Matrices opérationnelles de dérivation fractionnaire des ondelettes de Jacobi d indice (0,2)

Mémoire de …n d’étude

Pour l’obtention du diplôme de Master en Mathématiques Cycle LMD

Spécialité :Modélisation Contrôle et Optimisation Thème :

Matrices opérationnelles de dérivation fractionnaire des ondelettes

de Jacobi d’indice (0,2)

Présenté par : LEKHAL Zohra Soutenu le 09/06/2014.

Les membres de jury

Mr AMIR Abdessamad Président MAB U. MOSTAGANEM.

MME ABLAOUI Naima Examinateur MAA U. MOSTAGANEM.

Dédicace

Je dédie ce mémoire à mes parents qui m’ont tant soutenu pour que ce travail soit à la hauteur.

À mes frères et mes soeurs pour toute leur compréhension et encouragements dans la réali-sation de ce travail qu’ils trouvent l’expression de ma gratitude et ma grande a¤ection. Je dédie également à toutes mes copines qui m’ont comblé d’amour et d’encouragement et aux étudiants de ma promotion 2014 M.C.O.

Je tiens à remercier en premier lieu, Dieu m’a donné la volonté, le courage, la santé et la con…ance durant toutes mes années d’études.

Je remercie monsieur BAHRI Sidi Mohamed, qui, en tant que mon encadreur, était tou-jours à l’écoute tout au long de la réalisation de ce mémoire, ainsi pour son aide et le temps qu’il a bien voulu me consacrer.

Mes plus sincères remerciements à ... d’avoir bien voulu présider mon jury et ... d’avoir accepter de faire partie de ce jury.

Je tiens à remercier également mes professeurs et enseignants d’avoir été présent, de m’avoir énormément appris par la qualité de leurs savoir qu’ils m’ont prodigués.

Je voudrais remercier aussi les employeurs de l’université, mes ami(e)s et tous ceux qui ont participé de près ou de loin à la réalisation de mon mémoire.

Table des matières

Introduction 2

1 Préliminaires 4

1.1 Dérivation Fractionnaire . . . 4

1.1.1 Historique . . . 4

1.1.2 Dé…nition de l’espace C et l’espace Cm _{. . . . 5}

1.1.3 Opérateur d’intégration fractionnaire . . . 5

1.1.4 Dérivée d’ordre fractionnaire au sens de Caputo . . . 5

1.2 Polynômes de Jacobi . . . 7

1.2.1 Equation de Jacobi . . . 7

1.2.2 Diverses dé…nitions d’un polynôme de Jacobi . . . 8

1.2.3 propriétés . . . 10

1.2.4 Dérivée d’un polynôme de Jacobi . . . 12

1.3 Ondelettes de Jacobi d’indice (0; 2) . . . 13

1.3.1 Historique ondelettes . . . 13

1.3.2 Dé…nitions . . . 13

1.3.3 Condition pour qu’une fonction soit une ondelette-mère . . . 14

1.3.4 Ondelettes de Jacobi d’indice ( ; ) . . . 16

1.3.5 Ondelettes de Jacobi d’indice (0; 2) . . . 16

1.3.6 Fonction d’approximation dans la base des ondelettes de Jacobi d’indice ( ; ) . . . 18

1.3.7 Fonction d’approximation dans la base des ondelettes de Jacobi d’indice (0; 2) . . . 19

2 Matrices opérationnelles de dérivation fractionnaire 20 2.1 Matrice de dérivation . . . 20

2.2 Dérivée nieme _{. . . 22}

2.2.1 Exemples d’application . . . 22

2.2.2 1er exemple : . . . 23

2.3 Matrice de dérivation fractionnaire . . . 25

3 Applications 30

3.1 Problèmes de BAGLEY-TORVIK avec valeurs aux limites . . . 30

3.2 Exemples Numériques . . . 32

3.2.1 Exemple 1 . . . 32

3.2.2 Exemple 2 . . . 33

Conclusion 34

INTRODUCTION

Dans ce mémoire, on introduit une nouvelle méthode numérique basée sur la matrice oppé-rationnelle de dérivation fractionnaire des ondelettes de Jacobi.

Cette méthode est basée sur deux approches, la première utilise la matrice oppérationnelle de dérivation D ([10]),

où

d (t)

dt = D (t)

avec (t) = [ 1(t) ; 2(t) ; :::::::::::::; n(t)] ; n 2 N et les coe¢ cients de ce vecteur forment

une base orthogonales dans L2([0; 1]) et la deuxième approche consiste à utiliser la matrice oppérationnelle d’intégration P ([16]), où t Z 0 ( ) d = P (t)

Ces matrices permettent de réduire un probléme de valeur aux limites en un systéme d’équa-tions algbriques.

A…n d’accomplir au mieux cette étude, le mémoire est structuré en trois chapitres en plus de l’introduction et de la conclusion générale.

On commençe dans le premier chapitre par des préliminaires pour rappeler quelques dé…-nitions et propriétés concernant la dérivation fractionnaire, les polynômes de Jacobi et la théorie des ondelettes .

Nous dé…nirons la dérivée fractionnaire d’une fonction de classe C , au sens de CAPUTO qui possède certaines propriétés : la dérivée d’une constante est nulle, la commutativité de la composée, la propriété de Semi-groupe.

Sachant que nous allons appliquer cet opérateur, essentiellement à des polynômes, nous n’avons développé que, l’exemple de la dérivée fractionnaire d’une fonction monôme . Ensuite, on introduira quelques notions de base relatives aux polynômes de Jacobi avec une variété de dé…nitions et de formules que nous utiliserons chacune pour simpli…er un calcul précis.

Le dernier rappel concerne les ondelettes .

Aprés une introduction générale sur les ondelettes et quelques exemples illustrés par des graphes, on developpera, en particulier, les ondelettes de Jacobi et comment approcher une fonction par des séries d’ondelettes de Jacobi .

Le deuxième chapitre concerne l’objet principal de notre travail qui est la construction d’une matrice opérationnelle de dérivation et plus généralement de dérivation fractionnaire des on-delettes de Jacobi d’indice (0; 2), on introduira une procédure calculatoire pour les constituer. En…n, on consacre le dernier chapitre à la mise en pratique de cette procédure pour la réso-lution de quelques problèmes di¤érentiels d’ordre entier et d’ordre fractionnaire, notamment du type BAGLEY-TORVIK .

Cette procédure est la réduction d’un système intégro-di¤érentiel à un système linéaire d’équations algébriques .

Chapitre 1

Préliminaires

1.1

Dérivation Fractionnaire

1.1.1

Historique

Les premieres ré‡exions sur la dérivation fractionnaire remontent à la …n du 17 eme _{siècle .}

C’est en 1695 plus précisémment que commença à germer l’idée de la dérivée d’ordre non entier. Dans les célèbres corrrespondances entre LEIBNITZ , L’HOSPITAL et BERNOUILLI ,L’HOSPITAL posa la question "quelle serait la demi dérivée de la fonction "x" ?"

Réponse de Leibnitz :"c’est un paradoxe dont on tirera , un jour , d’utiles conséquences ". Presque deux siècles plus tard, apparurent les premières dé…nitions de Rieman et LIOUVILLE puis de CAPUTO, mais avec des "ambiguités" qui furent bien plus tard levées par la théorie des Distributions .

Cette notion n’est pas un caprice de mathématicien "coupeur de cheveu en quatre" mais découle d’une motivation scienti…que naturelle ; un exemple simple de mécanique des ‡uides montre comment l’intégrale d’ordre un-demi apparait tout naturellemnt quand on veut expli-citer un ‡ux de chaleur sortant latéralement d’un écoulement ‡uide en fonction de l’évolution temporelle de la source interne (Loi de Fourier).

De même, un intéret particulier pour la dérivée fractionnaire est lié à la modélisation méca-nique des gommes et des caoutchoucs et toutes sortes de matériaux qui conservent la mémoire des déformations passées et dont le comportement est dit : VISCOELASTIQUE .

DIFFERENTES APPROCHES DE LA DERIVATION FRACTIONNAIRE :

-La limite du taux d’accroissement d’une fonction se généralise sous la forme de la formule de GRUNWALD -LETNIKOV (analyse numérique )

-Formules de RIEMANN-LIOUVILLE et de CAPUTO

-Les transformations de FOURIER et de LAPLACE associent la dérivation fractionnaire à une multiplication par (i!) avec non entier.

Cependant, il n’y avait pas déquivalences entre ces di¤érentes dé…nitions . Heureusement, cette incohérence a été dissipée par la théorie des Distributions .

1.1.2

Dé…nition de l’espace C

et l’espace C

– Soit f une fonction réelle de la variable (strictement positive) x et un réel. On dit, selon [11], que f est de classe C s’il existe un réel p, (pi ), et une fonction

f1 2 C([o,+ 1[)tels que f(x) = xp f1(x) .

– De plus , pour tout m 2 N; on a : ( f 2Cm

) si ( f 2C ) .

1.1.3

Opérateur d’intégration fractionnaire

Dé…nition :

Soit f une fonction de classe C1

1 et un réel strictement positif. L’intégrale d’ordre de f

est dé…nie par :

8x 2 R+; = f(x) = 1 ( ) x Z 0 (x t) 1f (t)dt où = représente l’opérateur d’intégration d’ordre .

Propriété :

8 ( ; ) 2 R+ 2

, _{= = f = = = f = =} + f (preuves [3].)

1.1.4

Dérivée d’ordre fractionnaire au sens de Caputo

Soit m un entier naturel et un réel tel que m 1 < 6 m et soit f une fonction de classe Cm

1 :

La dérivée d’ordre de f est dé…nie pour tout x strictement positif par :

D f (x) =₌m- f(m)(x) = 1 (m ) x Z 0 (x t)m 1 f(m)(t) dt (1.1.1) Exemple

On considère la fonction monôme f dé…nie par :

f (x) = x ; _{2 N} Sa dérivée d’ordre est donnée par :

D (x ) = ( 0 si 6 [ ] ( +1) ( +1 )x si > [ ] (1.1.2) où [ ] désigne le plus petit entier supérieur ou égal à

1.1 Dérivation Fractionnaire 7 Abrégé de Solution : D f (x) = ₌m- Dmf (x) =₌m- ( + 1) ( m + 1)x m = ( + 1) ( m + 1)= m- _x m = ( + 1) ( m + 1) (1 + m) (m + m + 1)x m + +m = ( + 1) ( + 1)x

Théorème : (composition des opérateurs D et = )

Soit f une fonction de classe C ( > 1 ) et m un entier naturel et un réel tel que m 1 < m; alors, pour tout x strictement positif, on a

D _{= f(x) = f(x)} (1.1.3) = D f(x) = f(x) m 1_X k=0 fk(0) { k k! (1.1.4) Preuve :

1)On a d’aprés la dé…nition précédente(1:1:3)

D _{= f = (=}m Dm)_{= f} or Dm =₌ m donc D _{= f = =}m ₌ m_{= f} = ₌m m+ f d’aprés la propriété de semi-groupe(1:1:3)

= = = = + donc

Et, puisque =0 = I alors, D _{= f = f} 2)D’aprés la dé…nition (1.1.1), on a : = D f(x) = = =m Dmf (x) =₌mDmf (x) = 1 (m) { Z 0 (x t)m 1f(m)(t)dt Aprés un développement de Taylor de f d’ordre m, on obtient

= D f(x) = f(x) m 1_X k=0 f(k)₍₀₎ k! x k

1.2

Polynômes de Jacobi

Les polynômes de Jacobi [7] sont des solutions de l’équation di¤érentielle de Jacobi, Ce sont les polynômes orthogonaux les plus simples, leur intervalle d’orthogonalité est [ 1; 1] et leur fonction poids est w ; (x) = (1 x) (1 + x) :

1.2.1

Equation de Jacobi

On appelle équation de Jacobi l’équation di¤érentielle

1.2 Polynômes de Jacobi 9

1.2.2

Diverses dé…nitions d’un polynôme de Jacobi

Polynômes de Jacobi shiftés On dé…nit le polynôme de Jacobi J ;

m , pour tout entier naturel m sur l’intervalle [ 1; 1]

et pouvant être géneral via la formule de récurence suivante : J ; m (t) = ( + +2n 1)[ 2 2_{+t( + +2n)( + +2n 2)]} 2n( + +2n 2)( + +n) J ; m 1(t) ( +n 1)( +n 1)( + +2n) n( + +2n 2)( + +n) J ; m 2(t) ; m = 2; 3:::::::: où J₀; (t) = 1 et J₁; (t) = + + 2 2 t + 2

En introduisant le changement de variable suivant t = 2x 1;pour utiliser ses polynômes sur l’intervalle x 2 [0; 1] , nous dé¢ nissons les polynômes de Jacobi translatés (ou shiftés)notés

d Jm; : d Jm; (x) = J_m; (2x 1) et donc, d Jm; (x) = ( + +2n 1)[ 2 2_{+t( + +2n)( + +2n 2)]} 2n( + +2n 2)( + +n) J[ ; m 1(2x 1) ( +n 1)( +n 1)( + +2n) n( + +2n 2)( + +n) J[ ; m 2(2x 1) ; m = 2; 3:::::::: d J₀; (x) = 1 d J₁; (x) = + + 2 2 (2x 1) + 2

la condition d’orthogonalité des polynôme de Jacobi shifté est donnée par

1

Z

0

d

Jm; (x) dJn; (x) w( ; )(x) = hn nm

où nm représente le symbole de Kronecker

avec w( ; )(x) = (1 x) (1 + x) et hn= n 2 + +1 _{(n+ +1) (n+ +1)} (2n+ + +1)n! (n+ + +1) n = m et d Jm; (x) ; dJm; (x) w ; = 1

Dé…nition 1.2.1 Formule de récurrence J_n+1( ; )(x) = (2n + + + 1) 2 2 + x (2n + + + 3) (2n + + ) 2 (n + 1) (n + + + 1) (2n + + )J ( ; ) n (x) (1.2.2) 2 (n + ) (n + ) (2n + + + 2) 2 (n + 1) (n + + + 1) (2n + + )J ( ; ) n 1 (x)

Exemple 1.2.1 Les 5 premiers polynômes de Jacobi d’indice(0,2)

J₀(0;2)(x) = 1 J₁(0;2)(x) = 2x 1 J₂(0;2)(x) = 30 8 x 2 5 2x 1 4 J₃(0;2)(x) = 20x3 15 2 x 2 3 2x + 7 6 J₄(0;2)(x) = 70 48x 4 21 2 x 3 21 4 x 2 7 2x 19647 12288 -1 -0 .5 0 0.5 1 -10 -5 0 5 1 0 1 5 J0 J1 J2 J3 J4

Courbe s des polynôm es de Ja cobi d’indiceÝ0, 2 Þ

Dé…nition 1.2.2 La formule de RODRIGUES

8n 2 N; Jn( ; )(x) = ( 1)n 2n_n! (1 x) (1 + x) dn dxn h (1 x)(n+ )(1 + x)(n+ )i (1.2.3)

1.2 Polynômes de Jacobi 11

Dé…nition 1.2.3 Expression analytique

8n 2 N Jn( ; )(x) = 1 2n n X k=0 (n + )! (n + )! k! (n k + )! (k + )!(x 1) k (x + 1)n k (1.2.4) Cette dé…nition est pratique pour la dérivation du vecteur ondelettes de Jacobi.

1.2.3

propriétés

On dé…nit la famille des polynômes de Jacobi Jn( ; )d’indice ( ; ) comme étant la famille des

polynômes orthogonaux pour le poids w( ; )_{(x) = (1 x) (1 + x) , véri…ant}

8n 2 N; 8x 2 R; Jn( ; )( x) = ( 1) n J_n( ; )(x) En particulier 8n 2 N; Jn( ; )(1) = (n + + 1) n! ( + 1) et 8n 2 N; Jn( ; )( 1) = ( 1) n (n + + 1) n! ( + 1) Orthogonallité :

Le produit scalaire dé…ni sur R [x] est : hP; Qi =

Z 1 1

P (x)Q(x)dx En particulier pour les polynômes de Jacobi, on a :

8(n; m) 2 N2; J_n; ; J_m; = Z 1 1 J_n; (t) J_m; (t) w ; (t) dt et la norme euclidienne 8n 2 N; Jn; = J ; n ; J ; n w ; 1=2

Théorème 1.2.1 Les polynômes de Jacobi forme une famille orthogonale sur [ 1; 1] tel que

1 Z 1 J_i ; (t) J_j; (t) w ; _{(t) dt =} ( 0 i_{6= j} 2 + +1 _{(n+ +1) (n+ +1)} (2n+ + +1)n! (n+ + +1) i = j

Preuve _{Si i 6= j on a : D}

J_i ; ; J_j; E

w ; = 0

En e¤et, d’aprés la dé…nition du produit scalaire : D J_i ; ; J_j; E w ; = 1 Z 1 J_i ; (x) J_j; (x) w ; (x) dx et d’aprés la relation (1.2.3) on a D J_i ; ; J_j; E w ; = ( 1)i 2i_i! ( 1)j 2j_j! R1 1 (1 x) (1 + x) di dxi h (1 x)i+ (1 + x)i+ i (1 x) (1 + x) _dxdjj h (1 x)j+ (1 + x)j+ i (1 x) (1 + x) dx D J_i ; ; J_j; E w ; = ( 1)i 2i_i! ( 1)j 2j_j! h d dx di 1 dxi 1 (1 x) i+ (1 + x)i+ _dxdjj(1 x) j+ (1 + x)j+ i1 1 ( 1)i 2i_i! ( 1)j 2j_j! R1 1 di 1 dxi 1 (1 x) i+ (1 + x)i+ _dxdj+1j+1(1 x) j+ (1 + x)j+ dx Comme 1 et -1 sont des racines alors ce qui est entre crochets est nul , et ainsi

D J_i ; ; J_j; E w ; = ( 1)i 2i_i! ( 1)j 2j_j! R1 1 di 1 dxi 1 (1 x) i+ (1 + x)i+ _dxdj+1j+1 (1 x) j+ (1 + x)j+ dx Si on reitère i fois cette intégration par parties, on obtient

D J_i ; ; J_j; E w ; = ( 1) iR1 1(1 x) j+ (1 + x)j+ _dxdj+ij+i (1 x) j+ (1 + x)j+ dx Or i 6= j , et supposons que i > j

Alors _dxdj+ij+i (1 x) j+

(1 + x)j+ = 0(dérivée (i + j)eme _{d’un polynôme de degré 2j et i + j >}

2j) Donc _D J_i ; ; J_j; E w ; = 0 pour i6= j Si i = j D J_i ; ; J_j; E w ; = Z 1 1 (1 x) (1 + x) hJ_j; i 2 dx = ( 1) j 2j_j! Z 1 1 dj dxj (1 x) j+ (1 + x)j+ J_j; dx = ( 1) 2j 2j_j! Z 1 1 (1 x)j+ (1 + x)j+ d j dxjJ ; j dx = (2j + + + 1) 22j_{j! (j + + + 1)} Z 1 1 (1 x)j+ (1 + x)j+ dx

1.2 Polynômes de Jacobi 13

On utilise le changement de variable (1 + x) = 2y, dx = 2dy Alors 1 x = 1 (2y 1) = 2 2y Z 1 1 (1 x)j+ (1 + x)j+ dx = 22j+ + +1 Z 1 0 (y)j+ +1 1(1 + y)j+ +1 1dy = 22j+ + +1 (j + + 1) (j + + 1) (2j + + + 2) donc J_i ; 2 = 2 + +1 _{(i + + 1) (i + + 1)} (2i + + + 1) i! (i + + + 1)

1.2.4

Dérivée d’un polynôme de Jacobi

En dé…nie le polynôme de Jacobi J ;

n ; n2 N sur [ 1; 1] :

Le dérivée de J ;

n est dé…nie par

d dx J ; n (x) = 1 2(n + + + 1) J ( +1; +1) n 1 (x) (1.2.5)

On particulier, pour tout entier n positif, ona les égalites suivantes, la dérivée d’un polynôme de Jacobi d’indice (0; 2) J_n0(0;2)(x) = n 1 X j=0 j + 3 2 1 ( 1) n j (j + 1) (j + 2) (n + 1) (n + 2) J (0;2) j (x) (1.2.6)

1.3

Ondelettes de Jacobi d’indice (0; 2)

1.3.1

Historique ondelettes

D’un point de vue ETYMOLOGIQUE, les ondelettes portent bien leur nom : petite onde (voir allures des courbes ).

Jean Morlet est le "pionnier" des ondelettes .

Vers 1975, et au cours de sondages des couches géologiques pour détecter des nappes de pétrole, ce géophysicien a créé des petites fonctions mathématiques ayant des propriétés intéressantes pour ses objectifs .

Au cours des années 1980, les travaux de Morlet sur les signaux sismiques débouchèrent sur la transformée en ondelettes .

Les outils et méthodes classiques d’ANALYSE de FOURIER s’étant averés inadapt, il pré-senta (en1983) un algorithme d’analyse et de synthèse par ondeletttes, des signaux où se mêlent des phénomènes d’échelles trés di¤érentes : ce sont les bases de la transformée en ondelettes continue (en une dimension ) reposant sur la représentation de carré intégrable du groupe a¢ ne de translations et dilatations (ax + b) ([8]) :

Dés 1985, c’est l’émergence de cette théorie dont on citera quelques étapes et les domaines d’utilisation :

-1985 découverte d’une base orthogonale d’ondelettes par YVES MEYER .

-1987 introduction de l’analyse multirésolution (décomposition en details et approximations du signal) par S.Mallat.

-Théorie des …ltres miroirs en quadratique.

-Mécanique des ‡uides (Turbulence, Fractales, E.D.P).

-1990 : extension de la théorie aux dimensions 2 puis N quelconque (opérateur de rotation). -Traitement d’images par ondelettes et compressions (Mallat et Daubechies)

1.3.2

Dé…nitions

Les ondelettes constituent une famille de fonctions générées par translation et par dilatation d’une seule fonction appelée "Ondelette-Mère".([9] et [11])

Quand le paramètre de dilatation a et celui de translation b varient continûement, l’expression générale de ces ondelettes, générées par l’ondelette-mère est :

a;b(t) = 1 p j a j t b a (1.3.1)

où a et b sont des réels et a 6= 0

Si jaj < 1 alors on dit que l’ondelette est contractée, c’est à dire qu’elle s’adapte aux discontinuités du signal (phénomènes de petites tailles) et donc aux hautes fréquences.

Si jaj > 1 l’ondelette est dilatée, elle analyse les grandes échelles donc les petites fréquences. Ceci étant pour le cas continu, on va maintenant passer au

cas discret

On discrétise les valeurs de a et b telles que : a = a₀j; b = kb0a0j avec a0 > 1; b0 > 0et n

et k des entiers naturels dé…nis pour la discrétisation de l’intervalle consideré, nous obtenons la famille des ondelettes discrètes suivante

jk(t) = a j 2 0 (a j 0t kb0)

1.3 Ondelettes de Jacobi d’indice (0; 2) 15

L’ensemble de ces ondelettes forme une base orthogonale deL2(R):

En particulier si a0 = 2 et b0 = 1, alors les jk forment une base orthonormale ; c’est-à-dire jk; l;n = j;l kn ( représente le symbole de Kronecker ) .

1.3.3

Condition pour qu’une fonction soit une ondelette-mère

Il su¢ t qu’elle véri…e la condition d’admissiblité :

C = Z

R

j ^ ( ) j2 d

j j < 1: Pour les fonctions de L2

(R), il su¢ t simplement que ^ soit de moyenne nulle, c’est-à-dire Z

R

^ ( ) d = 0:

On peut aussi imposer des conditions de régularité telles que la décroissance et la convergence vers 0, à l’in…ni. Exemples d’ondelettes : Chapeau Mexicain (x) = (1 x2) e x 2 2 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 x y

Ondelette de Morlet (x) = ei!0x_e x2 2 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -0.5 0.5 1.0 x y

la courbe en bleu reprsente la partie imaginaire et la roge la partie reele

Ondelette de HAAR (x) = 8 < : 1 si 06 x < 1₂ 1 si 1₂ 6 x < 1 0 ailleurs Remarque :

L’idée de base consiste à "jouer de l’accordéon" avec l’ondelette-mère pour lui faire prendre toutes les "tailles" (échelles) possibles à chaque instant t; et ensuite les combiner pour produire un "morceau" .

1.3 Ondelettes de Jacobi d’indice (0; 2) 17

1.3.4

Ondelettes de Jacobi d’indice

( ; )

Elles sont générées à partir d’un polynôme de Jacobi shiftés dJm; (x) :

Les ondelettes de Jacobi sont dé…nies sur [0; 1] par

; n;m(x) = ( 1 p hm 2 k+1 2 Jd_m; (2k+1x 2n + 1) si n 2k 6 x 6 n+1 2k 0 ailleurs (1.3.2) avec hn = n 2( + +1) _{(n+ +1) (n+ +1)} (2n+ + +1)n! (n+ + +1) m = n

où n et k sont des entiers positifs tels que n = 0; 1; :::; 2k 1 _{représente le nombre de niveau}

de la décomposition.

et m = 0; 1; :::; M est le degré du polynôme de Jacobi. Le coe¢ cient_p1

hm assure la normalisation.

L’ensemble des ondelettes de Jacobi forme une base orthonormale de L2_{([0; 1])} wn:

1.3.5

Ondelettes de Jacobi d’indice

(0; 2)

Calculons la famille d’ondelette de Jacobi d’indice (0; 2) D’aprés (1:3:2) ; ona 0;2 n;m(x) = ( 1 p hm2 k+1 2 Jd_m0;2 2k+1x 2n + 1 si n 2k x n+1 2k 0 si non Prenons k = 1et M = 2 m = 0; 1; :::; M donc m = 0 ou 1ou 2 n = 0; :::; 2k 1 _{donc n = 0 ou 1}

D’où les 0;2n;m sont : 0;2 0:0; 0;2 0;1; 0;2 0;2; 0;2 1;0; 0;2 1;1; 0;2 1;2 Calculons les : 0;2 0;0(x) = ( 1 p h02dJ 0;2 0 (4x 1) si 0 x 1 2 0 si non 0;2 0;0(x) = ( p 3 p 2 si 0 x 1 2 0 si non 0;2 0;1(x) = ( 1 p h12dJ 0;2 1 (4x 1) si 0 x 12 0 si non 0;2 0;1(x) = ( p 5 p 2(8x 3) si 0 x 1 2 0 si non 0;2 0;2(x) = ( 1 p h22dJ 0;2 2 (4x 1) si 0 x 1 2 0 si non 0;2 0;2(x) = ( p 7 p 2(60x 2 _{40x + 6) si 0 x} 1 2 0 si non 0;2 1;0(x) = ( 1 p h02dJ 0;2 0 (4x 3) si 12 x 1 0 si non 0;2 1;0(x) = ( p 3 p 2 si 1 2 x 1 0 si non 0;2 1;1(x) = ( 1 p h12dJ 0;2 1 (4x 3) si 1 2 x 1 0 si non 0;2 1;1(x) = ( p 5 p 2(8x 5) si 1 2 x 1 0 si non 0;2 1;2(x) = ( 1 p h22dJ 0;2 2 (4x 3) si 12 x 1 0 si non 0;2 1;2(x) = ( p 7 p 2 60x 2 _{80x +} 165 4 si 1 2 x 1 0 si non

1.3 Ondelettes de Jacobi d’indice (0; 2) 19 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 psi00 psi01 psi02 psi10 psi11 psi12

Famille ondelettes de Jacobi d’indice (0,2)

1.3.6

Fonction d’approximation dans la base des ondelettes de

Ja-cobi d’indice

( ; )

Toute fonction f de L2_{[0; 1], peut s’écrire en séries d’ondelettes de Jacobi comme suit([12]) :}

f (x) = 1 X n=0 1 X m=0 Cnm nm; (x) (1.3.3) Avec

Cnm= f; nm; ;où h:; :i représente le produit scalaire dans l’espace L2([0; 1])wn.

Pour des raisons de calcule numérique, la série (1:3:3), doit être tranquée pour trouver la série …nie suivante

f (x) 2k 1 X n=0 M X m=0 Cnm nm; (x) = C T _{(x) (1.3.4)} où C = [C0;0; C0;1; :::; C0;M; :::; C2k 1_;0; C₂k 1_;1; :::; C 2k 1_;M] T et (x) = [ _0;0; _0;1; :::; _0;M; :::; ₂k 1_;0; ₂k 1_;1; :::; ₂k 1_;M]T

1.3.7

Fonction d’approximation dans la base des ondelettes de

Ja-cobi d’indice

(0; 2)

Soit f (x) = x; pour tout x 2 [0; 1] calculons les coe¢ cients de f dans la base ondelette :

f (x) 2k 1 X n=0 M X m=0 Cnm 0;2nm(x) = C T (x):

Dans notre exemple on a

f (x) = 1 X n=0 2 X m=0 Cnm nm; (x) (*)

Il nous reste donc à calculer les Cn;m

C0;0 = D x; 0;2_0;0 E = p 6 16 sur [0; 1=2[ 0 ailleurs C0;1 = D x; 0;2_0;1E= p 10 48 sur [0; 1=2[ 0 ailleurs C0;2 = D x; 0;2_0;2E= p 14 96 sur [0; 1=2[ 0 ailleurs C1;0 = D x; 0;2 1;0 E = 3p6 16 sur [0; 1=2[ 0 ailleurs C1;1 = D x; 0;2 1;1 E = 11p10 48 sur [1=2; 1[ 0 ailleurs C1;2 = D x; 0;2 1;2 E = 595p14 192 sur [1=2; 1[ 0 ailleurs

Chapitre 2

Matrices opérationnelles de dérivation

fractionnaire

Dans ce chapitre on introduit une nouvelle méthode pour dériver la matrice opérationnelle d’ondelettes de Jacobi (dérivation et dérivation fractionnaire )([11] et [10]) :

2.1

Matrice de dérivation

Theorème

Soit (t) le vecteur d’ondelettes de Jacobi d’indice (0; 2) dé…nie par la relation (1.3.3) . La dérivée de (t) peut s’exprimer par :

d (t)

dt = D (t) (2.1.1)

où D est la matrice carrée 2k(M + 1) opérationnelle de dérivation dé…nie par :

D = 2 6 6 6 6 4 F 0 0 0 F 0 0 0 F 3 7 7 7 7 5 (2.1.2)

où F est la matrice (M + 1) (M + 1); dé…nie par

d dt( 0;2 n;m(t)) = 8 > > < > > : 2 k 1 m X s=1 (m+s)pair p 2m + 3p2s + 1h1 ( 1)m s+1 _(m+1)(m+2)s(s+1) i 0;2_{n;s 1}(t) 0 sinon (2.1.3)

Preuve

On utilise le polynôme de Jacobi tronqué sur [0; 1], qui dé…nie le vecteur (t) par la relation (1.3.2), est : 0;2 n;m(t) = 1 p hm 2k+12 Jd_m0;2 2kt n [n 2k; n+1 2k ] (2.1.4) où m = 0; 1; :::; M et n = 0; 1; :::; 2k 1 telque hm = 8 2m + 3 et _[n 2k; n+1 2k ]

est la fonction caractéristique dé…nie par :

[n 2k; n+1 2k ](t) = 1 si ₂nk t n+1 2k 0 sinon Dérivons par rapport à t :

d dt( 0;2 n;m(t)) = 2 k+1 2 p 2m + 3 2p2 2 k_Jd0;2 m 0 (2kt _{n) [}n 2k; n+1 2k ] (2.1.5) La fonction _[n 2k; n+1

2k ] étant nulle en dehors de l’intervalle n 2k;

n+1

2k ; son expression en

on-delettes de Jacobi ne comporte que les éléments de la base de Jacobi dans (t) qui sont non-nuls dans l’intervalle ₂nk;

n+1

2k ; et qui sont :

i(t) pour i = n(M + 1) + 1; n(M + 1) + 2; :::; (n + 1)(M + 1):

Ainsi selon (2:1:1), le developpement en ondelettes de Jacobi s’écrit d dt( ; n;m(t)) = (n+1)(M +1) X i=n(M +1)+1 ai i; (t)

Ceci implique que la matrice opérationnelle D est une matrice-bloc comme dé…nie dans l’énoncé du théorème . De plus, on a : d dt d J₀0;2(t) = 0

2.2 Dérivée nieme ₂₃

Si on remplacedJm0;2 0

(2kt n) de la relation (2:1:5) par son expression donnée par la relation (1:2:6)du dérivée d’un polynôme de Jacobi, on obtient :

d dt( 0;2 n;m(t)) = 2 k+1 2 p 2m+3 2p2 2 k m 1_X j=0 (j+m)impair j + 3₂ h1 ( 1)m j (j+1)(j+2) (m+1)(m+2) i_d J_j0;2(2k_t n) [n 2k; n+1 2k ] d dt( 0;2 n;m(t)) = 2 k+1 2 p 2m+3 2p2 2 k 1 m 1 X j=0 (j+m)impair p 2j + 3 2h1 ( 1)m j (j+1)(j+2) (m+1)(m+2) i_d J_j0;2(2k t n) [n 2k; n+1 2k ] d dt( 0;2 n;m(t)) = p 2m + 32k 1 m 1_X j=0 (j+m)impair (p2j+3)2 2p2 2 k+1 2 h 1 ( 1)m j (j+1)(j+2) (m+1)(m+2) i_d J_j0;2(2k t n) [n 2k; n+1 2k ] d dt( 0;2 n;m(t)) = 2k 1 m 1_X j=0 (j+m)impair p 2m + 3p2j + 3h1 ( 1)m j (j+1)(j+2)_(m+1)(m+2)i 0;2_n;j(t) d dt( 0;2 n;m(t)) = 2k 1 m X s=1 (s+m)pair p 2m + 3p2s + 1h1 ( 1)m s+1 s(s+1) (m+1)(m+2) i 0;2 n;s 1(t)

2.2

Dérivée n

Pour tout entier naturel n, la dérivée nieme _{du vecteur ondelettes de Jacobi s’écrit}

dn _(t)

dt = D

n _{(t) (2.2.1)}

où Dn_{est la puissance n}ieme _{de la matrice D}

2.2.1

Exemples d’application

Pour nous familiariser avec la matrice D dé…nie par(2.1.1), traitons quelques exemples nu-mériques . On rappelle que D = 2 6 6 6 6 4 F 0 0 0 F F F 0 0 0 F 3 7 7 7 7 5

d dt( 0;2 n;m(t)) = 8 > > < > > : 2 k 1 m X s=1 (m+s)pair p 2m + 3p2s + 1h1 ( 1)m s+1 _(m+1)(m+2)s(s+1) i 0;2_{n;s 1}(t) 0 sinon (2.2.2)

2.2.2

1

exemple :

D sera donc une matrice 3 3; s = 1; :::; m ; m = 1; :::; 2 Calculons ses éléments :

pour n = 1; s = 2; k = 0; m = 2 d dt( 1;2(t)) = 3 4 p 35 _1;1(t) pour s = 1; m = 1 d dt( 1;1(t)) = 2 3 p 15 _1;0(t) Les autres éléments sont tous nuls .

D’où D = 2 4 0 0 0 2 3 p 15 0 0 0 3 4 p 35 0 3 5 2 eme _{exemple :}

Pour k = 1 et M = 1, D est une matrice carrée d’ordre 2k_{(M + 1) = 2(2) = 4}

Le bloc F est une matrice 2 2 et s = 1; m = 1 d dt( 2;1(t)) = 4 3 p 15 _1;0(t) la matrice F est F = ₄p0 0 15 3 0 et par conséquent D = 2 6 6 4 0 0 4p15 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4p15 3 0 3 7 7 5

2.2 Dérivée nieme ₂₅

3emeexemple : k = 2 et M = 2

D est une matrice carrée d’ordre 22(2 + 1) = 12; F est 3 3 :

n = 2 , m = 1ou 2 , s = 1 ou 2 mais (m + s) pair on calcule donc : pour n = 2; m = 1; s = 1 d dt( 2;1(t)) = 8 3 p 15 _2;0(t) et les autres sont nuls .

pour n = 2; m = 2; s = 2 d dt( 2;2(t)) = 3 p 35 _2;1(t) d’où F = 0 @ 0 0 0 8 3 p 15 0 0 0 3p35 0 1 A Et par conséquent : D= 0 B B B B B B B B B B B B B B B B B B B @ 0 @ 0 0 0 8p15 3 0 0 0 3p35 0 1 A 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 @ 0 0 0 8p15 3 0 0 0 3p35 0 1 A 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 @ 0 0 0 8p15 3 0 0 0 3p35 0 1 A 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 @ 0 0 0 8p15 3 0 0 0 3p35 0 1 A 1 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C A

2.3

Matrice de dérivation fractionnaire

Le théorème suivant généralise la matrice opérationnelle de dérivation des ondelettes de Jacobi à l’ordre fractionnaire.

Soit (t) le vecteur ondelettes de Jacobi dé…nies dans (1.3.2) .

Soit un réel strictement positif, la dérivée fractionnaire d’ordre de (t) s’écrit

D( ) (t) = D (t) (2.3.1)

où D( ) _{désigne la matrice opérationnelle de dérivation fractionnaire d’ordre (au sens de}

CAPUTO), N 1 < N et N un entier naturel non nul. Cette matrice est 2k_{(M + 1 ) (2}k_{(M + 1)):}

Le (p; q)eme _{élément de cette matrice est}

(D( ))pq = 8 > > > > < > > > > : 2k+12 q 2m+3 8 1 2m m X i=0 i X j=0 m i X l=0 bjlq i j m i l h ( 1)m j lm!(m+2)!2k(l+j)_(n+1)i j_{(n 1)}m i l i!((m i)!)2_(i+2)!

i

si [ ] + 1 p 2k(M + 1

0 si 1 p [ ]

(2.3.2) où bjlq sont les qemes coé¢ cients du développement en ondelettes de Jacobi des fonctions

fjl(t) = tj+l _[n 2k; n+1 2k ] et j = 0; :::; i ; l = 0; :::; m i Preuve Posons p = nM + (m + 1) ; m = 0; 1; :::; M ; n = 0; 1; :::; 2k 1 et soit _p(t) le pieme _{élément du vecteur (t).}

En utilisant la troncature du polynôme de Jacobi, p(t) peut sécrire :

p(t) = 0;2n;m(t) = 2 k+1 2 r 2m + 3 8 Jcm ( ; ) (2kt n) [n 2k; n+1 2k ] (2.3.3) En utilisant l’expression analytique d’un polynôme de Jacobi (1:2:4), on a :

p(t) = 2 k+1 2 q 2m+3 8 1 2m m X i=0 m!(m+2)!(2k_{t (n+1))}i₍₂k_{t (n 1))}m i i!((m i)!)2_(i+2)!

[n 2k;

n+1 2k ]

En utilisant le développement du binôme de Newton de (2kt (n + 1))i 2kt (n 1) m i, on aura p(t) = 2 k+1 2 r 2m + 3 8 1 2m m X i=o i X j=o m i X l=o i j m i l (2.3.4) " m! (m + 2)!2k(j+l)( 1)i j( 1)m i l(n + 1)i j(n 1)m i l i!((m i)!)2_{(i + 2)!} # t(j+l) _[n 2k; n+1 2k ]

2.3 Matrice de dérivation fractionnaire 27 En appliquant l’opérateur D ; on a : D p(t) = 2 k+1 2 r 2m + 3 8 1 2m m X i=o i X j=o m i X l=o i j m i l (2.3.5) " m! (m + 2)!2k(j+l)( 1)m j l(n + 1)i j(n 1)m i l i!((m i)!)2_{(i + 2)!} # D t(j+l) _[n 2k; n+1 2k ] Posons : fj;l(t) = D t(j+l) [n 2k; n+1 2k ] pour j = 0; :::; i; l = 0; :::; m i On a alors : D p(t) = 2 k+1 2 r 2m + 3 8 1 2m m X i=o i X j=o m i X l=o i j m i l (2.3.6) " m! (m + 2)!2k(j+l)_{( 1)}m j l_{(n + 1)}i j_{(n 1)}m i l i!((m i)!)2_{(i + 2)!} # fj;l(t)

Par application de la dérivée D selon (1:1:2), on a :

fj;l(t) = D t(j+l) [n 2k; n+1 2k ] = 1 (N ) t Z n 2k " _dn_t(j+l) dtn (t x) +1 N # dx [n 2k; n+1 2k ] + 1 (N ) n+1 2k Z n 2k " _dn_t(j+l) dtn (t x) +1 N # dx [n 2k;1] (2.3.7) pour j = 0; :::; i, l = 0; :::; m i Approchons les fonctions fj;l(t) j=0;:::;i

l=0;:::;m i

par des ondelettes de Jacobi :

fj;l(t) =

2k_{(M +1)}

X

q=1

bjlq q où bjlq = fj;l(t); q(t) (2.3.8)

En remplacant fj;l(t) par cette expression dans la relation (2:3:6) précedente

et en permutant l’ordre des series, on a :

D _p(t) = 2k+12 r 2m + 3 8 1 2m 2k_{(M +1)} X q=1 m X i=o i X j=o m i X l=o bjlq i j m i l (2.3.9) " m! (m + 2)!2k(j+l)_{( 1)}m j l (n + 1)i j(n 1)m i l i!((m i)!)2_{(i + 2)!} # q(t)

2.3.1

Exemple pour le calcul de

D avec

fractionnaire

Rappelons que :

D est une matrice 2k(M + 1) 2k(M + 1) et son (p; q)ieme _{élément est donné par (2.3.2).}

Prenons k = 0 et M = 1 et = 1₂ d’où [ ] = 1 D12 est une matrice 2 2

et son (p; q)ieme élément est :

(D )_pq = 8 > < > : q 2m+3 8 p 2 2m m X i=o i X j=o m i X l=o bjlq i j m i l m!(m+2)!2k(j+l)_{( 1)}m j l_(n+1)i j_{(n 1)}m i l

i!((m i)!)2_(i+2)! sip = 2

0 si p = 1

Il est clair que, dans ce cas, p = 1 ou 2 ; et on sait que m = 0 ou 1 Les éléments de D12 sont : D

1 2 1;1; D 1 2 1;2; D 1 2 2;1; D 1 2 2;2: Calculons -les : Si p = 1 alors Dpq = 0 donc D 1 2 1;1 et D 1 2 1;2 sont nuls

Si p = 2 et sachant que p = nM + (m + 1), alors on aura : 2 = nM + (m + 1) d’où 2 = n + (m + 1)

c’est-à-dire n + m = 1

or n = 0; :::; 2k 1 c’est-à-dire dans ce cas n = 0 donc m = 1 D 1 2 2;1 = p 2 r 5 8 1 2 " ₁ X i=o i X j=o 1 i X l=o bjl1 i j 1 i l ( 1)1 j l1! (1 + 2)!20_{(0 + 1)}i j (0 1)1 i l i!((1 i)!)2_{(i + 2)!} # D 1 2 2;1 = p 5 4 " b001 0 0 1 0 ( 1)13! 2! + b011 0 0 1 1 3! 2! + b001 1 0 0 0 ( 1)13! 3! +b101 1 1 0 0 1!3! 3! = p 5 4 [3b011+ b101]

Il nous reste à calculer b011 et b101 qui sont les qemes coe¢ cients de l’approximation, en

ondelettes de Jacobi, des fonctions fj;l(t) = D

1

2.3 Matrice de dérivation fractionnaire 29 c’est -à-dire b011 = f0;1(t); 0;21 (t) w0;2 =DD12t; 0;2 1 (t) E w0;2 = 2pt p ; 0;21 (t) w0;2 et b101 = f1;0(t); 0;21 (t) w0;2 = D D12t; 0;2 1 (t) E w0;2 = 2pt p ; 0;21 (t) w0;2 Calculons 0;2₁ (t) 0;2 1 (t) = 0;2 1 (t) = 1 q 8 5 p 2J₁0;2(t) = p 5 2 (2t 1) Et ainsi b011 et b101 b011 = * 2pt p ; p 5 2 (2t 1) + w0;2 = 1 Z 0 2pt p p 5 2 (2t 1) (1 + t) 2 dt = 40 p 5 63p b101 = * 2pt p ; p 5 2 (2t 1) + w0;2 = 1 Z 0 2pt p p 5 2 (2t 1) (1 + t) 2 dt = 40 p 5 63p donc D 1 2 2;1 = p 5 " 30p5 63p + 10p5 63p # D 1 2 2;1 = 200 63p D 1 2 2;2 = p 2 r 5 8 1 2 " ₁ X i=o i X j=o 1 i X l=o bjl2 i j 1 i l ( 1)1 j l1! (1 + 2)!20(0 + 1)i j(0 1)1 i l i!((1 i)!)2_{(i + 2)!} # = p 5 4 " b002 0 0 1 0 ( 1) 3! ( 1)1 2! + b012 0 0 1 1 3! 2! +b002 1 0 0 0 ( 1) 3! 3! + b102 1 1 0 0 1! (3)! 3! = p 5 4 [3b012+ b102]

Calculons b012 et b102 : b012 = f0;1(t); 0;2 2 (t) = D D12t; 0;2 2 (t) E =D2ppt; 0;2₂ (t)E Il reste à calculer 0;2₂ (t)

On a p = 2 donc 2 = (n)(1) + (m + 1) d’où n + m = 1 or n = 0 donc m = 1 Donc 0;2 2 (t) = 0;2 1 (t) = 0;2 0;1(t) = p 5 2 (2t 1) Et ainsi b012 et b102 b012 = * 2pt p ; p 5 2 (2t 1) + w0;2 = 1 Z 0 2pt p p 5 2 (2t 1) (1 + t) 2 dt = 40 p 5 63p b102 = * 2pt p ; p 5 2 (2t 1) + w0;2 = 1 Z 0 2pt p p 5 2 (2t 1) (1 + t) 2 dt = 40 p 5 63p donc D 1 2 2;2 = p 5 " 30p5 63p + 10p5 63p # D 1 2 2;2 = 200 63p En…n D12 = ₂₀₀0 0 63p 200 63p

Chapitre 3

Applications

Dans le but de montrer la grande importance de la matrice opérationnelle de dérivation, nous allons l’appliquer à résoudre des systèmes di¤érentiels d’odre fractionnaire avec conditions aux limites .

Ces problèmes sont choisis à cause de la forme bornée de leurs solutions .

On comparera, ensuite, les résultats obtenus par cette procédure avec les solutions analytiques .

3.1

Problèmes de BAGLEY-TORVIK avec valeurs aux

limites

La forme générale d’un tel problème[1] du second ordre est : A0D2y(t) + A1D

3

2y(t) + A₂y(t) = f (t) t2 [0; T ]

y(0) = 0 et y(T ) = 1

(3.1.1) où (A0 6= 0) ; A1; A2; 0 et 1sont des constantes y 2 L1[0; T ]. Rappelons que le symbole

D32dé…nit l’operateur de dérivation fractionnaire au sens de CAPUTO.

L’existence et l’unicité de la solution exacte ont été prouvées par PODLUBNY([3]) :

Dans ce chapitre, nous allons utiliser une méthode de résolution basée sur les développements en base d’ondelettes de Jacobi d’indice (0; 2)et sur les matrices opérationnelles de derivation et de dérivation fractionnaire, établies dans le chapitre 2, pour réduire le système di¤érentiel (3.1.1) à un système linéaire d’équations algébriques .

On approche les fonctions y(t) et f (t) par des développements en base d’ondelettes de Jacobi (0; 2)

y(t) = CT _(t)

où

C =hc0;0; c0;1; :::; c0;M; :::; c2;M ;c1;0; :::; c(2k 1_);0; c

(2k 1);1; :::; c(2k 1);M

iT

est le vecteur inconnu G un vecteur donné par la décomposition de f en base d’ondelettes de Jacobi d’indice (0; 2) .

En vertu des résultats précédents (théorèmes (2.1.1) et (2.1.2) + corollaire (2.2.1) ), on a : (

D2_{y(x) = C}T_D(2)_y(x)

D32y(x) = CTD( 3

2) (x) (3.1.3)

On remplace dans la 1ere _{équation du problème initial}

h A0CTD(2)+ A1CTD( 3 2) + A 2CT i (x) = GT (x) (3.1.4) Posons Rm(x) = h A0CTD(2)+ A1CTD( 3 2) + A 2CT i (x) On génère (2k_{(M + 1) 2) équations linéaires, et en appliquant}

R2k_{(M +1)}(x); _j(x) = 0 pour j = 0; 1; :::; 2k(M + 1) 2 (3.1.5)

et , en considérant les conditions aux limites (données dans l’énoncé initial du problème ) , on a : y(0) = CT _{(0) =} 0 y(1) = CT _{(1) =} 1 on a pris T = 1. (3.1.6) et ainsi on a géneré 2k_{(M + 1)équations linéaires dont les inconnues sont les composantes du}

vecteur C .

En utilisant la relation (2.3.9) donnant D p(t)(dans la preuve du théorème établi au chapitre

3.2 Exemples Numériques 33

3.2

Exemples Numériques

3.2.1

Exemple 1

On se propose de résoudre le systéme di¤érentiel suivant : 8

< :

Dy(t) +p D12y(t) + y(t) = 1 + 2pt + t

y(0) = 0 y(1) = 1

(*) Approchons la solution comme suit :

y(t) = CT (t)

Détérminons, d’abord, (t);pour cela, prenons k = 0 et M = 1 d’où n = 0; :::; 2k 1 _{c’est-à-dire dans notre cas n = 0}

et m = 0; :::; M c’est-à-dire dans notre cas m = 0 ou 1 donc (t) = 0;0(t) 0;1(t) avec 0;0(t) = p 3 2 si t2 [0; 1[ 0 ailleurs 0;1(t) = p 5 2 (2t 1) si t2 [0; 1[ 0 ailleurs

La 1ereéquation du système( ) devient

CTD (t) +p CTD12 (t) = 1 + 2pt + t

Le polynôme de Jacobi approprié à ce cas, est J2(0;2)(x) = 308x

2 5

2x 1 4:

En utilsant les conditions aux limites, on arrive au système, suivant : ( p 3 2 C0;0+ p 5 2 C0;1 = 1 p 3 2 C0;0 p 5 2 C0;1 = 0 La solution est CT ₌h_p1 3; 1 p 5 i :

Et ainsi la solution du problème ( ) est

y (t) = _p1 3; 1 p 5 " p 3 2 p 5 2 (2t 1) # = t

Remarque :on peut facilement véri…er que c’est la solution exacte, en utilisant les matrices opérationnelles de dérivation, calculées plus tôt et qu’on rappelle ici

D12 = ₂₀₀0 0 63p 200 63p

3.2.2

Exemple 2

D2_{y(t) + D}3_{2y(t) + y(t) = t}2_{+ 4}qt _{+ 2}

y(0) = 0 y(5) = 25

(**)

La solution exacte de ce problème est y(t) = t2

En e¤et, les conditions initiales sont trivialement véri…ées. D’autre part y"(t) = 2 et D32y(t) = D 3 2t2 = (2 + 1) 2 + 1 3₂ t 2 3_{2 =} (3) 3 2 t12 On sait que (3) = (2 + 1) = 2! = 2 et 3 2 = 1 2+ 1 = 1 2 1 2 = 1 2 p Donc D32y(t) = 4 r t

Et par conséquent la 1ereéquation du problème ( )est véri…ée .

On peut, aussi résoudre ce problème en appliquant la méthode décrite dans notre étude précédente(chapitre3).

En prenant M = 2 et k = 1; On obtiendra 2k(M + 1) = 21(2 + 1) = 6 équtions linéaires dont l’inconnue est

CT _{= [C}

0;0;C0;1;C0;2;C1;0;C1;1;C1;2] ; en procédant d’une maniére analogue à un exemple

CONCLUSION

Dans ce travail, nous avons étudié une méthode numérique pour la réduction des systémes di¤érentiels fractionnaires à des systémes linéaires d’équations algébriques, pour étudier l’éf-…cacité de cette méthode de résolution basée sur la matrice opérationnelle de dérivation fractionnaire des ondelettes de Jacobi d’indice (0; 2).

[1] Al Mdallal et Al (BAGLEY-TORVIK Equation).2010 and (colocation shooting method for solving fractional boundary value problems)

[2] Bahri.S.M (U.A.B Mostaganem ) Cours (conférences) sur les ondelettes . 2013 .

[3] Dahmani Z (Cours de calcul FRACTIONNAIRE Master I et II MCO 2012-2013 ) Uni-versité AB Mostaganem.

[4] R-Hajmohammedi( Optimal controle of nonlinéar systems via the sine-cosine wavelets ).2011

[5] S.Mallat (multi-résolution représentations and wavelets PHD theisis ;school of enginee-ring and applied science. University of pensylvania 1989)

[6] Stéphane Mallat (Une Exploration des signaux en ondelettes ) PARIS 2000 . [7] S.Mallat (Polynômes de legendre et ondelettes ).Paris 2000

[8] J.Martinez -P.Gajan-A.Strzelecki . (Analyse temps-fréquence .Ondelettes) 1994. [9] Y.Meyer (ondelettes et opérateurs vol.I.Hermanu 1989).

[10] F.Mohammadi ,M.M Hosseini Yazd University Iran (A new legndre wavelet opratio-nal matrix of derivative and its application in solving the singular ordinary di¤erntial equations):2011

[11] F.Mohammadi or M.M.Hosseini and Syed Tauseef Mohyu.Din .(A new operational ma-trix for legendre wavelets and its applications for solving fractional order boundary values problems ).2011

[12] Mujeeb Ur Rehman , Rahmat Alikhan( The legendre wavelet methode for Solving frac-tional di¤erential equations )2011.

[13] R.Murrenzi : (ondelettes multidimonsionnelles et applications à l’analyse d’images. Uni-versité de louvain 1990).

[14] Nagma Irfan and S.Kapoor( Quick Glance on di¤erent Wavelets and their opérational matrix properties )2011

[15] Razzaghi and Youse… (Legendre wavelets operational matrix of integration .Int.journal.syst.science ).

[16] M.RAZZAGHI,S.YOUSEFI, The Legendre wavelet opérational matrix of integra-tion_International Jornal of Systeme Sience 32, 2001,495-5002.

BIBLIOGRAPHIE 37

[17] CONOU Jean Louis( Méthodes spectrales et polynôme de Jacobi d’indice (0,2)). [18] Polynômes orthogonaux et polynômes Macadonald(université de QUéBec à Montréal) [19] MEGUENNI. A, Matrice opérationnelle de dérivation fractionnaire des ondelettes de