Note sur un article de Sharif et Woodcock

(1)

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

J

EAN

-P

AUL

A

LLOUCHE

Note sur un article de Sharif et Woodcock

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

1, n

o

_{1 (1989),}

p. 163-187

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1989__1_1_163_0>

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(2)

Note

sur un

article de Sharif

et

Woodcock

par JEAN-PAUL ALLOUCHE

Résumé2014H. Sharif et C. Woodcock donnent dans

_[26]

une caractérisation des séries formelles à coefficients dans un _corpsK de _{caractéristique}non

nulle et _algébriquessur _{K(X) ;}ils en déduisent _{simplement l’algébricité} du _produitde Hadamard ou des _diagonalesde séries _{algébriques.}

(Ces

résultats ont aussi été obtenus _parT. Harase

_[14]).

Nous donnons ici une

démonstration _légèrementdifférente de leur théorème et montrons

com-ment on _peuten déduire une _{généralisation}intéressante de la notion de

pk-substitution sur un _alphabetinfini _(inclusdans un _corpsde caractéristique

p). Dans la dernière _partiede cet article nous revenons sur _{l’indépendance}

algébrique de certaines séries formelles étudiées dans

_[2].

Abstract 2014 H. Sharif and C. Woodcock _givein _[26]a characterization of

formal _powerseries with coefficients in a field K of _positive_{characteristic,} which are _algebraicover _K(X)._Theydeduce in a _simple_wayfrom this

theorem the _algebraicityof Hadamard _productsand _diagonalsof _algebraic

power series. (These results have been also obtained by T. Harase

_[14]).

We _givehere a _slightlydifferent proof of their theorem and we show how it can lead to an _{interesting generalization}of the notion of

_{pk-substitution}

on an infinite _alphabet_(includedin a field of characteristic _p).In the last

part of this paper we come back to the _{algebraic independence}of certain formal power series which have been previously studied in

_[2].

1 - Introduction

Comment reconnaître si une série formelle est

_{algébrique ?}

Plus

préci-sément,

étant donné un

corps K

(commutatif),

une série formelle en les

variables

_{Xl, - - - ,}

_X,.

_{(c’est-à-dire}

un élément de

K( (Xl, ... ,

X,.)))

est dite

algébrique

si elle est

_algébrique

sur le _corpsde fractions rationnelles

¡(Xl,... Xr).

Par

_{exemple :}

fi

n’est _pasune série formelle

_algébrique

_(il

n’existe _pasde série

for-melle F

_qui

vérifie

F2

=

X),

(3)

+00

1.

E

Xq est

_algébrique

si _qest une

_puissance

de la

caractéristique

du n=0

corps

I~,

et transcendante dans le cas contraire

(voir [29]).

La

_question

à

_laquelle

nous nous intéressons ici est de reconnaître si une

série formelle est

_algébrique

et de déterminer

_{quelles opérations}

conservent

l’algébricité.

En 1967

_Furstenberg

_propose

_([13])

_d’appeler

un ensemble d’entiers A

algébrique

sur le

corps

si la série formelle

E

X~ est

algébrique

sur

nEA

K(X),

et il se demande si _par

exemple

l’intersection de deux ensembles

algébriques

est

_algébrique.

Comme la série formelle associée à l’intersection de A et de B n’est autre _quele

_produit

de Hadamard des séries

_E

X n

nEA

(rappelons

que le

produit

de Hadamard des séries

+ o0

E

bnX n

est le

_produit

"naïf ’

_{E anbnX n ),}

_apparaît

aussitôt une

question

n=O n=O

(apparemment)

plus

générale :

le

_produit

de Hadamard de deux séries

algébriques

est-il

_{algébrique ?}

Un autre

_problème

abordé _par

_Furstenberg

dans cet article concerne les

diagonales

des séries formelles : si la série

formelle

est rationnelle

_{(c’est-à-dire}

_appartient

au _corps

K(Xl ~ ~ ~ Xr)),

_peut-on

affimer _quela série

_"diagonale"

_n)X"

est

_algébrique

_(sur

le

n

corps

K(X)) ?

Furstenberg répond

à cette

_question

dans le cas d’un _corps

de

_{caractéristique}

non nulle et il formule et démontre une

réciproque

dans

le cas d’un _corpsfini.

Cette

_question

_peut

être étendue dans un sens : la

diagonale

d’une série

formelle

_algébrique

est-elle

_{algébrique ?}

Cette

_question,

comme on le verra

plus loin,

est très liée à

_{l’algébricité}

du

_produit

de Hadamard : des

_réponses

sont données dans les articles de Fliess

_([10]),

de

_Deligne

_([8]),

de Denef et

Lipshitz

([9]),

de Salon

_([23]),

de Sharif et Woodcock

_([26])

et de Harase

([14]) ;

pour toutes les

questions

de

diagonales

il ne faut _{pas manquer}de

consulter les travaux de

_Christol,

en

particulier

[6].

Nous vous _proposonsici d’abord

_d’indiquer

"l’état de l’art" sur ces

ques-tions,

ensuite de montrer

_qu’une

lecture "entre les

_lignes"

des articles de

Sharif et Woodcock

_([26)]

et de Harase

_([14])

_permet

de

_{généraliser}

la notion de suite

_engendrée

_parsubstitution de

_longueur

constante au cas d’une suite

(4)

à

_plusieurs

indices et à valeurs dans un _corpsde

caractéristique

non nulle

(le

corps n’étant pas nécessairement

fini ),

de sorte que l’on ait le théorème :

Une suite

_{a(n1, ~ ~ ~ , nr)}

à valeurs dans un _corpsK de

_{caractéristique}

_{p =1=}

0

est

_engendrée

_{p ar}une

p-substitution

si e t seulement si la série formelle

En~,---,n,.

a(n1,

... , ... est

algébrique

sur

_{K(Xl, - - - , X r).}

Ce théorème est démontré dans le cas d’un _corpsfini _par

Christol, Kamae,

Mendès France et

_Rauzy

_([7])

pour les suites à un

indice,

et _parSalon

_([23])

pour les suites à

plusieurs

indices. On pourra aussi se

_reporter

aux articles

de Christol

_[4]

et

_[5],

de Denef et

_Lipshitz

_[9],

et au récent survol de

Lipshitz

et van der Poorten

[18].

Dans la dernière

_partie

nous reviendrons sur le

_problème

de

l’indépen-dance

_algébrique

des séries formelles

_{(1 +}

_X)A

où À est un entier

_p-adique,

qui

a été abordé dans

[2]

(voir

aussi

[19]).

2 - Deux résultats

_{préliminaires}

Le

_premier

résultat _quenous donnons ici est

_{l’équivalence}

de deux ques-tions

_{posées plus}

haut :

PROPOSITION 1. Soit h’ un _corps

(Commutatif).

Les deux

_propriétés

sui-van tes sont

_{équivalentes :}

a)

le

_produit

de Hadamard de tout

_couple

de séries formelles

_(à

un nombre

fini de

_variables

_algébriques

est lui-même

_algébrique.

b)

toute

_diagonale

d’une série formelle

_(à

un nombre fini de

_variables)

algébrique

est

_algébrique.

D É M O N STRATIO N :

La démonstration de

_{l’implication}

b ~ a est

_inspirée

d’une démonstration donnée par

Furstenberg, l’implication

a ~ b est don-née _parSharif et Woodcock dans

_[26],

_{l’équivalence}

est

_évoquée

dans le

papier

de

_Lipshitz

et Van der Poorten

_[18].

Montrons d’abord _quea ~ b :

soit

_E

_{a(ni , ... ,}

une série formelle

algébrique,

et

_montrons,

quitte

à renuméroter les

_variables,

_quela série

est

_algébrique

sur le _corps

Xr).

D’après

l’

hypothèse,

le

produit

de Hadamard de la série initiale et de la série rationnelle

_(donc

(5)

est

_algébrique.

Mais ce

produit

vaut :

et le fait

_qu’il

soit

_algébrique

sur

signifie

que

Xr)

est

_algébrique

sur

K(X,X2,... XT) (les

variables

_{X1 ~ ~ ~}

_{Xk, X2, ~ ~ ~ ,}

_X,

sont

_{algébriquement}

_{indépendantes}

sur

le).

Notons alors

(d’où

Lk

=

~(X,~2?~39’" Xk»

_et

regardons

les

degrés

de

(6)

Mais

_{X j}

est transcendant sur si une

expression

polynomiale

d

L

et

X j,

à coefficients dans

Lj-,(G),

est

nulle,

comme c’est une série t=o ji

formelle

en les variables

_X,X2,...

c’est _que

_Xj

"n’y

apparaît

pas",

autrement dit _queet = 0

_{pour t >}

1.

Ainsi d.

= 1

quel

que soit

j,

et comme on a

_dj

₊

_{d~ -}

_dj+l

₊

_1,

on en déduit _que

d1 - d2 = ... = dk.

Mais

_dk

est nul car G est

_algébrique

sur

Lk,

donc

dl - 0,

autrement dit G est

_algébrique

sur L =

Xr ).

(7)

for-melles

_algébriques

Soient

_{Yi, " ’}

_Y,.

d’autres variables

_{(c’est-à-dire}

que l’on suppose que

Xl, ~ - ~ , Xr, Yl, ~ ~ ~ ,

sont

_{algébriquement}

_{indépendantes}

sur

K).

La série

étant

_algébrique

sur

I~(Yl, ~ ~ ~ , Yr),

on voit _quela série

est

_algébrique

sur

h’(Xl, - - - ,

X,., Yl, - - - ,

Y,.),

puisque

c’est le

produit

de

deux séries

_algébriques

sur ce _corps. En

_prenant

plusieurs

fois des

"dia-gonales partielles"

de cette dernière

_série,

on obtient _quela série formelle

a(ni,

nr )b( nI, ... ,

c’est-à-dire

_{précisément}

le

pro-duit de Hadamard des deux séries

_initiales,

est

_algébrique

sur le _corps

](XI, ... , Xr).

Remarque :

Comme nous l’a

_indiqué

le referee toute

_diagonale

s’obtient

par une succession de

diagonalisations

_portant

sur deux

_termes,

il suffit

donc de démontrer

_{l’implication}

a ~ b dans ce

cas-là,

le seul

_avantage

de

la rédaction ci-dessus est de donner directement toute

_diagonale

comme un

(seul)

produit

de Hadamard.

Le second résultat _quenous donnons ici

_permet

de jouer

avec des _surcorps

L du corps

.K,

il est donné dans

_{[26], (mais}

aussi dans

_[14]

avec

l’hypothèse

-inutile- de

_{l’algébricité}

de L sur

K) :

PROPOSITION 2. Soient h’ et L deux _corpscommutatifs avec 1( C L. Soit

F(Xl, - - - , Xr)

une série formelle dans

_{j~((~i, ’ - ’ XT)). F}

est

_algébrique

sur

_{L(Xl, - - - ,}

_{Xr) si}

et seulement si elle est

_algébrique

sur

_{.K(Xl, - - - ,}

Nous modifions

_légèrement

la démonstration donnée dans

_{[26] :}

il est clair _que

_{l’algébricité}

de F sur

Xr)

implique

l’algébricité

de F sur L(Xl, - - - , X,.).

Supposons

à rebours _queF est

_algébrique

sur

L(Xi, ... , Xr),

il existe

donc des

_polynômes

_Xr)

_L,

non tous

_nuls,

(8)

Notons

_n,)Xlnl

... où les

bj

sont dans L et la somme finie. Il existe un

(n

+

_1)-uple

_(~,~1,’"

tel _{que y}=

bk ( ml , ~ ~ ~ ,

soit non nul. On construit alors une base B

de L sur K de la

façon

suivante :

si y

est dans

K,

on

complète y

en une

K-base xi de

L ;

n’est _pasdans

_K,

on

_complète

en une K-base

13 de L. On

_peut

alors définir une

_application

K-linéaire _c~de L dans K en

imposant

comme valeurs sur B :

La définition de _cpmontre que est l’ identité sur K

_(ce

_qui

n’est _pas nécessairement le cas dans la démonstration donnée dans

[26]).

On

prolonge

alors _cpà

_L[X],

_puis

à

_L((X))

_par

_cp(X")

=

X’,

_etla relation

(*)

implique :

Les

_polynômes

_{(cpa~)(Xl, ~ ~ ~}

_{X r)}

sont à coefficients dans

_K,

et ne sont pas tous nuls

(par

choix de cp on a

(pak) f 0),

donc F est

algébrique

sur

K(Xl, ... ~ Xr).

3 - Le théorème fondamental en

caractéristique

non nulle.

Nous allons donner un théorème de caractérisation des séries formelles

algébriques

dans le cas où le _corpsde base est de

_{caractéristique}

non nulle.

Ce théorème se trouve en

_majeure

_partie

_{(l’équivalence}

entre a et b ou

b’)

dans l’article de Sharifet Woodcock

_[26],

ainsi _quedans celui d’Harase

_[14]

dans le cas où le _corpsde base est

_{parfait ;}

on _pourraaussi consulter l’article.

de Christol

_[5]

_qui

étend les résultats au cas où le _corpsde base est non

archimédien

_{d’inégales caractéristiques,}

et celui de Denef et

_Lipshitz

_[9].

La

perfection

du _corpsde base étant sans

_{importance d’après}

la

_{proposition 2,}

nous avons

préféré

formuler le théorème dans le cas d’un _corps

_quelconque,

plutôt

que

d’indiquer

pour

chaque application,

comme dans

[26]

et

_[14],

comment

_supprimer

la condition de

_perfection

_(par

_exemple

ici les _espaces vectoriels utilisés ne sont _passur le _corpsde base mais sur un _surcorps

parfait

de ce

corps).

La _{preuve que}nous donnons est

_{élémentaire,}

elle est

très

_inspirée

de

_[26]

et

_{[14] (voir}

aussi

_{[4], [7],}

et

_[23]

_pour

_{l’inspiration}

à

partir

du cas d’un _corps

_fini).

On _pourraaussi consulter

_[8]

_qui

n’est _pas

élémentaire. Nous

_{indiquerons plus}

loin comment la nouvelle condition

_(c)

(9)

THÉORÈME

FONDAMENTAL. Soit K un _corpscommutatif de

caractéris-tique

non nulle _p,et soit K un _corps

parfait qui

contient K

(par

exemple

? ou k = une clôture

àlgébrique

ou radicielle de

l().

Soit

(a(n1, ..., nr))

une suite à valeurs dans

_K,

soit enfin s > 1 un entier. Les

quatre

propriétés

suivantes sont

_{équivalentes :}

a)

la série formelle

_¿ni

_>0

_{a(n1, ~ ~ ~ ,}

,est

_algébrique

sur le

corps

I~(X1, ... ~ Xr) ~

-b) il

existe un

K-espace

vectoriel YV de

suites,

de dimension finie sur

.K,

qui

contient la suite a et stable _parles

_applications

°

q_ 1~

b’)

L’espace

vectoriel

_engendré

sur

K

_parl’ensemble de suites

est de dimension finie sur

~1’,

c) il

existe un entier c >

_1,

une famille de matrices carrées à c

lignes

et

c colonnes 0

ji, ’ " jr _

_{q -}

1},

et une suite

_{(U(n1, - - -}

à valeurs dans K c tels que

i)

si c,p est la

_première

_{projection canonique}

de sur

_l(,

on a _{= a,}

où

Ullq

est le vecteur dont les

_composantes

dans la base

_canonique

sont

les racines

_qèmes

de celles de U.

R em arq u es :

. L’entier s du théorème

(q

=

ps , s >

1)

est

quelconque,

ce

qui implique

en

particulier

_quesi une suite vérifie ces

propriétés

_pour_{un s,}elle les vérifie

quel

que soit s entier strictement

_positif.

. Les

propriétés

b et b’ sont clairement

équivalentes.

. La condition c est liée à la reconnaissabilité d’une certaine série en

plusieurs

variables non comutatives

_(voir

l’article de

_{Schützenberger}

_[25]).

(10)

Notons

_{l’opérateur}

défini sur

K ~~X 1, ~ ~ ~ , X r~~

_par

Pour deux séries formelles

_quelconques

A et

_B,

et

_{pour A}

dans K on a :

Remarquons

que

_Ejl,...,jr

est bien défini car le

_corps

est

_parfait,

donc

l’application

a -

_cxq,

itérée de

l’application

de Frobenius est

_{surjective ;}

la

première

et la deuxième

_propriété

de

_{l’opérateur}

E sont

_immédiates,

si l’on n’oublie _pas

_(pour

la

_première)

_que

_{l’application}

de

_Frobenius,

et donc ses

itérées,

sont des

_{homomorphismes}

de _corps.

La dernière de ces relations se montre en choisissant successivement A =

puis

A =

Xl,

puis

A

_égal

à un monôme en

X1, - - - , Xr,

puis

à un

polynôme,

puis

à une série formelle.

- Montrons alors

que a

implique

b :

Comme la série

est

_algébrique

_{Xr ),}

donc sur

. (X1,

X. ),

il existe

_{des aj}

dans

_{.k (X1, ~ ~ ~ , Xr],}

non tous

_nuls,

tels _que

Si cette relation est choisie de

_longueur

_minimale,

alors on a

_0,

en

(11)

alors

_quels

_quesoient

_{kl, ~ ~ ~ ,}

_k,.

dans

_{~0, q - 1] :}

c’est-à-dire

Comme est non

nul,

c’est

donc _quel’un des

_{(ae )}

est non

_nul,

et donc _que

_{( * *)}

est une relation

plus

courte que la relation initiale.

Posons alors la relation initiale s’écrit :

Soit alors V l’ensemble de séries formelles défini _{par :}

où

_d’bj

_représente

le

_degré

maximal de et où

V est un

_k-espace

vectoriel de dimension

_finie,

_qui

contient F =

aoG

_et

(12)

pour H dans V :

et ce dernier élément est bien

_{dans V,}

car

Il suffit alors

_d’appeler

W l’ensemble de suites défini _{par :}

et de se convaincre _queW vérifie les conditions énoncées dans la

propriété

b : W contient la suite a car V contient la série

_F,

W est de dimension finie sur K

_{comme V,}

et W est stable _parles

_applications

_{b(mi , ... , mr )}

-+

ji, - - - ,

+

_jr)

car V est stable _parles

- Montrons

que b

implique

a :

Soit

_Vi

_l’espace

vectoriel

_engendré

sur

,Xr)

_parles séries

~ u(m1, - - - ,

où les u décrivent W. Il est clair _que

_Vi

~(X1, - - - ,

(toute

k-base de West un

I~(X1, - - - , Xr )-système

générateur

de

_{Vl ).}

Soit alors

_V2

_l’espace

vecto-riel

_engendré

sur

K(Xl, - - - , Xr)

_parles

_gq,

où g

décrit

_V1.

On a

_Vl

C

_{V2 ;}

en

effet,

si h est dans

_Vl,

alors

(13)

avec des dans W. On écrit alors :

Les

_hypothèses

faites sur W montrent que

hk

est dans

_V2,

donc

_{que h}

est dans

_V2,

autrement dit

_Vl

C

V2.

Mais par ailleurs on _remarque

qu’une

7~(Xi, - - ’

Xr)-base

de

_V,

_{engendre V2,}

donc

Bref on a

V, =

V2,

autrement dit si h est dans

_Vl,

hq aussi. Mais alors si h

est dans

_Vl,

les séries

_h,

_hq,

hq2 , ...

sont toutes dans

_{Vl, qui}

K(Xi, - - - , X~.) ;

_par

conséquent

il existe des

polynômes

non tous

nuls cxk dans

h’~X1, ~ ~ ~ ,

Xr~

tels que

c’est-à-dire h est

_algébrique

sur

_{7~(Xi,’ - -}

_X~.),

et donc sur

E(Xi, - - - ,

Xr),

car h est à coefficients dans K

_{(Proposition 2).}

- Montrons

que b

implique

c :

On

_peut

supposer que la suite a n’est _pas

nulle,

soit alors

une K-base de W.

Soit la suite à valeurs dans Tc de _composantesles suites Ui.

(14)

est dans

_W,

donc c’est une K-combinaison linéaire des

u~(nl, - - - , nr).

En

d’autres

_termes,

_pour

_chaque

_r-uple

_{(.71, " - jar)}

d’éléments de il existe une matrice carrée à c

_lignes

et c

colonnes,

soit telle _{que :}

(l’élévation

d’un vecteur à la

_puissance

_1/q

_ayant

lieu

_composante

à

com-posante

dans la base

_canonique

de De

_plus,

si _Spest la

_première

projection

de K

sur

K,

on a :

- Montrons enfin

que c

_implique

b :

Notons

_9Jlc(l()

l’ensemble des matrices carrées à c

lignes

et c colonnes à

coefficients dans

_l(,

et soit

où p représente toujours

la

_{première projection}

de Kc sur K.

L’espace

{AU; A

E est de dimension finie sur K comme

9Rc(I(),

il en est

donc de même de W. La suite a est dans

_W,

car a = = Il reste à _{prouver que}W est stable _parles

_applications

Pour

_cela,

il suffit de _{prouver que}

_l’espace

A E est stable _par les

_applications

Mais si 1’ on note la matrice obtenue à

_partir

de A en élevant

chaque

élément à la

_puissance

on a :

ce

_qui

achève la démonstration du théorème.

4 -

_{Applications - Compléments -}

Généralisation de la notion de substitution.

(15)

THÉORÈME. Soient deux séries formelles à coelficients dans un _{corps de}

caractéristique

strictement

_positive,

et à un nombre fini de variables. Si ces deux séries sont

_{algébriques,}

alors il en est de même de leur

_produit

de

Hadamard.

THÉORÈME.

Soit une série formelle à coelficients dans un _{corps de}

ca-ractéristique

strictement

_positive,

et à un nombre fini de variables. Si elle

est

_algébrique,

toutes ses

_diagonales

sont aussi

_{algébriques.}

D’après

la

_proposition

_1,

il suffit de _prouverle

_premier

de ces théorèmes.

Pour cela on utilise le théorème fondamental du

paragraphe

précédent,

et

plus précisément

la condition b : si W et

W’

sont deux

_K-espaces

associés

par la condition b aux séries formelles

_{considérées,}

alors WW’ =

~uv; u

e

W, v

E

_Y1~’~

est un

_K-espace

vectoriel de dimension finie sur

_{~i’, qui}

contient

la suite

_produit

des suites des coefficients des deux séries

_(autrement

dit la

suite des coefficients du

_produit

de Hadamard des deux

_séries),

et

_qui

est

stable par les

applications

décrites dans le

b,

d’où

l’algébricité

du

produit

de Hadamard des deux séries considérées.

R em arq u es :

- Le

premier

théorème a été donné _par

_Furstenberg

[13]

dans le cas d’un

corps fini et de séries à une seule

variable, puis

_parFliess

[10]

_pourune

vari-able et un _corps

parfait

de

caractéristique

strictement

positive

(Fliess

_ayant

remarqué

que la démonstration de

Furstenberg

était aussi valable pour un

corps dont

l’application

de Frobenius est

_surjective,

autrement dit _pourun

corps

parfait).

Pour le cas d’un _corps

fini,

_{et pour}le

_rapport

avec les

au-tomates

_finis,

on consultera l’article de

Christol,

Kamae,

Mendès France et

Rauzy

[7]

pour des séries à une

variable,

et celui de Salon

_[23]

_pourdes séries à

_plusieurs

variables. Pour un _corps

quelconque

de

caractéristique

stricte-ment

_positive,

les deux théorèmes ci-dessus ont été donnés _par

_Deligne

_[8],

puis

par Denef et

Lipshitz

[9].

La démonstration que nous donnons est très

proche

de celle de Sharif et Woodcock

_[26],

et de celle de Harase

_[14]

_qui

s’intéresse aussi à d’autres

_produits

de séries formelles comme le

produit

de

Hurwitz et celui de

_Lamperti

_(à

ce

sujet

voir aussi l’article de Fliess

[11]).

- Chacun de

ces deux théorèmes est faux en

_général

_pourun _corpsde

caractéristique

nulle. Considérons en effet comme

_Furstenberg

dans

_[13]

la série

_E

Xn -

_{(1 -}

_{4X) -1/2 ,}

_qui

est à coefficient

_{dans Q}

_(et

n

donc dans le _sous-corps

_premier

de _{tout corps}h’ de

_{caractéristique}

_nulle).

. , ,

2

n .., ..

(16)

était

_algébrique

sur

~(X),

elle le serait aussi sur

_Q(X),

et la série entière définie _par _pour

_Ixl

_1,

serait une fonction

algébrique,

ce

qui

n’est _pascar

prend

des valeurs

-transcendantes _{pour x}

_algébrique

_(voir

_[16],[24]

ou

[28]).

Cette _remarquemontre _quela

_proposition

1

_peut

être

_complétée

en

ajoutant

que chacune des

propriétés

énoncées dans cette

proposition

équi-vaut au fait _quele _corpsK est de

caractéristique

strictement

positive.

2)

Compléments :

On

_peut

se

demander,

_pourun _corpscommutatif

quelconque,

si le

pro-duit de Hadamard de deux séries rationnelles est

_algébrique

_(ou

même

rationnel),

ou si la

diagonale

d’une série formelle rationnelle est

_algébrique.

Voici des

_réponses

à ces

questions :

a)

le

_produit

de Hadamard de deux séries formelles rationnelles à une

seule variable est rationnel

_(le

résultat est dû à Borel cité _par

_Jungen

dans

[161

pour la

caractéristique

nulle,

il est immédiat dans le cas d’un _corps

fini,

et il est dû à Sharif et Woodcock

_[271

_pourun _corpsde

caractéristique

strictement

_positive.

b)

le

_produit

de Hadamard de deux séries formelles rationnelles à deux

variables,

et à coefficients dans un _corpsde

caractéristique nulle,

est

algé-brique

(Sharif

et Woodcock

_~27~).

c)

la

_diagonale

d’une série formelle rationnelle à deux

_variables,

à coeffi-cients dans

_C,

est une série formelle

algébrique

(Furstenberg

[13J).

Remarques :

- l’assertion

a est fausse _pourdes séries à

_plus

d’une

_{variable ;}

en

carac-téristique

différente de

_2,

Sharif et Woodcock donnent dans

_[27]

le

contre-exemple

- l’assertion b est fausse si l’on _supposel’une des séries

_algébrique,

et l’autre

rationnelle,

Sharif et Woodcock

_proposent

dans

_[27]

le contre-

_exemple

sui-vant : le

_produit

de Hadamard de la série

et de la série , est

égal

à la série dont

on a

_{évoqué plus}

haut la transcendance.

- l’assertion b est fausse _pour

_plus

de deux variables : Sharif et Woodcock considèrent dans

_[27]

les deux séries

dont le

_produit

de Hadamard est la série formelle

_qui

est

transcendante

_(voir

_par

_exemple

_[28]).

-

pour le

quotient

de Hadamard en

caractéristique nulle,

on _pourra

con-sulterl’article de van der Poorten

[20],

mais aussi la rédaction

_soigneuse

de

Rumely

[22],

sans oublier l’article de Pourchet

[21].

- l’assertion

c est fausse _pour

_plus

de deux

_variables,

comme le montre

Furstenberg

dans

_[13]

en

indiquant

l’idée de la construction d’un

contre-exemple

dans C.

-

remarquons enfin que

Furstenberg,

après

avoir

prouvé

dans

[13]

une

partie

du second théorème du

_paragraphe

_{précédent :}

la

_diagonale

d’une série rationnelle

à. coefficients

dans un _corpsde

ca-ractéristique

strictement

_positive

est une série

algébrique,

en donne une sorte de

_{réciproque :}

une série formelle

algébrique,

à une

variable,

à coeoEcients dans

C,

ou

dans un _corps

_parfait

de

_{caractéristique}

strictement

_positive,

est la

diago-nale d’une série rationnelle.

(Comme

nous l’avons

déjà

dit Fliess a

remarqué

_quela démonstration de

Furstenberg

est valable non seulement _pourun _corpsfini comme

indiqué,

mais aussi pour un _corps

_parfait).

Sur le

_sujet

_passionnant

des

_diagonales

de

séries formelles rationnelles sur un _corps

quelconque,

on _pourrase

_reporter

avec

profit

aux travaux de Christol

_(voir

par

exemple

[6]).

(18)

3)

Généralisation de la notion de substitution :

La condition c du théorème fondamental ci-dessus montre comment

défi-nir la

_{généralisation}

d’une

_{p-substitution}

_{(voir [7]}

_pourle cas

unidimension-nel et

_[23]

_pourle cas

multidimensionnel, lorsque

F alphabet

est

fini) :

DÉFINITION.

Soit

_{a(n1, ~ ~ ~ , ne)}

une suite à valeurs dans un _corps1( de

caractéristique

p. Soit K une extension

parfaite

de K

(par

exemple

la

clôture

_algébrique

ou la clôture radicielle de

K).

Soit s un entier

supérieur

ou

égal

à 1 et

_{soit q}

=

p~.

La suite _a_estdite

engendrée

_par

q-substitution

s’il existe un entier c >

_1,

une famille de matrices carrées à c

_lignes

et c

colonnes

_-..~1,

_q

et une suite

valeurs dans Kc tels que :

i~

= _a,où _~p_estla

première

projection canonique

de _sur

k,

Remarques :

- Le théorème fondamental

implique qu’une

suite est

_engendrée

_par

p’-substitution si et seulement si elle est

_engendrée

_par

_{pt-substitution (t}

entier

_quelconque

non

nul).

- Le théorème fondamental

peut

se reformuler de la

façon

suivante :

une série formelle à coefficients dans un _corpsde

caractéristique

_{p est}

algébrique

si et seulement si la suite de ses coefficients est

_engendrée

_par

une

_{p-substitution.}

- Si l’on

compare notre définition à la définition traditionnelle dans le

cas où le _corpsde base est fini

_{(voir [7]}

et

_[23]

_par

_exemple),

on voit _que

les

_applications

sont

_supposées

ici linéaires

_(mais

on

_peut

_ajouter

cette condition dans le cas

habituel,

voir

[17]

_par

exemple).

De

plus,

dans

le cas d’un _corps

_fini,

il

_n’y

a _pas

l’exposant

1/q (voir ii)

dans la définition

ci-dessus),

mais si on

_applique

le théorème fondamental en choisissant t tel

que

pt

soit

justement

le cardinal du _corps,l’élévation à la

_puissance

_1/q

est

l’identité.

-

Remarquons

enfin _quel’on

_peut

construire U _paritération de

_ii),

con-naissant les matrices _{,;~ et}la valeur initiale

_{U(o, ~ ~ ~ , 0) ;}

on _passed’un

mot multidimensionnel de taille

_(qn)r

à un mot de taille en

appli-quant

d’abord les

_puis

en élevant à la

puissance

_{q, par}

exemple

(19)

pour r =

1, q

=

2,

U(O)

=

a,

Ao

=

f ,

A,

= _g,on obtient successivement :

5 - Retour sur

l’indépendance

algébrique

de certaines séries

for-melles.

Nous nous _proposonsdans ce

paragraphe

de revenir sur un résultat

démontré dans

_{[2] (et}

_{généralisant}

_[19]).

_Commençons

par

rappeler

que

si À est un entier

p-adique,

et K un _corpsde

caractéristique

_p,on

_peut

définir l’élévation de

₍₁

+

_X)

à la

_puissance

À _{par :}

où

_qui

_appartient

a

priori

à

Zp,

est

na-turellement

à

_prendre

modulo _p.

Remarques :

- Cette définition du coefficient

binomial (A n)

coïncide avec celle donnée

n

,

dans

_[2]

ou

[19]

dans le cas où À est un entier naturel

(c’est

une

propriété

bien

_connue),

donc dans le cas

général

(par

continuité _par

exemple).

- Donnons ici _unlemme

qui

sera utilisé

plus

loin :

LEMME. Soient À et À’ deux entiers

_p-adiques.

Si _pourtout entier naturel

n on a module _p,alors À = N.

n n

En effet on a

(1

+

X)A

=

(1 +

X)A’ ;

si À - A’ avec

Q

0

(mod.p),

on en déduit

₍₁

₊

Xp")/3

=

1,

c’est-à-dire

~3

- 0

(mod.p),

ce

qui

n’est _pas. - L’élévation à la

puissance À

a toutes les

_{propriétés attendues,}

et elle coïncide avec

l’opération

usuelle

lorsque

À est un entier naturel.

Plus

_{généralement,}

si F est une série formelle dans

K~~Xl, ~ ~ ~ , Xr]] ,

non

constante et sans terme

_constant,

(20)

ceci définissant un élément de

K~~XI , - - - ,

Mendès

_France,

van der Poorten et l’auteur ont

_prouvé

dans

_[2]

le résultat

_F(X)

une série formelle à une

variable,

à coefficients dans un _corps

fini

_K,

non

_constante,

sans terme constant et

_algébrique

sur

~i’(X).

Soient

A(l), ... ,

A(8)

des entiers

_p-adiques

_(où

_pest la

_{caractéristique}

du _corps

h’).

Les séries formelles

₍₁

-f-

F)~‘~1~, - - - ,

₍₁

~-

F)À(lI)

sont

_{algébriquement}

indépendantes

sur si et seulement si

_1,

_{~~1~, - - - ,}

A(8)

sont Z-linéaire-ment

_{indépendants.}

La _preuve_quenous donnons dans

[2]

utilise les automates finis. Hen-niart nous a

indiqué

[15]

qu’on

doit

_pouvoir

trouver une démonstration sans

_automates,

un _peucomme le théorème d’Artin sur

l’indépendance

des

caractères,

Bezivin nous a donné

[3]

une démonstration sans automate

_qui

utilise des dérivations de séries formelles. Nous nous proposons ici de

don-ner une démonstration un _peuintermédiaire dans le cas où

_{F(X )}

_{= X ,}

_puis

de montrer comment le _passagede X à une

F(X)

algébrique

qui

nous a été

suggéré

par Fresnel

[12] (et

différent de celui

proposé

dans

[19]

et

[2])

per-met de donner une démonstration

générale

dans le cas d’une série formelle

à

_{plusieurs variables,}

à coefficients dans un _corpsde

caractéristique

stricte-ment

_positive.

Dans un

premier

_temps

nous avions cherché à démontrer un

tel résultat

_général

soit en utilisant le théorème fondamental ci-dessus et la

généralisation

de la notion de

_{substitution,}

soit en utilisant une

_proposition

du

_type

de la

_propriété

2 donnée au début de cet article et

_permettant

de

passer d’un corps à un _{surcorps pour}

l’indépendance

algébrique

de séries

formelles. Nous

_{préférons l’approche}

ci-dessous

_qui

nous

_paraît

à la fois

plus simple

et

_plus

_{algébrique :}

THÉORÈME.

Soient h’ un _corpsde

_{caractéristique}

_pet

_XT)

une

série formelle à r variables non constante et sans terme

_constant,

_algébrique

sur

X,.),

et soient

_{A(l),... ,}

A(8)

des entiers

_p-adiques.

Les séries formelles

(1 + J~)~ , " - , (1 + F)À(lI)

sont

_{algébriquement indépendantes}

sur

K (Xl , - - - , X,.)

si et seulement si

_1,

_{a~l~, - - - ,}

linéairement

indépen-dants sur Z.

La démonstration sera faite en deux

_{étapes :}

_prouverle résultat _pour

r = 1 _et

F(X)

=

X , puis

_passerde X à une série F

_algébrique.

Aussi bien

pour X que pour un F

algébrique

l’une des

implications

est immédiate : si

_1,

_{A(~) , ... ,}

A(8)

sont linéairement liés sur

_Z,

il est clair _queles séries

(21)

sont

_{algébriquement}

liés sur

¡(X) (respectivement

sur

_{~~(X1, ... , 1 XI»}

-Soient donc

_{~(1), .. - ,}

a(s)

des entiers

_p-adiques

tels _que

_1,

_{a(1), - - . ,}

A(.,)

soient linéairement

_{indépendants}

sur

_Z,

et supposons

qu’il

existe une

rela-tion de

_dépendance

_algébrique

entre

sur

_{l~ (X).}

Il existe donc des

_polynômes

_{al(X), ~ ~ ~ ,}

dans

_K[X]

et

des entiers

_p-adiques

_{~c~l~, ~ - ~ , ~~5~}

_qui

sont combinaisons linéaires à coef-ficients entiers des tels _què

En

_développant

les dans la base

_{(1

+

X)k ; k E N},

on obtient une

relation :

où les c; sont dans

_K,

les

0(j)

combinaisons linéaires à coefficients

en-tiers des donc des

,B(j)

et tous distincts. Comme

_1,

_{,B(l),... ,}

,B(s)

sont

linéairement

_{indépendants}

sur

Z,

et que la relation initiale de

dépendance

algébrique

est non

triviale,

la relation

(*)

est aussi non triviale. Aux

no-tations

_près

on

_peut

_supposer

qu’elle

est de

_longueur

minimale

_(ce

_qui

implique

la non-nullité de

_chaque

_cjet le fait _qued est au moins

égal

à

2).

Soit Y une autre variable

_(autrement

dit X et

y’

sont

_{algébriquement}

indépendants

sur

E),

alors

(*)

implique

autrement dit

(22)

Et

_{donc, quel}

que soi t n

positif

Comme les

0(j)

sont tous

_distincts,

on a en

_particulier

8~2~ ~ 0(~) ,

donc

il existe un entier n _pour

lequel

0(2)

(

1 (8),

(d’après

le lemme donné

n n

plus

haut en

_remarque).

Bref la relation

_(**)

est

_plus

courte _quela rela-tion

_(*)

et non

triviale,

ce

qui

fournit la contradiction recherchée. Ainsi

l’indépendance

linéaire sur Z de

1, a~l~, - - - ,

a~~~

implique l’indépendance

algébrique

sur

I[(X)

de

(1

₊

X)~‘~1~, - - - , (1

₊

X)~‘~s~.

Maintenant si F

est une série formelle dans non constante

et

sans terme

constant,

F est trans’cendante sur .K

(on

se convainc aisément _quetoute

t

,

expression

polynomiale

_ejfj

avec

eo ~

_0,

est une

o

série formelle non nulle en

regardant

le terme de F de

_plus

bas

_degré

_total)

donc si

_{1, À(l), ... ,}

A(~)

sont Z-linéairement

_{indépendants,}

alors les séries

(1

+

F)~‘~~~, - - - ,

₍₁

+

F)A(")

sont

_{algébriquement indépendantes}

sur

_K(F).

Supposons

de surcroît _queF est

_algébrique

sur

K(X1, - - - , XT)

et soit

I le sous-ensemble de

_{{1,’" T}}

des indices des variables

_{Xi qui}

_figurent

effectivement dans F : alors F est

_algébrique

sur Comme F est

non

_constante,

_d’après

la _remarque

_précédente

I est de cardinal

_supérieur

ou

égal

à

_1,

soit Î un sous-ensemble de I obtenu en enlevant un élément

k à I. Par construction de

_I,

F est transcendante sur

_{K«Xi )iE 1)}

car

elle est non constante sur ce _corps. Posons _pour

simplifier

les notations

sorte _que

_{K((Xi)iEI) = L(Xk),}

et

_{Fj = (1}

+

F)~‘~~~

Examinons alors les

_degrés

de transcendance des extensions suivantes :

(23)

On a entre ces

degrés

de transcendance les relations :

* x = s

(on

a vu _que

_{F~ - " ,}

_Fs

sont

_{algébriquement}

_{indépendantes}

sur

(24)

* en

_reprenant

un

_argument

précédent,

si l’on note

_{X’ JI*** Xt}

les

_Xi

pour j

n’appartenant

pas à

I,

on voit _que

Xi

est une série formelle non

constante sur M =

L(Xk, Fi; .. , F~ ), (Xi

ne

figure

ni dans

_F,

ni dans

les donc est transcendant sur

M,

_puis

_que

X2

est transcendant sur

bref _quel’on a _y= t = r - Card

_I,

* enfin

b ~- y -

_{~p ~- r -}

Card

I,

= b =

s, ce

_qui

si-gnifie

exactement que

Fi ; .. ,

F,

sont

_{algébriquement}

_{indépendantes}

sur

¡(Xl,...

Xr)-Remarque :

Comme nous l’a fait _remarquerJ. Fresnel

_[12],

la considération des

ho-momorphismes

(1

+

_{SF( S) ) -~ (1}

+

permet

d’appliquer

directe-ment le lemme d’Artin dans la démonstration

_{qui précède ;}

de

_plus

cette

démonstration

_permet

d’établir en fait le résultat suivant :

Soient h’ et F comme dans le théorème ci-dessus. Soient a et b les

degrés

de transcendance

_respectifs

sur le _corps

Xr)

des

exten-. ( ) ’( ( )(1) ( )(")

Soit enfin a la dimension sur Z du Z- module

_engendré

_par

1, Â~, ’ - ’ ,

alors on a :

&=~+72013

1.

Je remercie J-P.

_Bezivin,

G.

_Christol,

J.

_Fresnel,

G. Henniart et D. Polton

pour d’intéressantes conversations

pendant

la

préparation

de cet article.

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351, cours de la Libération