HAL Id: jpa-00217112
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00217112
Submitted on 1 Jan 1977
HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of
sci-entific research documents, whether they are
pub-lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d’enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.
TECHNIQUES DE FERMETURE EN TURBULENCE
FLUIDE ET PLASMA
U. Frisch
To cite this version:
JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C3, supplément au no 8, Tome 38, Août 1977, page C3-225
TECHNIQUES DE FERMETURE EN TURBULENCE FLUIDE ET PLASMA
U.
FRISCHC.N.R.S., Observatoire d e Nice
Résumé. - Lorsqu'on cherche à obtenir des équations fermées au niveau des moments d'ordre deux, une des principales difficultés concerne la réalisabilité et les lois de conservation : pour être acceptable une fermeture doit (au moins) conduire à des spectres non négatifs et avoir les mêmes lois de conservation que les équations primitives (Navier-Stokes, Vlasov, ...). Cette difficulté est maintenant surmontée grâce aux travaux de Kraichnan, d'Orszag et d'autres [l-51.
On se heurte ensuite à une difficulté d'un autre ordre : résoudre analytiquement ou numérique- ment les équations fermées ainsi obtenues. Dans le cas de l'équation de Vlasov ces équations sont connues [6] mais pas du tout étudiées ; la principale raison est que dans le cas le plus simple (version Markovianisée des équations de la référence [6]) on travaille avec la fonction de distribution à deux points, deux vitesses et un temps ; les hypothèses d'homogénéité et d'isotropie permettent de se ramener à une fonction de sept variables scalaires (cas tridimensionnel) ; le seul espoir est de se débarrasser des variables de vitesses, ce qui nécessite une hypothèse de fermeture supplémentaire. Laquelle ?
Dans le cas des fluides, par contre, de nombreux résultats ont été obtenus [7-101. Un cas particu- lièrement intéressant, car lié au plasma centre-guide, est celui de la turbulence bidimensionnelle [8,11] qui conduit à une cascade inverse de l'énergie, des petites vers les grandes échelles. Faute d'avoir pris en compte la conservation exacte de l'énergie, la fermeture proposée par Dupree [12] ne reproduit pas cet intéressant phénomène.
Abstract. - When looking for a closed set of equations at the level of second order moments,
one of the main difficuIties is the reaiizability and the conservation laws : to be acceptable, a closure must (at least) lead to non-negative spectra, and show the same conservation laws as the primitive equations (Navier-Stokes, Vlasov,
. .
.). This difficulty is now overcome, due to the work of Kraich- nan, Orszag, and others [l-51.One is then faced with another type of difficulty : to solve analytically or numerically the closed equations thus obtained. In the case of the Vlasov equation, these equations are known [6], but have not been investigated at all. The main reason for this is that in the simplest case (Markovian version of the equations of reference [6]) one works with the two points - two velocities - and one time
-
distribution function. The hornogeneity and isotropy hypotheses allow a reduction to a function of seven scalar variables (three dimensional case). The only hope is to get rid of the velocity variables, which requires a further closure hypothesis, but which one ?However, in the case of a fluid, numerous results have been obtained [7-101. Bidimensional turbu- lence [8, 111 is a particularly interesting case, since it is related to the guiding center plasma ; and leads to an inverse energy cascade, from smaII to large scales. The closure proposed by Dupree [12] d ~ e s not reproduce this interesting phenomenon, since it did not allow for exact energy conservation.
Bibliographie
[Il KRAICHNAN, R. H., J. Fluid Mech. 47 (1971) 513 et 525. [2] ORSZAG, S. A., J. FZuid Mech. 41 (1970) 363.
[3] SULEM, P. L., LESIEUR, M. et FRISCH, U., Ann. Géophys. 31 (1975) 487.
[4] FRISCH, U., LESIEUR, M. et BRISSAUD, A., J. Fluid Mech. 65
(1974) 145.
[5] SULEM, P. L., Méthodes statistiques en turbulence développée,
prépublication, Observatoire de Nice (1976).
[6] ORSZAG, S. A. et KRAICHNAN, R. H., Phys. Fluids 10 (1967) 1720.
[7] BRISSAUD, A. et al., Ann. Géophys. 29 (1973) 539. [8] POUQUET, A. et al., J. Fluid Mech. 72 (1975) 305.
[9] POUQUET, A., FRISCH, U. et LÉORAT, J., Strong MHD helical turbulence and the non-linear dynamo effect, J. Fluid Mech. (1976) à paraître.
[IO] ANDRÉ, J. C. et LESIEUR, M., Evolution of high-Reynolds num- ber helical turbulence, prépublication, Météo. Nat. EERM/GMD (1976).
[Il] KRAICHNAN, R. H., Phys. Fluids 10 (1967) 1417. [12] DUPREE, S. H., @YS. Fluids 17 (1974) 100.