Sur la génération et l'exploitation de décompositions pour la résolution de réseaux de contraintes

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Sur la génération et l’exploitation de décompositions

pour la résolution de réseaux de contraintes

Philippe Jégou, Samba Ndiaye, Cyril Terrioux

To cite this version:

Philippe Jégou, Samba Ndiaye, Cyril Terrioux. Sur la génération et l’exploitation de décompositions

pour la résolution de réseaux de contraintes. Premières Journées Francophones de Programmation

par Contraintes, CRIL - CNRS FRE 2499, Jun 2005, Lens, pp.149-158. �inria-00000072�

Sur la génération et l'exploitation de dé ompositions arbores entes

pour la résolution de réseaux de ontraintes

Philippe Jégou Samba Ndojh Ndiaye Cyril Terrioux LSIS- UMR CNRS 6168

Université Paul Cézanne (Aix-Marseille 3) Av. Es adrilleNormandie-Niemen 13397 MarseilleCedex 20(Fran e)

{philippe.jegou, samba-ndojh.ndiaye, yril.terrioux}univ.u-3mrs .fr

Résumé

Les méthodes exploitant les dé ompositions arbo-res entes pour résoudre des réseaux de ontraintes semblent onstituerlesmeilleuresappro hesentermes de omplexitéthéoriqueentemps.Néanmoins,onpeut estimer qu'elles n'ont pas démontré, à e jour, un véritable intérêt pratique. Aussi, dans ette ontribu-tion, nous étudions tout d'abord diérentes stratégies d'approximationsdedé ompositionsarbores entes opti-males,etnousanalysonsensuiteleurpertinen edansle adredelarésolutiondeCSP.Dansunese ondepartie, nousétudionsleproblèmedu hoixdelameilleure stra-tégiepourlepar oursdel'arbrede lustersasso iédans le adredelarésolutionduCSP.Lesstratégiessont rela-tivesnotammentau hoixdu lusterra ine, 'est-à-dire, eluiàpartirduqueldébuteralare her he.Undeuxième aspe t on erne l'ordredans lequelles lsd'un luster serontvisités.

Abstra t

Methods exploiting the tree-de omposition notion seemtoprovidethebestapproa hforsolving onstraint networksw.r.t. the theoreti al time omplexity. Never-theless, they have not shown a real pra ti al interest yet.So,inthispaper,werststudyseveralmethodsfor omputing anapproximateoptimaltree-de omposition beforeassessingtheirrelevan eforsolvingCSPs.Then, weproposeand ompareseveralstrategiestoa hievethe best depth-rsttraversal of the asso iated luster tree w.r.t. CSPsolving.Thesestrategies on ern the hoi e oftheroot luster(i.e.therst visited luster)andthe order a ording to whi h we visit the sons of a given

1 Introdu tion

Le formalisme CSP (Constraint Satisfa tion Pro-blem) ore un adre puissant pourla représentation et larésolution e a ede nombreux problèmes. For-muler un problème en termes de CSP onsiste en la dénition d'un ensemble

X

de variables, qui doivent ha uneêtreae téesdansleurdomaine(ni) respe -tif,tout ensatisfaisantunensemble

C

de ontraintes quiexprimentdesrestri tionssurlesdiérentes ae -tations possibles. Une solutionest une ae tationde touteslesvariablesquisatisfaittoutesles ontraintes. Leproblèmed'existen edesolutionest NP-Complet.

Dans etarti le,nous onsidéronségalementune ex-tensiondumodèleCSPtelquedéni i-dessus,etqui permet de prendre en ompte, notamment, les CSP "sur- ontraints", 'est-à-dire, les CSP ne possédant pasdesolution.Dans e as,leproblèmerevientà dé-terminerune ae tationdesvariables qui satisfaitde manière optimaleles ontraintes,selon des ritères à dénir.Cetteextensionestgénéralement onnuesous lenomdeCSP Valués[11,5, 24℄et onduit àla dé-nitiondeproblèmesquisonten oreplusdi ilesque lesCSPdebase.

La méthode usuelle pour la résolution de CSP est basée sur la re her he de type "ba ktra king". Pour lerendree a eenpratique,leba ktra kingdoit ex-ploiter àla foisdes te hniques deltrage ommeFC ou MAC [23℄, ainsi que des heuristiques de hoix de variables et/ou de valeurs.Ces appro hes onservent

ponentielle, à savoir

O(e.d

n

₎

où

n

est le nombre de variables,

e

le nombre de ontraintes, et

d

la taille maximumdesdomaines.Aussi,detrèsnombreux tra-vauxontétédéveloppés,andefournirdesbornesde omplexitéthéoriquedemeilleurequalité,etqui pren-draient en ompte ertaines ara téristiquesdes ins-tan es.Lameilleureborne onnueà e jour,est four-nieparlavaleurduparamètregénéralementnoté

w

,et quiestappeléla"tree-width"duCSP(onpourrait tra-duireleterme par"largeurarbores ente duréseau"). Ce paramètre est relatif à ertaines propriétés topo-logiquesdugraphereprésentantlesintera tionsentre variables viales ontraintes. La borne de omplexité entemps orrespondanteseradelaforme

O(n.d

w+1

₎

. Pour atteindre ette borne, diérentes méthodes ont été proposéesdont le Tree-Clustering [9℄ et ses dié-rentes extensions(onpeut onsulter[15℄ quiprésente une étuderé apitulativesur esdiérentes méthodes ainsique leur omparaisonthéorique). Ces méthodes sontfondées sur lanotion de dé omposition arbores- ente du réseau de ontraintes. Ce type d'appro he revient à représenter, d'un ertain point de vue, le réseau de ontraintes par des regroupements de va-riables( lusters), dont l'agen ementest stru turé en arbre.Lameilleuredé omposition,enthéorie, onduit àune omplexitéentempsde

O(n.d

w+1

₎

.Selon l'ins-tan e,legainee tifentempsde al ulparrapportà une appro he de type ba ktra king, peut être onsi-dérable. Toutefois, la omplexité en espa e, linéaire pourles méthodesde typeba ktra king,peutrendre l'appro he par dé omposition totalement inopérante. Cette omplexitépeutêtreréduiteà

O(n.s.d

s

₎

où

s

est lataillemaximumdes interse tionsentre lusters [8℄. Cesrésultatsthéoriquessontvalableségalementpour lesCSPsValués[27℄.Denombreuxtravaux,fondéssur ettedémar he,ontétéréalisés,maisils'agit essentiel-lementde ontributionsthéoriques,ausensoùl'intérêt pratiquen'estjamaisattestéparune validation expé-rimentale.Hormis,[16℄, etàundegrémoindre[14℄,il n'existedon pas detravaux attestant de l'utilité de esappro hes.

L'obje tifduprésenttravailest d'explorer ette di-re tion,enproposantdesvoiesvisantàl'optimisation pratiquede esméthodes,an delesrendre ee tive-mentopérationnellesenpratique.

Danslapremièrepartiede etarti le,nousétudions àlafois,leproblème,NP-di ile,delare her hed'une dé ompositionarbores enteoptimale,etl'intérêtqu'il peut yavoirà lerésoudre. Ce problème, souvent ap-préhendé par le biais de la re her he d'une triangu-lation optimale, a fait l'objet de très nombreux tra-vaux.Ilsemblequelesméthodesproduisantdes solu-tionsexa tesne onstituenttoutefoispaslesappro hes

qu'il est en général préférable de se limiter au al- uld'approximationsdedé ompositionsarbores entes optimalespluttquedere her heràtoutprixune so-lution optimale.Ce i, déjà par e que le oût du al- ul d'unetelle solutionpeutvite serévélerprohibitif. Deplus,et defaçonplussurprenanteen ore,disposer d'une dé omposition optimale ne garantit en au un as de disposer de la meilleure dé omposition au re-gard de la résolution du CSP qui luiest asso ié. En eet,lanotiond'optimalitétellequ'elleaété onsidé-rée dans le adrede lathéorie des graphes, n'intègre quele ritèrestru tureldel'instan etraitée,ignorant ainsi une part onsidérable dela sémantiqueasso iée au CSP traité. Par exemple,la meilleure approxima-tion semblerait être elle dire tement issue de l'algo-rithmeMCSdûà[26℄,algorithmequin'estpasréputé poursaqualitéd'approximationde

w

.

Dans la se onde partie de ette ontribution, nous étudionsleproblèmerelatifaupar oursdela dé om-position arbores ente lors de la résolution du CSP. Nous essayons de mettre en éviden e les meilleures stratégiespourguiderlare her he.Parstratégie,nous entendons hoixdu luster ra inepourdébuterla re- her he,et hoixdel'ordredanslequelles lustersls seront onsidérés lors de la poursuite de l'énuméra-tion. Nous avonsainsi exhibé diérents ritèrespour le hoix de la ra ine. Ces ritères sont fondés sur la topologie de l'arbre asso ié à la dé omposition. Par exemple,nousmontronsquepourrésoudreleproblème CSP (au sens existen e d'une solution), plus la ra- ineestpro hedu entrede l'arbre,pluslarésolution sera rapide. Un autre ritère a été mis en éviden e. Il on erneladi ulté derésolutionpropreà haque luster, et il nous a permis de montrer que plus le lusterra ineétaitdi ileàrésoudre,plusl'e a ité globaledelarésolutionétaitassurée.

Notonsque ette étudeaétéréaliséeenutilisantla méthodeBTD[16℄quisemble onstituerl'appro hela plus e a e, et sans doute même, la seule méthode raisonnablementopérationnelle pour larésolution de CSP par dé omposition arbores ente de graphes, du moinsànotre onnaissan e.

Cet arti le est organisé omme suit. Dans la se -tion 2, nous rappelons les notions de base propres aux méthodes exploitant la dé omposition arbores- ente de graphe. La se tion 3 analyse les méthodes et algorithmes al ulant des dé ompositions arbores- entes,tandisquelase tion4proposeetévalue dié-rentes stratégies et don heuristiques, pour guider la re her hedans l'arbreasso iéàladé omposition.En outre, ettese tion présentediérentsrésultats expé-rimentauxqui montrentl'intérêt del'emploi detelles heuristiques lors de l'exploration de et arbre. Dans

s'orentpourlapoursuitedenostravaux.

2 Préliminaires

Un problème de satisfa tion de ontraintes (CSP) peutêtredéniparuntriplet

(X, D, C)

.

X

estalorsun ensemble

{x

1

, . . . , x

n

}

de

n

variables.Chaquevariable

x

i

prend sesvaleursdansundomaineni asso ié

d

x

_i

gurantdans

D

.Lesae tationsdesvariablesdoivent satisfaire des ontraintes dénies dans

C

. Etant don-néeuneinstan edutriplet

(X, D, C)

,leproblèmeCSP onsisteàdéterminers'ilexisteuneae tationdes va-riablesquisatisfait haque ontrainte.Ceproblèmeest NP-Complet.Dans etarti le,etsansmanquede géné-ralité, nous onsidéreronsuniquementles ontraintes binaires,àsavoirles ontraintesquineportentquesur des ouplesdevariables. Dansuntel as,lastru ture d'un CSPpeutêtrereprésentéeparlegraphe

(X, C)

, qui est appelé graphede ontraintes.Les sommetsde e graphe orrespondent alorsaux variables de

X

et les arêtes entre ouples de sommets orrespondent à l'existen ede ontraintesentreles ouplesdevariables asso iéesauxsommets.

L'appro he deréféren e pour larésolution deCSP s'appuyantsur la stru ture dugraphe de ontraintes estleTree-Clustering[9℄.Cetteméthodeestbaséesur la notion de dé omposition arbores ente de graphes, notionformellementdénieparRobertsonetSeymour dans[21℄.

DénitionEtantdonnéungraphe

G

= (X, C)

,une dé ompositionarbores ente de

G

est unepaire

(E, T )

ave

T = (I, F )

un arbre et

E

= {E

i

: i ∈ I}

une familledesous-ensemblesde

X

,telleque haque sous-ensemble(ou luster)

E

i

estunnoeudde

T

etvérie:

1.

∪

i∈I

E

i

= X

,

2. pour toutearête

{x, y} ∈ C

, il existe

i

∈ I

ave

{x, y} ⊆ E

i

,et

3. pourtout

i, j, k

∈ I

,si

k

guresur un heminde

i

à

j

dans

T

,alors

E

i

∩ E

j

⊆ E

k

La largeur d'une dé omposition arbores ente

(E, T )

est égaleà

max

i∈I

|E

i

| − 1

.La largeur d'arbores en e ou tree-width de

G

(notée

w

)est la largeurminimale parrapportàtouteslesdé ompositionsarbores entes de

G

.

La omplexité en temps du Tree-Clustering est

O(n.d

w+1

₎

. Malheureusement, l'obtention d'une dé- omposition arbores ente optimale, à savoir une dé- ompositionarbores entedontlalargeurest

w

, onsti-tue unproblème NP-di ile [3℄. Aussi,de nombreux travaux ont été développés an de résoudre e pro-blème. Ces travaux exploitent généralement une ap-pro hefondéesur lanotiondegraphe triangulé (voir

x

2

x

4

x

6

x

7

x

5

x

8

x

1

x

3

x

3

x

7

x

8

x

4

x

5

x

6

x

2

x

3

x

4

x

5

x

1

x

2

x

3

3

2

1

4

E

E

E

E

(a) (b)

Fig. 1Un graphede ontraintessur8variables(a) etl'une desesdé ompositions arbores entes(b).

graphe est dit triangulé s'il tolère un ordre d'élimi-nation parfait, 'est-à-dire un ordre sur les sommets

σ

= (x

1

, . . . , x

n

)

telque levoisinageultérieurdetout sommet

x

i

(sommets

x

j

voisinsgurantaprès

x

i

dans l'ordre

σ

)formeune lique.

Le lien entre graphes triangulés et dé omposition arbores ente est évident. En eet, étant donné un graphetriangulé

G

,l'ensembledes liquesmaximales

E

= {E

1

, E

2

, . . . , E

k

}

de

G

orrespondàlafamillede sous-ensembles asso iée à la dé omposition arbores- ente.Commetoutgraphe

G

n'estpasné essairement triangulé, une dé omposition arbores ente de

G

peut être obtenue par une triangulation de

G

, 'est-à-dire une opérationqui al uleraun graphetriangulé

G

′

à partirde

G

.Pluspré isément,nousappelons triangu-lation l'ajout à

G

d'un ensemble d'arêtes

C

′

tel que

G

′

_{= (X, C ∪ C}

′

₎

soittriangulé.Lalargeur d'arbores- en ede

G

′

estalorségaleàlatailledelaplusgrande lique du graphe résultant

G

′

moins un. La largeur d'arbores en e(tree-width) de

G

est alors égaleà la pluspetitelargeurd'arbores en epourtoutes les tri-angulationsde

G

.

Généralement, lors de l'exploitation des dé om-positions arbores entes pour la résolution de CSP, on onsidère des approximations de triangulations optimales. Ainsi, la omplexité en temps est alors

O(n.d

w

+

₊₁

)

où

w

+

_{+ 1}

estlatailleduplusgrand lus-ter (ou lique) et nous avons

w

+ 1 ≤ w

+

_{+ 1 ≤ n}

. La omplexité en espa e est alors

O(n.s.d

s

₎

où

s

est lataillemaximaledesséparateurs, 'est-à-direlataille maximumdesinterse tionsentrepairesde lusters(on a né essairement

s

≤ w

+

). L'une des onséquen es immédiatesdel'existen ede esbornesde omplexité estque,pourgarantirapriori debonnes implémenta-tions,il fautimpérativementminimiser lesvaleursde

w

+

ainsiquede

s

.

Le graphe de la gure 1(a) est déjà triangulé. La plus grande liqueest de taille 4. Par onséquent, la tree-width de egraphe vaut3.Dans lapartie(b)de

angulé; et arbre onstitue une dé omposition arbo-res ente possible pour le graphe (a). I i nous avons

E

1

= {X

1

, X

2

, X

3

}

,

E

2

= {X

2

, X

3

, X

4

, X

5

}

,

E

3

=

{X

4

, X

5

, X

6

}

,et

E

4

= {X

3

, X

7

, X

8

}

.

Dans la littérature, les meilleurs résultats obtenus en pratique par des appro hes de e type l'ont été ave une méthode hybride appelée BTD [16℄. De fa-çonsurprenante,lesrésultats présentés d'aborddans [16℄puis aprèsdans [17℄,ontété obtenus sans qu'au- une heuristique liée à la forme de la dé omposition ne soit utilisée dans l'implémentation de BTD. Par heuristique, nous entendons d'une part, le al ul ou l'approximationd'unedé ompositionarbores entequi minimiselavaleurduparamètre

w

,etd'autrepart,les stratégiesutilisées pour lepar ours de la dé omposi-tionarbores ente,àsavoirle hoixdelara ine( luster de départ), et l'ordre d'examen des ls durant la re- her he. Cet aspe t est essentiel ar de es diérents hoix dé ouleront l'ordre d'ae tation des variables, donton onnaîtl'importan epourgarantirl'e a ité detoute méthodederésolution.

3 Cal ul de dé ompositions 3.1 Critères graphiques

Dans ette se tion, nous onsidérons le problème de lare her he de "bonnes" dé ompositions arbores- entesentermesde"bonnes"triangulations.Plusieurs algorithmesetappro hesontétéproposéspourles tri-angulations.Danstousles as,l'obje tif onsisteà mi-nimisersoitle nombred'arêtesajoutées,soit lataille des liques dans legraphe triangulé. On peut lasser lesappro hespossiblesen4 lasses:

1. Triangulations optimales.Dufaitque le pro-blème traité est NP-di ile, nous ne onnais-sons à e jour, au un algorithme dont la om-plexité serait polynomiale. Aussi, ertains au-teurs, omme [25℄, ont proposés des algorithmes dont la omplexité en temps est exponentielle. Plusré emment,[10℄ontproposésunalgorithme en

O(n

4

_.(1.9601

n

₎₎

.Leproblèmeposépar etype d'algorithmesestévidemmentqu'ilssontd'un in-térêtpratiquené essairementlimité.Parexemple, l'algorithmeprésentédans[10℄n'apasété implé-menté ar il serait inutile, en l'état a tuel, d'en attendreunequel onqueutilité pratique[28℄. De plus, dans un arti le ré ent, [12℄ ont à nouveau expérimenté l'algorithme de [25℄ (dans sa ver-siondetype"dé ision", 'est-à-dire al ulde tree-width),etilsontobservéquemêmepourdes pe-titsgraphes(50 sommetset 100arêtes),

l'implé-présent,seulel'appro hede[12℄ qui s'appuiesur unalgorithmede type bran h andbound,semble onstituerunevoieprometteusepourle al ulde triangulations optimales. Nous l'avons d'ailleurs utilisée dans le adre de nos expérimentations, maisau unrésultatle on ernantneserareporté i i,dufaitdesonine a itépratique.

2. Algorithmes d'approximation. Ces algo-rithmes garantissent l'approximation d'un opti-mum par un fa teur onstant. Leur omplexité est généralementpolynomiale en temps (dans la tree-width) [1℄. Malheureusement, pour le mo-ment, etteappro hesembleégalementirréaliste. En eet, la omplexité dudernier algorithmede Amir est

O(n

3

.log

4

(n).k

5

).log(k))

ave de plus une onstante a hée (au sens de la notation "grandO")supérieureà850(d'après[6℄).Deplus, Amirindiquedanssesexpérimentations(voir[2℄) que sur les ben hmarks testés, son algorithme prend de 6 minutes à 6 jours, selon l'instan e, alorsmêmequ'uneheuristiquenaïve omme min-degré(voirplusloin)dontl'implémentationprend une dizaine de minutes, donne sur les mêmes ben hmarksrespe tivementde1se ondeà2 mi-nutes,ave deplusdesrésultatsdontlaqualitéest signi ativementmeilleure(l'approximationdela largeurd'arbores en eest del'ordrede 50% in-férieure)!

3. Triangulation minimale. Une triangulation minimale, au sens de l'in lusion, al ule un en-semble

C

′

telquepourtout sous-ensemble

C” ⊂

C

′

,legraphe

G

′

= (V, C ∪C”)

n'estpastriangulé. Ilfautpré iserqu'unetriangulationpeutêtre mi-nimale sans être optimale (minimum). L'intérêt de e type d'appro he est relatif notamment à l'existen e d'algorithmes de omplexité polyno-miale. Parexemple [22℄(LEX-M) et plus ré em-ment [4℄ (LB), ont présentés des algorithmesen

O(ne

′

₎

où

e

′

estlenombred'arêtesgurantdans legrapheaprèssatriangulation.

4. Triangulation heuristique. Ces appro hes onstruisent en général un ordre (dynamique-ment) et ajoutent des arêtes dans le graphe, de sortequ'en nde traitement,l'ordreobtenu soit unordre d'éliminationparfaitpourle graphe ré-sultant

G

′

.La omplexitéde es méthodesesten généralpolynomiale(souventmêmelinéaire)mais elles n'orent, en ontrepartie, au une garantie de minimalité. Cette appro he seraitjustiée en pratique [18℄. En eet, Kjærul a observé entre autres,qu'au ontrairedesrésultatsattendus,des heuristiquesde e typeproduisentdes

triangula-Instan e

n

e

n-LEX-M n-LB n-min-ll n-MCS

w

tps

w

tps

w

tps

w

tps CELAR06 100 350 11 0,42 11 0,37 11 0,58 11 0,37 CELAR07 200 817 19 4,42 18 3,80 16 6,44 18 4,20 CELAR08 458 1655 20 55,85 19 82,73 16 73,57 19 51,74 CELAR09 340 1130 18 39,96 18 38,89 16 31,43 19 36,36 GRAPH05 100 416 28 1,00 26 0,68 25 1,34 31 0,97 GRAPH06 200 843 58 15,56 53 7,92 54 19,64 58 15,65 GRAPH11 340 1425 106 146,16 90 39,63 91 162,90 104 150,13 GRAPH12 340 1256 99 140,09 85 45,19 85 148,28 96 142,62 GRAPH13 458 1877 146 558,38 120 115,43 126 710,06 131 640,62

Tab.1Tree-widthobtenueaprèstriangulationettempsdetriangulation(ens)pourdesgraphesdesproblèmes "CALMA".

plus, elles sont en général très fa iles à implé-menter. Plusieursheuristiquessontgénéralement onsidérées,etla omplexitéentempsdeleur im-plémentation varie de

O(n + e

′

₎

à

O(n(n + e

′

₎₎

pourlaplus oûteuse(min-ll).Envoi iquelques unes:

 MCS.Elle s'appuiesur l'ordre al ulé par l'al-gorithmede[26℄ quiapourobjetla re onnais-san edesgraphestriangulés.

 heuristique min-degré-interieur. Elle ordonne lessommetsde 1à

n

, enséle tionnant omme nouveausommet,lesommetquipossèdeleplus petitnombredevoisinsdéjànumérotés.  min-degré.Elle ordonnelessommetsde 1à

n

,

en séle tionnant omme nouveau sommet, le sommetquipossèdelepluspetitnombrede voi-sinsnonnumérotés.

 min-ll. Elle ordonne les sommets de 1 à

n

, en séle tionnant omme nouveau sommet, le sommet qui onduira à ajouter un minimum d'arêtes si l'on omplète le sous-graphe induit parsesvoisinsnonen orenumérotés.

3.2 Évaluation expérimentale des ritères gra-phiques

Jusqu'à présent, les expérimentations présentées danslalittératuresemblentindiquerquelesappro hes 1(re her hed'optimalité)et 2(approximation)n'ont quetrèspeud'intérêtpratique arleurtemps d'exé u-tion, ommepremièreétaped'unerésolutiondeCSP, est bien trop oûteux par rapport au prot qu'elle pourrait orir en termes d'approximation de la lar-geurd'arbores en e.Aussi,nouspensonsqu'ilest pré-férable de on entrer nos eort sur les appro hes 3 et 4. Pour évaluer l'intérêtde telsalgorithmes, nous avons hoisi de les expérimenter sur deux types de ben hmarks :des graphesissus devéritables

appli a-on sait qu'il s'agit de sous-graphes de graphes pos-sédant de bonnes propriétés en termes de dé ompo-sition arbores ente.Il est lair que travailler sur des graphesaléatoires lassiquesn'astri tementau un in-térêtdansle ontexteprésent,et epourdeuxraisons. Toutd'abord,lesméthodesderésolutiondeCSP par dé ompositionn'ontd'intérêtquedansle adrede pro-blèmes réels qui posséderaient de bonnes propriétés stru turelles, e qui n'estpasle asdesgraphes aléa-toires lassiques.Parailleurs,il estbien onnu quela tree-width detelsgraphes est démesuréepar rapport à leur densité. Par exemple, pour

n

= 50

ave une densitéde

0.25

,latree-widthobservéedans[12℄estde l'ordrede

27

.

Danslatable1,nousprésentonsdesrésultats expé-rimentauxréaliséssurlesgraphesdel'ar hiveCALMA (problèmes d'allo ations de fréquen es [7℄).

1 Nous avonstesté quatre algorithmes de triangulations: n-LEX-M, n-LB, n-min-ll et n-MCS. Ces algorithmes sontdénisàpartird'uneadaptationdesheuristiques présentées plushaut(LEX-M, LB, min-ll et MCS). Pré isément, haque algorithme n-X revient à xer le hoix du premier sommet à onsidérer puis à uti-liser l'heuristique

X

pour ordonner tous les autres sommets. An d'éviter un hoix peu judi ieux pour le premiersommet, les algorithmesn-X vont essayer su essivement ha undes

n

sommets ommepremier sommet.Cesrésultatsindiquentquelesmeilleures ap-pro hessontissues dedeux algorithmes: n-LB et n-min-ll.Àtitreindi atif,un hoixaléatoiredupremier sommet onduit à des résultats évidemment moins bons,maissouventtrèsvoisins,ave destempsde al- ul de l'ordredu temps reporté dans latable 1mais biensûrdivisépar

n

(au undestempsn'ex èdealors les2se ondes).

Notons que les résultats obtenus ave es triangu-lations sontgénéralementmeilleurs que euxobtenus

1

appro he radi alement diérente d'obtention de dé- ompositions arbores ente (elle est basée sur les al-gorithmesdeots).

Latable 2présente des résultats de triangulations obtenuessurdesgraphesaléatoiresgénérésenutilisant unmodèlesimilaireà eluiprésentédans[12℄.Dans e modèle, nous onsidérons des k-arbres à

n

sommets, générésaléatoirement(ils'agitainsidegraphes trian-gulésdonttoutesles liquessontdetaille

k

+ 1

).Etant donnéunk-arbre,noussupprimons

p

%(

p

= 20, 40

ou 60)desesarêtes.Pour haquek-arbrepartielainsi ob-tenu, nous avons appliqué les quatre algorithmes de triangulationsn-LEX-M, n-LB, n-min-ll et n-MCS. Nous onstatonsi iquel'appro helaplusintéressante entermesdelargeurd'arbores en e,estfourniepar n-min-ll,alorsquen-LBoreun ompromisintéressant entretempsd'exé ution etqualité durésultatnal.

3.3 Triangulationet résolution

Puisquel'intérêtd'unedé omposition,dansle adre de la résolution de CSP, est relatif à l'e a ité de la dernière étape de traitement, à savoir, la résolu-tion ee tive du CSP, nous avons omplété nos ex-périmentations sur les quatre triangulationsétudiées plus haut, mais en intégrant, après l'étape de trian-gulation, l'étapede résolution. Pourmener es expé-rimentations, nous avons utilisé des CSP aléatoires dont la stru ture - le graphe - est ependant issue desproblèmesdelalisteCALMA,don d'instan esde graphesréelles( f. table 3). De manièresurprenante, nousavonsobservéqueladé ompositionlaplus inté-ressante est donnée par MCS, n-min-ll se révélant seulement robuste, plutt qu'e a e, ar terminant dans tousles as. De plus, quand lesdé ompositions sontmodiéesaprès latriangulation,de sorteà limi-terlataillemaximale

s

desséparateurs,l'inuen ede latriangulation tend à disparaître. Notons que pour desquestionsd'e a itépratique,nousavonstout in-térêt à réduire la valeur de

s

, e i étant possible en regroupantles lustersquipartagentdegrandes inter-se tions.

Nous avons également étudié l'eet de la triangu-lation sur la résolution de CSP stru turés aléatoires. Pour e faire, nous avons repris le modèle introduit dans[16℄ et qui permet lagénération deCSP en uti-lisant unarbre de liquesaléatoire,dont lataille des liqueset elle desséparateurssontbornées.Une fois legraphede ontraintesgénéré,nousavonssupprimé, ommepourlesk-arbrespartiels,un ertain pour en-tage

p

d'arêtes(

p

= 10, 20

,...).Pourlesinstan es de CSP (problème de dé ision f. table 4), la surprise vientdufaitqueMCS,quisemble onstituerapriori

gard des ritères graphiques,mais surtout en termes derésolution.MCSobtientlameilleureapproximation de

w

tout en limitant d'emblée la valeur de

s

. Cela lui onfèreunerobustesseremarquable, meilleureque elle oerte par les autres triangulations. Cette ten-dan e est onrmée pour le as de VCSP (plus pré- isémentMax-CSP) dontlegraphede ontraintesest générédanslesmêmes onditions( f.table5).

Pour on lure, onpeutestimerque leproblèmede l'obtentiond'une "bonne" dé omposition,au sensde son utilité pour larésolution de CSP, valués ounon, demeure ouvert. Néanmoins, des éléments nouveaux sontapparusi i,qui peuventmaintenantmieuxnous guider dansletraitement de ette question.En eet, dans ette se tion,plusieurspistessontouvertes.

Tout d'abord, nous avons pu observer que la re- her hed'unetriangulation optimalen'estpas né es-sairementl'obje tif leplus pertinent sil'on triangule en vue de résoudre un CSP. Ainsi, des heuristiques exploitables en temps polynomial pourraients'avérer susantes pour al uler des dé ompositions arbores- entesutiles.Ce faitnoussemblepratiquementavéré, quand on limite la question à la résolution de CSP au sens existen e ou re her he de solution. En eet, il nous est apparu qu'en l'état a tuel, le re ours à unetriangulation oûteuse,quire her herait l'optima-lité, ne re èle stri tement au un intérêt. Du fait du oût élevé de telles appro hes, et de la relative e- a ité de larésolution ultérieure duCSP, une fois la dé ompositionobtenue,quand bien même elle- i se-rait dequalité moyenne,legainéventuelengendréne justie en au un as l'emploi d'algorithmes de trian-gulation trop gourmandsen temps. Par ontre, pour le as des CSP Valués, la questiondemeure ouverte. Ainsi, nous estimons qu'un eort doit être porté sur l'étude de triangulations de meilleurequalité dans le asdesCSPValués.Larésolutionde eux- i entraîne souventuntempsde al ul onsidérable,telqu'il jus-tierait vraisemblablementlere ours àune phasede pré-traitement onséquente, pour autant que elle- i serévèleensuiteprotableàlarésolution.

Un autre fait observé i i on erne l'importan e de la valeur de

s

. Ee tivement, e paramètre semble onstituerun ritèreextrêmementsensiblepour equi on erne la résolution ultérieure du CSP. Les tables 3 et 4 fournissent en e sens, une illustration remar-quable puisque des triangulations ommeLEX-M ou LB nepermettent pasàlaphasederésolution d'être e a esi lavaleurde

s

n'est pasmaîtrisée( f. table 3). Par ontre, dèslorsquelavaleurde e paramètre estlimitée,LEX-MetLBpeuventsesitueràunniveau omparabledesautrestriangulations,mais e onstat

n

p

n-LEX-M n-LB n-min-ll n-MCS

w

tps

w

tps

w

tps

w

tps 50 20 10,60 0,02 10,20 0,03 10,02 0,14 13,96 0,01 50 40 11,70 0,02 10,28 0,03 10,00 0,11 15,00 0,01 50 60 12,52 0,02 10,72 0,02 9,96 0,06 14,68 0,01 100 20 11,86 0,18 10,24 0,34 10,22 2,15 13,92 0,06 100 40 13,52 0,22 10,44 0,32 10,30 1,47 16,06 0,06 100 60 15,34 0,19 10,30 0,28 10,08 0,79 17,44 0,05 200 20 13,60 1,33 10,66 2,17 10,62 36,99 14,64 0,32 200 40 17,78 2,20 10,68 2,90 10,72 29,61 17,48 0,42 200 60 22,98 1,86 10,66 2,80 10,48 12,09 19,48 0,36

Tab. 2 Tree-width obtenue après triangulation et temps de triangulation (en s) pour des k-arbres partiels aléatoires.

Instan e

d

t

Tempspour

s

illimité Tempspour

s

limitéà10 LEX-M LB min-ll MCS LEX-M LB min-ll MCS CELAR02 50 1216 2,50 2,51 16,55 2,48 2,50 2,54 15,73 2,57 CELAR03 30 373 1,96 56,68 6,35 1,91 1,71 2,44 1,62 1,32 CELAR06 50 1155 3,17 3,20 3,12 3,15 3,17 3,20 3,12 3,15 CELAR07 25 209 11,91 M 16,14 3,86 4,13 4,01 4,23 3,91 CELAR09 25 209 M T 16,33 5,73 4,10 4,08 4,02 3,92

Tab. 3  [CSP℄ Temps d'exé ution (en s) pour la résolution de CSP. D'abord pour une taille

s

quel onque de séparateur et pour une taille limitée à 10. T et M indiquent qu'il est impossible de résoudre les CSP orrespondants,pourdesraisonssoitdeTemps,soitd'en ombrementdelaMémoire.

4 Quelle stratégie pour par ourir l'arbre?

Sans heuristiques de qualité dans le hoix des va-riables(etdesvaleurs)pendantunerésolutiondetype ba ktra kingtellequeFCouMAC,ilserait pratique-mentimpossiblederésoudrequelqueCSPque esoit. Pourles méthodesbasées sur ladé omposition arbo-res entedegraphes,l'heuristiquequi hoisiraitles va-riables durantla re her he, orrespond àune heuris-tique ou stratégie de par oursde l'arbre asso ié àla dé omposition.Eneet,l'heuristiquedoit hoisirla ra- inedel'arbre(quenousappellerons" lusterra ine"), et etteheuristiquedoitégalementordonnerleslsdes noeudsdel'arbre,ande hoisirle lustersurlequella re her he doitsepoursuivre.L'objet de ette se tion est deproposeretd'étudierdetellesheuristiques.

4.1 Choixdelara ine

Pour hoisirla ra ine, nousdisposons au moins de 2 ritères. Tout d'abord, nouspouvons onsidérerun ritère lo al qui a pour objet de d'évaluer la perti-nen e du hoixd'un luster,indépendammentde ses intera tionsave lesautres lusters.Parexemple,nous pouvons onsidérerlataille(quiseranotéTailledans lasuite)du luster omme ritèrelo al.Commeautre

ritère,nous pouvons onsidérerun ritère global qui permettra d'opérer un hoix de luster relativement àsasituationdans l'arbre.Pourformaliser e se ond ritère, nous allons utiliser la notion de distan e entre ouples de sommets

x

et

y

dans un graphe

G

, que nous noterons

dist(x, y)

, et qui orrespond àlalongueurduplus ourt heminentre

x

et

y

dans

G

.

Dénition.Soit

G

= (X, E)

ungraphe.

1. Un sommet

x

∈ X

estappelé entre(CTR)de

G

si

x

minimise

max{dist(x, y) : y ∈ X}

.

2. Un sommet

x

∈ X

est appelé bary entre (BARY)de

G

si

x

minimise

Σ

y∈X

dist(x, y)

. 3. Unsommet

x

∈ X

estditpériphérique(PERI)

dans

G

si

x

maximise

max{dist(x, y) : y ∈ X}

. 4. Un sommet

x

∈ X

est dit fortement

pé-riphérique (FPERI) dans

G

si

x

maximise

Σ

y∈X

dist(x, y)

.

Notons que, étant donné un arbre, le problème onsistant à déterminer es diérents sommets peut êtrerésoluen

O(n

2

)

.Pour ela, ilsut de al ulerla matri e asso iéeaux distan es entre tous les ouples de sommets. Ce i est possibleen déterminantla dis-tan e entre unsommet

x

et tousles autres sommets à partir d'une re her he en largeur dans le graphe -unarbre-endébutantàpartirde

x

.Puisquepourles

p

t

LEX-M LB min-ll MCS

w

tps

w

tps

w

tps

w

tps 10% 215 18,50 65,00 16,80 4,30 15,97 19,13 14,03 3,98 20% 237 22,00 243,50 20,63 7.25 16,30 9,38 14,00 3,87 30% 257 23,30 72,34 21,07 21,01 17,02 5,83 15,03 4,13 40% 285 24,90 76,55 22,30 72,60 15,33 1,17 15,33 4,97

Tab.4[CSP℄Tempsd'exé ution(ens)etvaleurde

w

pourla lasse

(150, 25, 15, t, 5, 15)

aprèsretraitde

p

% arêtes(ave

s

limité à5).

p

t

LEX-M LB min-ll MCS

w

tps

w

tps

w

tps

w

tps

10% 103 10,70 7,23 9,70 6,49 10,23 14,76 9,00 3,72 20% 110 11,27 28,77 9,60 2,42 11,87 118,43 9,00 2,52 30% 119 13,00 T 9,76 6,24 10,93 28,97 9,00 3,80

Tab.5[VCSP℄Tempsd'exé ution(ens)et valeurde

w

pourla lasse

(75, 15, 10, t, 2, 10)

aprèsretraitde

p

% arêtes(ave

s

limité à5).

arbres,lenombred'arêtesestexa tement

n−1

,le oût engendrépar ettere her heenlargeurserabornépar

O(n)

. Ilsut alorsde répéter etteopérationà par-tirde ha undes

n

sommetsde

G

,d'oùla omplexité

O(n

2

₎

.

Si l'arbre que nous onsidérons est elui asso- ié à une dé omposition arbores ente, es dénitions doiventêtreétendues.Unefaçonnaturelledepro éder dans e as onsisteàutiliserlatailledes lusters

E

x

asso iésaux noeuds

x

de l'arbre.Danslesdénitions données i-dessus, pour haque sommet

y

onsidéré, on rempla e alors

dist(x, y)

par sa valeur pondérée, soitpré isément

dist(x, y).|E

y

|

.

La table 6 présente les résultats obtenus sur des VCSP qui ont été générés en utilisant un arbre de liquesaléatoire, dontlataille des liqueset elle des séparateurs sont bornées. Le modèle est identique à eluiprésentédansledétaildans[17℄.

Classe Tempsd'exé utionense ondes

(n, d, r, t, s, ns)

Taille BARY PERI FPERI (75,15,10,98,2,10) 25,34 23,06 48,77 70,09 (100,10,15,30,3,15 ) 40,98 63,42 523,72 454,75 (125,10,15,30,3,20 ) 72,78 86,03 460,77 448,17 (150,10,15,29,3,25 ) 73,26 139,36 280,19 278,63

Tab.6[VCSP℄Choixd'unera ine.

Danslatable6,onpeutobserverqueles hoixde ra- ine"périphérique"ou"fortementpériphérique" sont àéviter.Ce onstatestrenfor éen orequandonvoit que l'appro he "fortement périphérique" (FPERI), esten oreplusmauvaisequelasimpleappro he

"pé-ne sontd'ailleurs pasantagonistes,sontàenvisager: prendre omme ra ine, soit le luster "bary entre", soit le luster de plus grande taille de l'arbre, e qui sembled'ailleurs onduireàun hoixen oremeilleur. I i,l'intuitionsemble on orderave l'observation.En eet,onpeut onsidérerquel'unoul'autrede es lus-tersest hoisidesorteàprivilégierendébutde résolu-tion,unepartieduproblèmequiseralaplus ontrainte possible,soitlo alement( f.Taille),soitglobalement ( f.BARY),en esensquedansun as ommedans l'autre, es hoix onduirontàséle tionnerun luster qui, globalement,sesituedansune zoneduproblème qui estplus ontraintequelesautres.Onretrouvei i le fameux prin ipe dit du "rst fail", qui onduit à privilégier en début de résolution les hoix les plus ontraints.

4.2 Ordredans laliation

Etant donnée une ra ine, nous avons étudié deux ritères pour ordonnerle traitement des lusters ls. D'unepart,nousavons onsidéréleurtaille:nous pou-vons les hoisir dans l'ordre dé roissant (PGC) ou roissant(PPC) destailles.D'autrepart,nousavons ordonné les lusters par rapport à la taille du sépa-rateur ave le père, endébutant ave le pluspetit et dans l'ordre roissant (SEP). Pour les expérimenta-tions,nousavonsutilisélemêmemodèledeCSP aléa-toires que elui présenté pour le hoix de la ra ine. An de s'assurer de la pertinen e des hoix réalisés, nousavonségalementreportélestempsde al ulpour le asoùau unordredansle hoixdeslsn'est onsi-déré(NO).

(n, d, r, t, s, ns)

NO PGC PPC SEP (150,25,15,200,5,15) 7,58 7,33 5,98 6,01 (150,30,15,300,5,15) 16,91 16,57 11,69 11,69 (150,30,20,250,5,15) 49,46 49,53 36,83 37,02 (200,25,15,198,5,20) 9,74 9,81 6,53 6,51 (200,25,14,204,5,25) 3,23 3,29 2,55 2,57 (225,25,14,205,5,30) 2,59 2,61 1,91 1,95

Tab.7[CSP℄ Ordonnan ementdesls.

onsidérélesVCSP, arl'optimisationqu'entraîne es problèmesimposeenpratiquelepar oursde toutela liation. Ces résultats ( f. table 7) montrent que la taille des lusters est le ritère le plus pertinent, en onsidérant l'ordre roissant de leur taille. En eet, ontrairementau hoixdelara ine,pourlequel,plus le lusterestgros,pluslarésolutionserae a e,dans le hoix de la liation, il y a tout intérêt à privilé-gier le lusterle pluspetit. Ce ritèreest ompatible ave l'ordre roissantappliquépourlataille des sépa-rateurs.

5 Dis ussion et Con lusion

Cetarti leavaitpourobjetl'étudedesheuristiques visant à améliorer la résolution de CSP par les mé-thodesexploitantlesdé ompositionsarbores entesde réseaux de ontraintes. Nous avons vu qu'une telle étude,quiétaitdi ilementenvisageableauparavant, revêt maintenantunintérêt onsidérable,notamment pourla résolutionde problèmesdi iles re elantdes propriétésstru turelles.Atitrede omparaison,ilfaut savoiri i,quelesinstan esquiontserviesànos expé-rimentationssontina essiblesàdesméthodesdetype ba ktra king(FCouMACparexemple).

Dans un premier temps, nous avons fait le point sur les diérentes stratégies d'approximation de dé- ompositionsarbores entesoptimalesdisponibles.Ces méthodes sontparnature guidéespardes ritères es-sentiellement "graphiques" ( 'est-à-dire stru turels), puisqu'il s'agit de minimiser la largeur arbores ente. Or,dufaitnotammentd'un oûtentempstrèsélevé, elles- i ne sont généralement pas les plus intéres-santespourrésoudreleCSPasso ié.D'unepart,elles onduisentàunprétraitementtrop oûteux,etd'autre part, elles ne garantissent pas pour autant, une ré-solution systématiquement pluse a e. Parailleurs, l'emploid'algorithmesàlafoissimplesàimplémenter, et e a esen temps, qui fon tionnenten appliquant des heuristiques, onduisent à des al uls de dé om-position à la fois intéressants au regard des ritères

tion du CSP. Il existe toutefois un ritère purement graphique,quipar ontrepermetd'améliorerletemps de al ul.Ils'agitdelataillemaximaledesséparateurs dansladé omposition al ulée.En eet,unemaîtrise de e paramètrepermet delimiter letempsde al ul lors de larésolution. Il s'avère que e onstat est en ontradi tionave lathéorie( f. omplexitéentemps), puisqu'elletend àprivilégierlaminimisation de

w

et nonde

s

.

Dans un se ond temps, nous avons étudié le pro-blème du hoixde lameilleure stratégie pour le par- ours de l'arbrede lusters asso ié àune dé omposi-tionarbores ente.Parstratégie,nousentendionstout d'abord hoixdu lusterra ine, 'est-à-dire,du luster d'oùdébuteraunere her he,puisordredanslequelles lsd'un lusterserontvisités.La on lusionàlaquelle nous sommes arrivés onforte la élèbre heuristique dite du "rst fail" ou " hoix le plus ontraignant". En eet, le hoixdu luster leplus grand,oubien le plus" entral"duréseau,nousontpermisd'obtenirles meilleursrésultats.Lanotionde" entralité"ayantété formaliséei iparlanotionde"bary entred'unarbre" ave pondération des sommets. Con ernant l'ordre à appliquerpourle hoixdesls,deuxheuristiquesont fournislesmeilleursrésultats. Soit hoisirles lusters lsdansl'ordre roissantdeleurtaille,soitdansl'ordre roissantdesinterse tionsave le lusterpère.Les ré-sultats observés sont alors voisins, et ont permis un gaindeplusde30%surlesdonnéestraitées.

Lesgainsentrevusi i, déjà onséquents,maisaussi les limites de ette étude,nous in itentà penser que etravaildoitêtrepoursuivi. Deuxaxesfortsdoivent êtrenotammentprivilégiés.Toutd'abord elui relatif au al ul des dé ompositions arbores entes. La litté-ratureexistantsur e thème,ainsique lestravauxen ours,abondent. Toutefois, laquasi totalité de eux- in'appréhendepaslaproblématiquesousl'angle qui noussemblelepluspertinent.Eneet,ànotre onnais-san e, seules des études intégrant les ritères pure-ment graphiques-essentiellement lalargeur arbores- ente obtenue- fontl'objetd'attention de lapartde la ommunauté. Or, et obje tif nous semble biaisé, et lesexpérimentationsquenousavonsréaliséesnous onfortentdans ette opinion.En fait,l'eortdevrait privilégierl'obje tif réel de es al uls de dé omposi-tions, à savoir laphase de résolution qui suivra, but essentiel de e prétraitement.Le se ond axe qui doit êtredéveloppé on ernelané essitéqu'ilya,pourune méthodetellequeBTD,às'aran hirdel'ordre d'énu-mérationinduitparladé ompositionarbores ente.En eet,lavaliditédelaméthodeBTD,que e soitpour le test d'existen e oule al ul d'une solution, ou en- orepourl'obtentiondelameilleuresolutionen asde

liques.Aussi,pourexploiteraumieuxlanotion d'heu-ristiquepourles hoixdevariables,il faudraitarriver às'aran hir de et ordre ompatible, pour tendreà une libéralisation totale de l'ordre. Cette démar he, ertes nouvelle, n'est ependant pas isolée. En eet, dansun arti leré ent, Liet Van Beek[20℄ ont mon-tré que l'exploitation de la stru ture d'un problème, si elle peut notamment se libérer de l'ordre d'ae -tation qui en dé oule, peut onduire à l'élaboration deméthodesextrêmemente a es,qui ommeBTD, allientexploitationdelastru ture,auxgaranties d'ef- a itéoertesparleste hniquesstru turellesdufait del'existen edebornesde omplexitéthéorique.

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