase initiale du cycle de vie à cause de la dissipation d’énergie et ceci pour les deux types de mousses et concluent que l’analyse des résultats obtenus confirment l’aptitude de la mousse auxétique à dissiper plus d’énergie par unité de volume comparée à la mousse conventionnelle pour le même niveau de chargement.

1.4.2. Applications

L’applicabilité des matériaux auxétiques s’adresse aux domaines dans lesquels l’absorption au choc est requise. En effet, ces matériaux donnent une réponse assez robuste en termes d’absorption de choc, d’isolation phonique, de filtres d’air, d’attache de sécurité dans les voitures et avions et électrodes dans les capteurs piézoélectriques [19, 53]. L’utilisation des matériaux