3. Algorithmes d’arithmétiques

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3. Algorithmes d’arithmétiques

L’arithmétique est une branche des mathématiques qui étudie les relations entre les nombres. Du grec « arithmétiké » qui signifie « l’art des nombres », et elle se définit aussi par « la science des nombres ». Le test de primalité, le test de parité, l’étude des nombres parfaits, le calcul de factoriel, le calcul de PGCD, le calcul de PPCM, … sont des exemples d’études arithmétiques.

7.1 Nombres premiers

Un nombre est dit premier s’il n’a que deux diviseurs 1 et lui-même.

7.2 Calcul du factoriel

La factorielle d’un entier positif N noté N! est calculé comme suit : N !=1*2*3*…* N

Exercice 21 :

1- Saisir un entier n (avec 2<n<10).

2- Rremplir un tableau t par n entiers.

3- Afficher le tableau t après le remplissage.

4- Calculer et afficher la moyenne du tableau t.

5- Chercher et afficher le maximum du tableau t.

NB: il faut décomposer votre programme en modules

Exercice 22 :

1- Donner 5 exemples de nombre premiers : 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13

2- Donner l’algorithme d’une fonction booléenne qui permet de vérifier si un entier x passé en paramètre est premier ou non.

Exercice 23 :

1- Donner l’algorithme d’une fonction somme qui calcule la somme SN suivante avec N un entier positif saisit au clavier et passé en paramètre à la fonction somme.

SN= 1+2+3+…+N 2- Caluler 5 ! puis 8 !

3- Donner l’algorithme d’une fonction fact qui calcule la factorielle d’un entier naturel N

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7.3 Calculer la puissance de deux entiers positifs

7.4 Nombres parfait

Un nombre est dit parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs autres que lui-même.

Par exemple 6 est un nombre parfait car les diviseurs de 6 sont 1,2,3 et 6 et puisque 6=1+2+3 donc 6 est un nombre parfait.

Exercice 24 :

1- Donner l’algorithme d’une fonction qui prend en paramètre deux entiers x et y positifs pour calculer et renvoyer la valeur de x à la puissance y (x^y)

2- Traduire l’algorithme de la fonction en Python

Exercice 25 :

Faire l’algorithme d’un programme qui permet de faire les tâches suivantes : 1- Saisir N avec (4≤N≤15)

2- Calculer la somme S suivante :

𝑆 = 1 + 𝑥

1! + 𝑥

2! + 𝑥

3! + ⋯ 𝑥

𝑁!

3- Afficher la somme S calculée.

Exercice 26 :

Faire l’algorithme d’une fonction nommée parfait qui vérifie si un nombre positif x est parfait ou non.

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7.5 – PGCD : Plus Grand Commun Diviseur

7.6 – PPCM : Plus Petit Commun Multiple

7.7 – Décomposition en facteurs premiers Exercice 27 :

1- Calculer le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) pour les couples suivants en utilisant la méthode de différence qui consiste à soustraire le plus petit du plus grand jusqu’à ce que les deux valeurs soient égaux.

➢ X=15 et Y=27

➢ X=120 et Y=50

2- Donner l’algorithme d’un programme qui permet de :

• Saisir deux entier x et y strictement positifs.

• Calculer et afficher leurs PGCD.

3- Traduire votre algorithme en Python

Exercice 28 :

1- Pour les couples suivants calculer les PPCM PPCM(5,6) =

PPCM(120,50) = PPCM(50,120) =

2- Donner l’algorithme d’une fonction qui calcul le PPCM de deux entiers x et y.

def saisir():

while True:

x=int(input('donner x '))

if x>0:

break while True:

y=int(input('donner y '))

if y>0:

break return x,y

Exercice 29 :

1- Decomposer 600 sous forme de produit de facteurs premiers : 600= 2*2*2*3*5*5 2- Donner le programme python qui permet de :

• Saisir un entier x >1

• Afficher la decomposition en facteurs premiers de l’entier x comme le montre l’exemple : Exemple :

Pour x=630 le programme doit afficher : 630 = 2*3*3*5*7