PROPAGATION ACOUSTIQUE SOUS-MARINE EN PRÉSENCE D'UNE HOULE

HAL Id: jpa-00230563

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Submitted on 1 Jan 1990

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PROPAGATION ACOUSTIQUE SOUS-MARINE EN PRÉSENCE D’UNE HOULE

D. Euvrard, O. Mechiche Alami, G. Pot

To cite this version:

D. Euvrard, O. Mechiche Alami, G. Pot. PROPAGATION ACOUSTIQUE SOUS-MARINE EN PRÉSENCE D’UNE HOULE. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C2), pp.C2-1005-C2-1008.

�10.1051/jphyscol:19902235�. �jpa-00230563�

D. EUVRARD, O. MECHICHE ALAMI et G. POT*

Groupe Hydrodynamique Navale, URA D 0853 du CNRS, Associé à

l'Université Paris VI (UPMC), Laboratoire de Mécanique et Energétique, ENSTA, Centre de l'Yvette, Chemin de la Hunlère, F-91120 Palalseau, France

'Groupe de Recherche, EDF/DER, Laboratoire National d'Hydraulique, Chatou, France

Ce travail a é t é e f f e c t u é d a n s l e c a d r e du contrat DRET 88/1009.

Résumé - L ' i n f l u e n c e de l a houle sur l e rayonnement acoustique t r è s basse fréquence d'une s t r u c t u r e sous-marine p r é s e n t e deux a s p e c t s découplés : l a propagation acoustique dans un f l u i d e en mouvement e t l a d i f f r a c t i o n des ondes acoustiques due à l a déformation de l a surface l i b r e par l a houle. Nous étudions ce d e r n i e r a s p e c t , p l u s typique de l ' a c o u s t i q u e sous-marine : nous donnons l a s o l u t i o n a n a l y t i q u e pour l e cas d'une s t r u c t u r e r é d u i t e à une source p o n c t u e l l e , e t nous proposons une méthode numérique de r é s o l u t i o n dans l e cas g é n é r a l .

Abstract - The influence of surface waves upon the very low frequency acoustic radiation of an underwater structure presents two decoupled aspects : acoustic propagation in a moving medium and acoustic diffraction due to the deformation of the free surface by gravity waves. We study the latter which is more typical of underwater sound. We exhibit the analytical solution in the case of a structure reduced to a point source, and we propose a numerical procedure to solve the general case.

I - ETUDE ASYMPTOTIQUE 1.1. Les hypothèses

Nous supposons le fluide parfait et l'écoulement isentropique : la célérité du son est donc donnée par

(1) c2= —-, p pression, p masse volumique,

ce qui correspond à une stabilité neutre (fréquence de Brunt-Vâisâla nulle, cf dp [1]).

Dans le cas de l'eau,nous pouvons prendre la classique loi de TAIT:

(2) c2= cJjj-H , n=7, c0= 1500 m/s, p0= 1000 kg/m3.

Nous supposerons l'écoulement irrotationnel à un certain instant : le théorème de Lagrange nous garantit alors qu'il en sera de même à tout instant.

Nous supposerons constantes l'accélération g de la pesanteur et la pression atmosphérique pa , et nous négligerons la tension superficielle. Nous nous limiterons à un océan infiniment profond.

1.2. Les grandeurs caractéristiques

Nos trois grandeurs caractéristiques sont p0 (masse volumique à la surface libre), \ (longueur d'onde d'une houle de référence) ou Aac(longueur d'onde acoustique de référence), TG (période d'une houle de référence) ou Ta c

(période acoustique de référence).

Le principe de moindre dégénérescence nous montre que le cas le plus intéressant (celui que nous retiendrons) est celui où Aa c= Aç, que nous noterons A, ce qui correspond à des périodes de houle de quelques secondes, et à de très basses fréquences acoustiques (quelques hertz).

La source sonore dont il sera question aux § E et II ci-après sera située à une distance d'ordre A sous la surface libre, et donc dans une région où la houle est négligeable.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:19902235

COLLOQUE DE PHYSIQUE

1.3. Les petits paramètres

Nous introduisons trois petits paramètres adimensionnels.

d

l d = -caractérise la compressibilité du liquide (cf [ 2 ] ) . c:

hj2

O & =

-

^A

.

oii h est la hauteur créte-creux. caractérise l'amplitude de la houle.

. .

Pa c

O & = - , où pac est la pression acoustique de référence. caractérise

PO

CO

l'importance de l'acoustique.

On notera que nous ne chercherons pas A établir un développement complet en puissances de 6. A e t & , mais seulement

A

exhiber les termes nécessaires à l'étude de l'action de la houle sur la propagation acoustique. On observera également que le rapport Tac/T, est de l'ordre de

6.

1.4. Les é uations du roblème

NOUS déve1oppo:s p,p et la vitesse Ü. et portons ces développements dans les lois de conservation de la masse et des quantités de mouvement (adimensionnées). Nous imposons p=pa sur la surface libre. condition que nous ramenons sur le plan moyen z = 0 de la surface libre grgce & un développement de Taylor en z (z coordonnée verticale ascendante).

l A l'ordre &, on retrouve le problème de la houle linéarisée.

l A l'ordre 8 , on retrouve le problème de l'acoustique linéaire en l'absence de houle. Soit pal la pression correspondante : elle vérifie l'équation des ondes homogène pour z < O et une condition de Dirichlet homogène en z=0.

l A l'ordre &&, apparaît la diffraction acoustique par la surface libre déformée et en mouvement. Soit pa, la pression correspondante : elle vérifie l'équation des ondes homogène pour z < O et une condition de Di~tchtet non homogéne en z=0 (jusqu'~ 2'in.fint !).

A l'ordre

&a,

apparaît le problème de la propagation acoustique dans un fluide en mouvement. Soit pag la pression correspondante _: elle vérifie une équation des ondes non homogène pour z < O et une condition de Dirichlet homogène en z = 0.

On observe qu'aux ordres considérés c=co[cf(l) et (2)].

Nous nous restreindrons désormais à l'ordre && propre A l'acoustique en présence d'une surface libre.

II CAS D'UNE SOURCE PONCTUELLE : RESOLüTION ANALYTIQUE

Soit respectivement o, et wac les pulsations de la houle et de la source acoustique, supposées harmoniques. Dans ce paragraphe. la source acoustique est supposée ponctuelle : elle est située sous l'origine du repèr'e cartésien (0,xyz) A la profondeur a.

L'étude a été menée sur un modèle en dimension 2, puis en dimension 3 : nous donnerons seulement ici les résultats en dimension

3.

A l'ordre E on a. selon la méthode des images

-

: 1 eikra i k r a

(3)

Pal =

- -

_{4 ~ r}

c-

_ra

- >

^{1, ra=} \jx2+y2+(z+a)2 ,

Fa=

r-a, K =

^9, -.

ra

CE

II. 2 Une solution du problème

PI ;

⁾ ( j =l ,21

La fonction ci-après vérifie le problème

PL^)

:

Il ne s'agit de rien d'autre que d'une distribution de doublets normaux de Helmholtz sur le plan z=0.

On peut d'ailleurs formellement retrouver

(6)

en appliquant _à (5) la transformation de Fourier en x,y(cf [3]).

Toutefois. la solution générale de Pa;) est la somme de

(6)

et de toute solution du problème homogène associé : or il y en a. Et nous ne savons pas écrire, à l'ordre && l'équivalent d'une condition de rayonnement.

D'oïl l'idée d'étudier le problème selon l'approche de

"L'amplitude-limite" déjà mise en oeuvre en hydrodynamique navale par P.D.

SCLAVOUNOS [4].

IC.3

La solution du problème ( ) (j=1.2)

La houle étant périodiq?e établie, on suppose que la source acoustique harmonique démarre à l'instant initial. pal et p:;) vérifient alors des problèmes d'évolution gouvernés par l'équation des ondes, et bien posés (cf 151, p. 1028)

.

Ces problèmes sont traités, et résolus, à l'aide de la transformation de Fourier en x,y et de la transformation de Laplace en temps. Les résultats obtenus s'interprètent d'ailleurs comme des distributions de doublets normaux de l'équation des ondes sur le plan z=0.

Lorsque le temps tend vers l'infini. on retrouve les solutions

(3)

et

(6)

lesqueiles, notamment les solutions

(6).

se trouvent justifiées.

iü

-

^{CAS GENERAL} D'UN CORPS RAYONNANT : RESOLUTION NüMERIQUE

On suppose qu'un corps solide de surface .

. Y

extérieure

r.

complètement immergé-vibre à la pulsation O,, avec une distribution d'amplitude connue.et l'on se propose de calculer pa1 et )

.

COLLOQUE DE PHYSIQUE

m.1. Calcul de pal

pal vérifie une équation de Helmholtz dans le domaine

fi

limité par

r

et par la surface libre moyenne z=0. ainsi qu'une condition de Dirichlet homogène en z=0, une condition de rayonnement à l'infini, et une condition de Neumann non homogène sur T.

On peut représenter pal dans

6

par une distribution de sources et de doublets normaux de Helmholtz (antisymétrisés selon la méthode des images) sur

-

1 .

Soit I une surface arbitraire entourant

T.

Selon la méthode de A. JAMI et

M.

LENOIR (cf [6]), on peut poser, dans le domaine borné R compris entre

r

^et

Z, un problème aux limites variationnel, utilisant la représentation intégra3e précédente.et rigoureusement équivatent au problème posé en domaine non borné 0.

Ce problème peut être approché et résolu par éléments finis.

m.2. Calcul de pi:)

vérifie une équation de Helmholtz dans

6.

une condition de Neumann homogène sur

r

et la condition de Dirichlet Q, (résultant du calcul numérique de pal).

Selon un processus analogue à celui déjà mis en oeuvre avec succès par M. LENOIR et M. VEWiIERE en hydrodynamique navale (cf [7]), nous proposons de scinder pl? ) en deux termes

Ji1

et <pj

.

(i) I&~ est cherché dans tout le demi-espace z < O, sans considération de la présence du corps ; il vérifie la condition de Dirichlet non homogène en z=0. Sa solution est du type (6). la convo&ution étant effectuée par Fm.

(ii) qj est alors cherché dans R. avec une condition de Dirichlet homogène en z=0. la condition de Neumann

et

...

une condition de rayonnement à l'infini.

La justification de ce dernier point reste un problème ouvert.

Par contre, la mise en oeuvre numérique des étapes (i) et (ii), utilisant des techniques et des codes déjà développés au Groupe Hydrodynamique Navale de 1'ENSTA. devrait pouvoir &tre réalisée dans un avenir proche.

BIBLIOGRAPHIE

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