Électricité - Électronique

Électricité - Électronique

Régimes transitoires dans les circuits

(RC), (RL) et (RLC)

Électricité - Électronique

1

partie

Charge et décharge d’un condensateur

Etude du circuit (R,C)

Électricité - Électronique

Description d’un condensateur :

Un condensateur est assimilable à deux plaques disposées face à face. En règle générale, on pourra dire qu'un condensateur est constitué de deux conducteurs séparés par un isolant (appelé également diélectrique) ; cet isolant peut être l'air, du verre, du plastique … (tableau ci-dessous).

(relative)

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L’intérieur d’un condensateur :

Ce modèle est représentatif de la structure de la plupart des condensateurs. Il est constitué d’armatures métallisées.

On augmente sa capacité en branchant en parallèle des plaques très rapprochées mais qui ne se touchent pas.

Dans ce condensateur, c’est l’air qui joue le rôle de diélectrique.

Utilisation des condensateurs :

Ils sont utilisés dans pratiquement tous les montages électroniques. Par exemple, on utilise des condensateurs variables dans les circuits d’accord de postes de radio.

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Soumis à une tension U, un condensateur possède la propriété de se charger et de conserver une charge électrique q, proportionnelle à U :

q = CU C’est un réservoir d’énergie.

Cette énergie est restituée lors de la décharge du condensateur.

Ces phénomènes de charge et de décharge ne sont pas instantanés ; ce sont des phénomènes transitoires.

On peut comparer le condensateur à un réservoir qui se remplit et se vide, ou à un poumon qui se gonfle et se dégonfle...

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Condensateur plan :

Deux plaques métalliques planes (de surface S) en regard sont distantes de e. Un diélectrique remplit l’espace entre les deux plaques.

Diélectrique (ε =εε =εε =εε =ε₀εεεε_r) e

Surface en regard : S ddp U

+ + + + + + + + + + + +

- - - -

+ q

- q La charge q acquise par l’armature

supérieure est :

q = CU

C est la capacité du condensateur plan (exprimée en Farad, F, ou mieux, en µµµµF ou nF) :

e C

ε

ε

=

ε εε

ε₀ : permittivité du vide εεε

ε_r : permittivité relative du diélectrique

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Tension, puissance et énergie :

Avec les notations de la figure ci-contre :

q C

i

u_C dt q

i dq C

u_C = q ; = = &

La puissance reçue par le condensateur (de manière algébrique) est :



 



= 

=

=

= ²

2 . 1

. _C ^C _C

C C

C Cu

dt d dt

Cu du dt

u dq i

u p

L’énergie E_C emmagasinée par le condensateur s’en déduit :

C Cu q

E dt soit

p_C dE^C _{C C}

2 2

2 1 2

1 =

=

=

La charge portée par les armatures est une fonction continue du temps.

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Charge d’un condensateur par un échelon de tension :

A t < 0 : e(t) = 0 et à t > 0 : e(t) = E = cste. Alors, pour t > 0 :

q C

i

u_C

e(t) R u_R

dt RC du Ri

dt u i dq C

u_C = q ; = ; _R = = ^C

dt E RC du u

soit E

u

u_C + _R = _C + ^C =

) 1 (

1

1 u E RC

dt u du

RC dt

du

C C

C

C + = + = τ =

τ τ

Si le condensateur est déchargé à t < 0 : u_C = E (1 − e ^{−t /τ} ) ; u_R = E − u_C = Ee ^{−t /τ}

τττ

τ est la constante de temps du circuit (RC) : elle donne l’ordre de grandeur de la durée de charge du condensateur.

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Électricité - Électronique

La charge est continue à t = 0 ; l’intensité est discontinue (passe de 0 à E/R de t = 0^- à t = 0⁺)

Électricité - Électronique

Aspect énergétique :

Que devient l’énergie fournie par le générateur ? D’après la conservation de l’énergie, on va montrer que :

C R

G

E E

E = +

Energie fournie par le générateur

Energie dissipée par effet Joule dans R

Energie

emmagasinée par C

C R

G C

t R

t G

E E

E où

d CE

E

R CE dt E

R e dt E

t Ri E

R CE dt E

R e dt E

t Ei E

+

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

∫

∫

∫

∫

∞ −

∞

∞ −

∞

2 ' 1

2 1 ) 2

( ) (

2

2 2

0

/ 2 2

0

2

2 2

0

/ 2

0

τ τ

τ τ

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Décharge du condensateur :

) (u_C = Ee^−t/τ

)

(u_R = −u_C = −Ee^−t/τ Continuité de la charge Discontinuité du courant

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Condensateur soumis à une tension créneau :

Tension créneau E/-E :

Tension créneau E/0 :

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Associations de condensateurs :

En série :

En parallèle :

2

1 C

C

C

u u

u = +

C q C q

q C q C

u C

éq C

1 1

1 1

1

2 1

2 1

 =







 +

= +

=

2 1

1 1

1

C C

C_éq = +

q C₁ i

u_c1

q C₂ u_c2 u_c

i

u_c q₁ C₁ i₁

q₂ C₂ i₂

2 2 1

1

1

1 q

q C u_C = C =

i

( )

dt C du

dt C C du dt

C du i

i i

i = ₁ + ₂ ; = ₁ ^C + ₂ ^C = ₁ + ₂ ^C

2

1 C

C C_éq = +

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2

partie

Bobine d’auto-induction

Etude du circuit (R,L)

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Bobine d’auto-induction :

Le rôle d’une bobine d’auto-induction est de s’opposer à toute modification du courant dans un circuit (loi de Lenz). En particulier, l’intensité du courant dans une bobine est nécessairement continue.

B r

i

i

Tout bobinage parcouru par un courant crée un champ magnétique proportionnel à l’intensité i.

Lorsque l’intensité i dépend du temps, il apparaît aux bornes de la bobine une fém d’auto-induction (phénomène d’induction).

En convention récepteur, cette fém s’écrit (en supposant la bobine idéale, c’est-à-dire sans résistance) :

dt L di e =

Électricité - Électronique

Tension, puissance et énergie :

Avec les notations de la figure ci-contre :

L,r i

u_L dt ri

L di

u_L = +

La puissance reçue par la bobine (de manière algébrique) est (bobine idéale ici, soit r = 0) :



 



= 

==

= ²

2

. 1 Li

dt i d

dt L di i

u p_{L L}

L’énergie E_L emmagasinée par la bobine s’en déduit :

2

2 1 Li E

dt soit

p_L = dE^L _L =

L’intensité du courant qui traverse une bobine est une fonction continue du temps.

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Réponse à un échelon de tension : (bobine idéale)

A t < 0 : e(t) = 0 et à t > 0 : e(t) = E = cste. Alors, pour t > 0 :

i L

u_L

e(t) R u_R

dt du R L dt

L di u

Ri

u_R = ; _L = = ^R

E dt u

du R soit L

E u

u_L + _R = ^R + _R =

) 1 (

R E L

dt u u du

L R dt

du

R R

R

R + = + = τ =

τ

Si l’intensité du courant est nulle à t < 0 :

τ

τ /

/ ) ;

1

( ^t _{L R} ^t

R E e u E u Ee

u = − ⁻ = − = ⁻

τ ττ

τ est la constante de temps du circuit (RL) : elle donne l’ordre de grandeur de la durée d’établissement du régime permanent (i=E/R). La bobine se comporte ensuite comme un simple fil.

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L’intensité (et la tension u_R) est continue à t = 0 ; la tension u_L est discontinue (passe de 0 à E de t = 0^- à t = 0⁺)

u_R,u_L,E

En bleu : la tension u_L En vert : la tension u_R

En rouge (horizontal) : la tension E

R L

C R

u u

q i

u u

⇔

⇔

⇔

Circuit (RL)

Circuit (RC)

Électricité - Électronique

Aspect énergétique :

Que devient l’énergie fournie par le générateur ? D’après la conservation de l’énergie, on va montrer que :

G R L

E = E + E

Energie fournie par le générateur

Energie dissipée par effet Joule dans R

Energie emmagasinée par L

 

 

 + 

= +

= +

= +

=

2 1 Li dt

Ri d dt

Li di Ri

Ei dt donc

L di Ri

u u

E

) 2 (

1

0

2

0

R

I E avec LI

dt Ri dt

Ei = ∫ +

=

∫

En effet :

Électricité - Électronique

Associations d’inductances :

En série :

En parallèle :

2

1 L

L

L

u u

u = +

( )

dt L di dt

L di dt L

L di dt

L di

u_L = ₁ + ₂ = ₁ + ₂ = _éq

2

1 L

L L_éq = +

L₁ i

u_L1

L₂

u_L2 u_L

i

u_L L₁ i₁

L₂ i₂

dt L di dt

L di

u_L = ₁ ¹ = ₂ ²

i

L L

L u

L u L

u L L dt

i di i

i 







 +

= +

= +

=

2 1

2 1

2 1

1 1

1

; 1

2 1

1 1

1

L L

avec L dt

L di u

éq éq

L = = +

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3

partie

Etude du circuit (R,L,C)

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Equation différentielle du circuit (RLC) :

C q i

u_C

e(t) R u_R

L u_L )

1 (

t e C q

dt Ri L di u

u

u_L + _R + _C = + + =

dt C du i

C donc u q

q

i = & ; _C = = ^C

)

2

(

2

t e dt u

RC du dt

u

LC d

+

+

=

) 1 (

1

2 2

t LC e LC u

dt du L R dt

u d

C C

C

+ + =

L et R

avec LC t

e dt u

du dt

u d

C C

C

+

+

=

=

=

2 2

1 2 )

(

2 σω ω ω ω σω

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Les différents régimes : (voir cours sur les oscillateurs en mécanique)

On recherche des solutions de l’équation homogène de la forme exp(rt), avec r appartenant a priori au corps des complexes. On aboutit au polynôme caractéristique :

0

2 _{0 0}²

2 + σω r +ω = r

Dont le discriminant est : ∆ = 4ω₀²(σ ² −1)

) ,

( :

1 0

) ,

( :

1 0

) ,

( :

1 0

0 2

1

2 1

ω σ

σ σ

−

=

=

=

∆

∈

>

>

∆

∈

−

<

<

∆

r unique racine

critique e

apériodiqu régime

soit

R r

r e apériodiqu régime

soit

C r

r périodique pseudo

régime soit

) (

2 ⁰ ₀² ₀²

2 2 2

0 2 0

2

t e dt u

du dt Q

u u d

dt du dt

u d

C C

C C

C

C ω ω ω

ω

σω + = + + =

+

Il faut ensuite rajouter une solution particulière, qui dépend de la forme de e(t).

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Réponse du circuit (RLC) à un échelon de tension :

[

]

e u

E Be

Ae e

u

E t

B t

A e

u

t C

t t

t C

t C

+ +

=

=

+

 

 +

=

>

 +

 

 − + −

=

<

−

−

−

−

−

0

2 0 2

0 0

0

: 1

: 1

) 1

sin(

) 1

cos(

: 1

) 1 (

) 1 (

2 0

2 0

ω

σ ω σ

ω σω

σω

σ σ

σ ω

σ ω

σ

La solution de l’équation différentielle précédente est alors :

Pour t>0 : u E

dt du dt

u d

C C

C 2

0 2

0 2 0

2

2σω +ω = ω

+

5 , σω0

≈

Au bout de le régime permanent est atteintt (u_C = E)

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C R

= 2 L

Simulation Java (JJ.Rousseau) :

Résistance critique (σσσσ=1)

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Aspect énergétique :

L’état final est : i=0 et u_C=E (le condensateur est chargé). Montrons que le bilan final énergétique s’écrit :

C R

G E E

E = +

Energie fournie par le générateur

Energie dissipée par effet Joule dans R

Energie

emmagasinée par C

En effet :

 

 

 + 

 

 

 + 

= +

+

=

2 1 2

; 1

1 Li

dt Cu d

dt Ri d

dt Ei L di C q

Ri

E

C R

G

E E

E soit

CE dt

Ri

Eidt = ∫ + + = +

∫

¹ ₂

⁰

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On peut calculer l’énergie fournie par le générateur :

On en déduit que l’énergie dissipée par effet Joule dans la résistance R vaut :

[ ]

0 0

0

. dt CE u CE

dt CE du

dt q E

Eidt

 =

=



 



= 

=

∞

∞

∞

∫ ∫

∫ ^&

2 2

2

2 1 2

1 CE CE

CE E

E

E

=

−

= − =

Par conséquent :

G C

R

E CE E

E 2

1 2

1

=

=

=

La moitié de l’énergie fournie par le générateur est dissipée par effet Joule. On retrouve le même résultat que dans le cas du circuit (RC) : ce n’est pas surprenant puisque l’inductance n’a aucune influence sur les états initial et final du circuit.

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Réponse à une tension créneau :

Animation Java :

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Analogies électromécaniques :

Oscillateurs mécaniques Oscillateurs électriques

0 0

2 2

2 2 1 2 1 1

σ ω ω

h m

k kx E

x m E

hm m

k x v

x

P C

=

=

=

=

=

&

&

0 0

2 2

2 1 2 1 2 1

σ ω ω

L R LC

C E q

Li E

R L C

q i

q

P C

=

=

=

=

= &