[ Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués – Métropole \ 19 juin 2009

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EXERCICE 8 points

1. a. Faux : lim

x→−1

1

x+1= +∞, donc lim

x→+∞1+ 1

x+1= +∞.

b. Faux : voir au dessus ; c. Vrai.

2. a. Faux : e^−ln(2)= 1 e^ln(2)=1

2. b. Faux : voir au dessus.

c. Vrai.

3. a. Faux : 1 n’appartient pas à l’ensemble de définition.

b. Vrai : ln(x−1)=1 ⇐⇒ln(x−1)=ln e⇐⇒ x−1=e (par croissance de la fonction ln, donc x=1+e>1.

c. Faux.

4. a. Faux : 4x²+9y²−36=0⇐⇒ 4x² 36 +9y²

36 −1=0⇐⇒

µ2x 6

¶2

+ µ3x

6

¶2

−1=0⇐⇒

x² 9 +y²

4 −1=0 : ceci est l’équation d’une ellipse telle quea=3 etb=2.

L’abscisse d’un foyercest telle quea²=b²+c²⇐⇒ c²=a²−b²=9−4=5⇐⇒

c=p

5 ou c= −p 5.

Il y a donc deux foyers de coordonnées¡

−p 5 ; 0¢

et¡p 5 ; 0¢

. b. Vrai : voir ci-dessus.

c. Faux.

5. a. Faux : On sait quep(A∪B)=p(A)+p(B)−p(A∩B)⇐⇒ p(A∩B)=p(A)+p(B)−p(A∪B)= 0, 25+0, 6−0, 7=0, 15.

b. Faux.

c. Vrai.

6. a. Faux : on a EF²=¡ 3p

5−0¢2

+(1−(−1))²=45+4=49⇒EF=7.

b. Vrai.

c. Faux.

7. a. Faux : la dérivée de e^2x+xest 2e^2x+1.

b. Faux : la dérivée de 2e^2xest 4e^2x. c. Vrai : la dérivée de1

2e^2x+x−3 est 2×1

2e^2x+1=e^2x+1.

8. a. Faux : les pointsM(x;y) communs sont tels que

½ 5x²−y²−25 = 0

y = x ⇐⇒

½ 5x²−x²−25 = 0

y = x ⇐⇒

½ 4x²−25 = 0

y = x ⇐⇒

(

x² = 25 y = x4

Il y a donc deux points communs de coordonnées µ

−5 2;−5

2

¶ et

µ5 2; 5

2

¶ .

Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués A. P. M. E. P.

b. Vrai.

c. Faux.

PROBLÈME 12 points

Partie A

1. La fonctionf est décroissante sur [0 ; 3].

2. K= Z3

0

µ

−1 3x³+4

3x²−2x+3

¶ dx=

·

−1 3×1

4x⁴+4 3×1

3x³−x²+3x

¸3 0=

−3⁴ 12+4

9×3³−3²+3×3−(0)= −27

4 +12=21 4 . Partie B

1. g^′(x)= −e^x+(3−x)e^x=e^x(2−x).

2. On sait que e^x>0 quel que soit le réelx; le signe deg^′(x) est donc celui de 2−x.

Six<2, alorsg^′(x)>0 ; Six>2, alorsg^′(x)<0.

a. x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

g(x) 3 4,1 5,4 6,7 7,4 6,1 0

b. Voir plus bas.

3. a. Gest dérivable etG^′(x)= −e^x+(4−x)e^x=(3−x)e^x=g(x).

b. J= Z₃

0 g(x)dx= [G(x)]³₀=[(4−x)e^x]₀³=1e³−4=e³−4.

Partie C 1.

2.

3.

4. D’après les résultats de la question A. 2. et de la question B. 4. b. : A(P1)=J−K=e³−4−21

4.

Par symétrieP1etP2ont la même aire, donc : A(P1+P2)=2

µ

e³−4−21 4

¶

=2e³−8−21

2 =2e³−37 2 (u. a.) L’unité d’aire valant 4×1=4 cm², on a :

A(P1+P2)=8e³−74 (cm²).

La calculatrice donneA(P1+P2)≈86, 68≈87 (cm²).

Métropole 2 19 juin 2009

Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués A. P. M. E. P.

ANNEXE à rendre avec la copie

1 2 3

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8 1 2 3 4 5 6 7 8

x y

O

C_f C_g

Γf

Γg

b b b b b b b

Métropole 3 19 juin 2009