Approche éléments finis de la microstructure « réentrante »

lequel sont noyées des renforts de section elliptique (Figure. 3.14-a). Compte tenu de la symétrie du problème, seul le quart du VER est modélisé pour l’analyse. Des conditions aux limites symétriques sont alors appliquées sur les trois faces _X^,Y^,Z^_. Au regard de la fraction volumique des inclusions définie dans l’équation (97), les dimensions en termes de demi-axes des inclusions sont reliées à cette dernière par :

 

Chapitre 3 : Investigation analytique et applications micromécaniques

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a. modèle numérique

b. modèle maillé

Figure 3.14: Modèle EF de la microstructure « réentrante » pour f_T 0.9

Sur les faces _Y^,Z^_ du VER, sont appliqués deux conditions de périodicité. Le modèle est alors maillé en utilisant le logiciel HyperMesh 10 (Altair, Troy, Michigan, USA). Le modèle est composé de 35 808 éléments de classe PENTA(6) (Figure. 3.14-b). Tous ces éléments ont un « aspect ratio » inférieur à 3.25 et l’angle maximum de 37.63. Le RVE est alors soumis à un chargement axial sur la face X^.

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76 (a) : ₁₁

(b) : ₂₂

(c) : ₃₃

Figure 3.15: Contours Plots de déformation de la microstructure réentrante pour

0.9 T

f 

Les résultats de la Figure 3.15 ont été obtenus à travers une simulation réalisée à l’aide du logiciel de Calcul Eléments Finis MSC/MARC 2005 software package (MSC Software, Santa

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77 Ana, California, USA). A partir des valeurs moyennes des déformations ainsi obtenues, il est possible de déduire le coefficient de Poisson _ij par la relation:

jj ij ii      (102)

Dans l’équation (102), il n’ y a pas de sommation sur les indices répétés. Les contours des déformations selon la direction sont présentés à la Figure 3.17 pour le plan (XY). Ils indiquent que le VER s’est déformé de façon conventionnelle. La Figure 3.16 montre l’évolution du coefficient de Poisson résultant en fonction de la fraction volumique des inclusions. Sur ce graphe, les résultats issus du modèle EF sont comparés à ceux obtenus par la micromécanique.

Figure 3.16 : Evolution du coefficient de Poisson versus la fraction volumique: FE et

solutions micromécaniques pour 0.4, T10, r0.1

Les prédictions des deux approches sont assez similaires. Les résultats numériques confirment la conclusion précédente selon laquelle pour cette microstructure spécifique, le VER est définitivement non auxétique.

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78 Cependant, il est bien connu que cette microstructure conduit au comportement auxétique. En conséquence, nous examinons le cas d’un mécanisme d’inclusions interconnectées dans la microstructure « réentrante ».

A travers une modélisation en déformation plane, le comportement auxétique peut être obtenu pour une microstructure « réentrante » avec des inclusions interconnectées comme le montre la Figure 3.18. Le déplacement du VER est positif aussi bien dans la direction de traction que dans la direction transverse. Cette observation est illustrée par le graphe 3.19 qui montre une décroissance du coefficient de Poisson ₁₂ avec l’augmentation du rapport de rigidité i

m

E E entre l’inclusion et la matrice. Pour les valeurs de paramètres sélectionnés, un coefficient de Poisson négatif est ainsi observé pour _12.

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Figure 3.18:MEF, déformation plane 2-D, inclusions interconnectées

Figure 3.19. MEF inclusions interconnectées:

Coefficient. de Poisson ₁₂ et ₁₃versus le rapport de rigidité inclusion matrice

E E

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Conclusion

Dans ce chapitre, il a été démontré l’inadéquation du formalisme micromécanique basé sur l’équation intégrale dans la description du comportement auxétique dans les matériaux composites. Principalement trois sortes de microstructure ont été analysées dans l’investigation du comportement auxétique par des modèles multi-échelles basés sur la micromécanique.

Des microstructures complexes ont été explorées. En effet, la microstructure multi-enrobée suggérée par Stagni a été analysée suivant le modèle multi-enrobé développé par Lipinski [14]. Il apparait qu’une telle microstructure ne peut conduire à un comportement auxétique. Ensuite, la microstructure dite « réentrante » a été reproduite par un cluster d’inclusions ellipsoïdales dans une matrice. La version multi-site des tenseurs d’interactions a été implémentée dans le but de prendre en compte la texture morphologique et topologique de cette microstructure. Comme dans les précédentes applications, les valeurs effectives de coefficient de Poisson résultant de cette analyse restent positives pour des phases non auxétiques. Ces résultats micromécaniques ont été confirmés par des simulations EF.

Antérieurement à l’analyse de ces microstructures complexes, des développements analytiques d’un composite biphasé constitué d’inclusions sphériques et isotropes ont été conduits. L’objectif à ce niveau était d’analyser le domaine potentiel d’existence des composites auxétiques d’un point de vue admissible par les restrictions thermodynamiques des matériaux élastiques. Les résultats de cette étude montrent clairement que le comportement auxétique est atteint si et seulement si, une des phases du composite est auxétique. Ces résultats rejoignent de près les travaux de Wei [46, 48, 49] dans lesquels des inclusions auxétiques ont été directement introduites dans une matrice. Ceci a conduit à un comportement macroscopique auxétique au delà d’une gamme de fraction volumique donnée.

Par ailleurs, il a été montré dans ce chapitre à travers une analyse EF, qu’il n’est possible d’obtenir un comportement macroscopique auxétique qu’en considérant une microstructure « réentrante » avec des inclusions interconnectées. Malheureusement, des modèles micromécaniques prenant en compte une telle liaison entre les inclusions ne sont pas disponibles à ce jour.

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81 Dans la suite de cette thèse, des matériaux auxétiques seront mis à contribution dans des composites en vue de l’amélioration de certaines propriétés mécaniques en viscoélasticité et en vibration libres.