CONDUCTION THERMIQUE
1 Entraînement au maniement du laplacien*
Dans chacun des cas suivants, exprimer le lapla- cien du champ proposé. Toutes les grandeurs autres que x, y, z, r, θsont des constantes. Pour le cas 2, on fournit l’ex- pression en coordonnées cylindriques :
∆f = 1 r
∂
∂r
r∂f
∂r
+ 1 r2
∂2f
∂θ2 +∂2f
∂z2 1. Ep= 12k(x−lo)2
2. ρ=K.r 3. P = 2xy+z 4. Ep=−1/z2
2 Questions de cours**
Les parties 1, 2 et 3 sont indépendantes.
1. Soit un barreau plein, conducteur de chaleur (λ), de section carrée S, d’axe (Oz). On suppose que la température est identique au sein d’une section et varie selon la loiT(z) =To.e−z/d. Exprimer la puissance thermique diffusée à travers la section située enz = 0 puis celle enz=d. Que peut-on en conclure sur le barreau ?
2. Soit un barreau solide de section S d’axe (Oy), dont la température T(y, t) est décroissante avec y. On noteρ,λet crespectivement la masse vo- lumique, la conductivité thermique et la capacité thermique massique du matériau.
(a) Quels sont la direction et le sens du vecteur densité de flux thermique (justifier les à l’aide de la loi de Fourier) ? Faire un schéma.
(b) On considère le système délimité par les sec- tions d’abscissesy et y+dy. Appliquer lui le 1er principe (= un bilan d’énergie) entret et t+dt. En déduire l’équation différentielle vé- rifiée parT(y, t), ne faisant intervenir que les constantesρ,λetc.
3. Soit un système dont la densité de flux thermique au niveau de ses frontières vautJ (supposée uni- forme), cette densité étant orthogonale aux fron- tières et sortante. Exprimer la puissance ther- mique perdue par un tel système s’il s’agit : (a) d’un cube de côtéa.
(b) d’un cylindre de hauteurL et de rayonR en supposant pour cette seule question que la densité de courant est radiale suivant le~erdes coordonnées cylindriques (donc pas forcément orthogonale à toutes les frontières).
(c) d’une sphère de rayonR.
Réponse : 1)Pth(O) =λSTo/d Pth(d) =λe−1STo/d, 3a) Pth= 6a2J, 3b)Pth=L2πRJ, 3c)Pth= 4πR2J,
3 Flux évacué par un moteur en ré- gime stationnaire**
On étudie la conduction thermique entre la chambre de com- bustion d’un moteur et l’air extérieur, en modélisant chaque élément S de parois des pistons par un barreau d’acier (λ= 16W/(K.m)) :
T1 est la température de la chambre, soit environ 500◦ et T2 = 20◦ celle de l’air extérieur. Ceux-ci imposent leur température au barreau en x = 0 etx = L. On fournit : L= 1cm.
1. Rappeler l’équation de la chaleur vérifiée par T(x, t).
2. Que devient-elle en régime stationnaire ?
3. Déterminer l’expression de T(x) en régime sta- tionnaire en considérant que les gaz de la chambre et l’air extérieur imposent leur température à la paroi de piston en contact avec eux. Tracer le graphe.
4. En déduire la puissance thermiqueP évacuée par le moteur si sa surface totale estSt= 0.03m2. 5. En réalité la paroi extérieure d’un moteur est
beaucoup plus chaude que l’air extérieur car ce dernier ne suffit pas à le refroidir par conduction.
C’est en fait un phénomène mixte de conducto- convection qui assure le refroidissement princi- pal (et le rayonnement pour le reste), ce der- nier imposant non pas une température mais un flux. Reprendre les deux questions précédentes en remplaçant la condition aux limites peu réa- listeT(L) =T2 par jth(L) =h(T(L)−T2) avec h= 5W.m−2.K−1. Commentaire.
Réponse : 3)T(x) =T1−T1−TL 2x, 4) P=λ.StT1−T2
L =
23kW, 5)P=λ.StT1−T2
L+λ/h= 72W
4 Résolution de problème**
La cuisson d’un œuf dur est d’environ 10 min. Sa- chant qu’un œuf d’autruche pèse autant que 25 œufs de poule, déterminer son temps de cuisson.
Aide : retrouver le temps caractéristique de la diffusion ther- mique.
Réponse :T ≈85min
5 L’âge de la terre selon Kelvin***
La terre est assimilée à un milieu semi-infini occupant tout le demi-espace z > 0. On admet que la température ne dépend que de la profondeur z (comptée positivement vers le bas) et du tempst. La planète à une conductivitéλ, une capacité thermique massiquecet une masse volumique ρ, toutes trois uniformes. On note j(z, t) la densité de flux thermique.
Au milieu du XIXesiècle, Lord Kelvin a imaginé que la terre a été formée à une température très élevée uniforme To. Puis qu’à un moment notét= 0, sa surface a été soumise à une température Ts et que depuis ce temps là, la planète se refroidit. Lord Kelvin a modélisé ce refroidissement pour en déduire l’âge de formation de la Terre.
1. En réalisant un bilan d’énergie sur une tranche élémentaire de sol terrestre, établissez l’équation vérifiée par T(x, t). On notera D la diffusivité thermique.
2. Déduire de l’équation vérifiée parT celle vérifiée parj(z, t) notée (1).
3. Dans l’hypothèse de Kelvin, quelle doit être la valeur de la densité de flux thermique en z = 0 lorsquettend vers zéro, et lorsqu’il tend vers l’in- fini ? Quelle doit être la valeur de la densité de courant thermique à une profondeur z non nulle lorsquettend vers zéro, et lorsqu’il tend vers l’in- fini ?
4. Montrer que la fonction proposée par Kelvin est bien solution de (1) et compatible avec les condi- tions de la question 2) :
j(z, t) = −A
√Dt.e−z2/(4Dt)
Dessinerj en fonction dez à deux instants diffé- rents (A <0).
5. On supposeA =a(To−Ts)αλβργcδ oùaest un facteur numérique et α, β, γ, δ sont des expo- sants éventuellement nuls. Calculer α, β, γ, δ par analyse dimensionnelle.
6. On peut montrer que a = 1/√
π. Exprimer la valeur du gradient thermique en surface de la Terre ∂T /∂z. Lord Kelvin a admis que To−Ts
était de l’ordre de 1000 à 2000 K et que D est proche de 10−6 m2.s−1. L’augmentation de température avec la profondeur mesurée dans les mines indiquait un gradient thermique proche de 30 K.km−1. Quel âge de la Terre Kelvin a-t-il déduit de son modèle ?
7. Quel phénomène Kelvin a t-il "oublié" (il n’a été découvert qu’après sa mort) ? Critiquer les hypo- thèses.
Réponse : 1) Equation de la chaleur , 2) même équation enjqu’enT; 4) A=a(To−Ts)λ , 5)de11a45M ans
6 Equation de la diffusion cylin- drique**
Soit une gaine isolante entourant un tuyau cylin- drique d’eau chaude sanitaire, comprise dans l’espace inter- cylindrique r ∈ [R1, R2]. Les conditions aux limites aux- quelles il est soumis sont :
T(R1) =To ; T(R2) =Text
On suppose que le problème est unidimensionnel radial, de sorte que :
T(r, t) On fournit en cylindrique :
∆f = 1 r
∂
∂r
r∂f
∂r
+ 1 r2
∂2f
∂θ2 +∂2f
∂z2
On note µ, λ et c respectivement la masse volumique, la conductivité thermique et la capacité thermique massique du matériau.
1. Rappeler l’équation 3D de la chaleur vérifiée par T.
2. A quoi se résume-t-elle grâce à l’hypothèse ra- diale ? On se place de plus en régime stationnaire.
3. Déterminer l’expression de T(r) en régime sta- tionnaire. On supposera la continuité des tempé- ratures aux interfacesR1et R2. Arriver à :
T(r) = (Text−To) ln(r/R1) ln(R2/R1)+To
4. *** Retour à la question 1. Démontrer l’équation de la chaleur dans cette géométrie en faisant un bilan d’énergie à un volume inter-cylindrique élé- mentaire situé entreretr+dr.
Réponse : 4)µc∂T∂t =λr∂r∂ r∂T∂r
7 Phénomènes de transport*
Annoter sur l’illustration ci-dessous le mode de trans- port de la chaleur ressentie par l’individu dans chacune des 3 situations.
8 Conducteur parfait*
Que pourrait-on écrire pour définir un matériau conduisant parfaitement la chaleur ? Sachant qu’une puis- sance ou qu’une densité de puissance ne sauraient être infi- nies, quelle est la conséquence sur le champ des températures T dans un tel matériau ? Est-ce logique ?
9 Une solution de l’équation de la chaleur*
Une des rares solutions analytiques de l’équation de diffusion est la fonction "Erf" (Error fonction en anglais) :
Erf(x, t) = K
√t.e−x2/(4Dt) avecDet K des constantes.
Observons-en le comportement dans le domaine de la diffusion de particule, à l’aide de l’expérience qui consiste à déposer délicatement du sirop pur dans le fond d’un verre :
L’évolution de la densité de sirop, qui vérifie une équation identique à celle de la chaleur, est la suivante :
1. Expliquer en quoi ces courbes illustrent la grande tendance des phénomènes de diffusion.
2. Dessinernsirop(t= 0) etnsirop(t→ ∞).
3. En admettant quensirop= Erf(x, t), calculerK.
4. Vérifier que Erf(x, t) est bien solution de l’équa- tion de la chaleur.
Réponse : 3)K≈2.103 usi
10 Température d’un radiateur**
Un radiateur de capacité thermique C, de surface to- tale S et de température initiale To reçoit une puissance électrique constante P. Soit T(t) la température du radia- teur à la date t. Il évacue par ailleurs un flux thermique conducto-convectif avec l’air de température To, de coeffi- cienth.
Φcc=hS(T−To)
On suppose la température du radiateur uniforme à chaque instant.
1. Faire un bilan d’énergie au radiateur et détermi- ner l’équation différentielle vérifiée parT(t).
2. En déduire l’expression deT(t), puis tracer cette courbe. Commenter la cohérence de l’influence des paramètres P, C ethsur l’allure de la courbe.
3. Mêmes questions lorsqu’on coupe P après un temps "suffisamment long".
Réponse : 1) dTdt + hSCT = PC +hSTCo, 2)T(t) = (To+ P/hS)−hSP e−t/τ avecτ=C/hS
11 Conduction thermique dans un fil électrique**
Soit un câble électrique modélisé par un cylindre d’axe Oz de longueur L trés grande, et constitué d’un fil mé- tallique de rayonR1, entouré d’une gaine plastique de rayon extérieur R2. On notera ρ, λ et c les masses volumiques, conductivités thermiques et capacités thermiques massiques de la gaine.
1. On suppose tout d’abord que la périphérie interne de la gaine est à une température fixe T1 et que sa périphérie externe est à une température éga- lement fixeT2. On s’intéresse à la températureT au sein de la gaine.
(a) Rappeler l’équation spatio-temporelle de dif- fusion vérifiée parT(r, t) puis simplifier la à l’aide du formulaire. On justifiera au préalable que T ne dépend spatialement que de r par des arguments de symétries. Quelle est la di- rection de~jth?
(b) On étudie le régime stationnaire. Déterminer T(r) en exploitant les conditions au limites données au-dessus.
2. On considère dans cette question le fil métallique uniquement. On impose un courant d’intensitéI dans celui-ci. On noteηla résistance électrique du matériau par unité de longueur. La température du fil est supposée uniforme.
(a) Exprimer la résistancedRd’un tronçon de fil électrique de longueurdz.
(b) Exprimer la puissance électriquePJ reçue par un tronçon de fil électrique de longueurdz.
(c) En régime stationnaire, que devient cette puissance ? En déduire l’expression du vecteur densité de flux thermique (supposé radial) en R1.
3. On considère l’ensemble fil + gaine en abandon- nant les hypothèses suivantes : "la périphérie in- terne de la gaine est à une température fixeT1et sa périphérie externe est à une température égale- ment fixeT2". A la place on suppose que le contact thermique est parfait entre les deux matériaux de sorte que~jthy soit continu et qu’ à la périphérie de la gaine les échanges soient de type conducto- convectif, de coefficient h = 10 W/(K.m2), en prenantTo= 20◦comme température extérieure.
(a) Quelle relation précédente surT peut-on tou- jours utiliser en régime stationnaire ? Déter- miner∀r > R1, T(r) en régime stationnaire.
(b) Estimer la température extérieure de cette ral- longe du commerce, équipée d’une gaine en PVC, lorsqu’elle est parcourue par son inten- sité maximale permise. Y-a-t-il un danger de brûlure ? De fusion du PVC ?
Caractéristiques constructeur :
η= 1.1 10−2 Ω/m; sf il= 1.5mm2 ; Imax= 16A ; λP V C = 0.2 usi
Réponse : 1b) T = T1−(T1−T2)ln(Rln(r/R1)
2/R1), 2b)PJ = ηdzI2, 2c) Evacuée vers la gaine.j(R1) =ηI2/(2πR1), 3a) T = To+λ2πηI2(hRλ
2−ln(r/R2))
12 Ailette de refroidissement**
Pour évacuer la chaleur d’une source vers l’atmo- sphère (l’effet Joule d’un microprocesseur par exemple), on a souvent recours au dispositif représenté ci-dessous : une plaque de coté a, b et c (c « b, on pourra négliger les surfaces latérales devant les surfaces du dessus et du dessous), collée enx= 0 à la source de chaleur qui imposeT(x= 0) =To. Cette plaque de conductivité thermiqueλest plongée dans l’atmosphère (Ta constante).
Pour décrire simplement les échanges thermiques entrel’air et l’ailette, qui sont gouvernées par un processus convecto-conductif, on adopte la loi de Newton en notanth la constante caractérisant l’efficacité de ce transfert dont la densité de flux (W/m2) vaut :jcc=h(T−Ta)
Tout l’exercice est en régime stationnaire. T ne dé- pend significativement que de la variablex.
1. Faites l’inventaire des flux de chaleur (en préci- sant le nom des phénomènes) entrant et sortant d’une tranche de la plaque comprise entre x et x+dx.
2. Exprimer la puissance évacuée dans l’air par la tranche de la plaque comprise entre xetx+dx, en fonction deT(x) entre autre.
3. En faisant un bilan d’énergie pour la tranche de la plaque comprise entrexetx+dx, montrer que T(x) est solution de :
d2T dx2 − T
L2 =−Ta L2
et exprimer la constante L en fonction des don- nées.
4. On suppose quea >> Lde sorte qu’on puisse rai- sonner sur une plaque de longueurainfinie et ad- mettre qu’à l’extrémité de celle-ci, l’atmosphère impose T(x = a) = Ta. Etablir l’expression de T(x) en fonction de To, Ta,xet L (on négligera le terme adéquat) :
T(x) = (To−Ta)e−x/L+Ta
5. Tracer le graphe de T(x) et interpréter concrè- tement L. Comment un industriel choisira-t-il la longueur ade la plaque par rapport àL? 6. Exprimer le flux thermique total Φ évacué par
l’ailette en fonction de h, b, To, Ta et L. Véri- fier votre calcul en comparant avec le flux entrant dans l’ailette.
Réponse : 3)L=p
cλ/2h; 5) Φ = 2hbL(To−Ta)
13 Exemples de convection ther- mique*
Eau dans une casserole chauffée
Magma dans le manteau terrestre
Cellule de Hadley (explique les alizés)
Quel est l’origine de la convection dans chacune de ces si- tuations ?
Synthèse du chapitre
Objectifs principaux Exos
Connaitre l’origine du phénomène de conduction. La distinguer de la convection.
7,13 Loi de Fourier et interprétation du−grad~ 2,3,5,6
10,11,12 Exprimer une puissance thermique(ou flux) en fonc-
tion de~jth
2,3,5,6 11,12 Retrouver les dimensions dejthet λ
Savoir mener un bilan d’énergie et retrouver l’équa- tion de la chaleur dans un cas unidimensionnel car- tésien
2,3,5,6 10,11,12 Connaître la version 3D de l’équation de la chaleur 3,6,11 Retrouver le lien entre distance et longueur caracté-
ristiques de la diffusion par analyse dimensionnelle 4 Mener un bilan avec terme source 3,10,11
12 Utiliser la loi de Newton fournie de la conducto- convection
3,10,11 12 Calculer le Laplacien d’une grandeur 1,6,11
