Le problème de la paire d'inclusions plastiques et hétérogènes dans une matrice anisotrope : application à l'étude du comportement des matériaux composites et de la plasticité

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Le problème de la paire d’inclusions plastiques et

hétérogènes dans une matrice anisotrope : application à

l’étude du comportement des matériaux composites et

de la plasticité

Omar Fassi-Fehri

To cite this version:

Omar Fassi-Fehri. Le problème de la paire d’inclusions plastiques et hétérogènes dans une matrice anisotrope : application à l’étude du comportement des matériaux composites et de la plasticité. Autre. Université Paul Verlaine - Metz, 1985. Français. �NNT : 1985METZ013S�. �tel-01775688�

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uN

I!rERS

r ?E pE nErz

I ltsr I TU_T _DE GEN I E nECRN I QUE ET PR0DUCT I_oUE

THESE IIE DOÇToRÊT n' ETRT ES-SD r ENCES

i l a l t r e d e C o n f é r e n c e s p o u r o b t e n l r l e " l e p r o b l è n e d e l a p a i r e u n e n a t r l c e a n l s o t r o p e n a t É r I a u x c o n p o s I t e s e t pPêsen +-êJ pap 0 n a r FÊSS I - F E H R I à I a F a c u l t é d e s g r a d e d e D o c t e u r s u r I e s u J e t S c l e n c e s d e R â B R T ( i l R R O C ) d, ETÊT ES-SC I EIICES .

d ' l n c l u s l o n s p l a s t l q u e s _{e t h é t é r o g è n e s d a n s} Ê p p l l c a t l o n à l ' é t u d e d u c s i l p o r t e n e n t d e s d e l a p l a s t i c l t é . " l e : 3 d é e e m b r a 1985 à l'unlverslté d e M E T Z devant le J ury R . â U T H I E R , _{P r o f e s s e u r à l ' u n l u e r s f t é P R R I S u l} P . F . G 0 B I l l _{, P r o f e s s e u r à I ' I . l l . s . R . d e L v 0 l l} f f . z R 0 U l , P r o f e s s e u r à l ' u n l u e r s i t é . P R R I S x I I I R . H I I { I _{, P r o f e s s e u r à l a F a c u l t é d e s S c i e n c e s} J . D . $ | E B E R , _{P r s f e s s e u r à l ' u n l u e r s l t é d e n E T z} n . B : B I B L I O T H E O U E U N I E R S I T A I R E D E M E T Z

ililill

lllllilillll

_{022 +20237 0}

illl

[][illllililllllill

llll

: de

"Erz

ldatérlaux de la Faculté des Sclences de lE:fZ, _{eL ^au Laboratolre} de

Hécanlque et des liatérlar.u< de la Faculté des Sclences de MB.4T, sous la

d l n e c t l o n d e H o n s t e u r I e P r o f e s s e u n M . B E R I T E I L L E R , d l . r e c t e u n d u L . P . M . l t . ,

ces travarx entnent en partle dans le cadre d'une aetlon lntégrée de

coopénatlon entre ces deux Laboratolnes, sous I'églde du Centre I'latlonal

de la Rechenehe SclenLiflque françals et du Centre b{atlonal pour

l a C o o r d l n a t l o n e t L a P l a n l f l c a t l o n d e l a R e c h e r c h e S c l e n t l f l q u e e t

T e c h n l q u o n a r o c a l n .

J e n e n e r c l e H e s s l e u r s l e s P n o f e s s o u r s P . F . & ] B I N , P n o f e s s e u r à

1'InstlÈut, lliatlonal des Sclences ,tlppllquées de LYON, A. .4[JTHIER,

Professeur à - 1'Unlverslté P,4RIS VI, et' , J.D. I^IEBER, Professeun à

l ' U n l v e r s l t é d e H E | T Z , q u l n ' o n f a l t l ' h o n n e u n d e f a l r e p a r t l e d e t n o n

Jurg de thèse et de Juger ce traval I.

H e s n e n e r c l e n e n t s l e s p l u s v t f s v o n L à H . . 4 . Z A O t r I , P r o f e s s e u r à

I ' U n l v e r s l t é P I R I S X I I I , g u l a aceePté de J,uger ce tnavall, e t q u 1 m ' a v a l t

p e r r n l s lors d ' u n e n t r e t t e n q u ' 1 I rn'avatt accordé avant que ce Ènavall ne

s o l t b n t r e p r l s , d ' a v o l r u n a p e r ç u s u r t o u t e " i " . q u e s l t o n s q u l n e s t a t e n t

ouvetr'uês apnès .Ie t,ravalI effectué par lul-mêma eL pap Hesslenrs

B æ U E I L L E R e t H I H I s u r l e n o d è l e s e l f - c o n s l s t g n t .

Je renercle très slneèrenent Monsleur Ie Pnofesseur H.BERI/EILLER

d , ' a v o l r a c c e p t é d e d t n l g e r c e t r a v a t t q u t n'auralt P u ê t r e n e n é à t e n m e

s a n s s o n a l d e , s e s c o n s e l l s e t s a n s l ' a p p o r t s c l e n t l f l q u e g u e J'at gagne à

s o n e o n t a c t ; J e s u t s a u s s l p a r t l c u l l è r e n e n t s e n s l b l e à s e s q u a l l i é s

h u n a l n e s g u t n ' o n t p e r n l s d ' e f i e c t u e r c e t r a v a l l d a n s , i e s c o n d l t l c n s

Je remerete Moneleur Ia Profcsseur .4. I{IHI qul n'a convalncu de

n'€ngager dans Ie donalne de la nechenche en néca.nlqua du sollde, eè

sans l'atde duquel toute la partle nunéclque et lnt'orna.tlque dans ce

t c a r r : a l 1 n ' a u r a l t p u être nenée à blen; Les dlscusstons consLantes que

J'al eues avee lul u'ont été d'un eneouragenent pernanent.

Je voudnals aussl exprlner toute na neconnalssance à Hadenolselle

l,l.4RCg,ET pour Ie soln eÈ la quallté avec lesquels elle à réallsé la

S t d l E l B a c h l r

Z e g d

e t H a s n a

5026_1

tnj 8518i

P L A T I

I - l n t r o d u c t t o n

l l - P r o b l è n e d e l a p a l r e d ' l n c l u s l o n s o l a s t l q u e s

I I - 1. Rappels des éqr.r.atlons fonda.mentales de la nécanlque des

n l I l e u x c o n t l n u s .

I I - e . F o r n u l a t l o n g é n é r a l e d u Problème de Ia Palne d'lncluslons

p l a s t l q u e s .

II - e - I Déternlnatlon du grarilent de déplacenent total

lI - 2 - 2 Chanp du gradlent de déplacenent noven dans

u n e t n e l u s l c r r . I I - 2 - 5 D é t e n n l n a t l o n d e s d é f o r n a t l o n s e t r o t a t l o n s totales noyennes. I I - 3 . C à t c u 1 s d e l ' é n e r € i l e é I a s t l q u e a s s o c l é e à l a p a t r e d ' l n c I u s l o n s p l a s L l q u e s . I I - 3 - 1 C a s g é n é r a l l l - g - 2 C a s d e l a P a l r e d ' l n e l u s l o n s

II - 4. EnenEile d'lnùeracÈton avec un chanp extérleur

I I - , t - 1 C a l c u 1 d e l ' é n e r g l e é l a s t l q u e L I - 4 - 2 E n e r g l e d ' l n t e r a c t l o n e n t r e l e c h a n P e r b é r l e u r e t u n e p a l r e d ' l n c l u s l o n s P l a s t l q u e s . I I - 5 . C o n c l u s l o n s I I - 6 . B l b l l o g r a p h l e d u c h a p l t n e I I . I I I - P r o b l è n e d e l a p a l l e d ' l n c l u s i o n s h é t é r o q è n e s

I I I - 1. Equatlon lnLégrale Pouc les miller:x hétérogènes élastlgues

I I I - 2 . S o l u t t o n d e l ' é q u a t i o n g é n é r a l e p o u r u n e p a l r e d ' i n c l u s l o n s hétérogènes

I I I - 3 . C a l c u l d e I ' é n e r g l e é I a s t l q u e I I I - 4 . A p p l l c a t i o n s e t c o n e l u s l o n s I I I - 5 . B l b l t o g r a p h l e c h a p i t r e I I I

IV - L. Eqr.r.atlon lntégrale pour rrn nll1eu hétérogène et Plastlque W - 2 . L a p r o b l è n e d e l a P a l r a d ' l n c l u s l o n s p l a s L l q u e s e t hétérogènes. I V - ? . - 1 . R é s o l u t l o n , l e l ' é g u a t l o n l n t é g r a 1 e Î V - Z - Z . C o n c l u s l o n s e t r e l n a r q u e s l V - 3 . C a l c u l d e l ' é n e r g l e é l a s t t q u e

lV - 3 - 1. Fonnulatlon générale du pnoblène

l V - 3 - 2 . E v a l u a t l o n d e I ' é n e r g l e P a r l a n é t h o d e d u n l l l e u h o n o g è n e é q u l v a l e n t ( M H E). I V - 3 - 3 . C a s p a r t l c u l l e r s e t a p P l l c a t l o n s I V - 4 . C o n c l u s l o n s I t / - 5 . B l b l l o g r a p h l e c h a p l t r e I U V - D é t e r n l n a t l o n < l e s t e n s e u r s T l I e t T I J V - L . D é È e n n l n a t l o n d e 1 r I V - 1 - 1. Cas génénal - V - L - ? . C a s d e l ' l n c i u s l o n s p h é r 1 q u e V - L - 3 . C a s d a l ' l n c l u s l o n e l , l l p s o I d a l e V - 2 . D é t e n n l n a t l o n d e T t J P o u n 2 l n c l u s l o n s e l l l p s o l d a l e s

V - g . D é t e r n l n a . t l o n d e T t r e È T t J Pour uri nilleu t s o t r o P e e t d e s

i n e l u s l o n s s p h é r l q u e s . V - 3 - 1 . C a s d ' u n e l n c l u s l o n s p é r i q u e ( T r t ) V - 3 - 9 . C a s d e d e u r l n c l u s i o n s s P h é r t q u e s ( T t J ) V - 4 . B l b l l o g r a p h l e c h a p l t r e V U I - I g d é l t s a t l o n d u c o u u o e u d a é l a s t l q u e e t p l a s t l q u e d e s n é t a u x v I - L . A p p l l c a t l o n à I a n o d é l l s a t l o n d u c o n p o r L e n e n t p s e u d o é I a s t l q u e l o r s d ' u n e t r a n s f o r m a t l o n n a r f e n s l t t q u e s o u s c o n L r a l n t e . t / I - 1 - ' 1 . I n È r o d u c t l o n V I - L - 2 . R a p p e l s s u r I a t r a n s f o n n a t l o n n a r t e n s l t l q u e -a s p e c t s c l n é n -a t l q u e s .

V I - L - 3 . E c r o u l s s a g e e n p s e u d o - é l a s t l c l t é

VT. - L - 4. Intenactlon entre deux lneluElons de nartenslte

t / I - 1 - 5 . A p p l l c a t l o n - c a s d e l ' a l l t a g e F e - 3 1 Z N l . V I - 2 . . A p p l l c a t l o n à I ' é c r o u l s s a g Ê p a r l e s c o n L r a l n t e s l n t e r n e E d a n s l e s n a t é n l a u : s e r t s t a l l l n s . V I - 2 - L . I n t r o d u c t t o n V I - 2 - 2 . L o L d ' é c r o u l s s a g e n o n l o c a l e p o u r I e n o n o e n l s t a l V T - 2 - 3 . C a s p a r t l c u l l e r s i - A - P a l n e d ' l n c l u s l o n s p l a s t l q u e s - B - Approche par le calcul de l'énergle V l - 3 . C o n e l u s l o n s V l - 4 . B l b l l o e r a p h l e d u c h a p l t n a 7 I V I t - l l a t é r l a u x c o l p o s l t e s V f i - 1 . G é n é n a l l t é s I / I I - â . D é t e n n l n a t l o n s d e s e o e f f l e l e n t s e f f a c t l f s - Posltlon du problène t / I I - 3 . R a p p e l d u s c h é u a s e l f - e o n s l s t e n t à u n s l t e U I I - 3 - 1 . t a l c u l e ê n ê e a l V l T . - 3 - 2 . D é È e r u l n a t l o n d u n o d u l e d e c l s a l l l e n e n t J r l d a n s I e s c h é n a S . C . à u n s l t e . V I I - 3 - 3 . D é t e r n l n a t l o n d u c o e f f l c l e n È , \ l d a n s l e s c h é n a s e l f - c o n s l s t e n t à u n s l t e . U I I - 3 - 4 . C o n e l u s l o n U I I - 4 . D é t e r n t n a t l o n d e s c o n s t a n È e s é l a s È l q u e s e f f e e ù l v e s d u n l l l e u h o n o g è n e é q u l v a l e n ù à p a c t l r d e I a s o l u L l o n d u p r o b l è n e d e l a p a i n e d ' t n c l u s l o n s h é t é r o g à n e s .

V I I - 4 - 1 . H o d é l l s a t l o n - solutlon générale - Schéna

E e l f - e o n s l s t e n t à 2 s l L e s

V I I - 4 - 2 . S o l u t l o n a n a l y t l q u e a v e c d e s h g p o t h è s e E s l m p l l f l c a f n l c e s .

V l l - 4 - 3 . D é t e n n l n a t t o n d u t e n s e u r d e l o e a l l s a t l o n . l / I I - 5 . R é s u l t a t s e t c o n c l u s l o n s .

d ' h é t é r o g é n é t té. t / Ï I - 5 - A . D é t e n n i n a t l o n d u n o C u l e de c l s a l l l e m e n t e f f e c t l f d a n s l e m o d è l e à 2 sltes. l / I I - 5 - 3 . â p p l l c a t l o n s e t c c n c l u s l o n s V I I - 5 - 4 . E t u d e de I'anlsotrople V l l - 6 . B l b l l o g r a p h i e U I I I - A n n e x e s - Notatton natrlcielle d e s t e n s e u r s d ' o r d n e 2 aL 4 - Calcul de I' lntéelrale t r J

I

Nous asststons depuls plusleurs décénnles à un développenenù

consldérable des natérlaux hétérogènes, tanL dans le donalne des

natérlaux nouveaux (couposltes'ftbre plastlques, conpostte nétal

céranlqua, . . . ) quo danE ealul des natérlarrx plue lra*:lltlonnels qul sont

exantnés en tant que natértauc hétérogènes (plastlcilé des polycrlstaux,

e f f e t s d e s l n c l u s l o n s s u r l ' e n d o n n a , g e n e n t . . . ) .

Ce développenent tandlf est en appar€nee assez parado:cal; en effet

a l o r s g u e l e s p h s s l c l e n s é t u d l a l e n t l e s n é c a n l s n e s é I é r e n t a l r e s d e

défornatlon des natérlanrx (nouvenent de dlslocatlon, mæ,Lage, dlffuslon,

L r a n s f o n n a t l o n d e p h a s e . . . ), I'approche des nécanlctens restalt p u n e n e n t

E â € p o s c o p l q u e e t p h é n o n é n o l o g l q u e . Les progrès ltés à l ' e n p l o l d e c e s

naténlaux héténogènas ne nelèvent pas dlrectement de ces deux approches

e x t r ê n e s . I l s s o n t d t s p l u t ô t à d e s é t u d e s m é c a n l g u e s e t p h y s i q u e s q u 1 se

E l t u e n t à 1 ' é c h e l I e d e s h é t é r o g é n é l t é s , c ' e s t - à - d l n e à u n e é c h e 1 I e o ù l e s

t h é o n l e s c o n t l n u e s s o n t Ê n c o t r € a p p l l c a b l e s m a , l s o ù 1 1 f a u t d é J à È e n l r

c o n p t e d l r e c t e n e n t d e s n é c a n l s n e s p h g s l g u e s d é c r l t s p a r l e p h y s l e t e n ;

dans ce eonterLe, les travaux de néeanlqua physlque _Jouent 'un r8le

e o n s i d é r a b I E .

Les prenlers travaux dans ce donalne ont cherehé à rallee les

grandeurs locales ar:x grandetrrs nactroscoplques _{(t/OIqf [1], REUSS [â],}

H I L L [ 3 ] ) , n a l s c e n ' e s t q u ' a v e c l ' é t u d e d o 1 ' " h é t é r o g é n é l t é é l é n e n t a l r e "

- ou lncluslon, qul est due à ESE{EI-EIY _{[a] et à d'autras,} quê des peogrès

consldérables ont été obtenus dans la eompréhenslon des proprléLés des

natérlaux hétérogènes ..

Les problènes de base, qul se posent dans ,le. Lalles études, sont las

suivants ;

1

r analgse des eontralntes, défornattons, rotaLlons élastlques (porr

l e s p n o b l è n e s d e t o c L u r e J d a n s l e c a s d ' u n e t n c l u s l o n p l a s t l q u e

e o n s l d é r é e e o n n e s o u r c e é l é n e n È a l r e v o l u n l q u o d e eontralntes l n t e r n e s : l e

p r o b l è n e d'une soutree llnéalre ( d t s l o c a t l o n ) _{e s t q u a n t à i u l c o n n u d e p u t s}

l o n g t a m p s . ,

x a n a l y s e d e s c o n t r a l n t a s , d é f o r n a t l o n s , r o t a L l o n d a n s l e e a s d ' u n e

h é t é r o e é n é l t é , e ' ' e s t - à - d l r e d ' u n e l n c l u s l o r l d e e a r a e t é r l s t l q u e s

n é c a n l q u e s d l f f é r e n t e s d e c e l l o s d e I a n a L n l c e .

L z s o l u è l o n d e c e s p r o b l è n e s

deux optlques dlfférentes :

e s L e s s e n t l e l l o n e n t u t l l I s é e d a n s r d ' u n e p a r t , l a d é t e n n t n a t l o n d e s p n o p n l é t é s nacrohorooÉènes et nlcrohétérogènes ; r d ' a u t n e p a n t r l a d é t e r n l n a t l o n d e s c h a m p s d u v o l u m e , e t s u î l e s l n t e r f a c e s ) a f l n d e de l'endonnagenent.

effoetlves des nl11eur<

l o e a u x ( à 1 ' l n t é r l e u r pnévolr I'anonçage

II ex!,ste de nonbreux travaux sup Ie problène fondamental de

1'lncluston pour leguel une pevue eonplète et renarquable a été falte pan

GIL0RHINI [5] dans sa thèse à laquelle nous nenvoyons le lecteur de ee

t r a v a l I .

L a s o l u t l o n d u p n o b l è r u a d e l ' l n e l u s l o n u n l g u e e s L c e p e n d a n t

tnsuff l sante dans certalnes sltuatlons : irr.rr.ls ctterons der.s cas

' p a r t l c u l l e r s .

T o u t d ' a b o r d , d a n s l e e a s d ' u n n a t é n 1 a u c o n g o s l t e b l p h a s é

3

-s o l u t l o n d € I ' l n c l u s l o n u n l q u e f o u r n l s s e n t d e s v a l e u r s e : c a c t e s d a n s I e

eas du désordre patrfalt (KRONER [6]) uals ne p€uvenÈ prendre en eonptE

La "Èexture de répartltlon"; par exenple dans le cas d'un conposlte

ordonné à eonstltuants lsotropes, les proprtétés effectlves du

c o n p o s l t e c a l c u l é e s à p a r t l r d u s c h é n a à 1 s l t e s o n t l s o t r o p e s , a l o r g

gu'll est évtdent que I'ordne de la te:rtura de réPartltlon condulra à un

cornportenent an1 sotrope.

De nêne, dans les hypothèses de préclpltatlon ou de changenent de

p h a s e , 11 est adnls _{[ 7 ] q u e} l e s t n t e r a c t l o n s e n t r e l n c l u s t o n s o n t u n

effet lnpontant sur Ia nlcrostructure.

I t apparaft donc lnportant et utl Ie de développer les études sur les

h é t é r o g é n é l | é s e n n e s e l l n l t a n t P a s à 1 ' l n c l u s l o n u n l q u e ; u n e v o l e

g é n é n a l e e L g l o b a l e c o n s l s t e à u t l l l s e r l e s f o n c t l o n s d e c o r n é l a t l o n

lntrodultes par KRO}ER [8]; cette apPnoche resLe toutefots encotre

c o n p l e x e .

Hous lul préfénons una autre appnoche, qul étudle le problèue de la

p a t r e d'lnclustons e n t a n t q u e s o u r c e d ' h é L é r o e é n é l t é . U n c e n t a l n n o n b r e

de travaux trêstrelnts ont déJà été proposés; STEIIBffiG et SXDOT^ISIfY [9]

o n t é t u d l é l e s d é f o r n a t l o n s a s s o c l é e s à u n e p a l r e d ' l n c l u s l o n s r t g i d e s ,

sphérlqueE eÈ allgnées dane la dlrectlon de tractlon, tandls que CtlESl et

A C R I I / O S _{[ 1 0 ] S É n é r a l l s e n t l e p r o b l è n e p a r u n e u t l l t s a t l o n} d e c o o n d o n n é e s

blsphérlqu€s au eag d'un chaup e:rLérlerrr unlforne nale général. Une

a p p r o c h e p l u s g l o b a l e p n o p o s é e p a r H O S C O I / I D I S e t F l u R â [11] eonstste à

utl Ilser un développenent polynonlal porrr les défornatlons, et à

résoudre, pour un nIlleu lsotrope les équ.atlons générales du problène;

u n ê c o n e l u s l o n l n t é r e s s a n t e e s t g u € I e c h a n p d e e o n t r a l n t e s à

l ' l n t é r t e u r d e s l n e l u s l o n s e s t p r a t l q u e n e n t ' . r n l f o r n e . E L s I I ' o n t l e n t

c o n p t e d ' e a b l é e d e c a r é s u l t a L d a n s l a n é s o l u t l o n d e n o t r e p e o b l è n e ,

nous pouvons alors développer des néthodes de calcul penfornanèes; c'est

ce qul a été fali par BBI/EILLER et Z40UI [12'l pour le problène de la

p a l n e d ' l n c l u s l o n s s p h é n l q u e s e t p l a s t l q u e s d a n s u n n t l l e u t s o t r o P e , e t

poor. une palre héLérogène par _{JOT{.ISON [ 13 ] qul} s'esL llnlté à .

l'appnoxlnatlon de EORII rralable unlquenent dans le cas de falbles

hétérogéné1Lés -Le

présent trarrall a pour obJet l'étude du problène de Ia Palre

d ' l n e l u s t o n s p l a s t l q u e s e t h é t é r o g è n e s d a n s u n e n a t r t e e é I a s t l q u e a n l s o t r o p e d a n s l a s l t u a t l o n o ù I ' h y p o t h è s e d e s c h a n p s u n l f o r n e s d a n s c h a g u e l n c l u s t o n e s t r é a l l s t e . O n é t u d l e d ' a b o r d ( c h a p l t r e I I ) I e p r o b l è n e d e l a p a l r e d ' l n c l u E l o n s p l a s L l q u e s ; a p r à s a v o t r r a p p e l é l a f o r n u i a ù l o n g é n é r a l e du pnoblèBe en u t l l l s a n t l a t e c h n l q u e d u t e n s e u r d e G R E B I , o n c a l c u l e l e s c h a n P s d e d é f o r n a f , I o n s , d e r o t a t l e n s e L d e c o n t n a l n t e s , a l n s l q u e I ' é n e r g l a é l a s L l q u e a s s o e l é e à l a p a l n e d ' l n c l u s l c n s p l a s t l q u e s . A u c h a p t L r e I I I , o n é t u d t e l e p n o b l è n e d e I a p a l r e d ' l n e l u s l o n s

hétéro€ènes, qul trouve des applleatlons dans les problènes da natértau:c

c o n p o s l t e s e t d ' e n d o n n a g o n e n t ; d a n s l a p a r t l e I U ' o n c o n s l d è r e l e

p r o b l è n e nlxte d'lncluslons p l a s t l q u e s e t h é t é r o g è n e s o ù , a p r à s a v o l n

rappelé l'ésuatlon lntéerala déruontrée par BERVEiLLER, et Z40Ui [14] pour

u n n l l t e u h é t é r o g è n e e t p l a s t t q u e , o n l ' a p p l t q u e à n o t r e p n o b l è n e n l x t e .

L e c a l c u l d e s e o n t n a l n t e s , d ê s d é f o r n a t t o n s e t d e 1 ' é n e r g l o é l a s t l q u e

p o u r l a p a l r e d ' t n c l u s l o n s d a n s u n n l l l e u a n l s o t r o p e s e r a n è n e e n f l n d e

c o n p t e à I ' é v a l u a t l o n d ' u n t e n s e u r T ( d u 4Ç cndre) d ' l n t e n a c t l o n

zru tenseur s d'ESHH,;BY pour ls cas d'un€ lneluslon: nûus nÊnttrcns

é g a l e n e n t q u e 1'on peut générallEer _{I e c o n e e p t d'lncluslon p l a s t t q u e}

équlvz'lente d'ESÉIELBY à un chanp de défcnnatlon plastlque flctlf

Dans Ia partle _{l/ on donne unê néthode pour calculer les eonposanrtas}

d e e e tenseur dans le c a s d e d e r r x lneluslons e l l t p s o I d a l e s e t p o u r q n

n l l l e u a n l s o t r o p e ; e t a p n è s a v o l r d o n n é la s o i u t t o n g é n é r a l e p o u r

calculer les conposantes de T, on retrouve analytlquenent la solutlon

partlcullère _{trouvée Par BERIÆILLffi, [15] pour Ie cas de der.s lnclustons}

Ephérlques dans rrn nllleu lsotrope _{et obtenue à part,lr des potentlels}

d,ESI{ELBY.

N o u s a p p l l q u o n s ensulte les p r o b l , è n e s .

solutlon obtenues à derrx elasses de

L e e h a p l t r e U I e s t c o n s a c r é à l ' é t u d e d a s c o n t r a l n t e s l n t e r n e s

lndultas par une défornatlon anélastlque plaetlque, du€ sott à un

g l l s s e n e n t p l a s t i q u e s o l t à u n e t r a n s f o n n a t l o n n a r t e n s l l l o - u e . D a n s l e

eas de la transfornatlon nartensltlque on décrlt les lnteractlons enère

deu:E varlants consldérés conm€ lncluslons plastlgues (uats _honogènes

Pour slnPllf,lEr); cette étude penuet de décrlne le eonpontenent globat

d u ' ' " E o n o c t r l s t a l " d ' a u s t é n t t e p e n d a n t _{I a t r a n s f o r n a t l o n} p a r

l' tnteenédlalne d'Lulê "Datrleê _{d'écnoul ssa,gie,, caractént sant lee}

lntenactlons enùne rrartantE. Et pour _{Ie nécanliue ,Ja défornatlon}

p l a s t l q r r e , où c'est Ie sllssenent plastlque q u l tntervlant, o n p r 6 p o s e

d e n a n l è r e fornolle _{r r n e ' n a t r t e e d'écroulss?ge globale non locale pnenant}

e n c o n P t e à Ia fols les lnteractlons d e c o n t a c t entre dlslocatlons, e t

les effets _{à dlstanee dûs au eonportenent collectlf des défauts; nous}

l l l u e t r o n s c e s e f f e t s s u r I a s l L u a t ! , o n p a r L l c u l l è n e , J e p a l r e

d ' l n c l u s l o n s .

D a n s l a d e n n l è n e p a e t l e ( e h a p l t n e t/II) nous utlllsons I a s o l u t l o n d e

l a p a l r e h é t é n o g è n e dans un nllleu l s o t r o p e ( o u anlsotroFe), p o u r

é t u d l e n 1'effet d e l a " t e : ê u r e de répartltl,:n" d ' u n u a t é r l a u eonposlte à

Phases lsotroPes sur les proprlétés _effectlves globales at leur

a n l s o t r o p l e d e n é p a r t l t l o n .

O n d é f l n l t a l n s l r r n e nouvello classe d e s c h é n a self-conslstent o ù

I ' h é t é r o g é n é l t é é l é n e n t a l r € n ' e s t p l u s I ' l n c l u s l o n n a , l s u n € " c e l r u l a

éléuentalre" d'hétéroeénélté. Nous donnons la procédure générale de

nésolutlon nunérlqr:e du problène, et unÊ solutlon approchée nats

a n a l y t t q u e d a n s I e c a s d'lncluslons s p h é r l q u e s lsotropes à répantltion

) -g I B L I O G R R P H I E IIITRODUCTIOH I - ! f . U O I q f , l l l e d A n n . , 3 9 ( 1 8 8 9 ) 2 - A . R E I J S S , 2 . 4 . H . H . , I ( 1 9 2 9 ) 3 - R . H I L L , P r o c . P h v s . S o c . , â 8 5 ( 1 9 5 2 ) 1 - J . D . E S E l g r B V , P r o g . S o t . H e c h . , 1 9 6 1 ' H o r t h - H o l t a n d

5 - P. GILORMINI , Thèse d'Etat GREIIOBLE (f9851

6 - E . K R O N E R , J . H . P . S . , 2 5 ( L 9 7 7 )

? - 1 " 1 . C . J 0 H I I S O N , A c t a M e t a l l . , v o l . 3 ? , , n o 3 ( 1 9 8 4 )

I - E . K R O H E R , 1 5 ' C o l l o q u e d u G . F ' . R . ( P , 1 R I S 1 9 8 1 )

I - E. STE\IBERG et M.A. S.'qDOLtSt{y' J. Appl. Hech., 19 (195e)

10 - A.s. cl{EÈl at A. A6RII/OS, Int. J. Solld Struetures (19"/8)

n - Z . ' 4 . H O S C F { O U I D I S e t T . } { [ J R . â , J - A p p l . l ' t e c h . , 4 2 ( 1 9 ? € )

12 - H. BERIÆILLffi, et A. ZAQUI , 4'Congrès franeals de Héeanlque

(MNCY 1979)

1 3 - t l . C . J O H b I S O N , M e t . T r a n s . , L 4 A ( 1 9 9 9 )

1 4 - H . B E R y E I L L E R e t . 4 . ? A O U I , C o l l o q u e I n t . , t u c . H . R . s . n " 5 1 9

( r 9 8 2 )

C H R P I T R E I I

l I - P r o b l è n e d e l a n a l r . e d ' i n c l u s i o n s o l a s t l c r u e s

I t - 1 . Rappel des équatlons de la nécanlgue des mllleux conLlnus r r - 2 . F o n n u l a t t o r ^ g é n é r a 1 e du pnoblème do la paire d,'lnclus!,ons

p l a s t l q u e s .

II - g - 1 Détennlnatlon du gradlent de déplacenent total

Il - Z - Z chaop du gradlent _{de déplacement noyen dans}

u n e t n c l u s l o n .

II - a - 3 Déternlnatlon des défornatlsns et rotatlons

totales noyennes.

I I - 3 . C a l e u } d e I ' é n o r g l a é I a , s t i q u e a s s o e l é e à l a p a l r e

d ' l n c l u s l o n s p l a s t l q u e s .

I I - 5 - 1 C a e g é n é n a l

I I - 3 - g C a s d e t a p a l r e d ' l n e l . u s t o n s

II - 4. Enargle d'lnteractlon avec un ehaap extérlEur de eontra.lntes

I I - 4 - 1 C a l e u l d e I ' é n e r g l e é l a s t i q u e

I r - 4 - e Energle d'lnteraetlon e n L r a l e c h a n p exÈérleun

e t u n e p a t r o d ' l n c 1 u s l o n s p l a s t l q u e s . I I - 5 . C o n e l u s l o n s

D a q 1 s c e p r o b l è n e p a r t l e l , o n s ' a ù L a c h e à e a l c u l e r l e s c h a u P E d e

c o n t r a l n t e e t d e d é f o n n a t l o n , a l n s t q u e l ' é n e n g l e é I a s t l q u a a s s o e l é e à

l a p r é s e n c e d e d e r r x r é g l o n s ( l n c l u s l o n s ) q u l ont s u b t u n e d é f o n u a t l o n

a n é l a s t t q u e ( p l a s t 1 q u e , therutque, ou autne... ) nals Porrr lesquelles les

c o n s t a n t e s É l a s t l q u e s s o n t l e s n ê n e s q u e c e I l e s d u n l l t e u l n f 1 n l

( n a È r l c e ) q u l les conùIent.

Nous rappelons d'abord les équa|lons do base de Ia nécanlque das

nlller.rx contlnus, puls pac la néthode du tenseur de @EEll nouE donnetrons

I a s o l u ù l o n d u P r o b l è n e .

t I - 1 - R a u s e l d e s é s u a t l o n s f o n d a l e n t a l e s d e l a n é c a n l s u e d e s u l l l e u x c o n t I n u s

N o u s n o u s l l n l t o n s a u x t r a n s f o r a a t l o n s I n f l n l t é s l n a l e s , c ' e E t - à - d l r e

q u € nous tnarralllons en petltes défonnatlons et petltes notatlons, e t c e

d a n s l ' a p p r o x l u a t i . o n q r . r a s t - s t a t t g u e , l e s f o r c e s d ' l n e r t l e é L a n t

n é e l 1 g é e s . L ' h y p o t h è s e d e c o n t l n u l t é l n p o s e d e p l u s d e s c o n d l t l o n s a u E

chaops de défonnatlon, qul se tralulsenè par des équatlons de

conpaùlbl 11té, et lo prlnclpe fondanental de la dynanlque lnPose au

ehaop de contralnùes. des restrtctlons qul sê tradulsent Par les

éqrrailons ,t'équlllbre. lbus trarralllerons touJor:rs dans un sgstèue de

C o o r d o n n é e s c a r t é s l e n n e s , d a n s l e q u e l X r , 7 ? , X s , d é s l g n e n o n t l e s

eoordonnées d'rrn polnù du nl lleu;T, de eoordonnées ll1 , ll2, u3, dést8nera

Ie chanp de déptacement, et le gradlent de déptacenent est donné par :

i L,i= 'r,L,3

f ,)

= u',i

( r r - 1 )

Hous noterons p€rr. or J les eonposantes du tenseur de eontnalntes

g a r er., eelleg du ienseur ce défonnatlons € , e t _{P a r u r i} c e l l e s

tenseur rotatlon o.

Nous utlllEerons systénatlquenent Ia convenlton d'EIIISTEIN de

s o n n a t l o n s u r l e s t n d l c e s r é P é t é s r

P o r r r q u e 1 e n t I I e u n e p e n d e p a s s a c o n p a c l t é d a n s I ' e s p a c e e u c l l d l e n , 1 1 +rt que F,, dérlve d'un chanp de déelacenent, donc :

Jai = p,; À"i

( r r - e)

e : r a c L e e t v é r l f l e r I a c o n d l ù l o n 9 , . 1 d o l t ê t r e u n e d l f f é r e n t l e l l e t o t a l a , de CAUCÊ|Y 6 , du

ô

- R

f i j , h ' f

L L û

d ' é c r l r e , _{€ , r * é t a n L}

( r r - 3 )

Le tonseur pernutatlon, ual que :

ce qut pennet L ._{' i i L '}

t

s I p e r n u t a t l o n ( , r * ) p a l r e s l 2 l n d t c e s s o n t é g a u : c s l p e r m u t a t l o n ( , r u ) l n p a l r e

= (,lv Far,

_i

( r r - 4 )

( t r - s )

' ) r i

L et-

R É î

La partle synétrlque _{66 F,, donnera le tenseur déforuaÈlon et sa}

partte antl-Eynétrlque le tenseur rotatlon, c,est-à-dtre :

ê , ; =

_{t , * , r i .}

^ j , i ) =i(F,;.Fi,)

b,j.

t

(^,,1

- ^i,i) =

i (F,;

- Fit)

( r r - 6 )

( r I - 7 )

E n f l n l ' é q r : a t l o n ( I I _{4 ) p e t r D o t d'aboutlr a u x e g r r a t l o n è de}

conpatlbl llté _{de KRONB qul sont aussl les eondlLlons de SAINI - [/E.L4FII :}

r /

É ç ç

ç e

t t

a i " " c ( - , r , = o

( I I - e)

L e s c o n p o e a n t e g de Ia contralnte vértflenL l e s é q u a t l o n s d'équlllbne :

n o n e n r s t

_{{ j . 5 i}

- - d e s f o r e e s ,

t , , i . n

r . , ) ç 6 - : o

( f l - S )

- à Ia surface ,

_{fij nj ,1'}

*

(où Ït,r".teur nornal

unltaine e:çLérterrn à la crrrface s et i veeteur eontralnta)

Le gnadlent du déplaceuent total se déc'oupose, dans Ie cas où ll

extste une déforuatlon plastlque, _{en une parùle} plasttque _{Fr êt unê}

p a t r t l ê élastlque Fr, tel que :

( r r - 10)

Cette défornatlon plasLlqr.r.e (stress free straln au sens d'ESÉlExBy)

p e u t _{s n f a l È Ê t n e d'orlglne t h e r n l q u a , n é e a n l . q u e ( p i a s t l q u e ) , e h l n t q u e}

( n e t r a l t , _{E é c h a e e . . . ) ou uétallurglque ( t r a n s f o r n a l l o n d e p h a s e ou}

p r é c l p l t a t ! . o n ) . _{E I I e o b é l t à des lots physlques ptropras qul peuvent être}

lndépendantes des lols de la nécanlquê ou éventuellenent couplées.

n - a - F o r r u l a t l o n o É n é r a l e d u o r o b l è n e d e l a p a l r e d , l n c l u s l o n s p l a s t l s u e s

I I - e - 1 . D é t e r u l n a t l o n d u s r a d l e n t d e d é p l a c e u e n t t o t a t

C o n s t d é n o n s q n nl1leu lnflnl _{h o n c g è n e de constante élasÈlques C!r*.;}

e e n l lteu e o n t l e n t der:x lncluslons _{( I ) et (J) , de volume u, eL v", làs}

e o n s t a n t e s élastlques étant les nêaes dans les lncluslong et la na,trlce;

nous supPoEons que chaque lneluslon a subl una défor.naLlon plastlque

unlforne déflnle par la partl€ plasllque du gradlent de ,téplacenent

t o t a l , g o l t Pl €È F'., ; uttllsons teE fonctlons lndlcatnlces d,Fleavlslde

g t et _{g J Pour écrlre la partle plastlque d u g r a d l e n t d e d é p l a c e n e n t}

total €n un potnt r, sous la fonne :

{,i, f!.i ' F;

9 -, 1 â ; 3 € Y r r t ^ à î ' e v t q^^r _{gltdlr l * , .,} ?t e'cÊ): l t o . i , . ç V r w t o ' Ë Ê ' É v ' r ( I I - 1 2 )

La défornatlon totale F|, est supposée conpatlbl€, et conPosée d'lule

partle éIastlque F!, et de la partle p.lastlque précédennent décrlte :

Nous avons aloes porrr Ia gradlent du déplacenent total u|, :

T _{â 1 n ê} d P ( I I - 1 3 )

* \ i '

_{P i i t ' P t ; ' P . . t}

E n t e n a n t c o n p t e d e I ' é q u a t l o n d ' é q u l l l b n e ( e n 1'abEence de forees y g l r r a r t q g g g ) , nOUE avons : f , ^ j , , = o ( I I - r 4 ) et la lol de HOOKE :

'4= c,.itt Éit

où c. est Ia partle symétrlgue de F' :

On obtlenè alors :

f t r g

t . a t e c È t ,

i

t o

( I I - 1 6 )

l e e c o n s t a o t e s é I a s t l q u e s v é r l f l a n t l e s s s n r é L r l e s :

Cilte ' ti" at = C'i,. 'C...i

I ' é q u a t l o n ( I I - 1 8 ) d e v l e n t a l o r s :

ci,;r, Fi',1

: o

( r I - 1 e )

( I r - l s )

( r I - 1 7 )

( r r - 1 9 )

( i I - e o )

ou encoFe c ' e s t - à - d l r a e n c o r e :

c.1*,

_{",:,i'

-{lt:j

_}

=

_"

c.,*,

_{th; '}

{;r,'u}

' '

o u b l e n : C ? c ?

c;;æ *t,fl - Çriqe

P;tl = o

(II - e1)

r f ' 7 r

L e t e n n e L-CO.g Pfr,iJ d a n s ( i I - 3 1 ) p e u t ê t n e c o n s l d é r é c o n n e

r.ure dlstrlbuLion Ffctlve'âe forces voluntques; eL alôrs Por.r résoudre

I ' É q u a t t o n ( I I - 91) on peut alors avantageusement utlllser I a t e c h n l q u e

La tanaanr r3 da I*EEH ruà dËflnf c'a.- l1']

Cri*

n 9i''

où E,,n est Ie Lenseur de KROHECKER,

t r o l s d l n e n s l o n s , t e l l e q u e Pour une l ' l n t é g r a l e é t a n t déplacenenL dans f o r c e u n l t é f , d e l ' a x e n i G * t + + 6 ( r , r ' ) e s t l a f o n e t l o n + f o n c L i o n f ( r ) e o n t l n u e de DIMC à o n a i L :

Ë:r,=-{nfr-ar

Ciu*,

ri*

- :

I r

e t

O . ( e l :

_,l

"tf 5 est Ia fnontlère de

. 5.csr

:

-, I ' t n e l u s l o n

Le déplacenent total devlenL alors :

( I I - 2 3 ) +

fiq li';ri'

C^'tu

/

_{' L", Ji = PtÊt}

( g È ' t à 6 " .

_y

l f Vul.r4 + +

étendue à tout l'espaee; G(P,r') neprésente le

k r +

l a , l l r e c t l o n d e 1 ' a : c e h , a u p o l n t r , l o r s q u ' u n e

+ + + .

E , , n Ë ( ; , ; ' ) e s t a p p l l q u é a u P o l n t r ' , d a n s l a d l r e c b l o n

est synétrtque Pan traPPorù à k et n ;

+

Lo déplacenent total 6n un polnL r est alors donné Par Ia solutlon de

( I I - g l ) Pour un nllleu l n f l n l d e v o l u n e U :

ï'

i

+ +

où dr, est l,éIénent de voluùe dr'1 d:<i dxi d:<l ; xi, :5.â, x'z étant Ies

c o o n d o n n é a s c a r t é s l e n n e s d u p o l n t F ' , e t o ù I ' l n t é g r a l e e s t é i e n d u e à è o u È } e v o l u m e Û / d u n l l l a u . E n u t l l l s a n t l ' , e x P e e s s l o n ( I I - 1 1 ) d e F e p o u r I e c a s d o l a P a l r e d ' l n c l u s t o n s o n a :

dt:i

. rl "1,'*'

. P;l ','i"'

àeor

_5c'l

f,rs) ni

0 r d , a p r è s l e s p n o p r l é t é s d e I a f o n c t l o n d ' H E l l y I s I D E S , o n a :

( r r - e 4 )

t d t s t r l b u t l o n d e D l r a c ) ( I I - e 5 )

r Ài'

( r r - æ)

( r r - 2 6 )

,ru,,.l:o.,tn,

_{f; t15q,r"}

-

frr',

( r r - e 7 )

l l -I a de ( n l ) i . _{r r ê r 3 6gf, le vecteutr unltalre} n o n a l à +

de I, et nJ le _{vecteur rrnlùaire à S" frontlère}

+ ,

où n'de conposantes

surface S, frontlère J .

v-

' l O r , s l o n n o t g x , , + é t a n t c e l l e s de p'

( r I - 2 S )

xi ,xi,xi

Àv,l

+ d e r , /

dv,

_{+ lu:t:i,C,,0,}

_tl

4Io

Ies eoordonnées cartéslennes propnlété sulrrante :

Ji,,

=furt,r,

C,,o,

_l'i,

x? , x5, , o n a l a

Gcï-i,)-)G*,..Gcl-i,)r-?6#'i'l

-xt,i;"

(rr-so)

F''-,'.,j','

-

;;.

c

_r

- 1

Sl de plus, on tlent conpùe

du falt qua Crrrr,

_{P:î &}

_fll

s o n L constants, aiors ( i I - 2g) devlent : n'- - . .

Jt"" Çirr

P::lyîtt

â:'''

c,;,,

_r;l

fir'7'

*'

_trt

- grt

L e g r a d l e n t du déplacenent toLaI s,écrlt a l o n s ' ,

q ^ 1 ^ o ? - / ^ i l

i_rz,;prrr

_{h t t u / h r l}

,-ÇireFirlng.1,*'

' X

- c^,rr,iir|,u-tl

I t].' (rr

_{_ se)}

" t ' * r n r - ' ,', ^ l w t ) lt _{, ,}

E n g é n é r a l I e c h a n p Dr n,êst p a s rrntforne, _{y conprls dans les}

t n c l u s l o n s , _{n ê n e s I l e s l n c l u s l o n s o n t d e s f c n n e s p a r t l c u l l è r e s}

( e l l l p s o l d a l e s _{P a P 6 x e n p l e ) ; c e c l e o n s t l t u e u n e d l f f t c u l t é}

f o n d a a e n t a l e

p o u r _{l e p r o b l è n e de la palre; nous aIlons en eonséquence ,lévelopp€tr unê}

néthode apPnochéa pernettant de trouver _{las champs noyens dans ehaque}

( I r - 3 3 )

( I r - 3 4 )

À7 à:,

( r r - 3 5 )

( I I - 3 6 )

( r r - 3 7 )

( r r - 3 8 )

- e - clalp du nradlcnt de dÉPlacsEent eouen drn= une lncluslon

prenant Ia rraleur noyenne de Fr dans chaque Incluslon, on obtlent:

I I - Ê En

i' :-L

l^^

v,

f:'t=+,

I,ï,

"

Ë.,r"=tF-,

)i

de I I - 3â nous avons ;

f( ,f,:triàÀ'

'tr;0,

O,

_I,,l;rr,f,

U",

"i '"j

r,l"i

=1,,1;*;q')

ti ri'

i

'

,.[/e,-r,

a:

)i'

.-rr*ii

,rJrr-irhi

i

,tï.,i

Ir,gî',

- i, ,t'-'..i

c^5*.

?:l

et et en tenant conPÈe

c.,,,

_il',

P o s o n s a l o r s : a l o r s : eL 3 - I l é t e r n t n a t i o n d ë s d é f o r n a t l o n s e t r o t a t i o n s t o t a l e s E O U e n n e s o b t e n o n s , d a n s I ' l n c l u s l o n I Par exenple : { ' : ) t n

(t'j..,

' ,'.'-,,)

C:,n,

{;. ,+,

t r ?

-Nous 1 ç t llr A :

-tY.

{

3 e )

(i::.,.

{l',) c,,,*'

( I I -P o s o n s i

+ t a l l

z *' r

-

: r I tlt-A.')i)1'

[ * " ] r t ' J

_{' Y t ' Y "}

_I

t r r i i .

=i:'' = (ln*tt,):"

t^"Jr I /

urij

'" vt

flant la partto synétrlque a. tii,

Dans ces eondltlons nous ob.r-enons

ç:"kt**

,{s,,,or^ç,

*tT:; cl,.r"*-

r:..}

Il-.

_ft{i,

c,,"".'l^.tl]I,

c;,

^oe':n

r:.}

x r . i _I

--rJ

t..

_{n ^ ' l} L e E y n b o l e tr I s l g n t { n n } , , a u x 2 p r e n t è r s Indlces. l e s l n c l u s t o n s I e t J :

r T t t

c o

q

' r r r i

j î s e

r r r J

( '

ï,

'*.^3 -:1Èt

rÏr

tl, .

c),,

c '1r,

Les défornaLj.ons élastlgues s l n p l e n e n t sous Ia forne' : c ç î t-h r e t e t l e s contralntes forne : - - T T . , 0

S=IT-- C

v

I noyenn€s ?

t ' r

: \ h t ù d a n s e h a q u e l n c l u s l o n o -ç ' 1

0'i':

tjnr- hrr

C.r =

T

fr^-*,

'rrrii

,-L!c .+,t

t

t I, n:,"i

T t t

G t f ; - â , 1

\

* L r ^ ) )

frt

,r J-rr

- - ^ !

E

' * , )

t ' " ^ T J J '*. I Ç 'r'-:X {ï,

'i,

P o u r u n o t n c l u s l o n e l l l p s o l d a l e _{u n l q u e ( t t J = o ) , a l o r s}

d ' E s ' F l E L B v _{[ 2 ] e s t r e l l é à n o t r e tenseur Trr par la relatlon}

. - ?

f - t F ' t ç ' t ( I I - 4 7 )

\ _{3 L} - L

l t x h h l t r

noyennes sont obtonues à part!.r de la loi de HooKE sous Ia

t 3

-i I I - + r : : l ( I I - 4 1 )

( r I - 4 e )

., par rapporù ( I i - 3 t ) d a n s

( I r - 4 3 )

( I I - . , 4 4 ) 1 a Èenseur S ( I I - 4 5 ) s ' é c r l v e n t ( I I - 4 6 ) ( I I - 4 9 ) t I I - 4 9 )

0 n n o t e r a q u a l e s t e n s e u r s T r J Ë t T J t E o n t b l e n l o s n ê n e e f i l - 43).

O n p e u t e n f t n o b t e n l n a l s é n e n ù l e s r o t a t l o n s é l a s t l q u e s ê t

plastlques Eoyênn€s. la rotatlon Lotale nsy€nne est, dans eha*1ue

I n c l u s l o n . I a p a r t l â a n t l - s y n é L r l q u e d u g r a d l e n t d e d é p l a c e n e n t ; o n a

a l o r s , s I l ' o n n o t e p a r d e E a e e o l a d e s o u v e n t e s ) l j t l a p a r L l e

' _{antl-ssnéùrlque pzrr rapPont aux lndlces 1 et J :}

q

= r / p t - t ' \

( I I - E . )

( D ; ! \ , - * t * n J put sque

a" /" - c"

L"

Li;Èe 'ie = -'i; r L -r L

s o l t , s l l ' o n P o s e :

( i I - s r )

( I I - 5 S )

alors :

e L :

{. =ç

til.t,,

c,:Èe

âh

-t tû, ciin,

i;,

( I I - 5 4 )

enfln pour les rotatlons élastlques, on les obtlenL alnsl : e - 1 r 4

d.t = r,>-'-- all

t a

( l

 ,. = -* I I tG*-i,l ,,-,.,.,",*l

_l-"[.i

='t

\^u

l,l*s:';

GJitS;'\**',

rr

_{/ (fu*_r,, _ Grar,r] ËJA.,}

er

L î..=-!l

)*.["i

" T

Jr, lr]

rri,r.i

rt,n j J

( i r - 5 E )

3 1

,,'i-

=

t i,o.

cr*,

rT,

-

trT].q,i

{n, â'i, (rr

- ss,

tt _{.Tr -?t}

crti = dj* - d-", (II - E6)

o ù dA.a,,{,; r o r , t d o n n é e s p a n l a P a r t l a a n t l - s y n é t r l q u e d u g r a d l e n t d e

d é p l a c e n e n t d é J à c a l c u l é .

O n a a l n s l o b t e n u l e s c o n t r a l n L o s n o y e n n e s d a n s c h a q u o l n c l u s l o n ,

é v e n t u e l l e n e n t a u s s l l e c h a u r p l o c a l p a r 1 ' l n t e r n é d l a l r e d e I a r e l a t l o n

- rs - i

H':ue aI].,:na aalntensnà gr':eÉdrr au ,=al*ul. da l.'Énarglr ÉIaaèi,qua

a s s o c t é e à ces eontralntes l n t e n n e s . I I - 3 - C a l c u l d e l ' é n e r q i e é l a s t i q u e a s s o c l é e à l a o a l r e d ' l n c l u s i o n s p l a s t l s u e s . I t - 3 - 1 C a s q é n é r a l L ' é n e r g l e é l a s t l q u e H , p o u t r u n n l l l e u I n f l n l d e v o l u u r e l/ s ' é e r l t : ( I r - 5 7 ) c'r la défornatlon i l t - 5 8 ) Conc :

S o l È , e n t e n a n t eonpte de la synétrle de o,, :

/

_{l - r}

_{- P . \ r ?}

r r r - s e )

W=l [e,-,t1

(*i+'' - tstr) &

2 ' l^i t

' , i

i l

\

/ l P

'IL W = * /e, ,,,ill )à - + /q,u, [il, di

(II - so)

L l^â ^'i'

_/v4

L I ,)' ^i

or

_q-'=ft--ll

_{-q.. ;,}

_(rr-61)

)i ^,i L ^l * J,i ;iil +

I

W: ,t (rrr, gl..--r

)i

2 ) tà /r'â

v

é l a s t l q u e t f , e s t d o n n é e p a r :

tlr.*l

_;â

. ^^.1r,.

-tF,

t+iï t j

(

_(,

r'r

I

W=-* /r,r,

t?cat

_{)i -d- lk -:.|. Ji -+ lq a, d-.tr}

, Ju',

^) 'ï JrF't

-:l,i Ji t J;;:, ; '

e t d ' a p r è s ( I I - g ) , é q u a t l a n d ' é q u l l l b r e : E. :0 , ,lc,ne :

"ï'i

{ï'4''*

_V

="

_k';'f't

)à

r I - 6 e )

I I - 6 3 )

da tf.{U$É ;

ulrl,,ri =T

l"rr, {,:,

^,

- t l

_{, 5}

d'atrrêa Ia thÊaràna /

L {lq,rt

L _{) L ' I}

,v

e t d ' a p r è s t l l - l [ t

*l[çt''*'],,

v

L ' é n e r g l e é l a s t ! ' q u e h l a s s o e l é e à l a p a l r e d ' t n c l u s t o n s s , é e r t r a à p a n t l r d e ( I I - S 5 ) e ù e o m P t e - t e n u d e l a f o r n e ( I I - a 4 ) d e t ! , :

w :.! kr, *. eTrl

-

J; -+ kr,dl rl', à1

t lii-'-=i

_,v-

-,

_,v

l'l

^x

: o

Às

( t r - 64)

( r I - 6 s )

( I r - e 6 )

t r À - 67) ( r I - 6 8 )

eù donc flnalement on a :

w='i

b"

$'*'n

I l - 3 , - 2 D a s d e l a p a l r e d ' l n c l u s l o n s p last1 ques , p a r t l c u l t è r e ou encore

w.-tti,

tr,"

"t,ï

{"r,,

ri

' . o è

Les eontralntes u-,, sont données par Çdf = Crgg _{jj ne'} [";tt _I

c a l c u l é e s d a n s l a p a r a g r a p h e p r é c é d e n t ( I I - g à 3) et sonL

l e s f o r n u l e s ( I I - 49); on a donc, après lntégratlon s u r l / t

=

-; {, ,,,-,

{rl"

c,"-,,

dl.,

^ f', c' Jr"t e' €,"

i

*ri ;ih0

t

[C** *'ll

?1

- t J r o

+ llr*. t*"r.,

? . P T- rs o'

+ 'Le*" t*.r,

et ont été données par aL Vt : - ? , h

t,' - v, âqc

- 4

. ? , \

t -

v l '

t

*r., - 'r -Ë,

J

i l l - È 9 ) )

t 7

-Houc pauu,=na Éerlna l,il a.-us la î-,:rna ,l'unt _{r,riril€ ,ia E LarurE ;}

4Ét

W = W t

+ w t * W t t

w.=

_{i {i q;.,Ï'. cl..,r}

,., ,i.. ,n;

W T

F+ (

_1i

';;te 'l?-"

[rt C-

_*"p

1

u, tli ç, Â1,

( I I - ? o )

( r r - 7 1 1

( I I - ? e ) ( I I - ? 4 )

*

+ ! V

-? 1 ' '

l.ll et l,tJ ràprésentent respeetlvenent I'énengle propre _assoclée

l n c l u s l o n s _{r e t J, alors que l^lrJ neprésente lrénergl.e d,lnùen-actlon}

à l a p r é s e n e e des 2 Inclustons I et, J.

I t - .t En_ersie .f, tnteractl _{n chanp extér-LEgI_E}

I t - 4 - 1 C a l c u l d e l , é n e r i l L e é l a s t l g u _ e

C o n s l d é r o n s t o u J o u r s u n nl lleu l n f l n l _{h o n o g è n e de eûnsLantes}

é l ' a s t l q u e s cf ..;s.g, de voliliae u, {l,:,ntÊnant ,j,:ri:.: ii:* irrsi*ns I t-,t J dcrnt c h a c u n e a subl une défornatlon plastlque etr et €PJ et sounls à un chanp

d e c o n t r a l n t a _{x d { l à des forces de sunfarea; donc en plus,les eontralntes}

l n t e r n e s q u e l ' o n n o t e r & Ç 1 , 1 l f a u t tenln eonpte dans ee eas du chanp e x L é n l e u r E ; I ' é n e r g l e é I a s t l q u e , l e défornation est alors [3] :

*'l-âfi q;,ilr1.,.

{:, -tqirn,,ï":

c1,,,

_{,l (rr}

_{_ ?.,,}

(*.,.

1,r-',i)

_lv

e:",

, ï

= - L

L

w=

_{* (F.;,}

E.r)

2 ) " 1 1

v

au:r due

€ o .est la défannatlon élastlque assoclée i , ' ( * ' r ) . , = . , , r , t l e , J é p l a c e n o n t a s s a c r é en ÈenanL conpte du faIL que ;

À 1 -A L û à € o c o n t r a l n t e _{E ; o n notera} E n d é v e l o p p ' a n t ( l I - ?4) e L

I,o= C.r*,

trt, = Cri*,

\,1,

( I I - ? 5 . l

a l l 4 G ' l t . t À - i ' - r r i 1 1 æ ' l ( l I - _{J a ,}

f . . :

_{^ t , I}

= o

'ali)Ai="

/r,'t.:n

d ' o ù : de nêne, pulsque : 79)

eo)

ù p a l r e d ' l n c l u s l o n s P l a s t l q u e s I e e s t d o n n é p a r ( I I - 6 9 ) ; d o n c e n

^r

wo=tl\u.^rs

F; 4,i

à7=o

{+,(';-'li)s

: o

w=r1

firE;;,

_V

r; - t{r^'rluJr

( r r - s 1 l

2 ' t e r m e d a n s ( I I - 8 1 ) appelant : . 8 + ) / , ? t r

- (rr(-', ' ^,,:)

15

(rI

-)s

s u r f a c l q u e s a p p l i q u é e s à l a f r o n t l è r e S d u

Z..u

('I,i - aï

_{) =}

,.,n*

d*,,

(*1,; -1u)

= -i,u %, (II - ?s)

( I I

( I I

d ' o ù I I I - 7 4 ) +

Dans le cas d'une a é t é c a l c u l é ; t I

Wto=W

où F, représente les forces n l l l e u t a l , s u e Z h .

ài,

( I i - 8 e ) o n a i

W=wo *Wt*V,/t*Wtt

( I I - 8 3 ) e L o n v o l t q u e l ' é n e n g l e é l a s t l q u e ' e s L l a s o m r n e d e d e u x L e r m e s , l ' u n d t P P à I a p r é s e n c e , â e E , I ' a u L r e a u > : d é f o r n a è l o n s P l a s t i q u e s E I et E J.

ll - 4 - Z Eneraie d'llrteragtton çglge le clrarnn e:!térl-egE-4-u-ng-palrg

d' I nc I us I ons- -glgst I g--u-es . L ' é n e r g r e p o L e n t l e l l e t o t a t e " " 1 ' , c o n s l d é r É e d a n s ] e p a r a g r a F ' h e I I - 4 - 1 , e s t é g a 1 e à :

= F ;

s u r s

t 9

-€ t

t I I - 8 s ) - 8 6 )

- s}J

- 8 8 ) - 8 9 ) - 90) ( I r - 9 1 ) L ' e n e r g l e d ' t n t e r a c t l o n I ^ l ' I e s f o r e e s exLérteures F, est

^Jrs=

compt€ n ' e n t r e l a p a l r e , f i n c l u s l o n s p l a s L l q u e s d é f l n l e p a l ' ;

oP '

wË'."1 ,

î

[r,,

t,i8

[UÉ:f,s

,*={,,..i

c5

(II

et

wf.o -- wr * w r, w"J

_[*

d o n c ( I I - 8 3 ) e t ( I I - 3 5 ) +

w

æ

= W'o*

v7r, çr.wt"- (r.@'r'*l ) ds -v/o* (rr-i àS -w'-,lr-,g-

t t t

ts

_ls

on peut donc écrlre :

\,vil=

_{- (rr,"] aS = -}

lr,,-r 4

Às

(rr

)g

Js

/'4, *; , ,, : {E,r@I,,

-),

'i n'l

'

)v

ol ' ''l

d s I I - 8 O o n a ;

wil= - (, f.i. Lv

1, "1

^â

t t - à v (rr

v/*r = v,/r*_

WË:,y

_{_ wlT."}

at.)

_')t

Jv

.

lt,,

O P :

-(z h.

t'it

et tenant

c a s o ù l'on a une palre d'tn€_1us1on.s-glas!!gggS__gt_'l_.unlforma :

L o r s g u ' o n a u n e p a i r e d ' l n c l u s i , 3 n s p l a s t l g u e s _{d e v o l u n e s t / , a l v 3,} d a n s I e n t I l e u I n f l n l , e L l o r s q u ' o n _{s u p p o s ê . ! , , unlforme alors} ( I I - 9 1 ) s e n é d u l i slnplement à :

( r r - ss)

I t - S C o n c l u s l o n D a n s c e e h a P l L r e c ' n a donc e a l c u ] é l e s e o n L r a l n t e s e t l e s d é f o r n a t l o n s t o t a l e s p o u r l e p r o b l è u r e _{d e I a} p a l r e _{, 1 , lnc luslons}

P l a s L l q u e s e L h c ' n o g è n e s ; la r'ésoluilon conplàte du ç,robtèrne nécesslte Ie e a l e u l du tenseur TI I (cul se dédult slnplenant ,fu tenseur S d'EgFIELBv)

e t d ' u n Lenseur d'lntera,etion T t I q u e I'on r e t r o u v € r a encopË pour Ie

p r o b l è n e de la pairo h é t é r o g è n a , q u l e s t t r a l t é , â a n s la ehapttre

s u l r r a n t ; l e c a l c u l e x p l l e l t e d , u l e n s e u r T ! J f a l t I ' o b . t e t , i u e h a p l t r e l /

r t - È - E r B ! . r n E E n F H l E Il U n H n P l T n E l j _

1 - R . d e } I I T T , N . B . S - , n A ( 1 S 7 g l

2 - J.D. ESHÛ-BV, Pros. So1. Hech., (196i) I{ORSH-HOLLIIFID

3 - T . I , t u R A , M e c h a n l c s o f e l a s t l c a n d i n e l a s t i c s o l l d s 3

- 2 1

C H â P I 1 R E I I T

P r o b l è n e d e l a p a l r e d , i n c l u s l o n s h é t é r o g è n e s

I I I - t '- Equatlon lntégrale p o r : r les nl1tetrx hétënogènes

é l a s t l q u e s .

l I t - a - S o l u t l o n de l'équatlon g é n é r a l e pour unê patre

d ' t n c luslons hétérogènes .

t l t - 3 - C a l c u l d e l ' é n e r g l e é I a s t l q u e

I I I - { - _{A p p l l e a t l o n s e t e o n c l u s t o n s}

D a n s c e c h a p l t r e , n o u s t n a l L o n s I e p r o b l è n e d e I a P a l r a d ' l n c l u s l o n s

h é t é n o € è n e s , c ' e s t - à - d l r e l e c a s d ' r . u t n l l l e u o ù d e u x r é g l o n s p o s s è d e n t

d e E e o q f i a n t e s é l a s t 1 q r . p s d l f f é r e n L e s d e e e l l e s d e l a u a t n l e a , s o u m l s e à

1'lnflnl à une contralnte ou défornatlon rrnlforne. Ce Problène ùrouve

des applleatlons dans les Pnoblènes de natértaux conPosttas,

d ' e n d o o n a g e n e n ù ( t n t e r a c È l o n d e d e r : x P r é e 1 p 1 t é s , d e d e r r x f l s s u r e s . . . ) e t

d e n é t a l l u r g l e p h y s l q u e ( p n é c l p t t a t l o n ) . N o u s r a P p e l o n s d ' a b o n d

}'équatlon lnÈégnale de DEDERICHS eL ?F[.I'F'.R If ] que nous âpPllquons au

p r o b l è n e d e I a p a l r e d ' l n c 1 u s l o n s ; n o u s c o n p a t r o n s e n s u l t e l e s r é s u l t a t s

obtenus avec ceux dédults d'un€ néthode approchée dlte appnoxtnatlon de

B O R N ; e t n o u s l l l u s t r o n s e n f l n l e s c a l e u l s s u r u n e a s p a r t l e u l l e r . i l t - I - E q u a t l o n l n t é q r a l e p o u r l e s n l l i e u x h é t é r o g è n e s l l n é a l r e s ( é l a s t l q u e s ) C o n s l d é r o n s u n n l 1 1 e u l n f l n l d o n ù l o s c o n t a n t e s é l a s t l q u e s l c c a l e s C ( Ê ) a g p e n d e n t d e l a p o s l t l o t ? ; 1 1 s ' a , e l l p a e e x e n p l e d e p o l g e r l s t a u x ' . l J r t

de polyphasés, d€ conposltes ou de natérlaux endonrnagés. Ce nllleu est

eoulls à des forces surfaclques F qut enéent des contralntes frtÈt et

d e s d é f o r n a t l o n s t ( r ) v a r t a b l e s d a n s l e n l 1 l a u à c a u s e d e

l ' h é t é r o g é n É t t é d e s p e o p r t é t é s é l a s t l q u e s e ù d e s e o n d l t l o n E

p a e t l c u l l è r E s d ' a p p l l c a t l o n d e s f o r c e s F .

N o u s n o u s l n t é r e s s o n s l c l . a u c a s p a n t l e u l l ê t r d ' u n s Y s t è n e d e f o r e a

F' g.ul créent un chanp rrnlforne (E, f-.) dans le nlIleu lnt'lnl honogène.

Un tel problène est déflnl par les équatlons sulvantes :

1 ' é q q a t l o n d ' é à u l l l b r e ( o n suPPoss gq'lI n ' e x l s t e P a s d e f o r e e s voluulques) :

Çilît = o

( I I I - 1 ) ( I I I - E I ( I I I - 3 ) l a c o n p a t t b l l l L é d u c h a n P E :

Ie conportenant llnéalra local ,

6tit t l e ù l e s c o n d l t l o n s a u r f r o n t l è r E e

e{it:t(*li,'-r.,iù

) = *rrrrS,

*;:r,

= , , c t l ) * 1 ,

;iW

tt.

Nous cherelons un systène d'équatlons portant unlquenent sur d é p l a c e n e n t Ë t Ê t , e n p o r t a n L ( I I I - e ) d a n s ( I I I - 3 ) :

l a

e t e n p o r t a n t ( I I I - 4 ) d a n s ( I I I - 1 1 ,

d ' é q r . s t l o n s a u : K d é r l v é e s p a r L l e l l e s :

( I I I - 4 . l

sonnes condulLs au sStstène

T,f,=:;tr+

(*u,,

Q , L

2 3

-I1 est alors arranlagerrx d'lntrodulre _{rrn nt lleu honogène flctlf de}

c o n E t a n t E s élasÈlques C l r * e t e l q u e :

4 c i t

= C '

* E e r i ,

( I I I - 6)

Ààge )iïe

.. iÈe

( I I I _{- 5 ) d e v t e n t alors :}

( I I I . 7 )

ft\

L e d e r : x t è n e terne ' t ' | A e { à C . Î t

\ - - r j t d " \ l _{) , f}

d a n s Ie ler nenbne de tIIi - ?)

Peut être eonsldéré conue une dlstrlbutlon de fonees volunlgues

f l c t l v e s . U t l l l s o n s l e t e n s e u r de ffiMI d u n t l l e u l n f l n l d e c o n s t a n t e s

é l a s t t q u e s C i . , * , d é f l n l p a r :

C" Çt;-i.'t + [

_-iitt

f,ca-i,,1

=s

(III - s)

tr",01

irr

p o u r é e r l r e l a s o l u t l o n d e ( I I I - " )

a l n s t : .

/ f - \

rLtir=.rliir + (Gr*.'t', ([r:it

1'i''l àÏ'

(III - s)

h

h ' ,

'

₎

- ; .

_{\ -}

: j t e

S e l,i,

7

' d

o ù u o , , l âst rrne solutlon de l'équatlon honogèna assoctée, et u la voluna d u u I l l e u e o n s l d é r é .

F o r r r obtenlr l a d é f o r n a t l o n l o c a l e _{e rtl .ll faut ea.Iculer le}

g r a d l e n t _{* n , n , d ' o ù :} d ' o ù la défonnatlon locale :

tt:, = â?Ê,

r

P{n.i,T,

'nJi*''}

Ufl,,#ù{' ,,rr

- 11,

q u e l'on peut lnùégner par partles pour obtenln l'expresslon sulvante,

e n s u p p o s a n t q u ' e l l e _{s ' a n n u l e à l a f r o n t l è r a :}

/

fuËt

_{r v r n}

_{. t*, - [+ to:+11,,G-ri:i,t]}

_{l i h}

_{d+çi: L1i,t}

_{),i' (,rr - le)}

) U , |

. . , " â , ^ . , n i ,

! i j t e l g

1,r,

As,ei

('r',r, i,,),j= o

h.(ït = .r,iir , (eo'-et

([*r.U', âf',)

dÎ'

rrrr - 10)

Frr

h,b

ê t t e n a n t eonptg de (II - 3O), on obtlent

L&t z

( I I r - 1 3 )

h r

( I I I - 1 < t )

Cette équatlon lntégrale appelée éqr:a,tlon L S D par KRONER _l2l a, éLé

pnoposée sous cette forne par DEDRICH et ZE[.LR, [1J; Nous I'utlltsons

p o u r résoudre le problène partlculler _{d e I a p a l r e d'lncluslons.}

I

I I I - e S o l u t l o n d e l ' ê c u a t t o n s é n é r a l e p o u r u n e o a l r e d ' l n c l u s l o n s h ê t é r o E è n e s

,

La soluÈlon du Problèue pour une héténogénélté euelconque présente de

aonbneuses dlffleultés; p:rn contne pour Ie problène de la palre

d ' l n c l u s l o n s , n o u s p o u v o n E o b t e n l r u n e s o l u È l o n a p p r o c h é e p o u r l e s

défoeratlons Bo:l€nnès. Hous consldérons donc un nl lleu lnflnl de

eonstantas élaEtlqu€E C?r*. eontênant derrx lnclustone I et J de uolume

V , a L V " e t d e e o n s t a n t e s é l a s t l q u e s C l r * , e t C i r . . , s u p p o s é e s

u n l f o r a e s d a n s l / r e t U " . A 1 ' l n f l n l I e n l l l e u e s t s o l l l c l t é p a r u n

ssstène de forees surfaclques créant dans tout lé nllleu hanogène (0o)

u n e d é f o n n a t l o n unlforne t , $ n ! l ' é q u a L l o n ( I I I _{- fg) donne alors :}

où

[r.-.,, =-[{q",,..gç^-+,}

,..i

_L

t

.i,ni "1,*i

_J

Â::,=

ro.

[W,

5çr âiî',

)à'

=lt;,.,

' c,,,,,]'ï'

+

t';,,

- (u,,

)'t,

(irr

- 16,

- i a ; ' ' ' . f ' : . r '

( I r I - r s )

I t est donné par. :

;iLl

(

àcci,

iiLe

qu€ nous écrlvons sous la forne :

(

_{^ n r}

bccir = 4L,..-otÉt + At"- Oi;r

; i s o

i i t e

) i r e 1 '

J."s f ,

r /

t ,L l*rreà

_rrr u, /" b-I

= 'j- {2"' ,,Ê'

vJ Jo ".

(Fr,o,

lr"'"'

2 5 -l^ It.

e'

h|r

't

[[u,'r'al]*

ê'trr

.t (

/r-+,

_{ll Ç-t,}

À

91,,

e

[t ,-] ,o"rote analogue :

[^rL't d7 àà

Êe'

Irq La, Àî,' à.i,

f ' e

_{. I I I - 1 ? )}

on obtlent pour

L,

Itrl

î-' - to - J- ( ( lr..*,Àcl.^

oT,ir

Ltttt

à;' à1

-t^. = '^.

ï_ _{-.t turtv} | | .rrii _o .i;Lv v le

.

'

( ( -

,, Àct eir, L-te,)

ài, ài

(iII - ls)

* J I l*;*,

ijhQ

Le

La sorutron .r=ta"/El'Y."

'gc-tton"

est €nco.e très eonplexe et

d l f f l c l l e à d é d u l r e ê n g é n é r a l ; _{n o u s p o u v o n s obtenln u n e s p l u t t o n}

a p p r o e h é e en neaplaÆant dans les lntégra.les dans (IrI - t?) qt (III - 1gl,

res défornatlons _ât:l par leur rraleur _{Eogenne et et Ât dans les}

l n e l u g l o n s I e t J . N o u s a v o n s alors (III - LT't +

7

t

h l r

.â..

t [f+,

I

^

YL

acr" el, rl'a; 5

A'.,* t'r, a;' ai