Fluctuations du parcours de particules chargées ayant déposé la même quantité d'énergie dans la matière

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Submitted on 1 Jan 1983

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Fluctuations du parcours de particules chargées ayant déposé la même quantité d’énergie dans la matière

M. Dellagi

To cite this version:

M. Dellagi. Fluctuations du parcours de particules chargées ayant déposé la même quantité d’énergie dans la matière. Journal de Physique, 1983, 44 (2), pp.137-140. �10.1051/jphys:01983004402013700�.

�jpa-00209579�

Fluctuations du parcours de particules chargées

ayant déposé ^{la même} quantité d’énergie ^{dans la matière}

M. Dellagi

Département ^de Physique, Faculté des Sciences, Université de Tunis, Campus Universitaire, Belvédère, Tunis, ^Tunisie

(Reçu ^{le 7 avril} 1982, ^{révisé le} 17 juillet, accepté ^{le 26 octobre} 1982)

Résumé.

On étudie la densité de probabilité g(03B1, R) ^du parcours R ^{associé au} dépôt ^d’une énergie ^{03B1 et la}

connexion avec h(R, 03B5), densité de probabilité ^{de la} perte d’énergie ^03B5 relative à un parcours donné R. Le calcul des moments de g(03B1, R) revient à la résolution d’une équation intégrale de Fredholm de seconde espèce.

Abstract.

The range R distribution g(03B1, R) ^of particles having ^{lost an amount 03B1 of} energy is connected with the _energy 03B5 distribution h(R, 03B5) ^of particles passing through ^a thickness R of thin absorber. In order to obtain the moments of g(03B1, R), ^{we must solve a Fredholm} integral equation of the second kind.

Classification Physics ^Abstracts

05.40

29.70

87.60M

1. Introduction.

L’espace ^{est defini} par 3 ^axes de coordonnees rectangulaires Ox, Oy, Oz; ^la matiere, homogene ^et isotrope, occupe la region ^x > 0; ^elle

est attaquée ^au point 0, normalement au plan ^frontiere

x

0, par ^une particule suffisamment rapide pour que

sa trajectoire d’origine ^{A, confondue avec 0,} s’identifie

approximativement ^avec le demi-axe positif ^{Ox. En}

des points B, repartis aleatoirement sur Ox avec la densite moyenne p, la particule agit ^sur la matiere en

perdant ^une partie ^{de son} energie cinetique ^{initiale E.}

Pour un ensemble de particules, identiques ^{et de}

meme energie ^initiale que la précédente, l’énergie ^totale

8 perdue ^au point ^{de la} trajectoire Ox, d’abscisse _x, est une fonction al6atoire de _x, tandis _que la valeur

8(R) prise par c pour ^x egale ^{a une} longueur ^{donnee R}

est une variable aleatoire. Dans la suite, ^on suppose

8(.R) beaucoup plus petit que E : il en resulte _{que p} est une constante ne dependant que de E. Dans un

travail ant6rieur [ 1 ], ou la meme hypothese ^{a ete mise}

en oeuvre, ^{on a} calcule la densite de probabilite (d.d.p.) : h(R, 8) ^de e(R), ^sachant que e(0)

^0.

Corr6lativement, 1’abscisse x, acquise par ^une par- ticule quand ^{elle a} perdu 1’energie ^{s et son} parcours

R(a) (trajet ^minimum qu’elle ^{doit effectuer} pour depo-

ser une energie sup6rieure ^{a une} quantite ^donnee a)

sont respectivement ^{une fonction et une variable}

al6atoires. On se propose d’etudier la d.d.p. g(a, R)

de R(a) ^et de la relier a h(R, 8). ^{On montrera} qu’au trajet R(a) correspond ^une perte ^totale d’energie ^as

2. Calcul de g(a, R).

^Soient I, II, III, ^trois par- ticules de 1’ensemble.

En BI, E,l ^et Bnl ^{on a} dessine (voir Fig. 1) ^les represen-

Fig. ^1.

^Trois realisations de la fonction aleatoire E(x) permettant ^le tirage de trois valeurs possibles R,, RII, RIII

de R(a).

[Three realizations of the stochastic process 8(x) ^{to which} correspond ^{the three} possible ^values Rj, RII, RIII ^of R(cx).]

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01983004402013700

138

tations graphiques ^des pertes d’energie correspondan-

tes, ^en fonction de x. L’axe des _x, Ax ou Ox est la

trajectoire elle-meme. On est en presence de 3 reali- sations de la fonction al6atoire e(x). Chaque ^r6alisa-

tion est une 6preuve faisant sortir une valeur possible

de la grandeur ^al6atoire R(a).

a) ^La trajectoire ^{Ax est un} enchainement de mail- Ions elementaires. Les extremites d’un maillon sont 2 points ^B consecutifs, ^la d.d.p. ^{de sa} longueur ^{R est} 9 1 (R) = 11 exp( - MR). ^Le premier maillon, ^soit AB,

a la meme d.d.p., ^{de sorte} que g(a

0, R)

gl(R).

b) L’energie dissip6e par la particule ^{est aussi la}

somme de paquets elementaires repr6sent6s ^{sur un}

axe Os _par des segments d’extremites 2 points ^C

consecutifs. La d.d.p. ^d’un paquet ^est designee ^par 11(8). C’est aussi la d.d.p. ^du premier segment ^{OC de} 1’axe 08. Noter enfin _{que :} a) ^le premier ^maillon

elementaire AB est le parcours que doit effectuer la

particule pour d6poser 1’energie minimum, ^celle qui

résulte du premier ^choc; fl) ^{maillons et} paquets ^ele- mentaires forment 2 classes de variables jouissant ^de l’ind6pendance ^{intra- et} interclasse.

Soit &. 1’ensemble des 6chantillons, ^de probabilite p(a, m), presentant m points ^{C entre 0 et le} point ^de

1’axe 08 d’abscisse a. Le parcours R qu’effectue ^une particule correspondant ^{a un} echantillon de &. ^{est la}

somme de m + 1 maillons elementaires; ^la d.d.p. ^{de R}

est notee _gm+ 1(R). ^{Il en resulte que} g(a, R) ^{est la somme}

des produits ^des gm + 1 (R) par leurs poids statistiques p(a, m) :

c) ^On d6signe par 1m + 1 ( 8) ^la d.d.p, ^{de la somme 8}

de m + 1 segments 616mentaires de 1’axe Oe et on

pose :

de transformee de Fourier (TF) : Im+l(W).

L’evenement : nombre de points ^{C dans} l’intervalle

v=m

0, ⁰¹⁵³ inferieur à m + 1, ^de probabilit£ £ ^{p(0153, v) et}

,

v=o

l’événement : somme B des m + 1 segments ^élémen- taires supérieure ^a 0153, de probabilité ¹

im+ 1, ^sont equivalents :

d’ou :

avec p(a, 0)

¹

il . ^Si F 1 (w) ^et F ’ ’ 1 (o)) d6signent respectivement ^{les TF de} 11 (e) ^et Im+ 1 (e) ^{on a :}

et la TF : P(w, m) ^de p(a, m) ^{s’ecrit :}

Conclusion : La formule ( 1 ) devient, quand ^on prend

la TF des 2 membres _par rapport ^{a a :}

ou encore :

ou G(w, R) ^{est donne} par (4).

3. Connexion avec h(R, E).

^On pose :

L’6v6nement c _a, de probabilite v(R, a) ^est 6qui-

valent a 1’evenement x > R, ^de probabilite ¹

^u.

D’ou 1’equation ^reliant h(R, e) ^a g(a, R) :

Ou plus explicitement, ^en derivant les 2 membres _par rapport ^{d R :}

On introduit la distribution de Dirac 6((o).

on retrouve la formule (4) ^en exprimant (6) ^{dans le}

domaine spectral (co =F 0) :

car H(R, m)

exp [ - 11(1 - F 1 ) R ], ^{ainsi que cela a}

ete demontre dans [1].

4. Calcul du moment d’ordre n de g (a, R) :

On introduit la fonction Àn(cx), de ^{TF :} An(w) ^{et telle}

que

u , I

Ån(a) ^{est un nombre} pur ^et A,,(O)

^1. Transcrite dans le domaine spectral, (7) ^{devient :}

On note que Al(a) ^{est le} nombre minimum _moyen de chocs n6cessaires au depot ^d’une energie sup6rieure

a _{a, et que} sa connaissance ou celle de A, ((o) ^{suffit à}

connaitre A,,(a) ^ou An(w) ^car

de sorte que le calcul dex Rn(a.) > revient a celui de

l’integrale

_...J- ""

ou a la resolution de 1’6quation int6grale de Fredholm de seconde espece [2] ^{et de} noyau 11 (e) :

équivalente ^a (10). ^Une equation ^de cette nature se

rencontre dans les problemes ^{de files} d’attente, ^de compteurs ^de particules, ^etc. [3]. ^{On a} designe par

9(a) ^la fonction nulle _pour a 0 et 6gale ^a 1 pour a a 0.

5. Etude de p(a, m).

^{Comme il convient, on}

verifie d’apres (2), que :

On d6signe par m(a) le nombre de points ^{C dans}

1’intervalle 0, ^{a et} par :

les _moyennes de m(a) ^et m2(a), ^{de TF} respectivement M1(w) ^et M2(W)’ ^{On trouve} (w =1= 0) :

et par inversion :

D’ailleurs m(03B1) >, qui ^{vaut aussi} peut ^se calculer directement en notant que R(a) ^{est la somme}

de m(a) ^{+ 1} maillons 616mentaires de longueur moyen-

ne I /p; ^{d’ou :}

d’autre part (Eq. (7») : 11 R(a) ) = ).1 (ex). ^{En résu-}

M6 :

Exemple d’application : ^{Cas d’un} proton ^{de 50 MeV} de vitesse 3 ^{= 0,31} passant ^{a travers} le cuivre. Le proton perd ^de 1’energie par chocs in6lastiques ^{sur les}

atomes de cuivre; ^{on se} place dans les conditions ou les electrons p6riph6riques ^se comportent ^{comme s’ils} etaient libres (chocs ^a grande ^distance n6glig6s).

On sait [4] que le _noyau fi(e) ^de 1’equation ^de

Fredholm (11) ^s’6crit (Rutherford) :

K

e’ e"/(e" - e’) ^{est un} facteur de normalisation.

La valeur la moins probable ^du paquet 616mentaire

ne depend que de 3. ^{Elle vaut :}

tandis _{que s’} vaut, ^{comme on} le voit en appendice :

(me ^{est la masse} de 1’electron au repos ^{et c} la vitesse de propagation de la lumiere dans le vide). ^{Pour les} applications num6riques, ^{une bonne} approximation

consiste a prendre ^{K # E’.}

Le paquet 616mentaire _moyen est designe par m1 et vaut :

On montre, ci-dessous, ^{dans le cas} simple ^{ou a} > e",

comment tirer parti des r6sultats th6oriques ^obtenus.

L:id6al serait d’avoir 1’expression ^de g(a, R) ; mais,

pour les besoins de la pratique, ^il suffit d’en connaitre

les 2 premiers moments : R(a) ) etc R2(x) ).

140

On note d’abord, qu’au trajet R(a) correspond ^une perte ^totale d’6nergie comprise ^{entre a et a + da, ou}

da est une incertitude inferieure a la valeur d’un paquet elementaire ; ^{ce dernier 6tant} beaucoup plus probable quand ^{il est} petit (voisin ^de g’.), ^on pourra n6gliger da ;

dans une telle approximation À 1 ( a) ^{sera le nombre}

moyen de chocs n6cessaires au depot ^{de a} MeV;

2 chocs ou plus interviendront _pour la perte ^a > e".

La solution de 1’equation de Fredholm (11) ^s’6crit

alors :

D’apres (9), Å2(CX) ^{est le} produit de convolution de

En resume, ^{les 2} premiers ^{moments de} g(a, R) ^{sont :}

La variance a2(Ct) == R2(Ct) ) - ( R(,x) >2 ^{de la}

variable aleatoire R(a), s’ecrit, ^en n6gligeant ^{le facteur} 0(a) maintenant inutile :

De meme, ^Ie carr£, 6r, de l’incertitude relative ur(a) ==

) > :

Si on note qu’on peut negliger ^{1 devant} a/ml (qui ^vaut d6jd ^{6 286} pour ^a

E"

0,11 MeV), ^on peut écrire,

avec une tres bonne.approximation :

Cette constante est indcpendante ^{de a. La loi} analogue,

u,(a).,/ c(a) >

^Cte independante ^{de a, a} deja ^6t6 signalee [1] dans 1’etude des fluctuations de pertes d76nergie ^de particules passant ^{a travers une faible}

epaisseur de maticre a. Enfin, ^{comme il} convient, 6(a)

est inversement proportionnel ^a J Ål(et).

A titre d’exemple, ^on prend ^{le cas ou a}

0;11 MeV;

on trouve O"r(et)

^{0,017 :} pour d6poser 0,11 ^{MeV dans} le cuivre, ^le proton ^{de 50 MeV doit effectuer un} trajet disperse pratiquement ^sur 1,7 % ^du trajet moyen ^et

A, = 6 ²⁸⁷ paquets elementaires auront ete, ^en moyen-

ne, engages.

Autre exemple : ^{le meme} proton, verrait l’incerti- tude relative sur le trajet n6cessaire au depot ^de 0,11 ^{MeV dans le} plomb, (Z

^{82 et A}

207), passer a 4,0 %.

Appendice.

^La perte moyenne d’6nergie e > ^d’un proton ^{de 50 MeV} dans la traversee de 1 gramme/cm2

de cuivre vaut, d’apres les tables [5] : ^{7,92 MeV. Or [6] :}

ou z

1 et Z

29 sont les num6ros atomiques ^de l’hydrogène ^{et du cuivre et A}

63,54 ^{la masse atomi-}

que de ce dernier _corps. On trouve :

Bibliographie

[1] DELLAGI, M., Nucl. Instrum. Method 128 (North-Hol-

land Publishing Co.) 1975, p. 191-193.

[2] MORSE, ^{P. M. et} FESHBACH, H., ^Method of Theoretical

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[5] RITSON, ^D. M., Techniques of high energy physics (Interscience ^New York) 1961, p. 526.

[6] Ibidem, p. 19.