[ Corrigé du Baccalauréat STI Arts appliqués \ Métropole–La Réunion 21 juin 2012
EXERCICE1 10 points
Partie A 1.
J J total
S 5 % 31 % 36 %
S 55 % 9 % 64 %
total 60 % 40 % 100 %
2. Définir par une phrase les évènements suivants et calculer les probabilités de ces évènements : a. S∩J : « pratiquer le self-défense mais pas le judo » ;
p³ S∩J´
=36−5 100 = 31
100=0, 31.
b. S∩J : « pratiquer le judo mais pas le self-défense » ; p³
S ∩J´
=60−5 100 = 55
100=0, 55.
c. S∩J : « ne pratiquer ni le self-défense ni le judo » ; p³
S ∩J´
= 9
100=0, 09.
Partie B
1. On lit A(5 ; 0), A′(−5 ; 0), B(0 ; 4) et B′(0 ;−4).
2. L’équation de (E) est x2 52+y2
42−1=0 oux2 25+y2
16−1=0.
L’abscissecd’un foyer vérifiea2=b2+c2, aveca=5 etb=4, d’où 52=42+c2ou c2=52−42= 9=32, d’oùc=3 ouc= −3.
On a donc F(3 ; 0) et F′(−3 ; 0).
3. Comme OC = 3, l’aire du disque de diamètre [FF′] est égale àπ×32=9π. 4. L’aire de la surface délimitée par l’ellipse est égale à :
π×OA×OB=π×5×4=20π, soit plus du double de l’aire du disque. Le souhait n’est pas réalisé.
Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués A. P. M. E. P.
EXERCICE2 10 points
Partie A
1. On lit :f(−1)=0,f(0)=1 etf(1)=0
2. L’équation réduite de (EF) étanty=ax+b, on a :
½ 0 = −1a+b 1 = 0a+b
D’oùb=1, puisb=a=1
L’équation réduite de la droite (EF) esty=x+1.
Si Marine a raison le coefficient directeur de la tangente en F est égal au nombre dérivé f′(0) soitf′(0)=1.
3. Si Julien a raison, on af′(0, 4)=0.
Partie B
1. On calcule : f(−1)=¡
1−(−1)2¢
e−1=0×e−1=0 ; f(0)=¡
1−02¢
e0=1×1=1 ; f(1)=¡
1−12¢
e1=(1−1)e1=0.
Les valeurs sont les mêmes que celles obtenues par lecture graphique.
2. a. En dérivant le produit on obtient : f′(x)= −2xex+¡
1−x2¢ ex=¡
−x2−2x+1)ex. b. On en déduit :
f′(0)=(−0−0+1) e0=1×1=1 ; f′(0, 4)=¡
−0, 42−2×0, 4+1¢
e0,4=(−0, 16−0, 8+1)×e0,4=0, 04e0,4≈0, 066=0.
3. Celle de Marine est validée, celle de Julien est infirmée.
a. L’équation−x2−2x+1=0. On a∆=4−(−4)=8=¡ 2p
2¢2
.
Le discriminant étant supérieur à zéro, l’équation a deux racines réelles : 2+2p
2
2×(−1)= −1−p
2≈ −2, 414 et−1+p
2≈0, 414.
On sait que :
• −x2−2x+1<0 sur¤
−1+p 2 ; 1£
;
• −x2−2x+1>0 sur¤
−1 ;−1+p 2£
. b. La question précédente montre que :
• sur¤
−1 ;−1+p 2£
la fonctionf est croissante ;
• sur¤
−1+p 2 ; 1£
la fonctionf est décroissante.
Le maximum est égal à f¡
−1+p 2¢
=
³ 1−¡
−1+p 2¢2´
e−1+p2=¡
1−1−2+2p 2¢
e−1+p2=
¡−2+2p 2¢
e−1+p2≈1, 253.
Partie C
1. On calcule sur l’intervalle [−1 ; 1] : F′(x)=(2−2x)ex+¡
−1+2x−x2¢
ex=ex¡
2−2x−1+2x−x2¢
=¡ 1−x2¢
ex=f(x).
La fonctionFest donc une primitive de la fonctionf sur l’intervalle [−1 ; 1].
2. On a vu que sur l’intervalle [−1 ; 1] la fonctionf est positive, donc l’aire exacte, en unité d’aire, de la surface comprise entre l’axe des abscisses, la courbe (C), les droites d’équationsx= −1 etx=1 est égale à l’intégrale :
Z1
−1f(x)dx=[F(x)]1−1=F(1)−F(−1)=¡
−1+2×1−12¢ e1−£¡
−1+2×(−1)−(−1)2¢ e−1¤
=4e−1≈ 1, 47.
On vérifie sur la figure que l’aire vaut environ 6 carreaux de 0,25 environ.
Métropole–La Réunion 2 21 juin 2012
Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués A. P. M. E. P.
Annexe à l’exercice 1 - À joindre à la copie
1 2 3 4 5 6
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−1
−2
−3
−4
−5 1 2 3 4 5
0 1
0 1
O x
A B
A′
B′
Métropole–La Réunion 3 21 juin 2012
