Sur l'expression analytique de la température absolue et de la fonction de Carnot

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Submitted on 1 Jan 1884

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de la fonction de Carnot

G. Lippmann

To cite this version:

G. Lippmann. Sur l’expression analytique de la température absolue et de la fonction de Carnot. J.

Phys. Theor. Appl., 1884, 3 (1), pp.277-283. �10.1051/jphystap:018840030027700�. �jpa-00238241�

SUR L’EXPRESSION ANALYTIQUE DE LA TEMPÉRATURE ^ABSOLUE

ET DE LA FONCTION DE CARNOT;

PAR M. G. LIPPMANN.

Nous _avons, dans ^un travail

précédent (1), indiqué

^{une défini-}

tion

physique

^des

températures

^absolues; nous nous proposons,

aujourd’hui,

de traduire cette définition en forintiles

analytiques.

Mais,

auparavant,

rappelons

^cette définition

physique

^{des tem-}

pératures

^{absolues. Nous avons dit que}

chaque

intervalle de tent-

pérature

^était

représenté

^{dans le}

système

absolu par le rapport ^de deux

nombres,

^non par leur différence. C’est ainsi

qu’en

^acous-

tique chaque

Intervalle musical est mesuré par ^un rapport. ^Les deux termes de ce rapport ^{sont des}

quantités

^de

^chaleur,

^{à savoir}

les

quantités

de chaleur mises

en jeu

par ^une machine

thermique

réversible

qui

fonctionne entre les

températures

^{dont on veut}

avoir l’in tervalle.

Supposons,

pour fixer les

idées, qu’une

^ma-

chine

thermique,

fonctionnant entre deux

températures particu- lières,

prenne ^à la

chalidière q

^{calories et restitue an}

réfrigérant q’ ^calories,

^et que l’on ^{se trouve} avoir

Dans ce cas, l’intervalle de

température

^dans

lequel

^{la machine}

a fonctionné a pour ^{mesure le}

rapport 5 Quelle

que soit la nature

de la machine

thermique

réversible

employée

^{ou le choix de la}

substance _que

l’on y

^fait

travailler,

^ce rapport ^devient

invariable ;

dans ce même intervalie de

température,

^toutes les machines

thermiques

réversibles

présenteront

^le

rapport égal à 4 5.

^C’est

pour ^{cette raison} que ^l’on peut dire que le

rapports

^{fournit une}

mesure absolue de l’intervalle de

température considéré,

^absolue

en ce sens

qu’elle

n’est pas ^{relative à une} substance thermomé-

trique particulière.

Si ]’on considère de la même manière une série d’autres inter- valles de

température,

^ils pourront être mesurés par ^{une série de}

(1) Voir Journal de Physique) ^t. III, ^3e série, p. 53.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:018840030027700

nombres

analogues

^{aux nombres 4 et 5 dont} nous venons de par-

ler ;

l’ensemble de ces nombres forme l’échelle des

températures

absolues. Leurs rapports ^{entre eux sont seuls}

déterminés ;

^leurs

valeurs sont d’ailleurs arbitraires. Ce sont des nombres propor-

tionnels,

comme ceux

qui

marquent ^{les notes de la} gamme, ^ou

encore comme les

équivalents chimiques.

^En d’autres termes, ^il

est indifférent de les

multiplier

^tous par ^{un même} facteur numé-

rique.

^{Dans la formule où l’on}

emploie

^les

températures absolues,

il n’entre d’ailleurs

jamais

que le rapport ^{de ces}

températures.

Si l’on

désigne,

d’une manière

générale,

par

T, T/,

^{T’/ les nombres}

proportionnels

que ^nous prenons pour ^mesures des

températures,

on a, par

définition,

Or,

^{en ne} considérant que deux d’entre ^eux,

cette

équation

^{est donc la} traduction de notre définition. Il nous reste à la transformer de manière à en tirer

l’expression

^{de T. ,}

Nous nous proposons

d’exprimer

^{T en} fonction des indica- tions x d’un thermomètre

quelconque

^à

graduation

arbitraire.

Nous supposerons que l’on ait

étudié,

^au moyen de ^ce thermo- mètre

arbitraire,

^les

propriétés thermiques

d’un corps

quelconque,

c’est-à-dire que l’on connaisse les valeurs de ^la chaleur

spéci- fique

^{P de ce} corps dans ^un certain

intervalle ;

^soit ,y ^une variable

qui,

^{avec x, détermine à}

chaque

instant l’état du corps

considéré;

y ^est la

pression,

^le

^volume,

^{etc., de ce} corps ; ^nous supposerons que l’on connaisse les valeurs du coefficient différentiel

L9;

^ce

dy coefficient différentiel mesure la

quantité

^{de chaleur}

dégagée quand

^on fait varier le

volume,

^la

pression,

etc., d’une

quantité égale

^{à l’unité. En} d’autres termes, si l’on pose ,

(2) dg = P dx dy,

nous supposerons que les coefficients ^{P et}

Q

^{soient connus dans}

un certain intervalle en fonction de x et

de y.

Cela

posé,

^on peut ^écrire

l’équation (i)

^{sous la forme}

ainsi _{que l’a} montré M.

Clausius ;

^il

suffit,

^{à cet}

eiet,

^de suppo-

ser que le corps considéré parcourt ^un

cycle

réversible

fermé,

de

décomposer

convenablement ce

cycle

^{en une} infinité de

cycles

élémentaires et

d’appliquer

^à chacun d’eux

l’équation (i).

^{Il ré-}

sulte de

l’équation (2)

que

l’intégrale f dq t représente

^{une fonc-}

tion de x

et de y,

^et que

l’ex p ression 7

^{est une} différentielle

exacte.

D’après l’équation (2),

^{on a}

il faut donc que le second membre de

l’équation (4)

^{soit une}

différentielle ^{exacte ou} _que la condition

d’intégrabilité

soit satisfaite. En

développant

^cette

équation,

^{il vient}

C’est ici que l’on peut, ^{faire une} remarque

qui

permet ^{de ré-} soudre

l’équation précédente

^par rapport ^à

T;

^{T est une fonction}

de la

température

seule : c’est une fonction de x et non de _y.

Donc

dt dy

^{= o}

identiquement;

^par

^suite, l’équation

^{se réduit et on}

peut ^l’écrire

Le

premier

^{membre de}

l’équation (6)

^{est une} fonction de x

seul;

^{il en est donc de même du second} membre. Le

premier

membre est la dérivée

logarithmidue

^{de T} par rapport ^{à x. On a}

donc,

^en

intégrant

^{et en}

désignant

par ^e la base des

logarithmes népériens

rr 0

^{est une constante} arbitraire introduite par

l’intégration,

^{c’est la}

valeur de T

qui correspond

^{à xo. Si x et xo sont} deux indications du thermomètre à

graduation arbitraire, l’équation (7)

^{donne sans}

ambiguïté

^{la valeur}

T

de l’intervalle xo - x ^en valeur absolue.

La vari able x est [’indication d’un thermomètre arbitrairement

choisi,

^et arbitrairement

bradoé.

^Néanmoins

l’équation (7)

^fournit

la valeur de la

température absolue,

^valeur

qui

^ne

dépend

pas des conditions arbitraires dont nous venons de

parler.

^{Cela résulte de}

la

signification physique

^de

T,

^{et même}

simplement

^{de la forme}

du second

Jnen1bre, qui

^{est une}

intégrale.

Pour montrer

qu’il

^{en est}

ainsi,

posons ^{x =}

~(~’), 03A8

^{étant une}

fonction continue absolument

quelconque,

^et introdlilsoils X’ à la

place

^{de x dans}

l’équation (7);

^{nous allons montrer} que

la fonction

y s’élimine d’elle-même. On ^{a en} eflét dx -

03A8’ dx’ ;

^{on a en outre}

et, ^{comme P et P’ sont} définis par la condition que l’on ^ait

pour ^dx

= y’ dx’,

il s’ensuit que

P =p’i ,.

^{On a} donc identi- quement

La

fonction y qui

^{détermine la loi} arbitraire de la

graduation

du thermomètre

disparaît

donc d’elle-même dans

l’expression

de rh.

2.

L’expression

^{de T fournie} par

l’équation (7)

^est

générale :

elle permet ^de construire l’échelle des

telnpératures

^{absolues à l’aide}

des indications d’un thermomètre

quelconque. Lorsqu’onl’applique

à des cas

particuliers,

^{elle se}

simphue fréquemment.

Comme

premier exemple d’applicat,ion,

supposons que l’on

possède

^un thermomètre ^a acide sulfureux

liquide,

^{comlne celui}

de M. Pictet. Dans ce thermomètre la

température

^est arbitraire-

ment mcsuré’e par la tension

maximal

que

possède

l’acide sulfureux

à cette

température.

^_

D’autre part, ^{si l’on}

désigne

par y le volume de l’unité de

poids

d’un corps

quelconque,

^{on a P = c,} la chaleur

spécifique

^{du corps}

et Q =

^{1 sa} chaleur latente de dilatat-ion. Le numérateur sous le

signe f

^dans

l’équation (7)

^{est donc}

égal

^{à dl -}

de

C

binôme,

signe ^dans equation (7) ^{est donc} égal ^a _{dix ôv} ^Ce binòme, d’autre part, ^est

égal

^à

I E, dX’

^en vertu du

principe

^de

etllllva ence,

E étant

l’équivalen

^t

mécanique

de la calorie.

L’équation (8)

^{devien t}

donc,

^{avec ce choix de}

variables,

Si l’on

pose i

^{= u, u est} l’accroissement de volume

qui

^ab-

sorbe ^une

calorie;

^cette

quantité

^{est facile à} connaître, dès que l’on connaît la chaleur latente de

vaporisation

de l’acide sulfureux.

On voit donc comment on peut transformer l’indication arbi- traire p du thermomètre ^à acide sulfureux en mesure absolue. Il suffit de portera ^en

abscisses,

^{ic en} ordonnées : l’aire de la courbe ainsi construite mesure la

température

^absolue.

Comme deuxième

exemple d’application

^{de la formule}

(7),

^on

peut

prendre

^{le cas des gaz}

parfaits.

En substituant à P et

Q

^leurs

valeurs

qui,

^{dans ce cas,}

s’expriment analytiquement,

^{on trouve}

formules bien connues

depuis

^{M. Clausius.}

3. On ne doit pas définir la

température

absolue par la dilata- tion _{d’un gaz}

parfait.

^{Les gaz}

parfaits

^{sont des} corps

fictifs; mais, quand

^{bien même} certains gaz

pourraient

^être considérés comme

parfaits,

^{ce ne seraient encore} que des substances

particulières

arbitrairement

choisies,

tandis que le

privilège

^{essentiel des tem-}

pératures

^{dites absolue, celui}

auquel

elles doivent leur _nom, c’est de n’être pas relatives ^au choix d’une substance thermomé-

trique particulière.

On ne doit pas ^non

plus

définir la

température

^{absolue comme}

l’inverse de la fonction de Carnot.

En effet,

qu’est-ce

que ^la fonction de Carnot? Une machine

thermique

réversible fonctionne _entre deux

températures

^infini-

ment voisines t et

t’;

^elle

prend

^{et restitue des}

quantités

^{de cha-}

leur

égales à q et q’, et produit

par suite ^un travail

égal à E (q - q’).

Le rendement en travail par calorie

dépensée

^{est donc}

égal

^à

E (q - q’

_q ^dans l’intervalle t - t’ ; ^{et ce}

rendement, rapporté

^à

un intervalle

égal

^{à l’unité est}

égal

^à

E (q - q’) _{t t’,}

^ou

_plutôt

à la limite de ce

quotient,

c’est-à-dire à

Telle est

l’expression

^{de la fonction} de Carnot. Cette fonction

a une valeur

indépendante

^{de la nature de la machine ou du} corps

qui

^{a servi à la}

déterminer ;

^{c’est une}

conséquence

^du

principe

^de

Carnot.

On a continué d’en faire la remarque, ^{et avec}

raison;

^{mais on}

n’a pas le droit

d’ajouter

que ^la fonction de Carnot ne

dépend

que de la

température.

Cette fonction

dépend

^en effet de l’échelle de

température employée pour

la déterminer. Le numérateur

dq dq

^{devient t}

dq d0 ^quand

^on passe de l’échelle t ^à l’échelle 0.

Ce passage

implique

^donc

l’emploi

du coefficient

dt d0, ^lequel

^est

quelconque.

Ainsi,

pour fixer les

idées,

la fonction de

Carnot,

^déterminée

à l’aide du thermomètre à mercure, ^{a une} même valeur pour ^tous les corps ^à la

température

^{de la}

glace fondante;

déterminée à l’aide du thermomètre à air à la

température

^{de la}

glace fondante,

^{elle a}

une nouvelle

valeur,

^{la méme encore} pour ^tous les corps, mais différente de la

précédente.

Cela tient à ce que dans ^le

premier

cas elle

exprime

^le ren demen t d’une machine

thermi que

^dans

l’intervalle o°-1 ° C. du thermomètre à mercure ; dans le second cas, il

s’agit

^de l’intervalle o’ -1° C. du thermomètre à

air;

^{or ces}

deux intervalles de même nom sont

inégaux.

^{En résumé, la fonc-}

tion de Carnot n’a de valeur déterminée que si ^l’on

spécifie

^à

quelle

échelle elle se rapporte.

Fréquemment,

pour ^ne pas dire

toujours,

^{la fonction de Carnot}

est

implicitement rapportée

^à l’échelle absolue. Dans ce cas, la

température

^{ou T est}

proportionnelle

^à q, ^{comme nous} l’avons montré, par ^suite

dq dt

_{est une} constante, ^{et la} fonction de Carnot

se réduit

à I q ,

_par

conséquent à T .

^{Il est bien vrai}

qu’alors

^{elle est}

l’inverse de la

température

absolue T. Mais alors on ne saurait s’en servir pour définir T; ^{car c’est faire une sorte} de cercle vi- cieux que de définir ^la fonction de Carnot en fonction de la tem-

pérature ^absolue,

^et de définir la

température

^{absolue comme l’in-}

verse de la fonction de Carnot.

SUR L’ÉQUIVALENT ÉLECTROCHIMIQUE DE L’ARGENT;

PAR M. MASCART.

Dans un Mémoire

précédent (Journal

^de

Phisique,2e ^série,

t.

I,

p.

i og), j’ai publié

^{le résultat}

d’expériences

^{faites avec un}

électrodynamonlètre-balance

pour déterminer le

poids d’argent déposé

^{ou dissous}

pendant

^{une seconde} par l’unité de courant.

Le calcul

approchée

^{a donné}

(p. 1 16)

En évaluant les termes de

correction, j’avais

conclu que ^ce

poids

devait être

multiplié

par

1 ,oo96,

c’est-à-dire

porté

^{à 1} Img, 24.

M. F. Kohlrausch avait obtenu un nombre

plus

^élevé,

^{II , 36,}

^et

lord

Rayleigh (1 )

^{un nombre}

moindre,

I I , 19.

Depuis

^cette

époque,

MM. F. et W. Kohlrausch

(2),

par de nouvelles

expériences,

^ont

trouvé

11,183

^{et lord}

Rayleigh (3)

^{a donné lui-même la valeur}

très voisine i i , i 8. ^En

présence

^{de cet accord entre des}

expérimen-

tateurs

habiles, j’ai

^cru nécessaire de vérifier d’abord si les cor-

rections que

j’avais

^{faites sont exactes;}

je

^dois reconnaitre que

je

m’étais

trompé.

^{Le facteur}

o,gg8 t 6 ( p. I I 8)

^{doit être manifeste-}

(1) Cambridge Proceedings, 26 novembre 1883.

(2) Sitzungsberichte ^der Ijh)/s.-med. Gesellscliaft ^zu Würzburg, 1884.

(3) y ^mars 1881.