OPTIQUE GEOMETRIQUE
1. CARACTERISTIQUES DE L’ONDE LUMINEUSE
La lumière est un phénomène ondulatoire qui se propage dans le vide avec une vitesse égale à la célérité de la lumière dans le vide : c ≃ 3.108 m.s−1
Cet onde peut aussi se propager dans un milieu matériel, avec une vitesse v ≤ c.
L’onde lumineuse peut être caractérisée : – par sa vitesse v dans le milieu,
– par sa longueur d’onde dans le vide λ0, – par sa fréquence ν.
Pour une onde électromagnétique, la longueur d’onde dans le vide λ0 et la fréquence ν de l’onde sont liées par : λ0 ν = c
Selon la fréquence ν de l’onde électromagnétique, on parle plutôt d’onde lumineuse, ou d’onde radio, de rayons X, etc...
Chaque couleur correspond à une longueur d’onde approximative :
L’énergie transportée par la lumière ne varie pas continument, mais de façon discrète (par saut). La plus faible quantité d’énergie possible est un quantum d’énergie, appelé photon.
L’énergie E d’un photon ne dépend que la fréquence ν de l’onde : E = hν ou h est la constante de Planck : h ≃ 6, 62.10−34 J.s
2. PROPAGATION DANS DES MILIEUX TRANSPARENTS Définition 1:
Soit v la vitesse de la lumière dans un milieu matériel transparent.
L’indice n du milieu est déni par : n = c/v ( n ≥ 1).
Le milieu est d’autant plus réfringent que n est grand.
Quelques valeurs numériques :
Définition 2:
Le chemin optique ℓ parcouru par la lumière est : ℓ = n d ou d est la longueur géométrique du trajet lumineux C.
1. SOURCES LUMINEUSES 1. Lampe à incandescence
Dans l’ampoule d’une lampe ordinaire, un filament de tungstène est porté à haute température (2800 K environ), dans une atmosphère inerte, sans oxygène. Il n’y a pas combustion, ni fusion du métal (sa température de fusion étant supérieure à 2800 K).
Le filament émet alors de la lumière : il s’agit d’un rayonnement thermique. Le spectre est continu, il recouvre le domaine du visible → la lumière est blanche. Le spectre s’étend au-delà du visible, dans l’infrarouge notamment.
L’allure du spectre émis par rayonnement thermique dépend de la température du filament. Ainsi, pour le Soleil, la lumière émise contient des UV et de l’infrarouge, et le maximum d’intensité lumineuse correspond à une couleur jaune.
Pour une lampe à filament classique, il n’y a pas d’UV, mais beaucoup d’infrarouges.
2. Lampes spectrales
Une ampoule contient un gaz atomique (Sodium, Mercure, Hydrogène,...)
Le gaz est soumis à des décharges électriques entre deux électrodes.
Les atomes sont excités ; certains atteignent des états d’énergie élevés, puis reviennent à un niveau d’énergie plus faible - voire le fondamental - en émettant un photon : il y a donc émission de lumière.
La fréquence des photons émis dépend donc des niveaux d’énergie atomiques, les valeurs de ces énergies étant fixées par les lois de la mécanique quantique.
Le spectre de la lumière ainsi produite est un spectre de raies, on peut déterminer certains des éléments qui le composent.
3. Laser
Le Laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) est une source de rayonnement monochromatique (une seule fréquence). Un faisceau laser présente, de plus, une faible section et une faible divergence.
Principe de fonctionnement : une onde lumineuse effectue des aller-retours dans une cavité, dans laquelle elle traverse un milieu amplificateur, qui permet d’obtenir des photons de plus en plus nombreux. Ces photons sont tous en phase, et de même fréquence, et ils constituent à leur sortie un faisceau de lumière laser.
4. Sources secondaires
Tout objet éclairé (par une source primaire, par exemple par une lampe), est une source secondaire de lumière : il renvoie de la lumière par réflexion, diffusion, ...
5. Source à l’infini
D’une source placée à l’infini, on reçoit des rayons lumineux tous parallèles entre eux.
Exemple : le Soleil.
6. Exemples de sources lumineuses
3. DIFFRACTION
Soit le dispositif expérimental suivant : une source lumineuse ponctuelle S éclaire un diaphragme, derrière lequel on place un écran.
Si le diaphragme a un diamètre supérieur à 1 cm :
Une partie des rayons lumineux issus de S sont arrêtés par le diaphragme D.
On obtient une tache lumineuse sur l’écran, dont le contour correspond aux rayons rectilignes issus de S et passant sur le bord du diaphragme D.
Chaque point M éclairé de l’écran est relié à la source S par une droite (SM) qui traverse le diaphragme, correspondant au trajet du rayon lumineux.
Si la taille du diaphragme est diminuée afin d’isoler un rayon lumineux :
il se produit un phénomène de diffraction : le faisceau s’ouvre en
traversant le diaphragme.
La tache observée sur l’écran est plus grande que celle prédite dans le cadre de diaphragme.
Ce phénomène de diffraction est observé lorsque la dimension du diaphragme est de l’ordre de la longueur d’onde λ de la lumière En pratique, il est impossible d’isoler un rayon lumineux arbitrairement.
Conclusion :
La diffraction de la lumière est observée lorsque la lumière traverse des dispositifs dont la dimension est de l’ordre de la longueur d’onde λ de la lumière.
Remarque :
Tout phénomène ondulatoire peut donner lieu à de la diffraction : onde radar, onde mécanique, onde acoustique, houle sur la mer...
4. APPROXIMATION DE L’OPTIQUE GEOMETRIQUE 1. Notion de rayon lumineux
Dans le cadre de l’approximation de l’optique géométrique, un faisceau lumineux est formé d'une infinité de rayons lumineux (droites).
L’étude de la marche de ces rayons lumineux est le but de l’optique géométrique.
Pour cela, il faut que les objets disposés sur le banc d’optique aient des dimensions très grandes devant la longueur d’onde λ de la lumière: sinon il y a diffraction.
2. Principe d’indépendance des rayons lumineux
Dans le cadre de l’optique géométrique, les rayons lumineux sont indépendants les uns des autres.
3. Propagation rectiligne de la lumière Définition 1:
Un milieu est dit homogène si toutes ses propriétés physiques sont les mêmes en chaque point.
Définition 2:
Un milieu est dit isotrope si ses propriétés physiques sont les mêmes dans chaque direction.
Dans un milieu homogène et isotrope, la lumière se propage en ligne droite ; les rayons lumineux sont des droites.
4. Principe du retour inverse de la lumière
Le trajet de la lumière est indépendant du sens de parcours.
Si un rayon part d’un point A pour aller vers un point A′ en suivant un certain trajet, alors un autre rayon lumineux peut partir de A′ et suivre le même trajet pour aller en A.
Dispersion de la lumière :
L’indice de réfraction de certains milieux appelés milieux dispersant, dépend de la couleur selon la loi de Cauchy : 2
A B
n .( donc la vitesse de la lumière dépend aussi de la couleur de la lumière)
5. LOIS DE SNELL - DESCARTES
On appelle dioptre l’interface entre deux milieux d’indice de réfraction différent.
Si la surface de séparation est plane, on a un dioptre plan; si c’est une portion de sphère, on a un dioptre sphérique.
Le point d’incidence I est l’intersection du rayon incident et du dioptre.
Le plan d’incidence est défini par la direction du rayon incident et la normale au dioptre au point d’incidence.
Lois de Snell-Descartes :
(i) Le rayon réfracté et le rayon réfléchi sont dans le plan d’incidence.
(ii) Pour le rayon réfléchi : i1' i1 .
(iii) Pour le rayon réfracté : n1sini1 n2sini2 Remarque:
Les lois de Snell-Descartes de la réflexion ne font pas intervenir l’indice du milieu, donc toutes les longueurs d’onde sont réfléchies de la même façon.
Les lois de Snell-Descartes de la réfraction font intervenir les indices des milieux, or les indices dépendent de la longueur d’onde, on observe donc le phénomène de dispersion.
Notons que, pour le rayon réfracté, sin1n2,alors :i1i2 etsin1n2,alors :i1i2
Phénomène de réflexion totale :
Ce phénomène se rencontre dans le cas où : n1 n2 : l’angle du rayon réfracté est plus grand que l’angle d’incidence.
Mais l’angle réfracté ne peut pas être plus grand que /2 Il existe un angle limite tel que :
2
1 1 2 2 1
1
sin sin sin ( 1)
L 2 L
n i n n soit i n n
Lorsqu’un rayon pénètre dans un milieu moins réfringent (càd sin1 n2), il existe un angle limite
2 1
1
arcsin
L
i n
n au delà duquel le rayon est entièrement réfléchi si i1i1L, il y a réflexion totale (pas de rayon réfracté).
Ce phénomène est utilisé pour obliger un rayon lumineux à n’être que réfléchi à l’intérieur d’un tube, et donc à se propager sans perdre d’énergie.
Exemple : Fibres optiques ou on a n(cœur) > n(gaine) On obtient donc un guidage de la lumière qui permet le transport d’informations par fibres optiques.
--- Application : Etude du prisme
1. Quelle est la relation entre i, r et n puis entre i’, r’ et n.
On appelle déviation l’angle entre la direction du rayon sortant et la direction qu’aurait eue le rayon lumineux s’il n’avait pas été dévié (c’est-à-dire sa direction incidente). Exprimer l’angle de déviation D en fonction de A, i et i’.
2. Montrer que le rayon émergent existe si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
a -A 2 arcsin( ) 1
n . b -
min 2
i i
. ( imin à déterminer).
3. On considère que ces conditions sont vérifiées. Montrer que : cos i cos r’
1
cos i’ cos r dD
di .
4. Montrer que si la déviation D est minimale (D = Dmin ) alors i = i’.
5. En déduire l’expression de l’indice de réfraction n en fonction de A et de Dmin.
FORMATION DES IMAGES - STIGMATISME - APLANETISME
On considère un système optique formé de lentilles, miroirs,… où les dioptres (interfaces entre 2 milieux différents) sont plans, sphériques, ou paraboliques.
On prendra un système à symétrie cylindrique autour de l’axe optique.
Le plan d’incidence sera le plan de la feuille.
1°) Vocabulaire
a- Système optique
Système optique : ensemble de milieux transparents (en général : homogènes et isotropes) et de miroirs.
Système centré : système optique qui admet un axe de symétrie cylindrique (l’axe optique) ; les dioptres, miroirs, lentilles,… seront perpendiculaires à l’axe optique.
Axe optique : axe de symétrie cylindrique du système centré. L’axe optique est orienté dans le sens de la lumière incidente.
Système dioptrique : constitué de dioptres et de lentilles.
Système catadioptrique : constitué de dioptres, lentilles, et de miroirs.
Lentille : association de deux dioptres.
b- Image d’un point
Si tous (ou presque tous !!!) les rayons issus de A, après être passés par le système optique, se coupent en A’, on dit que A’ est l’image de l’objet A à travers (S). A et A’ sont un couple de points conjugués.
c- Objet et images, réels et virtuels
Une image est réelle si elle se trouve derrière la face de sortie du système optique ; on peut alors la projeter sur un écran.
Une image est virtuelle si elle se trouve devant la face de sortie du système optique ; on ne peut pas la projeter sur un écran, mais on peut la voir en regardant le système optique en sens contraire de celui de l’axe optique.
Un objet est réel s’il se trouve avant la face d’entrée du système optique ; il est virtuel s’il est derrière la face d’entrée (un objet virtuel ne peut être obtenu qu’avec un autre instrument d’optique en amont).
Système optique centré
(S) Face de sortie Face d’entrée
A’
A
Axe optique
D’où
2°) Stigmatisme
a- Stigmatisme rigoureux (ou absolu)
Un système optique est rigoureusement stigmatique pour un couple de points conjugués si absolument tous les rayons issus du point objet A se coupent, après passage par le système optique, en A’.
Exemple : le miroir plan.
Miroir plan
Image (virtuelle) parfaitement nette Objet
réel ponctuel
Contre-exemple : une lentille très courbée et de très grand diamètre : tous les rayons ne focalisent pas tout à fait au même endroit (on appelle l’enveloppe des rayons : la caustique).
On dit que cette lentille présente des aberrations géométriques.
b- Stigmatisme approché
Le stigmatisme est dit approché si les rayons issus de A se coupent, après passage par le système optique, presque en un même point A’.
3°) Aplanétisme
Pour un objet AB perpendiculaire à l’axe optique, dont l’image est A’B’, il y a aplanétisme si l’image A’B’
est également perpendiculaire à l’axe optique.
Remarque :
Stigmatisme et aplanétisme sont les deux conditions que doit réaliser un système optique pour fournir des images nettes.
4°) Conditions de Gauss
Les conditions de Gauss sont vérifiées si :
Les rayons incidents sur le système optique sont paraxiaux; càd peu inclinés par rapport à l'axe optique (angle d'incidence faible) et proches de l'axe optique.
Les systèmes optiques soient de petites tailles, plans, centrés sur l’axe optique et perpendiculaires à l’axe.
5°) Foyers
a- Foyer image
On prend un point objet sur l'axe et à l’infini : il envoie donc un faisceau incident de lumière parallèle, et parallèle à l’axe.
Le faisceau émergent converge en F’ : F’ est appelé foyer image.
Le foyer image F’ est l’image d’un objet situé à l’infini sur l’axe.
Si F’ est à l’infini, le système est dit afocal.
Plan focal image : c’est le plan perpendiculaire à l’axe optique passant par F’.
Remarque : un faisceau incident de lumière parallèle, et incliné par rapport à l’axe, converge dans le plan focal image (en un point appelé foyer image secondaire).
Système optique centré (S)
Image (réelle) floue
Objet réel ponctuel
F’
Axe optique
b- Foyer objet
On prend un point image à l’infini : le faisceau émergent est donc un faisceau de lumière parallèle, et parallèle à l’axe.
Le faisceau incident doit converger en F pour émerger comme souhaité : F est appelé foyer objet.
Le foyer objet F est l’objet dont l’image est située à l’infini sur l’axe.
Si F est à l’infini, le système est dit afocal.
Plan focal objet : c’est le plan perpendiculaire à l’axe optique passant par F.
Remarque :
Si un faisceau incident converge dans le plan focal objet (en un point appelé foyer objet secondaire), il ressort du système sous forme d'un faisceau de lumière parallèle, et incliné par rapport à l’axe.
6°) Grandissement - grossissement
a- Grandissement transversal
Système optique centré
(S) Plan focal
image
F’ Axe optique
Plan focal objet
Système optique centré (S)
F
Axe optique
F
Axe optique
Système optique centré (S)
B’
B
A’
A Axe optique
Le grandissement transversal du système optique est la grandeur algébrique :
AB B A' '
où
' ' et A B
AB sont des mesures algébriques.
Si > 0, l’image est ...
Si < 0, l’image est ...
Si || > 1, l’image est ...
Si || < 1, l’image est ...
b- Grossissement angulaire
Considérons un rayon incident faisant un angle avec l’axe optique ; ce rayon, après traversée du système, fait un angle ’ avec l’axe optique. Ces angles sont orientés.
Le grossissement angulaire est la grandeur algébrique :
'
G Si G > 0, l’image est droite.
Si G < 0, l’image est inversée.
Si |G| > 1, l’image est plus grande.
Si |G| < 1, l’image est plus petite.
c- Aberrations
On dit qu’un système optique présente des aberrations géométriques lorsque différents rayons, issus d’un même point source et ayant des chemins géométriques différents, ne se croisent pas tous à la sortie du système optique.
On dit qu’un système optique présente des aberrations chromatiques lorsque des rayons issus d’un même point source mais de différentes couleurs ne se croisent pas tous à la sortie du système optique (à cause de la dispersion de la lumière dans les différents milieux).
Une lentille présente ainsi toujours des aberrations géométriques et chromatiques, mais celles-ci sont plus ou moins importantes et plus ou moins gênantes pour observer des images de bonne qualité.
’
Système optique centré (S)
Axe optique
LENTILLES MINCES
I / Définitions 1°) Lentille sphérique
Une lentille sphérique est un milieu transparent, homogène, isotrope, limitée par deux dioptres sphériques.
S1 est le sommet du premier dioptre sphérique rencontré par l’axe optique. C1 en est son centre.
S2 est le sommet du deuxième dioptre sphérique rencontré par l’axe optique. C2 en est son centre.
2°) Lentille mince
Une lentille est dite mince si son épaisseur, eS1S2 est petite par rapport aux rayons de courbure des dioptres sphériques) :
2 2
1 1 2
1 C S
S S C
S
e .
S1 et S2 sont alors confondus en un même point O, appelé centre optique de la lentille mince.
3°) Stigmatisme et aplanétisme
Dans les conditions de Gauss, on suppose admis le stigmatisme approché et l’aplanétisme approché pour tout couple de points conjugués.
4°) Lentille convergente (dite aussi à « bords minces »)
Dessin : Représentation symbolique :
Pour une lentille convergente, on dit aussi : « convexe-convexe » ou « plan-convexe » (« convexe » vis à vis de l’air).
5°) Lentille divergente (dite aussi à « bords épais »)
Dessin : Représentation symbolique :
ou : ou :
C1 S1 S2 C2
C1 S1
Axe optique S2
C2
Axe optique
O
Axe optique
ou : ou :
O
Axe optique
Pour une lentille divergente, on dit aussi : « concave-concave » ou « plan-concave » (« concave » vis à vis de l’air).
6°) Centre - Foyers
a- Centre optique
Les rayons qui passent par le centre optique de la lentille ne sont pas déviés.
b- Foyers
Lentille mince convergente : foyer image F’ réel ; foyer objet F réel.
Lentille mince divergente : foyer image F’ virtuel ; foyer objet F virtuel.
Remarque importante : F et F’ sont symétriques par rapport à O.
II / Construction géométrique des images 1°) Rayons utiles
Un rayon incident passant par le point objet et O n’est pas dévié (en bleu).
Un rayon incident passant par le point objet et F ressort parallèle à l’axe (en vert).
Un rayon incident parallèle à l’axe et passant par le point objet ressort en passant par F’ (en rouge).
L’image d’un objet se trouvera à l’intersection des rayons émergents (2 sur 3 suffisent, bien sûr).
F’ F F’
F
O
Axe O
Axe
F
Axe F’
Axe
F
Axe Axe
O
Axe O
Axe
2°) Construction d’une image
On considère un objet quelconque AB dont on cherche l’image A’B’.
---
3°) Construction d’un rayon
III - Relation de conjugaison - Grandissement 1°) Origine aux foyers
--- APPLICATION :
Donner la nature et la position de l’image A′B′ d’un objet AB ainsi que le grandissement transversal Г pour les lentilles (L1) et (L2) suivantes :
1. La lentille (L1) est convergente, de distance focale image +30 cm. Le positionnement de AB est tel que O A1 = 15 cm. La position de A′ sera donnée par la valeur de F A1' '.
2. La lentille (L2) est divergente, de distance focale image –30 cm. Le positionnement de AB est tel que
2'
AF = 20 cm. La position de A′ sera donnée par la valeur de O A2 '.
3. Montrer que 2 lentilles minces accolées, de vergences respectives v1 et v2, sont équivalentes à une seule lentille mince, de vergence veq = v1 + v2.
A B
A B
F’
F’
F O O
F’
F O O
MIROIRS SPHERIQUES
I - Définitions
Un miroir sphérique est une surface réfléchissante de forme sphérique.
On appelle C le centre de la sphère. L’axe optique passe par C, et coupe le miroir en S, sommet du miroir. On rappelle que l’axe optique est orienté par le sens de la lumière incidente.
1°) Miroir concave (convergent)
Dessin : Représentation symbolique :
2°) Miroir convexe (divergent)
Dessin : Représentation symbolique :
3°) Rayon d’un miroir sphérique
On définit le rayon d’un miroir sphérique de façon algébrique : RSC. Pour un miroir concave (convergent) : R < 0.
Pour un miroir convexe (divergent) : R > 0.
II - Stigmatisme et aplanétisme 1°) Stigmatisme approché sur l’axe
Considérons un miroir sphérique de centre C et de sommet S. Soit A un point objet sur l’axe optique. On considère un rayon incident passant par A, et faisant un angle avec l’axe optique. Ce rayon incident frappe le miroir en I. Le rayon réfléchi coupe l’axe en A’. On appelle H le projeté orthogonal de I sur l’axe optique.
S
C Axe optique
S
C Axe optique
S C Axe optique
S C Axe optique
--- 2°) Foyers
Foyer image : le foyer image est l’image d’un point objet situé à l’infini sur l’axe.
L’objet A est à l’infini : SA ..., donc : 1 ...
SA .
La relation de Descartes donne : 1 1 2 donc : 1 2
...... SC ... SC il vient : ... ...
' 2 2
SF .
Le foyer image est situé au ... [SC] :
2 ' SC2 R SF .
Foyer objet : le foyer objet est l’objet dont l’image est à l’infini sur l’axe.
L’image A’ est à l’infini : SA' ..., donc : 1 ...
'
SA .
La relation de Descartes donne : 1 1 2 donc : 1 2
...... SC ... SC il vient : ... ...
2 2
SF .
Le foyer objet est ... avec le foyer image,... [SC] :
2 2
R SF SC .
3°) Distance focale Ŕ Vergence
Distance focale :
2 ' 2
' SC R
SF
f (c’est une grandeur algébrique).
f’ < 0 pour un miroir concave (convergent). f’ > 0 pour un miroir convexe(divergent).
Vergence :
SC R f SF
2 2 ' 1 '
v 1 unité : m1 ou (dioptrie).
III - Construction géométrique des images 1°) Rayons utiles
Un rayon incident parallèle à l’axe passe, après réflexion, par la direction du point focal image F’.
Un rayon incident dans la direction du point focal objet F est réfléchi parallèlement à l’axe.
Un rayon incident dans la direction de C se réfléchit sur lui-même.
Un rayon incident passant par S se réfléchit en son symétrique par rapport à l’axe.
N.B : L
’image d’un objet se trouvera à l’intersection des rayons réfléchis (2 sur 4 suffisent).2 °) Construction d’un rayon
3°) Construction d’une image
IV - Relation de conjugaison - Grandissement 1°) Origine au sommet
La relation de conjugaison avec origine au sommet (appelée relation de conjugaison de Descartes) pour un couple de points conjugués (A,A’) s’écrit :
' 1 2 1 ' 1
f SA R
SA .
---
2°) Origine au foyer
' ' '
tan SJ AB or: ' ' et : ' il vient : A B f
SJ A B SF f
SF FA AB FA
' ' ' ' ' '
tan or: et : SF' ' il vient :
' ' ' '
SI A B A B F A
SI AB f
SF F A AB f
Finalement : ' ' ' ' ' ' ' . '2
'
A B f F A
soit F A FA f
AB FA f .
La relation de conjugaison avec origine au foyer (appelée relation de conjugaison de Newton), pour un couple de points conjugués (A,A’) s’écrit :
'2
. '
'A FA f
F .
Retenons aussi que :
' ' ' ' '
'
f A F FA
f AB
B
A
.
3°) Origine au centre
Remarquons que :F'A'F'CCA' f 'CA' et FAFCCA f 'CA Injectons dans la relation de conjugaison de Newton : F A FA' ' . f '2
22 2
' ' ' ' .
' ' ' ' . ' ' .
' ' ' . ' 0
f CA f CA f
f f CA f CA CA CA f f CA f CA CA CA
On divise tout par le produit f 'CA.CA'. Il vient : 0 ' 1 1 '
1
CA f CA
La relation de conjugaison avec origine au centre, pour un couple de points conjugués (A,A’) s’écrit :
1 1 1 1 2
' f '
CA CA CF CS
--- Application :
Le rayon de courbure d’un miroir ( Mx) est : Rx =S Cx x
1. Le miroir (M1) est concave, de rayon de courbure R1 tel que R1 = 20 cm. L’objet AB est situé au milieu de F1S1 (F1 : Foyer objet ; S1 : Sommet). Calculer S A1 ' et en déduire le grandissement transversal de l’objet.
2. Le miroir (M2) est convexe, de rayon de courbure R2 tel que R2 = 40 cm. L’objet AB est situé après S2 tel que S A2 = 50 cm. Calculer C A2 'et en déduire le grandissement transversal de l’objet.
L’ŒIL HUMAIN
I. CONSTITUTION PHYSIOLOGIQUE 1. Description
L’œil est composé de milieux transparents, centrés sur le même axe :
– La cornée, qui protège la surface de l’œil ; – L’humeur aqueuse ;
– L’iris entourant la pupille, qui joue le rôle de diaphragme ;
– Le cristallin : il joue le rôle de lentille de focale variable ;
– Le corps vitré ;
– La rétine sur laquelle se forment les images (≪ écran ≫).
On peut assimiler ce système optique à un dioptre sphérique, ou plus simplement à une lentille mince convergente, de distance focale objet égale à 17 mm (lorsque l’œil n’accommode pas).
2. Définitions
L’œil permet de voir nettement des objets à différentes distances en accommodant, c’est à dire en déformant son cristallin.
Définition :
Le punctum remotum : point de l’axe que l’on voit net sans accommoder (point net le plus éloigné). Il est noté P.R.
Le punctum proximum : point de l’axe que l’on voit net en accommodant au maximum (point net le plus proche). Il est noté P.P.
3. Caractéristiques de l’œil
Un œil normal, dit emmétrope, voit nettement les objets à l’infini sans accommoder : son punctum remotum est à l’infini ; son punctum proximum est environ à dm = 25 cm (âge moyen).
Résolution de l’œil : l’œil ne peut séparer des objets vus sous un angle inferieur à 1 minute d’arc (par exemple des objets distants de 0,1 mm situés à 25 cm de l’œil).
II. DEFAUTS DE L’ŒIL 1. Définitions
Comparaison d’un œil normal, d’un œil hypermétrope et d’un œil myope. F’ est le foyer image de l’œil sans accommodation ; la rétine est symbolisée par un écran en pointillé.
Hypermétropie : Lorsque l’œil n’accommode pas, l’image d’un objet à l’infini se forme à l’arrière de la rétine. Ceci est du à un cristallin est trop peu convergent (ou à un globe oculaire trop petit). Le P.P est plus éloigné que pour l’œil normal. La correction se fait avec une lentille convergente.
Myopie : Lorsque l’œil n’accommode pas, l’image d’un objet à l’infini se forme à l’avant de la rétine (le cristallin est trop convergent ou le globe oculaire est trop grand). Le P.P. est plus proche que pour l’œil normal. Le P.R est à une distance finie. La correction se fait avec une lentille divergente.
Presbytie : Avec l’âge, le cristallin se durcit et perd ses facultés d’accommodation : la vision proche en est affectée, le punctum proximum s’éloigne ; le punctum remotum reste inchangé. La correction se fait avec une lentille convergente, qu’on enlève pour voir de loin.
Astigmatisme : lorsque l’œil n’a pas une symétrie de révolution, la convergence ne se fait pas de façon identique dans tous les plans.
Exercice 9 : Presbytie
Considérons un œil tel que la distance cristallin-rétine soit égale à 15 mm.
1. Calculer les valeurs extrêmes de la vergence de la lentille pour un PP de 25 cm et un PR à l’infini.
2. L’œil en vieillissant perd de son pouvoir d’accommodation. Le PR n’est pas modifié, mais la vergence du cristallin ne peut plus varier que de 4, 5 δ, 1 δ et 0, 25 δ respectivement 0 33, 45 et 70 ans.
Déterminer les PP correspondants.
3. Le pouvoir de résolution de l’œil évolue peu avec l’âge. En admettant que l’œil peut voir des détails angulaires de taille αm = 10−3 rad, quelle est la taille du plus petit objet que l’œil pourra résoudre à 33, 45 et 70 ans ?
4. Considérons un autre individu, très myope. Son PR est de 11 cm. Un opticien lui propose une paire de lunettes telle que la distance œil-lunettes soit de 1 cm. Quelle vergence faut-il choisir ?
Exercice : Œil myope
Un œil myope a son punctum proximum à 12 cm et son punctum remotum à 1,2 m. Le centre optique de la lentille équivalente à l’œil est situé à 15,2 mm de la rétine.
1. Entre quelles valeurs la distance focale de cet œil peut-elle varier ?
2. Cette myopie est corrigée par des lentilles. Déterminer la convergence C des lentilles pour permettre une bonne vision de loin.
3. A quelle distance se situe alors le punctum proximum de l’œil corrigé ?
4. Pour corriger la myopie, on peut enlever une partie de la cornée à l’aide d’un laser. Expliquer pourquoi cela permet cette correction.
INSTRUMENTS D’OPTIQUE
1. INSTRUMENTS DE VISION PROCHE
1.
DEFINITIONSLes instruments d’optique servent à observer des objets soit proches (loupe, microscope), soit éloignés (lunette de Galilée, lunette astronomique). Ils peuvent aussi servir à faire des pointés ou à mesurer des distances (viseur) ; dans ce dernier cas le grandissement importe peu.
Le grossissement d’un instrument est le rapport de deux angles : G
avec
α′ est l’angle sous lequel on voit l’image de l’objet (à travers l’instrument).
α est l’angle sous lequel on voit l’objet à l’œil nu, a priori placé au PP de l’œil :
m
AB
d
dm = 25 cm (distance minimale de vision proche), ce qui correspond à la meilleure vision proche possible à l’œil nu.
Exemple :
a priori, G dépend donc de la position de l’œil.
Le grossissement est une grandeur sans dimension, donc s’exprime sans unité.
N.B:
Souvent l’instrument est réglé de manière à ce que l’œil de l’observateur soit au repos : l’image par l’instrument est donc à l’infini, et le faisceau à la sortie de l’instrument est un faisceau de rayons parallèles l’angle θ′ est donc l’angle entre ce faisceau parallèle et l’axe optique.
La puissance d’un instrument est homogène à l’inverse d’une longueur : P AB
( δ ).
2. LA LOUPE
Une loupe simple est constituée d’une lentille convergente de distance focale f′ ≈ 1 à 10 cm.
L’objet AB est placé entre le foyer F et la lentille.
L’image est virtuelle, droite et agrandie.
Plus l’objet est proche de F, plus l’image est grande et éloignée.
On a intérêt à placer l’œil assez proche de la loupe, pour que les conditions de Gauss soient réalisées.
Application : Image par une loupe
Un objet réel AB est placé devant une loupe ; l’œil E de l’observateur est située au voisinage de F′.
1. Construire l’image A′B′, en mettant par exemple l’objet AB au milieu de [FO]. Exprimer alors α en fonction de AB et dm, α′ en fonction de A′B′ et EA′, puis le grossissement G en fonction notamment du grandissement transversal γt de la lentille.
L’œil est-il au repos lorsqu’il observe à travers la loupe ?
2. Faire la figure dans le cas ou AB est dans le plan focal objet. Exprimer alors α′, puis le grossissement G et la puissance P.
3. Application numérique partielle : en prenant dm = 1/4 (m), exprimer G en fonction de f′.
Si f′ varie entre 1 cm et 10 cm, entre quelles valeur varie G?
--- Définition : Latitude de mise au point
C'est l’intervalle des positions de l’objet tel que l’image soit vue nette par l’œil : l’image donc est située entre le P.P. et le P.R. de l’œil.
La profondeur de champ est la distance séparant ces deux positions extrêmes de l’objet.
Application :
Déterminer la profondeur de champ Δ d’une loupe de focale f′, l’œil emmétrope étant placé au foyer image F′ de la lentille.
On donne f′ = 5 cm et la distance minimale de vision nette de l’œil dm vaut 25 cm.
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2. INSTRUMENTS DE VISION ELOIGNEE:
1. DEFINITIONS
Le grossissement d’un instrument est le rapport de deux angles : G
α est l’angle sous lequel on voit l’objet à l’œil nu ;
Pour des instruments de vision éloignée, l’objet est à l’infini, donc:
α et l’angle formé par le faisceau de rayons parallèles provenant d’un point de l’objet, avec l’axe optique.
α′ est l’angle sous lequel on voit l’image de l’objet ( à travers l’instrument).
a priori, G ne dépend pas de la position de l’œil, si l’instrument est afocal.
Le grossissement est une grandeur sans dimension, donc s’exprime sans unité.
Définition : Système afocal
Un système optique est dit afocal si l’image d’un objet situé à l’infini, est à l’infini :
systéme optique
On ne définit donc pas de foyer objet, ni de foyer image, pour un tel système.
2. LUNETTE ASTRONOMIQUE
Une lunette astronomique est constituée au moins de deux lentilles ; à l’entrée : l’objectif, à la sortie l’oculaire.
Par définition, le cercle oculaire est le conjugué du diaphragme d’ouverture par le système.
Le cercle oculaire est donc l’image du disque de la lentille-objectif L1, qui joue le rôle d’un objet réel, par la lentille-oculaire L2.
--- Application : Lunette astronomique
On représente une lunette astronomique par deux lentilles minces convergentes : l’objectif L1 de distance focale f′1 = 80 cm, de diamètre D = 60 mm, et l’oculaire L2 de focale f′2 = 6, 0 mm.
La lunette est réglée à l’infini (c’est-à-dire qu’elle donne d’un objet à l’infini une image à l’infini).
1. Quelle est la distance h entre L1 et L2 ? Quel est l’intérêt de ce réglage ?
2. Représenter sur un schéma, sans respecter l’échelle, le devenir d’un rayon lumineux faisant un angle α avec l’axe optique et émergent sous un angle α′ dans les conditions de Gauss.
3. Déterminer l’expression du grossissement angulaire G
de la lunette en fonction de f′1 et f′2. 4. On a, au moment de l’observation : la distance Terre-Mars égale à 7,0.107 km, diamètre de Mars 6800 km; la distance Terre-Lune égale à 3, 8.105 km, diamètre de la Lune 3400 km.
Si on estime l’angle maximal sous lequel l’observateur voit l’image, à environ 30◦, cet observateur voit-il Mars en entier dans la lunette ?
Même question pour la Lune.
5. Tous les rayons incidents qui pénètrent dans l’objectif de la lunette donnent des rayons émergents qui, à la sortie de l’instrument, passent à l’intérieur d’un cercle appelé ≪ cercle oculaire ≫.
a. Etablir la relation qui lie le diamètre d du cercle oculaire, le diamètre D de l’objectif et le grossissement G.
b. Quelle est la position du cercle oculaire par rapport à l’oculaire ?
c. Ou faut-il placer l’œil pour avoir une observation optimale ? Quelle taille maximale le cercle oculaire ne doit-il pas dépasser a priori, lors d’une observation visuelle ?
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