Оптимизация алгоритмов вычисления опционов на гибридной системе (Optimization algorithm for computing options for the hybrid system)

Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèéãîñóäàðñòâåííûéóíèâåðñèòåò,

îññèÿ,199034,

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã,

Óíèâåðñèòåòñêàÿíàá.

ä.7-9.

E-mail:

a

dskhmel.spbu.ru, b

e.an.stepanovgmail.om,

bogdanovsa.ru

Âñòàòüåðàññìîòðåíàïðîáëåìàîïòèìèçàöèèàëãîðèòìîâöåíîîáðàçîâàíèÿîïöèîíîâ íà

GPGPU. Îñíîâíàÿöåëü äîáèòüñÿìàêñèìàëüíîé ýåêòèâíîñòèîò èñïîëüçîâàíèÿãèáðèä-

íîéñèñòåìû.

Àâòîðàìè

áûëè

ïðåäëîæåíûíåêîòîðûå ïðåîáðàçîâàíèÿàëãîðèòìà,

ïîëó÷åí-

íîãî èç

ìîäåëè Áëåêà-Øîóëçà, äëÿöåíîîáðàçîâàíèÿ åâðîïåéñêîãî

èàçèàòñêîãî

îïöèîíà

ïî

ìåòîäó Ìîíòå-Êàðëî ñ ó÷åòîì îñîáåííîñòåé àðõèòåêòóðû GPGPU. Îñíîâíîé èäååé îïòè-

ìèçàöèè

ÿâëÿåòñÿ

ïîñòîÿííàÿ

ðàáîòà

ñ îäíèì

áîëüøèì

ìàññèâîì äàííûõ.

Êëþ÷åâûåñëîâà:åâðîïåéñêèé îïöèîí,àçèàòñêèéîïöèîí,ãèáðèäíàÿ ñèñòåìà,GPGPU,

CUDA, ìåòîä

Ìîíòå-Êàðëî

àáîòàâûïîëíåíàïðèïîääåðæêåãðàíòîâÔÔÈ:

17-57-80111 FTRC-HPC: Âûñîêîïðîèçâîäèòåëüíûå âû÷èñëåíèÿ ñ ñåòåâûìè ðåêîíèãóðèðóåìûìè îòêàçî-

óñòîé÷èâûìèâû÷èñëèòåëüíûìèóñòðîéñòâàìè,

16-57-48005Ìóëüòè-FPUíàêðèñòàëëå(MFoC)äëÿïðèëîæåíèéâûñîêîïðîèçâîäèòåëüíûõâû÷èñëåíèé,

16-07-01111ÏîñòðîåíèåUnix-ïîäîáíîãîîêðóæåíèÿäëÿóïðàâëåíèÿâèðòóàëüíûìñóïåðêîìïüþòåðîì.

^{2016ÄìèòðèéÑåðãååâè÷Õìåëü,Ýäóàðä}Àíàòîëüåâè÷Ñòåïàíîâ,ÀëåêñàíäðÂëàäèìèðîâè÷Áîãäàíîâ

гибридной системе

Оптимизация алгоритмов вычисления опционов на

Д. С. Хмель ^а , Э. А. Степанов ^b , А. В. Богданов ^с

Çà ïîñëåäíåå âðåìÿ ïðîèñõîäèò çíà÷èòåëüíîå óâåëè÷åíèå îáúåìà òîðãîâ íà ðûíêå

öåííûõ áóìàã. Çàäà÷à ïîèñêà öåíû òîé èëè èíîé öåííîé áóìàãè ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè

çðåíèÿèìååòäîâîëüíîñïåöèè÷åñêèéõàðàêòåð.Îñíîâíûìòðåáîâàíèåìÿâëÿåòñÿñêîðîñòü

âû÷èñëåíèé, ãäå âàæíû äàæå ìèëëèñåêóíäû, òàê êàê íà ïðàêòèêå îíè ìîãóò ñòîèòü áîëü-

øèõ äåíåã ó÷àñòíèêó òîðãîâ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç ïðèíöèïîâ óíêöèîíèðîâàíèÿ ðûíêà

ñëåäóåò, ÷òîâ äàííîé çàäà÷å íåòðåáóåòñÿâûñîêîé òî÷íîñòèâû÷èñëåíèé.

Ïðè ðåøåíèè ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è áîëüøóþ ïîïóëÿðíîñòü ñåãîäíÿ èìååò ìåòîä

Ìîíòå-Êàðëî. Îí ïîçâîëÿåò äîñòè÷ü íåîáõîäèìîé òî÷íîñòè âû÷èñëåíèé, íî ïðè ýòîì íå

îáëàäàåò äîñòàòî÷íîé ýåêòèâíîñòüþ. Ýêñïåðèìåíòû ïîêàçûâàþò, ÷òî â çàâèñèìîñòè îò

òî÷íîñòè,ïîèñêöåíûîïöèîíàìîæåòçàíèìàòüäîíåñêîëüêèõäåñÿòêîâñåêóíäèëèäàæåäî-

õîäèòüäîíåñêîëüêèõìèíóò.Ïîìèìîóâåëè÷åíèÿâû÷èñëèòåëüíîéìîùíîñòèèñïîëüçóåìûõ

ÝÂÌ,âäàííîé çàäà÷å ïðèñóòñòâóþò çíà÷èòåëüíûå âîçìîæíîñòè îïòèìèçàöèè íààëãîðèò-

ìè÷åñêîì èïðîãðàììíîì óðîâíå,êîòîðûå è áóäóòðàññìîòðåíû íèæå.

Âïðåäñòàâëåííîéñòàòüåðàññìàòðèâàåòñÿ âîçìîæíîñòü ðàñ÷åòàöåíû îïöèîíà íà ãè-

áðèäíûõñèñòåìàõñèñïîëüçîâàíèåìàðõèòåêòóðûCUDA.Âêà÷åñòâåîñíîâûäëÿ÷èñëåííûõ

ýêñïåðèìåíòîâáûëèâûáðàíû åâðîïåéñêèéèàçèàòñêèé îïöèîíû.Äëÿ ïîèñêàèõöåíû ðàñ-

ñìàòðèâàåòñÿ ìîäåëü,êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿêîíòèíóàëüíûì èíòåãðàëîì.

Âðàìêàõäàííîé ñòàòüè áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèåîáîçíà÷åíèÿ:

S (t)

^óíê-

öèÿ âðåìåíè,îïèñûâàþùàÿ äèíàìèêóèçìåíåíèÿ öåíû áàçîâîãî àêòèâà.Áóäåì ðàññìàòðè-

âàòü îïöèîííûéêîíòðàêò ñïåðèîäîì äåéñòâèÿ

[0, T ]

^{èöåíîé èñïîëíåíèÿ}

K

^.Ïðåäïîëîæèì,

÷òî

S ₀ = S (0)

^,

x = ln S

^,

C _eu (S, t)

^öåíà åâðîïåéñêîãî îïöèîíà,

C _as (S, I, t)

^{öåíà àçèàòñêîãî}

îïöèîíà, ãäå

I = R _T

0 S (τ)dτ

^.

Èñõîäíûé âðåìåííîé ïðîìåæóòîê ðàçîáüåìíà ðàâíûå ÷àñòè äëèíîé

∆ t

^{òî÷êàìè}

t 0 <

t ₁ < · · · < t _n < t _n+1

^{,ïðè÷åì}

t ₀ = 0

^,

t _n+1 = T

^{.Ïðè ðåøåíèèçàäà÷è} öåíîîáðàçîâàíèÿ îïöèîíîâ íà ãèáðèäíîé ñèñòåìåáûëà ïðèìåíåíà ìîäåëü, îñíîâàííàÿíà êîíòèíóàëüíîì èíòåãðàëå:

C eu (S 0 , 0) = e ^{− rT} Z +∞

−∞

. . . Z +∞

−∞

dx 1 . . . dx n dx n + 1 max { e ^{x n+1} − K, 0 } ×

× 1

(2πσ ² ∆ t) ^(n+1)/2 exp



 



 

 X n+1

i=1

"

− 1

2σ ² ∆ t [x i − (x i − 1 + µ ∆ t)] ²

# 

 



 



(1)

µ = r − σ ² 2

ãäå

r

áåçðèñêîâàÿ ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà,

σ

âîëàòèëüíîñòü. Ïîäðîáíîñòè ìîæíî íàéòè â ðàáîòàõ[Montagna, Nirosini, Moreni,2002℄, [Lientsky,1997℄.

Ïðèïîìîùèäàííîãîêîíòèíóàëüíîãîèíòåãðàëàîïðåäåëÿåòñÿöåíàáàçîâîãîàêòèâàâ

ìîìåíò èñïîëíåíèÿ îïöèîíà.

Äëÿ ïðîãðàììèðîâàíèÿ ïðèâåäåííîãî âûøå âûðàæåíèÿ íåîáõîäèìî âûïîëíèòü ñëå-

äóþùèå îñíîâíûå ñòàäèè àëãîðèòìà:

Введение

Постановка задачи

1. åíåðàöèÿ íàáîðà ñëó÷àéíûõ ÷èñåë (

x 0

^,

x 1

^,...,

x n

^,

x _n+1

^{),òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïëîò-}

íîñòüðàñïðåäåëåíèÿ êàæäîãî

x

^{áûëàðàâíà:}

f (x) = 1

√ 2πσ ² ∆ t exp

(

− 1

2σ ² ∆ t [x − (x _{i − 1} + µ ∆ t)] ² )

.

⁽²⁾

2. Ïîäñòàâèòü

x _n+1

^â ïîäûíòåãðàëüíóþ óíêöèþ:

S (T ) = max { e ^{x n+1} − K, 0 } .

⁽³⁾

3. Âû÷èñëèòüîïöèîí ïî îðìóëå:

C(S , t) = e ^{− rT} 1 N

N

X

i=1

S _i .

Äëÿ ðàñ÷åòà èíòåãðàëà íåîáõîäèìî ñãåíåðèðîâàòü íàáîð ñëó÷àéíûõ ÷èñåë òàêèì îá-

ðàçîì, ÷òî ïëîòíîñòü êàæäîãî èç íèõ çàâèñèò îò ïðåäûäóùåãî. Â ýòîì êðîåòñÿ îñíîâíàÿ

ïðîáëåìà äëÿ ïàðàëëåëèçìà.  ñëó÷àå åâðîïåéñêîãî îïöèîíà íåîáõîäèìî âçÿòü ïîñëåäíåå

ñëó÷àéíîå ÷èñëî èç íàáîðà èïîäñòàâèòü âóíêöèþS(T).

ÏåðâûéèâòîðîéýòàïÿâëÿþòñÿîäíîéèòåðàöèåéÌîíòå-Êàðëî.Äëÿòî÷íîñòèâû÷èñ-

ëåíèé íåîáõîäèìî âûïîëíèòü êàê ìîæíî áîëüøå òàêèõ èòåðàöèé. Ïîñëå ÷åãî ïîäñòàâèòü

ïîëó÷åííûéðåçóëüòàò âîðìóëóâû÷èñëåíèÿîïöèîíà.

Äëÿèçáàâëåíèÿîòçàâèñèìîñòèíåîáõîäèìîïðîâåñòèíåñêîëüêîìàòåìàòè÷åñêèõ ïðå-

îáðàçîâàíèé.

Èç îðìóëû ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû

x _i

^{(2) ñëåäóåò, ÷òî îíà}

ðàñïðåäåëåíà ïî íîðìàëüíîìóçàêîíó

x n ∼ N(µ ∆ t + x n − 1 , σ √

∆ t),

ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì

M[x] = µ ∆ t + x n − 1

^{è äèñïåðñèåé}

D[x] = σ √

∆ t.

Òîãäà

x _i

^{ìîæíî ïîëó÷èòüèç ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû}

ξ _i ∼ N(0, 1)

^{ñëåäóþùèì îáðàçîì:}

x n = M[x] + D[x] ξ _n .

Èëè, ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ äëÿ

M[x]

^è

D[x]

^,èìååì:

x _n = µ ∆ t + x _{n − 1} + σ √

∆ t ξ _n .

⁽⁴⁾

Ïðåîáðàçóåìäàííîå âûðàæåíèå êáîëååóäîáíîìóâèäó,äëÿýòîãîçàìåòèì:

x _n+1 = ξ _n+1 σ √

∆ t + µ ∆ t + x _n = ξ _n+1 σ √

∆ t + µ ∆ t + ξ _n σ √

∆ t + µ ∆ t + x _{n − 1} =

= (ξ _n+1 + ξ _n )σ √

∆ t + 2µ ∆ t + x _{n − 1} = σ √

∆ t X n+1

i=1

ξ _i + (n + 1)µ ∆ t + x ₀ .

Òàêèì îáðàçîì èìååì:

x _n+1 = σ √

∆ t X n+1

i=1

ξ _i + (n + 1)µ ∆ t + x ₀ .

Модернизация алгоритма

 êîíå÷íîì èòîãå, äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû

x _n+1

^{òðåáóåòñÿ} ïðîñóììèðî- âàòü ñãåíåðèðîâàííûé ìàññèâ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë ñî ñòàíäàðòíûì íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëå-

íèåì, ïîìíîæèòü åãî íà

σ √

∆ t

^{è ïðèáàâèòü çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ}

(n + 1)µ ∆ t + x 0

^{, êîòîðîå}

ðàññ÷èòûâàåòñÿçàðàíåå.

Ïðåèìóùåñòâî äàííîé ìîäèèêàöèè çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî â íåé îòñóòñòâóþò çà-

âèñèìîñòè, ïîýòîìó å¼ ìîæíî ëåãêî çàïðîãðàììèðîâàòü è ïîëó÷èòü óñêîðåíèå, èñïîëüçóÿ

CUDA èëèOpenCL íà ãèáðèäíîé ñèñòåìå.

Îòëè÷èå àçèàòñêîãî îïöèîíà ñîñòîèòëèøü â òîì, ÷òî åãî ñòîèìîñòü âû÷èñëÿåòñÿ ïî

îðìóëå:

C as (S 0 , I 0 , 0) = e ^{− rT} Z +∞

−∞

. . . Z +∞

−∞

dx N . . . dx 1

1 2πσ ² ∆ t

! N/2

×

× exp



 



 



− X N

n=1

1

2σ ² ∆ t [x n − (x n − 1 + µ ∆ t)] ²



 



 



×

× max



 

 

 

∆ t P N

n=1 I(x n , x n − 1 , ∆ t)

T − K, 0



 

 

  ,

(5)

ãäå

I(x n , x n − 1 , ∆ t) = e ^{x n} 1

∆ x _n + σ ² ∆ t

2 ∆ x ² _n − σ ² ∆ t

∆ x ³ _n

!

+ e ^{x n − 1} − 1

∆ x _n + σ ² ∆ t

2 ∆ x ² _n + σ ² ∆ t

∆ x ³ _n

! ,

Òàêèìîáðàçîì,âñåðàññóæäåíèÿäëÿåâðîïåéñêîãî îïöèîíàîñòàþòñÿñïðàâåäëèâûìèèäëÿ

ñëó÷àÿàçèàòñêîãî îïöèîíà,òîëüêî îðìóëà (3)áóäåò èìåòü âèä:

S (T ) = max



 

 

 

∆ t P N

n=1 I(x _n , x _{n − 1} , ∆ t)

T − K, 0



 

 

  .

èñ.1.Óñêîðåíèåâû÷èñëåíèé íàGPU

Эксперименты

[Bogdanov, Stepanov, Khmel, 2015℄. Âäàííîì ýêñïåðèìåíòå ñðàâíèâàåòñÿâðåìÿ ðàáîòû ïî-

ñëåäîâàòåëüíîãîàëãîðèòìàíàCPU(IntelXeon)èïàðàëëåëüíîãîíàGPU(TeslaK40M).Íà

ðèñ. 1 ïðèâåäåíî óñêîðåíèå âû÷èñëåíèé íà GPU. Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ãðàèê èìååò òè-

ïè÷íîå íàñûùåíèå. Ýòîîçíà÷àåò, ÷òîíà áîëüøèõíàáîðàõ óñêîðåíèåñèëüíî íå èçìåíèòñÿ.

 ðåçóëüòàòå èñïîëüçîâàíèÿ ãðàè÷åñêîé êàðòû Tesla K40M óäàëîñü ïîëó÷èòü óñêîðåíèå

â 110 ðàç. Òàêæå ïðîâîäèëñÿ ýêñïåðèìåíò ïî ìàñøòàáèðîâàíèþ ýòîé çàäà÷è íà íåñêîëüêî

GPU(ðèñ.2).åçóëüòàòûïîêàçàëè,÷òîìåòîäÌîíòå-Êàðëîìîæíîïåðåíåñòèíàíåñêîëüêî

ãðàè÷åñêèõ ïðîöåññîðîâ. Óâåëè÷åíèå ÷èñëà ïðîöåññîðîâ â 2 ðàçà äàåò ïðåèìóùåñòâî â

ñêîðîñòè â 1.6 ðàç. Òàêèì îáðàçîì, ìàñøòàáèðîâàíèå GPU ìîæíî èñïîëüçîâàòü ëèáî äëÿ

óñêîðåíèÿ âû÷èñëåíèé,ëèáî äëÿóâåëè÷åíèÿ èõòî÷íîñòè.

èñ.2.Óñêîðåíèåâû÷èñëåíèéíàäâóõGPU

Ïîäâîäÿ èòîã, ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî êëàññà çàäà÷ èñïîëüçîâàíèå

GPGPUäàåò çíà÷èòåëüíîå ïðåèìóùåñòâî.

Àëãîðèòìû, íàïèñàííûå äëÿ GPU, òðåáóþò ãëóáîêîãî ïîíèìàíèÿ ïðèíöèïîâ ðàñïà-

ðàëëåëèâàíèÿ çàäà÷ èîñîáåííîñòåé àðõèòåêòóðãðàè÷åñêèõ ïðîöåññîðîâ

Âáóäóùåìïëàíèðóåòñÿçàâåðøèòü ñîçäàíèåïðîãðàììíî-àïïàðàòíîãî êîìïëåêñà äëÿ

ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîéçàäà÷è.

G.Montagna, O.Nirosini, N.Moreni A path integral way to option priing // Physia A:

Statistial Mehanis andits Appliations. 2002. Vol.310, Issues34. P.450466

V.Linetsky The path integral approah to nanial modeling and options priing //

Computational Eonomis. 1997. Vol.11. Issue1.P.129 163

A.V.Bogdanov,E.A.Stepanov,D.S.KhmelAssessmentofthedynamisofAsianandEuropean

option on hybrid system // Journal of Physis: Conferene Series. 2015. Vol.681.

P.121 129

Заключение

Список литературы

Saint

Petersburg

University,

7/9Universitetskayaemb.,St.

Petersburg, 199034

E-mail:

a

dskhmel.spbu.ru, b

e.an.stepanovgmail.om,

bogdanovsa.ru

In theartile the problemof optimizationof GPGPUoption priingalgorithms. The main

goaltoahieve maximumeieny from theuseofthehybrid system.Theauthors oeredsome

transformation

algorithm

derived from Blake-Sholes model for

priing

European and Asian

option

ontheMonte

Carlo

methodbasedon

GPGPU

arhiteturefeatures.Thebasiideaisthe

onstant

optimization

ofwork withone largearrayof data.

Keywords: European option,

Asian

option, hybrid system, GPGPU, CUDA,

Monte-Carlo

method

ThisworkwassupportedbyRFBRgrants:

17-57-80111 FTRC-HPC: High-Performane Computing with Networked Fault Tolerant Reongurable

ComputingUnits,

16-57-48005MultiFPUonChip(MFoC)forHPCappliations,

16-07-01111BuildingUnix-likeenvironmenttoontrolvirtualsuperomputer.

^{2016DmitryS.Khmel,EduardA.Stepanov,AleksandrV.Bogdanov}

Optimization algorithm for computing options for the hybrid

system

D. S. Khmel ^a , E. A. Stepanov ^b , A. V. Bogdanov ^c