Interactions hydrodynamiques dans les suspensions macroscopiques

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macroscopiques

Deboeuf Angélique

To cite this version:

Deboeuf Angélique. Interactions hydrodynamiques dans les suspensions macroscopiques. Dynamique

des Fluides [physics.flu-dyn]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2008. Français.

�tel-00423044�

de l'Université Pierre et Marie Curie

Spé ialité Physique

Présentée par

Angélique Deb÷uf

Pour obtenir le grade de

Do teurde l'Université Pierre et Marie Curie

Intera tions hydrodynamiques

dans les suspensions ma ros opiques

Thèse soutenue le05 Dé embre 2008 devant lejury omposé de :

M. Eri Clément ...Examinateur M

me

Elisabeth Guazzelli ...Examinateur M. Daniel Lhuillier ...Rapporteur M. Jérme Martin ...Invité M. Jerey Morris ...Invité M. Dominique Salin ...Dire teur de thèse M. Patri k Snabre ...Rapporteur

modèles.

La première, de nature rhéologique, vise à ara tériser les ontraintes de la phase parti u-laire dansunesuspensionisodense isaillée.Ellemet enéviden eunepressiondesparti ules, proportionnelle au isaillement imposé, analogue à la pressionosmotique, proportionnelle à la températuredans lessystèmes Browniens. Lesrésultats obtenus pour des on entrations en parti ulesallantde0.30à0.50,indiquentqueles ontraintes normalesinduitesdépendent fortement de la on entration.

La se onde expérien e on erne des suspensions bidisperses uidisées de parti ules plus denses que le uide. L'e a ité de la uidisation à ségréger ou à mélanger les parti ules de tailles diérentes est testée pour diérents débits imposés. Pour des rapports de tailles assez grandsetquellequesoitla on entration,ilexisteun étatségrégéstationnaire(grosses billes seules surmontées de petites seules). Les vitesses de fronts de ségrégation permettent de dis riminerlesmodèlesempiriquesproposésdanslalittérature:lemodèledeFunamizu& Takakuwarend omptedesmesures, ave un seul paramètreajustable.Enrevan he, lorsque le rapport de tailles est inférieur à 4/3, et pour une ertaine gamme de on entration, au- un état stationnaire n'est observé. Les suspensions os illent entre états mélangés et états partiellement ségrégés ave une période variantave la omposition etla on entration : le pro essus de ségrégation est interrompu par un phénomènede mélangeen ore inexpliqué.

Mots- lefs :Suspensionma ros opiqueRhéologieContraintenormalePression osmo-tique Bidisperse Lit uidisé Ségrégation Vitesse de sédimentation

The rst one, of rheologi al type, hara terizes the parti lephase stresses in a sheared sus-pension of neutrally buoyant parti les. The measuring method brings to light a parti le pressure linearinshear rate, similartoosmoti pressure linear intemperature,in Brownian system. Moreover the strong dependen e of the indu ed normalstresses with on entration in parti lesis obtained in the range 0.30 to0.50.

The se ondexperimentfo usesonuidized bidisperse suspensions ofbuoyantparti les. The e ien y of the uidization to either segregate or mix parti les of dierent sizes has been tested forvarious onstantowrates.Forlargeenoughsize ratios,andwhateverthe on en-tration, a stationary segregated state does take pla e (monodisperse suspension of small parti les uidized on top of a monodisperse suspension of large parti les). Colle tion of se-gregation velo ities data enable to dis riminate empiri al sedimentation models proposed in literature. Our results are found to agree with Funamizu &Takakuwa'model, using only one adjusting parameter. However, for some on entrations and size ratios, our experimen-tal system does not rea h any stationary state. The uidized bidisperse suspensions exhibit os illations between segregated and homogeneous states : The segregation pro ess is perio-di ally stopped by anunexplained mixingphenomenon yet.

Key words : Ma ros opi suspensions  Rheology Normal stresses  Osmoti pressure  Bidisperse Fluidized bed  Segregation Sedimentationvelo ity

I Etude des suspensions monodisperses isaillées 12

1 Propriétés rhéologiques des suspensions solide/liquide 14

1.1 Rappeldes propriétés d'un uideNewtonien . . . 14

1.1.1 Equations bilans . . . 14

1.1.2 Dé omposition du tenseur des ontraintes . . . 15

1.1.3 Mouvement de isaillement simple. . . 17

1.2 Equations bilans dans lessuspensions . . . 19

1.2.1 Conservation de lamasse . . . 19

1.2.2 Conservation de laquantité de mouvement . . . 20

1.2.3 Dé omposition du tenseur des ontraintes . . . 21

1.3 Loi de omportementd'une suspension . . . 23

1.3.1 Vis osité d'une suspension . . . 23

1.3.2 Contraintes normalesdans une suspension . . . 25

1.4 Mesures de rhéomètres lassiques . . . 25

1.4.1 Phénomènes de migrationobservés . . . 27

1.5 Analogie entre diusion ma ros opique sous gradient etdiusion Brownienne 29 1.5.1 Diusion Brownienne etpression osmotique . . . 29

1.5.2 Prin ipedes mesures de pressiondes parti ules . . . 31

2 Dispositifs expérimentaux et résultats 34 2.1 Montage préliminaire . . . 34

2.2 Nouveau dispositifexpérimental . . . 37

2.2.1 Cara téristiques des suspensions étudiées . . . 37

2.2.2 Des ription de la ellulede Couette . . . 40

2.2.3 Réglage de la on entri ité des ylindres ave le uide seul . . . 44

2.3 Etude de la pression des parti ules . . . 50

2.3.1 Inuen e du taux de isaillement . . . 50

2.3.2 Inuen e de la fra tion volumique des parti ules . . . 52

2.3.3 Comparaison entre la pression de grille

|∆P |

et la pression des parti- ules

Π

. . . 55

3 Con lusion 61 II Etude des suspensions bidisperses uidisées 62 4 Sédimentation et uidisation des suspensions 67 4.1 Sédimentation d'uneparti ule dans un milieu inni . . . 67

4.2 Suspension monodisperse . . . 68

4.2.1 Sédimentation d'une suspension homogène . . . 68

4.2.2 Vitesse de sédimentation . . . 69 4.2.3 Lit uidisé . . . 72 4.2.4 Intera tions hydrodynamiques . . . 78 4.3 Suspension bidisperse . . . 79 4.3.1 Sédimentation . . . 79 4.3.2 Fluidisation . . . 85

5 Des ription et étalonnage du dispositif expérimental 89 5.1 Cara téristiques des suspensionsétudiées . . . 89

5.2 Cellule de uidisation . . . 91

5.3 Prin ipede laméthode a oustique. . . 92

5.3.1 Mesures du tempsde vol . . . 92

5.3.2 Mesures d'atténuation . . . 94

5.3.3 Dispositifa oustique . . . 95

5.4 Etalonnage des suspensions monodisperses . . . 96

5.4.1 Prol de temps de volet d'atténuation . . . 97

5.4.2 Choix de la fréquen ede l'onde . . . 99

5.4.3 Diagrammes spatio-temporels . . . 101

6 Etat stationnaire :

λ > 1

103 6.1 Ségrégation totale . . . 104

6.2.1 Compositiondans les diérentes régions . . . 110

6.2.2 Hauteur des diérentes régions. . . 112

6.2.3 Résumé . . . 115

6.2.4 Vitesse de sédimentation d'unesuspension bidisperse . . . 117

6.3 Inuen e du rapport de tailles . . . 118

6.3.1 Vitesse de sédimentation des parti ules . . . 119

6.4 Con lusion . . . 129 7 Etat instationnaire 132 7.1 Comportementos illant:

λ ≃ 1

. . . 132 7.1.1 Dynamique . . . 132 7.2 Paramètres du phénomène . . . 136 7.2.1 Con entration en parti ules . . . 136

7.2.2 Compositionrelative des parti ules . . . 142

7.2.3 Dis ussion . . . 151

7.2.4 Inuen e de la vis osité du uide . . . 152

7.3 Limites du phénomène . . . 158

7.4 Con lusion . . . 160

8 Con lusion 161 9 Con lusion générale 164 A Lois de vis osité de suspensions 172 B Mesures lassiques de rhéomètrie 173 B.1 Géométrie de Couette ylindrique . . . 173

B.2 Géométrie à disques parallèles(dit "plan-plan") . . . 175

B.3 Géométrie ne-plan . . . 176

C Modèle de vitesses de sédimentation dans des suspensions bidisperses 178

D Suspension bidisperse 1 :

λ = 1.69

et

β = 0.5

181

E Suspension bidisperse 2 :

λ = 1.36

et

β = 0.5

184

G Suspension bidisperse 4 :

λ = 1.23

194 G.1 Suspension bidisperse 4p et4g :

β = 0.5

. . . 194 G.2 Suspension bidisperse 4p1.5 et4p2 :

β < 0.5

. . . 194 G.3 Suspension bidisperse 4g1.5 :

β > 0.5

. . . 194

Les systèmes dispersés sont ontinuellement présents, que e soit dans l'environnement (les rivières, les nuages,...), dans l'industrie (le béton, la peinture, les réa tions ataly-tiques,...) ou bien dans notre uisine (mayonnaise,...). Suivant le type des intera tions ( ol-loïdales,hydrodynamiques,...),oubienlanature,lataille,laformedes in lusions, ouen ore les propriétés rhéologiques du uide, la physique impliquée sera diérente. Ce i rend di- ile la généralisation de es systèmes. Pour ma part, je me suis intéressée aux suspensions solide/liquide, oùla phase liquide est ontinue etla phasesolide dispersée.

La onnaissan e du omportement de tels systèmes est né essaire et s'applique dans diérentsdomaines.Onpeut iter,dansletraitementde l'eau:laségrégationdesparti ules, dueàladiéren eentre lesvitessesdesédimentationpourlesparti ulesn'ayantpaslamême formeoulamêmedensité,utiliséedanslesbainsdedé antation;dans l'industriepétrolière: l'extra tion du pétrole né essitant l'inje tion de fortes pressions de uide ave des petites parti ules en suspension (boue de forage); ou bien, dans le domaine biologique : ave la ir ulation du sang qui est une suspension de globules rouges, de globules blan s et de plaquettes dispersés dans un plasma.

Suivant le régime d'é oulement, les intera tions présentes et à prendre en ompte sont diérentes. Ellesamènent ependant toutesà une agitationdes parti ules au sein de la sus-pension. A bas nombre de Reynolds (eets inertiels négligeables devant les eets visqueux,

Re << 1

), dans le as de faiblenombre de Pe let (transport onve tif négligeable devantle

transport diusif,

P e << 1

), les parti ules sont animées de mouvements haotiques résul-tant de l'agitationthermique qui les entrainent à par ourir, de façon aléatoire, une grande distan e (par rapport àleur taille), 'est le as dans lessuspensionsbrowniennes oùlataille des parti ules est inférieure au

1 µm

. Au ontraire,à haut Pe let,

P e >> 1

, les intera tions prédominantes sontles intera tionshydrodynamiques,elles induisent égalementune disper-sion desparti ulesdansleuide,qui ettefoispeuts'ee tuerdansunedire tion privilégiée. On parlealorsde suspensionsma ros opiques.Même silesintera tionssontdiérentes,nous verrons notamment que la réponse d'une suspension dont les parti ules sont agitées en

ré-gime visqueux, est similaireàlaréponsed'une suspension Brownienne oùlesparti ulessont agitées naturellement par l'agitationthermique.

Pour omprendre es intera tions, nous avons étudié des suspensions ma ros opiques modèles omposées de parti ules solides, rigides, sphériques et dispersées dans un uide visqueux. De plus, nous limitons notre étude aux suspensions pour lesquelles le nombre de Reynoldsparti ulaireestinférieuràl'unité,lesintera tionssontpurementhydrodynamiques et l'agitation thermique y est négligeable (

P e >> 1

). Ces intera tions hydrodynamiques multi orps, sont di ilesà dé rireet onstituent un problème majeur quant àla résolution du problème.Dansle asdessuspensions,siellessont omposéesde peud'élémentsdispersés

(

φ < 0.10

),et modèles de sur roit(parti ules sphériques etde tailleidentique), latâ he est

plus aisée. Bat helor en 1972 a résolu e problème et a trouvé des expressions exa tes, en onsidérant seulement les intera tions à deux orps [10℄. Lorsque les suspensions sont plus on entrées, le problème reste en ore ouvert. Pour palier es la unes théoriques, les études expérimentales sont indispensables pour omprendre aumieux es systèmes.

Parmi les études possibles, on peut distinguer deux grandes atégories de suspensions : les suspensions isodenses(

ρ

p

= ρ

f

)et lessuspensions en sédimentation(ou en uidisation):  Dansle as de suspensions isodenses, lesparti ules sont xes dans la suspension, tant que l'on n'impose pas un é oulement à la suspension. On peut par exemple imposer un é oulement de isaillement, omme 'est le as dans les expérien es rhéologiques. Depuis les travaux de thèse de Gadala-Maria[34℄ en 1979, pendant lesquels il a observé une resus-pension stationnnaire lorsqu'il isaillait une suspension, de nombreuses études, aussi bien théoriques, expérimentales que numériques, se sont attelées à la lourde tâ he de dé rire le omportement rhéologique des suspensions. A e jour, les travaux sont en ore en dévelop-pement. Ma première étude ontribue à ette des ription. Cette étude, inspirée du on ept de pressionosmotique des suspensions Browniennes, vise à mesurer les ontraintes relatives aux diérentes phases d'une suspension isodense isaillée dans un dispositif de Couette y-lindrique.

 Lorsque les parti ules n'ont plus la même densité que le uide, elle tombent natu-rellement sous leur propre poids, 'est le pro essus de sédimentation. Pour une suspension monodisperse(uneseuletailledeparti ules),iln'existetoujourspasde prédi tionthéorique, mais une loiempirique, proposée par Ri hardson & Zaki en 1954 [72℄, permet de onnaitre la vitesse de sédimentation des parti ules. Elle reste, à e jour, la plus utilisée. Lorsque la suspension n'est plus monodisperse, la présen e de parti ules diérentes (en tailleet/ou en densité) vamodier ettevitesse. Dans e as plus omplexe,diérentsmodèlesontété

pro-posés pour la vitesse de sédimentation, mais au un d'eux ne fait à e jour l'unanimité. Du point de vue expérimental, la ara térisation de la sédimentation des suspensions polydis-perses n'est pas hose aisée. En eet, elle- i impose dans ertains as, de pouvoirmesurer diérentesvitesses desédimentationprésentantparfois defaibles ontrastes,et ependantle tempsnid'uneexpérien edesédimentation.Pourmapart,j'aiéviteren partie e problème en ayantre oursàlauidisation.Elle onsisteàimposerauuideunevitesses'opposantàla sédimentation. Ainsi,leprol de on entration d'unesuspensionbidisperses'adapte de telle sorte que lavitesse de sédimentationde haque parti ule, dépendantde la on entrationde haque type de parti ules, équilibre la vitesse du uide imposée. On se propose d'étudier ette répartition spatiale ettemporelledans une se onde étude.

Le manus rit est don naturellement dé omposé en deux parties:

lapremière on ernera l'étuderhéologique de suspensions ontenant des parti uleset du uidede même densité. Dansun premier hapitre,je ommen eraipar aborder quelques propriétés rhéologiques générales des suspensions, né essaires à la ompréhension de leur omportement. Puis, dans un se ond hapitre, je présenterai l'étude expérimentale réalisée en mettant l'a ent sur le dispositif expérimental,les résultats obtenus etleur omparaison ave des prédi tions par simulation etmodèles orrespondants.

lase onde partieporterasurl'étudedesuspensions omposéesdeparti ulesdedensité identique entre elles mais diérente de elle du uide, et de deux tailles diérentes, en lit uidisé. Un premier hapitre dé rira le prin ipe de la sédimentation et la uidisation de suspensions monodisperses et bidisperses. Dans un se ond hapitre, je m'atta herai à dé rire ledispositifexpérimentaletlate hnique de mesures a oustiques surdes suspensions monodisperses. Enn, lesdeux derniers hapitresdé riront les omportementsobservés lors de l'étudedesuspensionsbidisperses,selonquelerapport detailleest assezgrandoupro he de1.D'unepart,desexpérien esdeségrégationontétéréaliséesdanslesquelleslesvitessesde sédimentation dans des suspensionsbidisperses ont été mesurées et omparées aux modèles existants.D'autre part, unedes ription du omportement périodique,surprenant,observéà faible rapport de taillesera faite.

Etude des suspensions monodisperses

Dans ette partie, on s'intéresse à la rhéologiedes suspensions. Ce premier axe onsiste à étudierles ontraintes dues auxparti ules

σ

p

dans une suspension isaillée.Pour ela, on s'intéresse àun système leplus simplepossible:une suspensiondans laquelle lesparti ules, sphériques et de tailles identiques, de l'ordre de la entaine de mi rons,sont en suspension dans un uide Newtonien de même densité que les parti ules (suspensions isodenses) etde vis osité

η

f

élevée.

Des travauxexpérimentauxantérieurs, ontmontré qu'un phénomènede migrationde parti- ules pouvaitapparaîtredans ertainesgéométriesd'é oulement.Ce omportementapparaît même dans les plus simples é oulements, omme dans un anal re tiligne, dans lequel Koh et al [45℄ ontremarqué une a umulation de parti ules au entre du tube. Leighton & A ri-vos en 1987 [49℄ ont expliqué e phénomène par l'équilibre de diérents ux. Cependant, les observations dans ertaines expérien es, dont elles de Chow et al [22℄ [21℄, ont été en ontradi tion ave ette théorie. C'est seulement ré emment, que la diusion apparaissant dans lesdiérentesgéométries,longtempsassimiléeàunesimplemigrationde parti ulesdue à lagéométrie,aété expliquéepar l'a tiond'unepression

Π

exer éepar lesparti ules,grâ e aumodèledeMorris&Boulay[60℄.Cettepressionest identiéeàlapressionosmotiquedans les suspensions olloïdales, dans la limite des faibles isaillements [82℄. Cependant, malgré les études expérimentales, même les plus omplètes [83℄, au une mesure dire te n'a permis d'avoir a èsà ette pressionparti ulaire.

On propose i i une méthode de mesure, suggérée par Jerey Morris et développée durant ma thèse, permettant de mettre en éviden e ette pression,

Π = −

P

σ

_ii

p

3

, proportionnelle au isaillement imposé

˙γ

, analogue à la pression osmotique, proportionnelle à la température dans les systèmes Browniens.

Propriétés rhéologiques des suspensions

solide/liquide

Pour dé rire les propriétés olle tives d'une suspension, on peut utiliser les outils de la mé anique des milieux ontinus, dont onva,dans un premiertemps, rappeler le formalisme pourunuideNewtonien, avantdelesétendre au asdes suspensions.Nousverrons, notam-ment, qu'il est possible de disso ier leseets des diérentes intera tions ausein du tenseur des ontraintes totalesd'unesuspension. Jeprésenterai par lasuite,lespropriétés ara téri-sant lessuspensions (vis ositéetdiéren es de ontraintes normales).Enn, nousverronsle rappro hement entre les suspensionsma ros opiques étudiées et les suspensions olloïdales, qui est labase de l'expérien eréalisée dans ette étude.

1.1 Rappel des propriétés d'un uide Newtonien

1.1.1 Equations bilans

On s'intéresse i i à dé rire le omportement d'un uide Newtonien in ompressible de masse volumique

ρ

.Pour retrouverleséquationsbilans, onsidéronsun volume

V

,xeetde surfa e

S

. A haque instant, le uide entre et sort de e volume, la variation de masse

m

qu'il ontientest don égale etde signe opposée au uxsortantà travers la surfa e :

dm

dt

=

d

dt

ZZZ

V

ρ dv = −

ZZ

S

ρ(u · n) ds

(1.1)

où

n

est le ve teur unitaire normal à la surfa e

S

, orienté vers l'extérieur, et

u

, le ve teur vitesse du uide. En hangeant l'intégrale de surfa e par une intégrale en volume, ette

équation se réé rit:

ZZZ

V

(

∂ρ

∂t

+ ∇.ρu) dv = 0

(1.2)

L'équation étant valable pour tout volume

V

, elaimplique qu'en faisanttendre latailledu volume

V

vers 0, l'équationde onservation de lamasse devient :

∂ρ

∂t

+ ∇.ρu = 0

(1.3)

Pour un liquide (uidein ompressible), l'équationse simplieet s'é rit :

∇.u = 0

(1.4)

En appliquant le prin ipe fondamental de la dynamique dans e même volume de ontrle

V

, on trouve l'équation de la quantité de mouvement. Le taux de variation de quantité de mouvement est égal à l'ensemble des for es de volume etde surfa e appliquéessur

V

:

d

dt

ZZZ

V

ρu dv = −

ZZ

S

ρu(u · n) ds +

ZZ

S

σ

_{· n ds +}

ZZZ

V

ρg dv

(1.5)

Le premier membre de droite orrespond aux for es inertielles non linéaires de transport onve tif, négligeable dans ette étude. Le tenseur

σ

représente l'ensemble des for es sur-fa iques exer ées sur le volume de uide (for es de pression, orrespondant aux ontraintes normales et les for es de vis osité dues à la déformation du uide). La for e

g

est l'a el-lération de la gravité. En hangeant les intégrales de surfa e en intégrales de volume et en faisanttendre latailledu volume

V

vers 0, l'expression prend laforme:

ρ

∂u

∂t

+ ρ(u · ∇)u = ρg + ∇.σ

(1.6)

1.1.2 Dé omposition du tenseur des ontraintes

Le tenseur des ontraintes

σ

représente les for es surfa iques exer ées sur le uide. Il représente les omposantes tangentielles

σ

ij

à l'origine du isaillement et les omposantes normales

σ

ii

à l'origine des ompressions et des élongations. La notation de la ontrainte

σ

ij

sous entend que la ontrainte est suivant la dire tion

i

et est appliquée sur la surfa e de normale

j

(un exemple de dé omposition d'une ontrainte appliquée sur une surfa e de normale

n

parallèle àun axeest représenté sur lagure 1.1).

Lors d'un isaillement quel onque, son expression générale, dans le repère lo al

(1, 2, 3)

orrespondantauxdire tions respe tivesde l'é oulement,de gradientetde vorti ités'é rit:

σ

=









σ

11

σ

12

σ

13

σ

21

σ

22

σ

23

σ

31

σ

32

σ

33









(1.7)

1

3

2

σ

₂₂

σ

₃₂

σ

₁₂

n

Figure1.1Composantesdela ontraintes'exerçantsurunesurfa edenormale

n

orientéesuivant l'axe 2.

Lorsque le uide est au repos, les ontraintes sont ex lusivement normales et isotropes. Les seulstermes nonnulssont lestermesdiagonauxdu tenseur

σ

ii

,tous identiques etégaux à l'opposé de la pression:

σ

ii

= −pδ

ii

(1.8)

σ

ii

= −

σ

11

+ σ

22

+ σ

33

3

(1.9)

Lorsque leuide Newtonien est en mouvement, ilapparaîtdes ontraintes tangentielles

σ

ij

, représentantlesfor es de frottements(for es visqueuses)etfaisantapparaîtrelavis osité

η

f

du uide.

Onpeutdon séparerletenseur des ontraintes

σ

enunepartie orrespondantauxfor es de pression, et une partie liéeauxfor es visqueuses :

σ

_{= −pI + τ}

(1.10)

où

τ

est le tenseur des ontraintes de isaillement (appelé aussi tenseur des ontraintes visqueuses) existantdès lorsqueleuide sedéforme (i. e. possèdeun hampde vitesse non uniforme).

Pour onnaître les for es appliquées sur e uide, don évaluer le tenseur des ontraintes, il est né essaire d'imposer une déformation ara térisée par le taux de déformation

D

et

dénie par

D

=

1

2

(∇u + ∇u

T

₎

. Pour ela, on s'intéresse à un é oulement le plus simple possible an d'avoirune expression laplus simpliéede

D

. C'est le as dans le isaillement entre deux plans parallèlesen translation relative( f gure 1.2).

e

y

x

F=σ

_xy

S,

v

_x

(y)

γ

V= e

Figure 1.2 S héma du isaillement entre

2

plans parallèlesen mouvement relatif.

1.1.3 Mouvement de isaillement simple

Pour relier le tenseur des ontraintes au tenseur de déformation, il est né essaire de onnaître laloi de omportement. Celle- i s'obtient en mesurant la réponse du uide à une déformationsimple ommepar exemple,un isaillementsimple.Pour elaon peut imaginer le uide pla é entre deux plaques "innies" parallèles séparées d'une distan e

e

. La plaque inférieure (en

y = 0

)est xe, tandis qu'une for etangentielle

F

est appliquée sur la plaque supérieure (en

y = e

). Cette dernière se dépla e alors à une vitesse

V

. Le mouvement est ara tériséparletauxde isaillement

˙γ

expriméen

s

−1

.Il orrespondàlavariationdevitesse entre deux ou hes de uide rapportée à la distan e entre elles, 'est-à-dire à la dérivée de la vitesse par rapport à la dire tion normale à l'é oulement

∂u

∂y

, et est onstant dans toute l'épaisseur. Il est don egal au rapport de la vitesse

V

du plan mobile sur ette épaisseur isaillée

e

, e qui orrespond au gradientde vitesse :

˙γ =

∂u

∂y

=

V

e

(1.11)

Dans es onditions d'é oulement, letenseur

D

s'exprime simplement par :

D

₌

˙γ

2









0 1 0

1 0 0

0 0 0









(1.12)

Laréponsed'unuideNewtoniensous ettesolli itationextérieures'exprimedansletenseur des ontraintes totales

σ

par l'apparition de omposantes tangentielles :

σ

=









−p σ

xy

0

σ

xy

−p

0

0

0

_−p









(1.13)

On peut montrer également que la omposante tangentielle

σ

xy

, qui orrespond à la ontrainte le long de haque plan dans la dire tion du mouvement est onstante dans tout l'intervalle

e

.Cette ontrainte,notée

τ

, orrespondàlafor eexer éesurlaplaquesupérieure par unité de surfa e :

τ = σ

xy

=

F

S

(1.14)

En admettant que la pression

p = −

1

3

(σ

xx

+ σ

yy

+ σ

zz

)

est déterminée indépendamment, l'expression du tenseur

σ

se réduit à la re her he d'une seule in onnue

τ = σ

xy

. Pour un uideNewtonien,letenseurdes ontraintesde isaillement

τ

dépendlinéairementdutenseur du tauxde déformation

D

, par l'intermédiaire de la vis osité

η

f

:

τ

= 2η

f

D

(1.15)

La vis osité, ara térisant leuide, s'é rit alors simplement:

η

f

=

τ

˙γ

(1.16)

Pré isons que dans le as général d'un uide quel onque, la vis osité peut dépendre du taux de isaillement

η

f

( ˙γ)

. Des omposantes normales anisotropes (autre que la pression hydrostatique) peuvent également apparaître lors du isaillement, en plus des ontraintes tangentielles.On dénit alors, lapremière et se onde diéren ede ontraintes normales

N

1

et

N

2

par :

N

1

= σ

11

− σ

22

(1.17)

N

2

= σ

22

− σ

33

(1.18)

oùjerappellequelesindi es(1,2,3) orrespondentauxdire tionsrespe tivesdel'é oulement, de gradient et de vorti ité. Dans le as du isaillement simple représenté sur le s héma 1.2, elles s'é riraient

N

1

= σ

xx

− σ

yy

et

N

2

= σ

yy

− σ

zz

. Les grandeurs

τ

,

N

1

et

N

2

sont les ara téristiques d'un uide. Ainsi, si on sait les mesurer pour un type d'é oulement parti ulier,généralementleplussimplepossible,onpourraalorsendéduireles aratéristiques dynamiques de tous lesé oulementsde e uide, mêmeles plus omplexes.

Le prin ipe de la rhéologie est don de trouver expérimentalement es variables

τ

,

N

1

et

N

2

, en se ramenant à des relations entre s alaires plutt que de re her her dire tement l'expression tensorielle des ontraintes. Diérentes géométriesde isaillement,présentées en annexeB,sontutiliséespourdéterminer esdiéren esde ontraintesetlavis ositéduuide.

Nous venons de rappeler les propriétés rhéologiques d'un uide Newtonien. Lorsque des parti ules sont ajoutées à e uide, on introduit une variable supplémentaire ara térisant leur présen e. La fra tion volumique en parti ules, appelée également on entration, que l'on notera

φ

, orrespond au rapport entre le volume o upé par les parti ules solides et le volume total o upé par la suspension. Nous allons maintenant nous intéresser au as des suspensions, où l'appro he des milieux ontinus est également utilisée pour é rire les équations dé rivant leur omportement.

1.2 Equations bilans dans les suspensions

V

S

n

Figure 1.3 S hémad'un volume de ontrle

V

, de surfa e

S

et d'un ve teur unitaire

n

, orienté versl'extérieur.

And'établirleséquationsde onservation desdiérentesquantités dansunesuspension de parti ules, nous onsidérons, omme dans le as pré édent, un volume élémentaire de ontrle V, xe, de surfa e extérieure S, ontenant une on entration

φ

p

de parti ule et une on entration

φ

f

de uide (

φ

p

+ φ

f

= 1

). On s'intéresse à l'évolution de la masse et de la quantité de mouvement de lasuspension dans e volume.

1.2.1 Conservation de la masse

L'ensemble de lamatière(parti ule +uide)est onservédans levolumeélementaire V. Cela signieque le tauxde variation de la masse de la suspension, présente dans levolume V, est égal auux de suspension traversant lasurfa e S :

d

dt

ZZZ

V

ρ dv = −

ZZ

S

ρ(u · n) ds

(1.19)

où

n

désignela normaleextérieure à S,

ρ

lamasse volumique de la suspension (

ρ = ρ

p

φ

p

+

ρ

f

φ

f

) et

u

lavitesse massique moyenne de la suspension déni par :

Il faut bien faire la distin tion entre ette vitesse massique moyenne intervenant dans le transport de masse et la vitesse volumique moyenne, qui sera introduite dans la se onde expérien e(en sédimentationet uidisation)( f se tion 4.2.1) etdénie par :

v

= φ

p

u

p

+ φ

f

u

f

(1.21)

Dans ette première étude, les parti ules et le uide ont la même masse volumique,

ρ

p

=

ρ

f

= ρ

. Les deux vitesses itées sont identiques. L'expression lo ale de la onservation de la masse s'é rit :

∂ρ

∂t

+ ∇ · ρu = 0

(1.22)

Notons que ette équationde onservation est semblable à elle pour le uideseul, ave des dénitions de

ρ

etde

u

diérentes.Enréalité, etteéquationest ommuneàtouslesmilieux ontinus.

1.2.2 Conservation de la quantité de mouvement

Commepré édemment,nous onsidéronslemêmevolumeélémentaireV.La onservation de laquantité de mouvement s'applique auxparti ules d'une part et auuide d'autrepart. La variation au ours du tempsde laquantité de mouvement des parti ules dans levolume V résultede for es de surfa e et de volume. Elles'é rit :

d

dt

ZZZ

V

φ

p

ρ

p

u

p

dv =

ZZ

S

(−φ

p

ρ

p

u

p

(u

p

· n) + σ

p

· n) ds +

ZZZ

V

(F

pf

+ φ

p

ρ

p

g) dv

(1.23)

Les for es en surfa e omprennent un premierterme qui orrespond au ux de quantité de mouvement dû aux parti ules traversant la surfa e S du volume de ontrle. Le deuxième terme des for es en surfa e résultedes for es exer ées par lasuspension qui setrouveà l'ex-térieur du volume sur lesparti ules omprises àl'intérieur.Notons que

σ

p

est letenseur des ontraintes de laphaseparti ulaireetqu'ilexprime notammentles ollisionsoules onta ts (dire ts ou indire ts) entre les parti ules. Dans nos expérien es, elles sont dues ex lusive-ment aux onta ts indire ts entre les parti ules par l'intermédiaire du uide (intera tions hydrodynamiques). En e qui on erne les for es en volume, elles sont d'une part dues aux é hangesdequantitédemouvementave leuide,quisetrouvedanslevolumede ontrleet agissantauxinterfa esmais expriméesi iparunedensitévolumiquede for e

F

pf

;etd'autre part dues aux for es extérieures appliquées, i i la gravité

g

. Tous les termes de la relation (1.23) peuvent se transformer en intégralede volume. On obtientune équationlo ale :

∂φ

p

ρ

p

u

p

∂t

+ ∇ · (φ

p

ρ

p

u

p

⊗ u

p

) = ∇ · σ

p

_{+ F}

Delamêmemanière,onobtient lebilande laquantitéde mouvementde laphaseuide. On retrouve la même for e

F

pf

exer ée par la phase uide sur les parti ules ave un signe ontraire (prin iped'a tion/réa tion :

F

f p

= −F

pf

), et

σ

f

le tenseur de la phase uide. Le bilan s'é rit :

∂φ

f

ρ

f

u

f

∂t

+ ∇ · (φ

f

ρ

f

u

f

⊗ u

f

) = ∇ · σ

f

− F

pf

+ φ

f

ρ

f

g

(1.25)

En sommant es

2

équations de onservation de la quantité de mouvement, on exprime l'equation pour la suspension totale :

ρ



∂u

∂t

+ u∇ · u



= ∇ · σ + ρg

(1.26)

où

σ

est le tenseur des ontraintes de la suspension, omprenant notamment la somme des tenseurs de ontraintes de haque phase : les parti ules et le uide, et une ontribution inertielle due àl'agitationdes éléments:

σ

= σ

p

+ σ

f

_{− ρφ}

p

φ

f

(u

p

− u

f

) ⊗ (u

p

− u

f

)

(1.27)

Lorsque le nombre de Reynolds est petit, e qui est le as dans nos expérien es, on peut négliger les termes non-linéaires dans les relations i-dessus. Nous travaillons sur des suspensions isodenses (

ρ

p

= ρ

f

) ontenant des parti ules et du uide in ompressibles. Par ailleurs,enseplaçantenrégimepermanent,lesrelations(1.22),(1.26)et(1.27)sesimplient pour donner :

∇ · u = 0

(1.28)

∇ · σ = −ρg

(1.29)

avec σ = σ

p

_{+ σ}

f

(1.30)

1.2.3 Dé omposition du tenseur des ontraintes

Nous venons de voir dans la se tion pré édente, que e tenseur des ontraintes totales, pouvait être séparé suivant

2

ontributions : elles qui n'ae tent que les parti ules, les ontraintes parti ulaires

σ

p

et elles dues à la présen e du uide et qui existent même en l'absen e de parti ules

σ

f

:

σ

= σ

p

+ σ

f

(1.31)

Lorsqu'il n'y a pas de parti ules, le tenseur se réduit à la simple expression de

σ

f

et est donnée par la relation(1.10). Letenseur total de la suspension peut alors s'é rire:

L'expression (1.32) met en éviden e ertaines propriétés d'une suspension de parti ules dans un uide Newtonien. Le uide ontribue seulement aux ontraintes visqueuses de i-saillement,

τ

, par

2η

f

D

, où

η

f

est la vis osité du uide porteur. Alors que les parti ules ontribuent aux ontraintes visqueuses

τ

mais égalementà des ontraintes normales aniso-tropes, apparaissantdansletenseur des ontraintesparti ulaires

σ

p

. Leuideporteurétant Newtonien, lesdiéren es

N

1

et

N

2

peuvents'exprimeren fon tiondes ontraintes normales du tenseur total

σ

puisque

σ

ii

− σ

jj

= σ

p

ii

− σ

p

jj

.

Notons que lorsque la suspension est au repos,les seules ontraintes non nulles sont les termes diagonaux

σ

ii

, isotropes, dénis par

σ

11

= σ

22

= σ

33

= −p

où p est la pression hy-drostatique

p = p

atm

+ ρgh

.

Le tenseur des ontraintes parti ulaires

σ

p

peut être lui aussi dé omposé, suivant la démar he de Bat helor [13℄, en séparant les ontraintes asso iées aux diérents types d'in-tera tions présentes au sein de la suspension :

σ

p

= σ

H

+ σ

C

+ σ

P

(1.33)

ave

σ

H

, les ontraintes relatives aux intera tions hydrodynamiques dues à la présen e du uide entre les parti ules,

σ

C

relatives aux intera tions olloïdales dues à l'agitation ther-mique, et

σ

P

relatives auxintera tions de onta ts.

Cette dé omposition, générale pour toutes les suspensions, paraît être un moyen dire t de déterminer les ontraintes relatives à haque type d'intera tion, mais e n'est pas aussi simple. Eneet, toutes es intera tions sont ouplées entre elles. Parexemple, lenombrede parti ules en onta t oul'intensitédes intera tionshydrodynamiquesvarientselon la distri-bution spatialedes parti ules dans le uide, qui elle-même varie au ours du temps, e qui omplique leproblème.

Onpeut hoisird'é rirelestermesdiagonauxdu tenseurdes ontraintes parti ulaires

σ

p

, en introduisant une pression, quel'on nommera

Π

:

Π = −



σ

₁₁

p

+ σ

₂₂

p

+ σ

₃₃

p

3



(1.34)

Ellepermetd'isolerlapartie"isotrope"des ontraintes normales

σ

p

ii

.Ce typede des ription

présenteégalementl'avantagede dé riresimplementla limite olloïdale:

Π

doittendre vers la pression osmotique,

Π

o

, lorsque les tenseurs

σ

H

et

σ

P

deviennent négligeables (agita-tion thermique dominante). De plus, ette des ription gardera un sens si les diéren es de

ontraintes normales

N

1

et

N

2

s'avèrent rester petites devant

Π

. La seule pression

Π

per-mettraalors derendre ompteaupremierordredes termesdiagonaux

σ

p

ii

,audelà durégime

olloïdal.Notons qu'alors ettepression

Π

n'aurapasné essairement uneorigineentropique mais résultera des for es exer ées entre parti ules, qui peuvent être dues, par exemple, au onta t dire t des parti ules entre elles, dans le as des granulaires mouillés en régime ol-lisionnel, ou aux intera tions hydrodynamiques dans notre as. Notons que ette pression

Π

ne peut être estimée a priori qu'en mesurant les trois omposantes

σ

11

,

σ

22

et

σ

33

, eten vériant a posteriori que les diéren es de ontraintes normales

N

1

et

N

2

sont négligeables ou nulles, omme 'est le as dans lessupensionsBrowniennes,oùune seule omposanteest né essaire pour onnaître

Π

.

En introduisant ette pression

Π

, il résulte de l'équation (1.32), l'expression du tenseur total des ontraintes :

σ

_{= −p}

_f

I

_{− ΠI + 2η}

_f

D

+ τ

p

(1.35)

avec τ

p

= 2η

f

φK(φ)D + Q

(1.36)

Le premier terme de

τ

p

est donné par une expression analogue à elle du tenseur des ontraintesvisqueusesdansunuideNewtonien,ave unfa teur

K

quidépenddelafra tion volumiqueen parti ule

φ

,etqui peutégalementdépendredu tauxde isaillement

˙γ

imposé. Paranalogie,on appelera vis osité de la suspension, que l'on notera

η

ef f

, le terme:

η

ef f

= η

f

+ η

f

φK(φ)

(1.37)

Sipourdessuspensionsmodèles(parti ulessphériquesetidentiques)ettrèsdiluées,lathéorie permetde trouveruneexpression de lavis ositéd'unesuspension,nous allonsvoirquepour des suspensionsplus on entrées, e n'est plus le as.

Le se ond terme de

τ

p

,

Q

, rend ompte de l'anisotropie des ontraintes normales. Eneet, aprèsavoirdéduitunterme ommun,quiest lapression

Π

,ilrestedes omposantesnormales qui sont représentées dans e tenseur.

Q

omprend don uniquement des termes diagonaux

Q

ii

= σ

ii

p

+ Π

.

1.3 Loi de omportement d'une suspension

1.3.1 Vis osité d'une suspension

L'ajout de parti ules dans un uide Newtonien a pour onséquen e d'augmenter la vis- osité de e uide. On introduit la vis osité relative

η

r

, grandeur indépendante du uide,

dénie par la vis osité ee tive de la suspension

η

ef f

( f équation (1.37)) normalisée par la vis osité du uide suspendant

η

f

:

η

ef f

= η

f

η

r

(1.38)

L'expressiondutenseurdes ontraintes(1.35)rend omptede etteaugmentationdevis osité lorsqu'on introduit des parti ules dans un uide. Dans e formalisme, la vis osité relative s'é rit :

η

ef f

= η

f

(1 + φK(φ))

(1.39)

Dansle as trèsdilué (

φ < 0.03

),Einstein[30℄a déterminéuneformulede vis ositépour des sphères dures de tailles identiques :

η

r

= (1 + 2.5φ)

(1.40)

Laformulen'est valablequepourdes suspensionssusammentdiluées detelle sortequeles intera tionshydrodynamiquessoientnégligeables.La priseen ompte des intera tions entre sphères plus éloignées ajoute des termes d'ordresupérieur àla formule d'Einstein.

Une expression au se ond ordre en on entration

φ

a été proposée par Bat helor et Green [10℄, en onsidérant les intera tions de paires et pour des fra tions volumiques

φ < 0.10

:

η

r

= (1 + 2.5φ + 5.2φ

2

)

(1.41)

Ces deux expressions théoriques sont bien vériéesexpérimentalement pour des suspen-sions de on entration

φ < 0.1

. Notons que es formulations ont été déterminées pour des parti ules sphériquesetde taillesidentiques. Leproblèmede ladéterminationdelavis osité devient plus ompliqué, pour des suspensions omposées de parti ules diérentes en taille et/ou enforme[73℄.De plus,lorsque lafra tion volumiqueen parti ules augmente,l'analyse devient égalementplus di ile. Lorsque l'on serappro he de la fra tiond'empilement om-pa t maximum

φ

max

, la vis osité de la suspension diverge. Pour expliquer e phénomène,il faut tenir ompte des intera tions à plusieurs orps et de la lubri ation entre onta t des parti ules. On peut alors ajouter des termesd'ordre plus élevé,mais haque termene ferait qu'a roître à haque fois que de très peu le domaine de validité de la formule. Aussi, de nombreuses étudesexpérimentales[58℄etnumériques[68,77℄ontété menéesdupointdevue rhéologiquesur lessuspensions on entrées.Denombreusesloisphénoménologiques,données en annexe A, supposées valables pour toutes fra tions volumiques, ont été proposées pour ajuster aux données expérimentales. Parmi elles,nous avons hoisi d'utiliser,par lasuite,la loi proposée par Krieger-Dougherty en 1959 [46℄ :

η

r

=



1 −

_φ

φ

max



−2.5 φ

max

(1.42)

où

φ

max

est la fra tion volumique d'empilement ompa t maximal aléatoire, orrespondant auvolumemaximumde parti ulesquipeutêtrepla édansunvolumede uidedonné.Cette on entration

φ

max

dépend des onditions d'é oulement avant l'obtention du sédiment (de on entration

φ

max

), aussi savaleur est estimée par lesexpérien es. Dansnotre as, elleest de l'ordrede

φ

max

≃ 0.57

.

Toutes es formulations de la vis osité rendent ompte de son augmentation ave la fra tion volumique des parti ules. Les diéren es entre elles se font ressentir à l'appro he de la on entration d'empilement ompa t maximum

φ → φ

max

où la vis osité diverge. L'expression delavis osité ee tivedes suspensionsest un sujetquia étéet ontinue d'être largement étudié.Il n'en est pas de mêmedes ontraintes normales.

1.3.2 Contraintes normales dans une suspension

Lessuspensionssont onsidérées ommedesuidesnon-Newtoniens. Mêmesilavis osité

η

ef f

ne dépend pas du taux de isaillement

˙γ

, le isaillement rée des ontraintes normales ave des diéren es de ontraintes, quoique faibles, non nulles.

Cette anisotropie des ontraintes, due à la présen e des parti ules, est responsable de phénomènes de migration de parti ules observés dans diérentes géométries d'é oulement. Ilsserontprésentés dansleparagraphe1.4.1.Desétudesrhéologiques[34,19℄ontétémenées, sur des suspensions ma ros opiques, an de déterminer les grandeurs

N

1

et

N

2

. On peut notamment iter le travail exhaustif de Zarraga et al [83℄. Tous es travaux montrent une dépendan e linéaire ave la ontrainte

η

f

˙γ

, ave un oe ient fon tion de la on entration en parti ule

φ

. Ils trouvent une valeur positive de

N

1

− N

2

ave

N

1

faiblement positive di ilementmesurable dans des rhéomètres lassiques[19℄.

Dans notre étude, nous avons hoisi de prendre le ontrepied de l'appro he rhéologique lassique onsistantàmesurerles ontraintesnormales

σ

11

,

σ

22

,

σ

33

.Nousavons,au ontraire, postulé a priori que les ontraintes normalesétaient bien dé rites, au premier ordre, par la pression

Π

, proportionnelle à

η

f

˙γ

dans les suspensions ma ros opiques. Cette démar he, inspirée des expérien es de mesures de la pression osmotique dans les systèmes Browniens, sera dé riteau paragraphe1.5.2.

1.4 Mesures de rhéomètres lassiques

Pour onnaître la loi de omportement d'un matériau, l'utilisation de la rhéométrie est né essaire. Elle onsisteàétudierl'é oulementdans desgéométrieslesplussimplespossibles

(pour serappro her auplus près de lagéométrie plan-plan).Diérentes géométries de rhéo-mètres existent. Je présente en annexe B, une ourte des riptiondes prin ipales géométries utiliséesen rhéologie: géométriedeCouette ylindrique( fannexeB.1),àdisques parallèles ( f annexe B.2) et ne-plan ( f annexe B.3). Cha une d'elles permet d'extraire des gran-deurs globales moyennes et non lo ales. Elles donnent des informations sur les ontraintes de isaillement totales

τ

et non relatives, impliquant dans le as des suspensions, qu'elles ne permettent pas de diéren ier la ontrainte parti ulaire

τ

p

de la ontrainte de la phase uide

τ

f

.Notonsque ertainsexpérimentateurs ommeLenobleetal.[50℄oubienOvarlezet al. [65℄ ont mené des études rhéologiques, sur des suspensions ma ros opiques, en ouplant sur desrhéomètres lassiques,desdispositifsd'imagerie(Couettte ylindreave imageriepar résonnan emagnétique [65℄etfondde Couetteave desobservationsvidéos (PIV)[50℄),an d'obtenir des informations plus lo ales, omme le prol de vitesse oude on entration. Ces te hniques permettent de mesurer lo alement les déformations (qui essent d'être modéli-sées), mais les mesures de ontraintes restent les for es et ouples appliqués au rotor ou au stator et sontdon des mesures de ontraintes intégrées.

Aussi, les rhéomètres, onsidérés en annexe B, imposent une vitesse de rotation

Ω

au rotor ( ylindre, disque ou ne) et mesurent le ouple

C

qu'ils doivent exer er pour vain re les for es de frottement appliquées par l'é hantillon sur le orps mobile et également la for e

F

z

exer ée par l'é hantillon sur l'axe de rotation. On parlera de rhéomètres à déformation imposée par opposition aux rhéomètres à ontrainte imposée. Pour toutes les géométries, la onnaissan e de

τ

et

˙γ

permet d'extraire la vis osité

η

. Dans le as d'un rhéomètre à disques parallèles et ne-plan, une information supplémentaire est extraite sur les dié-ren es de ontraintes normales. Le premier ité permet de mesurer la diéren e

N

1

− N

2

, et ledeuxième permetd'extraire

N

1

. Lesmesures sont possibles ar es grandeurs, dans es géométries, sontorientées suivant l'axeverti al (axede rotationoùlafor e

F

z

est mesurée). Dans la géométrie de Couette ylindrique,les ontraintes étant dans la dire tion radiale du ylindre et non verti ale,lesdiéren es de ontraintes normalesne peuvent être extraites. Pour ara tériser les suspensions, il est possible d'utiliser les te hniques de rhéologie habi-tuelles,notammentlesgéomètriesde Couette ylindriqueetplan-plan,alorsquelagéomètrie ne-plan est moins adaptée. En eet, le ne doit être distant de quelques tailles de par-ti ules du plan. Cependant des phénomènes perturbant les expérien es de rhéométries tels que l'apparition de bandes de on entrations [80℄, ou bien des migrationsde parti ules [21℄ dont nous allons dis uter, peuvent apparaître.Ces eets sont en réalité des ara téristiques spé iquesà e type de milieuxetnon des eets perturbateurs. Il n'enreste pas moinsqu'il est di ile de les prendre en ompte dans les relations théoriques de rhéométrie lassique.

Morris &Boulay[60℄, dansleurétudethéoriquesur lesé oulements urvilignes,prennenten ompte es phénomènesdansles diérentes géométries étudiées, etretrouvent lespropriétés des suspensions.

1.4.1 Phénomènes de migration observés

Des phénomènes de migration olle tive de parti ules au sein de suspensions non ol-loïdales ont été observés au ours d'expérien es de rhéométrie. Ce phénomène de diusion ma ros opique, présent en l'absen e d'inertie et de sédimentation (suspensions isodenses), est dû aux intera tions hydrodynamiques entre parti ules etprovient des hétérogénéités de gradient de vitesse, de on entration ou de vis osité. La migration est observée aussi bien dans des é oulementsre tilignes induitsparun gradientde pression[45℄,quedansdes é ou-lements urvilignes[2,47, 67℄.

Engéométrie de Couette ylindrique àlarge entrefer, dans lequel letaux de isaillement varie en

1/r

2

, Abbott et al [2℄ et Phillips et al. [67℄ ont observé une augmentation de la on entration enparti ules prèsdu ylindreextérieuroùle isaillementest leplus faible.En tubere tiligne,Kohetal[45℄ont onstatéunea umulationau entredutube orrespondant également àla région de l'é oulement de Poiseuille,où

˙γ

est leplus faible.

Leighton&A rivos[49℄ontexpliqué ephénomènedemigrationdansleszonesde faibles isaillements par trois ourants diusifs:

 Une diusion due aux intera tions beau oup plus fréquentes dans les zones de fort isaillement (près du ylindre intérieur) : une parti ule initialement dans une région agitée subit de nombreux " ho s" (les onta ts sont lubriés, il n'y a pas physiquement de ho s entre lesparti ules, maisles intera tions hydrodynamiquesfontque lesparti ules "sentent" la présen e de leurs voisines).Certains ho speuvent l'amenerà sortir de ettezone agitée, età migrervers deszones plus almes oùlesintera tionssontmoins fréquentes. Statistique-ment, elleaura moins de probabilité de revenir dans larégion agitée.

 Un gradient de on entration en parti ules apparaîtalors qui génère un ux de par-ti ules qui s'oppose àla migrationinduitepar isaillement.

 Une diusion due au gradient de vis osité lié au gradient de on entration. La vis- osité de la suspension

η

ef f

(φ)

, qui augmente ave la on entration des parti ules

φ

, est plus élévée près du ylindreintérieur,queprès du ylindreextérieur,oùla on entrationest plus faible.Legradientde on entration rée don un gradientde vis osité. Ledépla ement d'une parti ule par rapport à sa traje toire initiale est d'autant plus dévié que la vis osité est faible. Le gradient de vis osité est à l'origine d'un uxde parti ules vers les régionsles

moins visqueuses.

Le ux résultantdû aux diérents gradientss'exprime approximativementpar :

j

_⊥

_{∼ −}

φa

2

η

ef f

∇

_(η

_{ef f}

_˙γφ)

(1.43)

Ce modèle de "Shear Indu ed Diusion" a permis d'expliquer un grand nombre d'expé-rien es. Toutefois, ontrairement aux prédi tions du modèle, Chow et al [22℄ n'ont observé au une migrationau sein d'un rhéomètre à disques parallèles alors qu'il existe pourtant un gradientde isaillement(

˙γ(r) = Ωr/h

).Uneautre ontradi tionapparaîtdansle asde géo-métrie ne-plan, oùletauxde isaillementimposéest onstant(

˙γ = Ω/θ

).Alorsqu'au une diusion n'est attendue, Chow et al [21℄ ont onstaté une migration du entre vers l'exté-rieur. Pour rendre omptede es observations ontradi toires ave lathéorie, Krishnan [47℄ aintroduitunquatrièmeuxliéàla ourbure deslignes de ourant.Lafor erépulsiveentre deux parti ules se ren ontrant sur une ligne ourbe possède une omposante dirigée vers l'extérieur. Le ux orrespondant de parti ules tend vers les lignes de ourant faiblement ourbées.

Toutes esappro hessontphénomènologiquesetbaséessurla ompétitionentre plusieurs ux asso iés aux gradients de diérentes variables ( isaillement, on entration, vis osité). Ces phénomènes de diusion,souvent disso iés, amènent don àdes oe ientsde diusion diérents pour ha un d'eux et indépendants.

Unethéoriealternative,basée sur les ontraintes normalesde la phaseparti ulaire

σ

p

,a été developpée par Nott &Brady[64℄ puis par Morris &Boulay[60℄. Leur modèle d'é oule-mentutilisel'anisotropiedes ontraintesnormalesdesparti ules,induitesparle isaillement, dans leséquationsde onservationde lamasseetdelaquantitéde mouvement.Leuranalyse rend ompte de tous les phénomènes de diusion, observés dans les diérentes géométries d'é oulementdé rites auparavant,en utilisantlesseuls oe ients

τ

,

N

1

et

N

2

.Il en résulte que le uxde diusionsous isaillements'exprime par :

j

_⊥

_{∼ M(φ)∇.σ}

p

(1.44)

où

M(φ)

est la mobilitédes parti ules en suspension. L'anisotropie de e tenseur

σ

p

dontl'origine provientdes intera tions hydrodynamiques asymétriques agissant ausein de la suspension lorsdu isaillement,est responsable de ette diusion olle tive.Nousavons vuqu'expérimentalement, etenseur des ontraintes parti u-laires

σ

p

au début de e hapitre ( f se tion 1.2.3), est également ompliquée. Nous proposons, dans ette premièreétude,une appro he expérimentale permettantde ara tériser etenseur par-ti ulaire,par unemesurede pression, quenous avons nommépressionosmotiquegénéralisée

Π

( f relation (1.34)). Pour ela, nous allons nous reporter à un autre phénomène de diu-sion plus onnuetmieux ompris:ladiusionBrownienne présentedansdes suspensionsde taillenettement inférieureà elles utilisées dans nos expérien es, etdans laquelleintervient la "vraie" pressionosmotique

Π

o

.

1.5 Analogie entre diusion ma ros opique sous gradient

et diusion Brownienne

1.5.1 Diusion Brownienne et pression osmotique

Le mouvement haotique de parti ules Browniennes (parti ules de taille inférieure au mi ron) suspendues dans un uide résulte d'une diusion ara térisée par un oe ient de diusion

D

telqueleuxdiusifs'é rit

j

d

= −D∇n

où

n

estladensitédunombredesoluté. Ce phénomènedû àl'agitationthermiqueaété expliquépar Einstein[29℄en 1905. Ilmontre que l'agitation thermiquedes molé ules tend à dissiper les gradients de on entration pour atteindre un état où

∇

n = 0

.

Pour ela, Einstein suppose que haque parti ule de la suspension est soumise à une for e externe

F

(réelle ou virtuelle) dérivant d'un potentiel

U

,

F

= −∇U

. Cette for e, dépla ant haque parti ule de soluté, entraîne un gradient de on entation et induit don un ux

j

f

= nu

ave

u

la vitessed'une parti uledonnée par

u

= MF

,oùM est lamobilité des parti ules. En exprimant un argument d'invarian e à l'équilibre de l'énergie libre de la suspension par rapport à des dépla ements virtuels, Einstein démontre que e ux

j

f

, dû aux for es extérieures équilibrele ux diusif

j

d

:

j

_f

+ j

d

= 0

(1.45)

−nM∇U − D∇n = 0

(1.46)

Un équilibre dynamique est atteint entre la for e

F

qui fait bouger les parti ules et leur agitation due au mouvement Brownien. En é rivant qu'à l'équilibre thermodynamique, la distribution des parti ules dans le potentiel

U

s'é rit

n = n

0

exp(−

U

kT

)

, il vient de (1.46) la relation

D = MkT

, où

M

est la mobilité (

M = (6πη

f

a)

−1

à

φ = 0

) et

k

est la onstante

de Boltzmann. Einstein montre également que la for e d'origine thermodynamique (

D∇n

s'opposant àla for e

nF

àl'équilibre thermodynamique,pouvaits'é riresous laforme:

F

thermo

_{∼ −∇Π}

_o

(1.47)

où lapression osmotique

Π

o

s'é rit :

Π

o

= nkT

(1.48)

Notons que ette appro he, de type " ontraintes" redonne le ux diusif Brownien sous la forme :

j

f

= −M∇Π

o

(1.49)

De manièreplus générale, la pressionosmotique sedénit en thermodynamiquepar :

Π

o

= −



∂A

∂V



N,T

=

φ

V



∂A

∂φ



N,T

(1.50)

où

A

est l'énergie libre d'Helmholtz. Cette dénition explique bien le rle de

Π

o

dans les suspensions olloïdales.Undiminutionde la on entration

φ

réduitl'énergielibre etune mi-nimisationde

A

est possiblepour unedilutioninnie

φ = 0

.Ce iimpliquequelesparti ules tendent à se diluerà l'inni.

Ainsi,l'appro he de type " ontrainte" donne le même ux sous gradient que l'appro he de type "diusif", mais elle ne permet pas de dé rire les phénomènes de mélanges pouvant apparaîtreauseind'unesuspensionhomogèneet auséeparlestraje toiresBrowniennes des parti ules. En revan he, ette appro he de type " ontrainte" explique lairement le phéno-mène d'osmose, observé pour la première fois en

1748

par Nollet [63℄ et s hématisé sur la gure de gau he 1.4. Il apparaîtlorsqu'une solution de on entration

φ

0

est séparée du

sol-vantpur(

φ = 0

),oud'unesolutiondeplusfaible on entration(

φ < φ

0

),parune membrane semie-perméablelaissant ir ulerseulementlesolvant.Lesolutéétant ontraintàresterdans la bran he gau he du tube manométrique en U, 'est le solvant qui traverse la membrane pour diluer la solution an de rééquilibrer l'énergie libre dans les

2

bran hes. La pression osmotique

Π

o

est la pression à exer er sur la solution pour rééquilibrer la pression dans les

2

bran hes du tube et empê her l'é oulement du solvant à travers la membrane. Cette ontrainte surfa ique appliquée ontrebalan e la ontrainte exer ée par le soluté au sein de la solution,an que la solutionreste à sa on entration initiale

φ

0

.

Cettepressionosmotiqueaété al uléeparBrady[16℄etRussel[74℄,pourunedispersion olloïdale de sphères dures :

Π

o

nkT

= 1 + 4φg(2)

(1.51)

1.5.2 Prin ipe des mesures de pression des parti ules

∆

h

fluide

suspendant

solvant

0

0

0

1

1

1

ω

solution

membrane

suspension

Agitation thermique

Taux de cisaillement

grille

0

0

1

1

h

∆

Figure 1.4  Gau he : S héma de l'osmose dans un tube en U. Droite : S héma du dispositif expérimental.

Nous venons de voir la diusion Brownienne opérant dans les suspensions olloïdales. Pour des parti ules plus grosses, ettediusion est négligeable, mais ilexiste d'autres types de diusion,en sédimentation[55,62, ?℄ouen isaillement[?,27,49,69℄,induiteségalement par les traje toires haotiques des parti ules mais dont l'origine est totalement diérente : elle est due aux intera tions hydrodynamiques. Ces intera tions induisent, en présen e de isaillement, une diusion qui tend à dissiper les gradients de on entrations. Cependant, nous avons vu dans lase tion 1.4.1,que lorsque l'intensitédes intera tions entre parti ules, en mouvement relatif, varie spatialement, une diusion olle tive de parti ules apparaît, dont leuxest ara térisé par

j

= M∇σ

P

.On peut penser que, dans le as de suspensions ma ros opiques isaillées, la pression des parti ules

Π

joue un rle similaire à elui de la pression osmotique

Π

o

, pour les suspensions olloïdales. Comme dans le as des systèmes thermiques, les parti ules suivent des traje toires aléatoires et les ontraintes peuvent être dé rites en termes de ux diusifs :

j

_⊥

= M∇σ

P

_{= −M∇Π}

,dans les systèmes athermiques (1.52)

PSfrag repla ements

Figure 1.5  Photo avant (en haut) et après (en bas) un isaillement

˙γ = 70 s

−1

imposée à une suspensiondesphèresdediamètre

2a = 80 µm

à

φ = 0.40

.Letubedegau heestreliéàlasuspension par l'intermédiaire d'une grille,alors queletube de droite estreliésans grille.

Lebutestdon demontrerexpérimentalementlelienentrelapressionosmotique

Π

o

etla pression des parti ules

Π

,évoquée en théorie [42℄ etdans des simulations[82℄,pour al uler elle- i en étendant le as des intera tions olloïdales aux intera tions hydrodynamiques. Pour ela, on se base sur l'expérien e mettant en éviden e la pression osmotique dans les suspensions olloïdales,dé ritepré édemment,an d'illustrer ettepressionparti ulaire.Le s héma 1.4 montre l'analogieentre l'expérien ed'osmose et notre dispositif.Dans le as de l'osmose,lesoluté oulesparti ules Browniennessontagitéesetveulent sediluer,maisétant for ées à rester dans une des bran hes du tube en U, des ontraintes sont exer ées par les parti ulessur lasolution.Laréponseà es ontraintesest unedépressiondanslaphaseuide du mélange et don une aspiration du uide par la solution pour équilibrer les pressions totales dans les deux bran hes du tube. On utilise e on ept pour mesurer les pressions induites par le isaillement dans notre suspension visqueuse de parti ules ma ros opiques. La suspension pouvant être modélisée omme un système in ompressible et les ontraintes exer ées sur haque phase(phaseparti ulaireetphase uide),étantsymètriques(

σ

p

_{+ σ}

f

₌

0

), elaamèneàunepressionnulledanslasuspension,quel'onpeutdé omposeren pressions dans la phase uide

P

f

et dans lesparti ules

P

p

[70,82℄ :

P = P

f

+ P

p

= 0

(1.54)

La méthode onsiste i i à mesurer la pression dans la phase uide

P

f

grille sur la paroi latérale du ylindre extérieur d'un dispositif de Couette ( f gure droite 1.4) et laissant passer le uide mais interdisant le passage des parti ules. Etant donnée la relation (1.54), la pression mesurée

P

f

, sera égale à l'opposée de la pression dans la phase parti ulaire :

P

f

_{= −P}

p

, etsous ertaines onditions, dont je dis uterai àla n du hapitre suivant ( f se tion 2.3.3),sera égale à lapression osmotiquegénéralisée

Π

.

Pour vérier l'expression (1.54) et valider le prin ipe de la méthode, j'ai réalisé une expé-rien e de isaillement d'une suspension, onstituée de billes de diamètre

80 µm

de fra tion volumique en parti ules

φ = 0, 40

, dont des photos à l'instant initial (

˙γ = 0

, en haut) et

nal (

˙γ = 70 s

−1

, en bas) sont montrées sur la gure 1.5 (la des ription est expliquée plus en détail dans le hapitre suivant). Deux tubes manométriques sont reliés à la suspenion isaillée : un relié dire tement à la suspension (sans grille) ( f gure 1.5 tube de droite) et l'autre par l'intermédiaire d'une grille d'ouvertures plus petites que la taille des parti ules ( f gure 1.5 tube de gau he). Cette expérien e met en éviden e une variation importante du niveau de uide dans le tube omportant une grille tandis que le niveau du tube relié dire tementàlasuspensionn'est quefaiblementae té. Ce irévèleune dépression

P

f

dans la phase uide etune faible pressiontotale ausein de lasuspension (

P

f

_{+ P}

p

Dispositifs expérimentaux et résultats 2.1 Montage préliminaire

suspension

grille

:

P

g

?

:

grille

fluide

suspendant

Figure 2.1 S hémaet photographie (à

Ω = 0

) dumontage préliminairedu dispositifde Couette ylindrique adaptépourobserver lapression

Π

due auxparti ules.

Un premiermontage,dont un s héma etune photographiesont donnés sur lagure 2.1, a été réalisé pour une étude préliminaire. Une suspension très on entrée (

φ = 0.45

) de parti ules de tailles ma ros opiques (

2a = 140 µm

) dispersées dans un uide très visqueux

(

η

f

≃ 2 Pa.s

),ajustéàladensitédes parti ules (

ρ = 1.050 ± 0.001 g.cm

−3

),est isailléedans l'espa e annulaire (d'épaisseur

e = 3 mm

) entre deux ylindres. Le ylindre extérieur, xe, est per é de trois trous, à diérentes positions (diérentes hauteurs et diérents angles), re ouverts d'une grille d'ouvertures alibrées et de tailles inférieures à elle des parti ules. Ces trous sont onne tés, à l'extérieur du ylindre, à des tubes manométriques, remplis du uide porteur.

L'agitationdes parti ules est induite par le isaillementde la suspension obtenu en im-posant une vitesse au ylindre intérieur. Cette partiede notre dispositifest assimilableàla solutionmolé ulaire, dans laquellelesmolé ules sontmaintenues en mouvementpar l'agita-tion thermique, située dans labran he gau he du tube en U sur lagure gau he 1.4. Quant aux tubes manométriques du dispositif,ils sont le pendant de labran he droite du tubeen U, dans l'expérien e d'osmose. Enn, les parti ules sont ontraintes à rester dans l'entrefer des deux ylindres grâ eà des grilles, pla éesentre les tubes manomètriqueset la ellulede isaillement. Les grilles sont l'analogue de la membrane semi-perméable dans l'expérien e d'osmose.

Initialement,dans notresuspensionisodense, au une vitesse n'estimposée ( fgure 2.2-a),leniveaudeuidedanslestubesmanométriquesest alorsaumêmeniveauque eluidela suspension dans l'entrefer. Il n'existe pas de diéren e de pression :onmesure seulementla pressionhydrostatiquedanslaphaseuide

P

f

_{( ˙γ = 0) = P}

atm

+ρgh

,où

h

estlahauteurdela suspension au-dessus du pointde mesurede pression onsidéré. La densité de lasuspension est égale à elle du uide, de sorte que la hauteur de uide dans le tube manométriqueest égale à la hauteur de suspension dans l'entrefer : le ménisque dans haque tube est au ni-veau de lasuspension.Jepré iseégalementquelapressionhydrostatiquesera lapressionde référen e danstoute l'étudeetjenoterailadiéren ede pression

∆P = P

f

_{( ˙γ) − P}

f

_{( ˙γ = 0)}

. Lorsque la suspension est isaillée, on s'attend à e que le niveau dans les tubes diminue, mettanten éviden e l'existen e de lapressionparti ulaire

Π

. Laphotographie2.2-b montre la suspension après

3 h

de isaillementà

˙γ = 40 s

−1

, orrespondantà unevitesse de rotation

de

Ω = 4 rad.s

−1

.Le niveau dans lestubesest des endu d'environ

25 mm

:une diéren ede pression est bien observée.

Cette expérien e qualitative permet de visualiser la dépression du uide lorsque la sus-pension est soumise à un isaillement

˙γ

, et ainsi montrer que les parti ules ma ros opiques