INTERPRÉTATION MATHÉMATIQUE DE LA « HARPE DE NIKURADSÉ » À PARTIR DE QUELQUES HYPOTHÈSES PHYSIQUES

N " SPÉCIAL A/1954 L A H O U I L L E B L A N C H E 255

Interprétation mathématique de la " Harpe de Nikuradsé"

à partir de quelques hypothèses physiques

Mathematical interprétation of " Nikuradse's H a r p "

from some physical hypothèses

l ' A i t F . B T E S E L

I N G É N I E U R A U L A B O R A T O I R E D A U P H I N O I S l l ' l ! Y D H A U L I Q U E ( N E Y R P H : )

Circonstances et portée exacte de l'étude. Hypo- Circumstances and implications of the study.

thèses de base : les diverses tranches de l'écou- Basic hypothèses : the varions sections of the lement obéissent soit à une loi laminaire, soit flow are governed either by a laminary law or à une loi turbulente, lois caractérisées par la by a turbulent law, both of which are distin- relation entre gradient de vitesse et effort de guished by the relation between the velocitg cisaillement. Critère pour la délimitation des gradient and lhe shearing stress. Criterion for zones d'application de ces lois. Cas des con- the délimitation of areas in which thèse laws duites lisses : discordance constatée aux faibles can be applied. The case of smoolh pipes; in- nombres de Reynolds; tentative d'ajustement à conformity found at low Reynolds numbers;

partir d'hypothèses physiques plausibles; inté- attempt at adjustment from plausible physical rêt des résultats obtenus; indétermination du hypothèses; interest of the results oblained : raccordement au régime laminaire, validité de indeterminateness of the passage to the la- la droite de Blasius vers les grands nombres de minary flow curve, validity of the Blasius Reynolds, Cas des conduites rugueuses, qui peut straighl line for high Reynolds numbers. Case se ramener à celui d'une conduite lisse fictive. of rough pipes which are compared to a fie- Ecarts entre courbes trouvées et harpe de Niku- titious smoolh pipe. Différences between eurves radse; leur signification possible. found and Nikuradse's harp, and their possible

signifieance.

A V A N T - P R O P O S I l n'est pas i n u t i l e , a v a n t de présenter le cal-

cul o b j e t de ce r a p p o r t , d'en préciser le sens et la p o r t é e en i n d i q u a n t l'esprit dans lequel j e l'ai e n t r e p r i s .

Il y a q u e l q u e s années, peu v e r s é dans les p r o - b l è m e s de turbulence en conduite c y l i n d r i q u e , je m e p l o n g e a i s dans un o u v r a g e bien connu trai- tant de cette question. V i t e p e r d u dans le flot des n o u v e l l e s notions et des n o u v e a u x s y m b o l e s , j ' e s s a y a i de r e c o n s t i t u e r certains r a i s o n n e m e n t s ou calculs à l i v r e f e r m é , puis, m e r e p o r t a n t à l ' o u v r a g e , de c o r r i g e r les déductions obtenues.

S o u m e t t a n t à cette é p r e u v e les conclusions d e q u e l q u e s h y p o t h è s e s s i m p l e s ( h y p o t h è s e s 1, 2, 3, 4 et 5 c i - d e s s o u s ) , j ' e u s la surprise d'obtenir une é q u a t i o n de f o r m e m o d é r é m e n t c o m p l i q u é e ( é q u a t i o n n" 2 5 ) q u i se trouvait représenter (en c o o r d o n n é e s l o g a r i t h m i q u e s ) la d r o i t e de B L A S I U S

(conduites lisses) avec une a p p r o x i m a t i o n ines- pérée et sans « ajustement » de constante.

E n c o u r a g é par ce résultat et par les conseils de M . D A N K L , j e fus a m e n é à c o m p l i q u e r un peu ar- tificiellement les hypothèses de façon à a m é l i o - rer e n c o r e les résultats obtenus, en p a r t i c u l i e r en ce qui c o n c e r n e la transition entre le r é g i m e l a m i n a i r e et le r é g i m e turbulent lisse.

Cette phase du calcul est é v i d e m m e n t très c r i - licable puisque, en introduisant suffisamment de p a r a m è t r e s et d'hypothèses de circonstances, on peut toujours a r r i v e r à r e p r é s e n t e r n ' i m p o r t e quelle loi.

Cependant, sans v o u l o i r m e d é f e n d r e d ' a v o i r orienté m e s h y p o t h è s e s n o u v e l l e s dans le sens indiqué par l'allure des courbes e x p é r i m e n t a l e s , je crois que les résultats obtenus ont plus de valeur q u ' u n e f o r m u l e e m p i r i q u e pure el s i m p l e . Ce sentiment esl basé sur deux faits :

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1954002

256 L A H O U I L L E B L A N C H F. N ° SPÉCIAL A/1954

1. L e s hypothèses sont s i m p l e s et ont toutes un sens p h y s i q u e r a i s o n n a b l e , un seul para- m è t r e se t r o u v a n t d é t e r m i n é d'une façon e n t i è r e m e n t e m p i r i q u e ;

2. L e s résultais se prêtent à des interprétations qui n'étaient pas e x p l i c i t e m e n t contenues dans les hypothèses ayant servi à les éta- b l i r ; ceci c o n c e r n a n t en p a r t i c u l i e r l ' i n d é - t e r m i n a t i o n foncière du passage du ré- g i m e l a m i n a i r e au r é g i m e turbulent, et le caractère fortuit de la f o r m e de la loi de B L A S H ' S pour les conduites lisses.

En r é s u m é , le calcul qui v a être e x p o s é n'est pas r é e l l e m e n t un calcul e m p i r i q u e ; i l c o n d u i t d'ailleurs à des f o r m u l e s t r o p c o m p l i q u é e s p o u r être f a c i l e m e n t m a n i a b l e s . Ce n'est pas non plus un calcul t h é o r i q u e c o m p l e t car les h y p o t h è s e s en sont trop a r b i t r a i r e s . II a d o n c u n i q u e m e n t la valeur d'un schéma qui peut servir d e g u i d e p o u r certaines v é r i f i c a t i o n s e x p é r i m e n t a l e s .

En terminant cet a v a n t - p r o p o s , j e r e m e r c i e ici M . C a h r y p o u r ses suggestions et p o u r les cal- culs n u m é r i q u e s d o n t il a assumé l ' e x é c u t i o n ou la v é r i f i c a t i o n .

N O T A T I O N S > E T H Y P O T H È S E S D E B A S E

Soit un é c o u l e m e n t dans une c o n d u i t e circu- laire de r a y o n r^{r t}. N o u s ne c o n s i d é r o n s , en cha- que point, que les valeurs m o y e n n e s V des v i t e s - ses et nous a d m e t t o n s que celles-ci sont partout parallèles à l'axe de la c o n d u i t e et ne d é p e n d e n t que de leur é l o i g n e m e n l « y » de cet axe (fig. 1 ) .

L ' e a u dans la c o n d u i t e se déplace sous l'in- fluence d'un g r a d i e n t de pression K :

K = — dp

~dx ^{( 1 )}

.r étant mesuré Je l o n g de l ' a x e de la conduite dans le sens de l ' é c o u l e m e n t . D a n s le cadre d e la schématisation adoptée, nous a d m e t t o n s que les efforts internes dans le fluide se réduisent à une tension de c i s a i l l e m e n t T , e l l e - m ê m e f o n c - tion de « y » seulement. O n sait q u e des consi- d é r a t i o n s simples p e r m e t t e n t d'établir la r e - lation :

K i /

2 (2)

N o u s allons définir une loi liant les cisaille- ments et les vitesses V , en p a r l a n t des h y p o t h è - ses suivantes :

1. L ' é c o u l e m e n t dans la c o n d u i t e obéit à seu- lement deux types de lois qne nous a p p e l l e r o n s r e s p e c t i v e m e n t loi l a m i n a i r e et loi turbulente.

2. D a n s les zones où l ' é c o u l e m e n t obéît à la loi

« l a m i n a i r e » , le c i s a i l l e m e n t est lié au gradient par la f o r m u l e :

d V

dy ( 3 )

D a n s les zones où l ' é c o u l e m e n t obéit à la loi ( ' ) Nous utiliserons sans les définir'certaines notations très classiques que Ton pourra retrouver dans l'ouvrage

de A . B A K H M K T E F F : Mécanique de l'écoulement turbulent

îles putiles.

« turbulente » , g r a d i e n t :

T est p r o p o r t i o n n e l au c a r r é du

\ dy )

(4) O n sait que, p o u r l ' h o m o g é n é i t é des d i m e n - sions, o n est a m e n é à c o n s i d é r e r l c o m m e une l o n g u e u r ( l o n g u e u r de m é l a n g e ) .

4. I v a r i e p a r a b o l i q u e m e n t ( * ) et i l est nul sur les p a r o i s p o u r les c o n d u i t e s lisses :

l = \ (5)

F I G . 1

( * ) On peut trouver des formes de / plus proches des observations, par exemple : / = fi (/•„•» — y*)/r⁽,3. La théorie plus compliquée qui en résulte a été étudiée par M. C A K H Y . L'amélioration apportée aux formules finales ne semble pas justifier l'accroissement de longueur des calculs.

N " SPÉCIAL A/1954 L A H O U I L L E B L A N C H E

Ces lois p e r m e t t a n t de d é t e r m i n e r , pour cha- que t y p e d ' é c o u l e m e n t , les gradients de vitesse c o r r e s p o n d a n t à une valeur de T donnée on ne retiendra, en chaque point, que le plus faillie,

en v a l e u r absolue, des deux gradients obtenus.

Ceci r e v i e n t à supposer q u e l e fluide a toujours une viscosité apparente g l o b a l e au m o i n s égale à u. :

É T U D E S D E S C O N D U I T E S L I S S E S

L e s hypothèses énoncées ci-dessus nous per- mettent de calculer e n t i è r e m e n t les caractéristi- ques ( m o y e n n e s ) de l ' é c o u l e m e n t en conduite.

I. — D é t e r m i n a t i o n des limites des zones d ' a p p l i c a t i o n des lois l a m i n a i r e s et turbulentes.

L ' é q u a t i o n l a m i n a i r e ( 3 ) donne, c o m p t e tenu de la valeur ( 2 ) de T :

( 6 ) et ( 7 ) K² y-

4 a-

Les équations turbulentes ( 4 ) et ( 5 ) donnent

(—Y

D ' a p r è s l'hypothèse n" 5, on utilisera la loi la- m i n a i r e si :

K_^S

4 r,r K y

2 soit

ou encore

en posant

W — y-Y-

K 5 3 2

.'/

'V.

S >0 \ / K > ''o

( 9 )

(10)

(11

(12) L a figure 2 p e r m e t de discuter r a p i d e m e n t l'équation ( 1 1 ) . Si ? esl supérieur ou égal à 4 X ( 5 ) -r' /4 # 0,535, seule la loi l a m i n a i r e est uti- lisée. Si 9 esl inférieur à 0,535, il y a une zone annulaire où on utilise la loi turbulente ( I I ) et deux zones où on utilise la loi l a m i n a i r e ; l'une de ces zones ( I ) se t r o u v e le long de la p a r o i (cou- che l a m i n a i r e ) , et l'autre ( I I I ) dans l'axe de la conduite.

Q u e l q u e s r e m a r q u e s s'imposent à p r o p o s de cette d e r n i è r e zone. T o u t d'abord il est utile de préciser q u e le fait d ' y supposer l'écoulement régi par la loi l a m i n a i r e ne signifie pas q u e l ' é c o u l e m e n t y soit effectivement l a m i n a i r e ( c o m m e cela est parfois supposé pour la zone à la p a r o i ) .

P o u r bien faire c o m p r e n d r e ce qui précède, et quitte à nous répéter, nous allons préciser le

Fie. 2

sens p h y s i q u e d'une telle zone : bien que la tur- bulence soit m a x i m u m au v o i s i n a g e du centre, le c i s a i l l e m e n t dû aux transferts de masse y esl cependant plus faible que celui dû à la viscosité, ceci étant une conséquence de la d i m i n u t i o n du g r a d i e n t de vitesse, et du fait que le p r e m i e r ci- saillement est, dans nos hypothèses, p r o p o r t i o n - nel au carré de ce gradient, alors que le second esl s i m p l e m e n t p r o p o r t i o n n e l au gradient lui- m ê m e ; or, nous a d m e t t o n s que les efforts v i s - queux v i e n n e n t r e m p l a c e r les efforts dûs à l ' A u s - tauch l o r s q u e ceux-ci leur d e v i e n n e n t i n f é r i e u r s . En fait, si l'on ne tenait pas c o m p t e du « noyau l a m i n a i r e » , le calcul aboutirait, dans certains cas, à des é c o u l e m e n t s turbulents présentant des pertes de charges inférieures à celles d ' é c o u l e - ments l a m i n a i r e s de m ê m e débit.

N o t o n s d'ailleurs que l'influence de la zone 111 décroît très r a p i d e m e n t lorsque le n o m b r e de R e y n o l d s a u g m e n t e puisque, lorsque 9 décroît, la zone I I I d e v i e n t très vite n é g l i g e a b l e .

4

258 L A H O U I L L E B L A N C H E N " SPÉCIAL A/1954

I L — E t u d e d u r é g i m e m i x t e

Laissant de côté le cas p u r e m e n t l a m i n a i r e bien connu, nous n'étudierons, dans ce qui suit, q u e le cas 9 < 0,535 pour lequel il existe une z o n e t u r b u l e n t e l i m i t é e p a r des c y l i n d r e s de r a y o n y² et j / i (y2 < Ui)-

L a répartition des vitesses dans les zones où s'applique la loi l a m i n a i r e satisfait à l'équation ( 7 ) dont on déduit par i n t é g r a t i o n :

4 u (13)

Dans la zone turbulente, on a de m ê m e , par i n t é g r a t i o n de ( 8 ) , après e x t r a c t i o n d'une racine carrée K r n' ^{: !} , i . k /•,

~~ ? V 2 ? y rf — if- ^U P

V

1 V r⁰ J

v== - W^ ^(y)+Cle

en posant

A (y) — arg th ( arc te /_y y/a

\^r o / '

( 1 4 )

(15) L a vitesse devant être nulle à la paroi, la vitesse dans la z o n e l a m i n a i r e I est donnée, d'après ( 1 3 ) par :

K

4 u . (^J\r — il-)

P a r t a n t de la vitesse p o u r y = y¹ qui est, d'après ( 1 6 ) V , K ( ' o² — i / r ) . on a dans la zone I I , d'après ( 1 4 ) :

(16)

(17)

( 1 8 )

V^nI se d é t e r m i n e d'une m a n i è r e analogue. E l l e r é p o n d à l'équation (1-3) et V » est d o n n é par ( 1 8 ) . On obtient :

A partir des vitesses, on peut calculer les débits passant dans les trois zones :

( 1 9 )

Jvx 4 a

2 * K | 9

J lia

„ 2 x . K r„ ! . . ,

Q " = x * V ^ 7 i ^{A ( i , , )}

•'/>"

9

4

A ( ( / ) _

<> J » 2 J 2 y- f / .J>

(20)

(21)

N " SPÉCIAL A / 1 9 5 4 L A H O U I L L E B L A N C H E 259

L e débit total est en définitive :

Q = Q i + Q n + Qui =

y *

—

a i = Q K

8 a

* K r.

? V

(13!

(24 )

I I I . —- R e l a t i o n >. ( c R ) En introduisant le n o m b r e de R e y n o l d s cil =~- (

lion ( 2 4 ) s'écrit :

2 I L r,,/-/) e l en utilisant l'équation ( 1 2 ) , la rein-

61 = ^ 1 1 1

; •"..ga.

D ' a u t r e part, si l'on introduit le coefficient de frottement classique :

9 V-

4 K r,

(26) on obtient, à partir de ( 1 2 ) , et en tenant c o m p t e de ce que u, = s v :

32 '

(27) R a p p e l o n s l'inégalité ( 1 1 ) : yx et j /2 sont racines de l'équation :

1

\ r0 J

(28)

Fit». :l. - lui Irait plein la courbe théorique correspond à fi - 1.7.

Les relations ( 2 5 ) , ( 2 7 ) et (28) donnent para- m é l r i ( | u e m c n t la relation liant À et 61 pour les

* ( y ) (25)

conduites lisses, à condition de connaître la va- leur de 3.

P o u r les grands nombres de R e y n o l d s , les mesures des vitesses déficitaires peuvent p e r m e t - tre de d é t e r m i n e r a p p r o x i m a t i v e m e n t la v a l e u r de 3 assurant la m e i l l e u r e c o n c o r d a n c e avec les points e x p é r i m e n t a u x .

Si l'on se donne B( l'équation (19) permet de calculer V m a x . en posant y2 = 0 ( g r a n d s n o m - bres de R e y n o l d s ) . D e m ê m e V est donné par ( 1 8 ) . L a figure 3 r e p r o d u i t la courbe des vites- ses déficitaires ainsi obtenues en supposant 8 = 1/7. O n v o i t que celte valeur semble la meilleure possible. R a p p e l o n s , ce qui fait son in- térêt, q u ' e l l e se trouve ainsi d é t e r m i n é e en tonte indépendance des résultats expérimentaux con- cernant les pertes de charge ( h a r p e de. Ni mi- r a n s e ) .

E l u d i o n s alors le calcul de la courbe À (61) : P H E M I E I i ESSAI.

N o u s supposerons tout d'abord que 8 con- serve, quel que soit, l'écoulement, une valeur fixe cpie nous prendrons par conséquent égale à 1/7.

On pourra alors adopter le processus de cal- cul .suivant :

a) On se donne une valeur précise, de (/, ; In On calcule à l'aide de ( 2 8 ) , la valeur corres-

pondante de o;

c ) On d é t e r m i n e y.z a p p r o x i m a t i v e m e n t à l'aide de la figure 2, et on ajuste sa valeur par tâtonnements j u s q u ' à ce qu'elle vérifie l'équation ( 2 8 ) ;

d) On calcule 61 par la f o r m u l e ( 2 5 ) , en tenant c o m p t e de ce que 3 = 1/7;

ci On calcule À par la f o r m u l e ( 2 7 ) .

On obtient ainsi la courbe ( I ) de la planche I . On constate i m m é d i a t e m e n t que celte courbe ne

260 L A H O U I L L E B L A N C H E N " SPÉCIAL A/I9Ô4

rend q u ' i m p a r f a i t e m e n t c o m p t e des résultats ex- périmentaux relatifs aux conduites lisses. Cepen- dant l'accord est bon pour les g r a n d s n o m b r e s de R e y n o l d s et en p a r t i c u l i e r la courbe longe de très près la droite de Blasius. P a r contre, l'accord est m é d i o c r e p o u r les petits n o m b r e s de R e y - n o l d s ; en particulier, le retour au l a m i n a i r e se fait d'après l'équation ( 2 5 ) et c o m p t e tenu de la valeur déjà signalée de o correspondant à

{/i={/«,

pour :

1

1

\

E n résumé, pour les petits n o m b r e s de R e y - nolds, nos hypothèses semblent f a i r e i n t e r v e n i r une turbulence trop i m p o r t a n t e . N o u s a v o n s donc été conduits à les m o d i f i e r .

D E U X I È M E E S S A I .

Il y a é v i d e m m e n t bien des façons de m o d i - fier nos hypothèses dans le sens d'une r é d u c t i o n de la turbulence pour les faibles valeurs de (fi,

ceci r e v i e n t en fait à r é d u i r e les v a l e u r s de la longueur de m é l a n g e . A f i n d'utiliser au m a x i - m u m les calculs d é j à faits, nous a v o n s p r o c é d é à cette r é d u c t i o n en a d m e t t a n t q u e la r é p a r t i t i o n p a r a b o l i q u e de l était c o n s e r v é e , c'est-à-dire, en ne m o d i f i a n t que la v a l e u r de f$ qui d e v i e n t ainsi une f o n c t i o n à définir de (fi.

P o u r choisir la f o r m e de cette f o n c t i o n , nous nous s o m m e s inspirés des considérations sui- vantes :

a) Il n ' y a en l'ail q u ' u n e seule v a r i a b l e i n d é - pendante, (fi par e x e m p l e , dans le p r o -

log R

b l ê m e qui nous o c c u p e ; en effet, À et 9 sont f o n c t i o n de (fi. I l est donc é q u i v a - lent de considérer que 3 est une certaine fonction de (fi ou une c e r t a i n e fonction de À ou de 9 , ou enfin une f o n c t i o n d'une c o m b i n a i s o n q u e l c o n q u e des trois q u a n t i - tés (fi, À et 9 .

b) A u p o i n t de vue de la s i m p l i c i t é des calculs, on est tout d'abord tenté de considérer g

N ° SPÉCIAL A/1954 L A H O U I L L E B L A N C H E

c o m m e une f o n c t i o n de a q u i est le para- m è t r e ; cependant, o n peut r e p r o c h e r à 9 de n ' a v o i r p a s d'interprétation p h y s i q u e s i m p l e . P a r contre, X (fi se t r o u v e n'être f o n c t i o n q u e d e 9 car on a, d'après les équations ( 2 5 ) et ( 2 7 ) :

64

H-

\ '0/ ,

4 ( ï ) _ » ( J L ^ (291 Une f o n c t i o n d e X (fi est donc é q u i v a l e n t e , du point de vue c o m m o d i t é , à une fonction de 9 , e l ,

64

d'autre part,-, possède une interprétation p h v -

1 X (fi 1

sique très intéressante car on peut mettre cette expression sous la f o r m e — cf. èq. ( 2 7 ) et (12) et expression classique d e (fi.

64 8 U [J-

K (30)

Kj étant le g r a d i e n t de pression nécessaire pour faire passer le m ê m e débit en l'absence d e toute t u r b u l e n c e ( f o r m u l e d e P O I S E U I L L E ) .

L o r s q u e le r é g i m e d ' é c o u l e m e n t est l a m i n a i r e , K devient identique à K , , autrement dit, toute l'énergie due au g r a d i e n t de pression est uti- lisée pour assurer le d é p l a c e m e n t de l'eau p a r rapport aux parois. D è s q u e la turbulence s'ins- talle, K d e v i e n t plus g r a n d q u e K , et o n peut a d m e t t r e q u e la différence K — K; est p e r d u e en pure turbulence, a u t r e m e n t dit, q u e l ' é n e r g i e correspondante sert à entretenir la turbulence.

E n définitive, n o t r e p r e m i è r e h y p o t h è s e c o m - p l é m e n t a i r e a été la suivante : a d m e t t o n s q u e P, définissant la l o n g u e u r de m é l a n g e , au lieu d'être constant c o m m e c'est l o g i q u e m e n t le cas poul- ies très grands n o m b r e s de R e y n o l d s , est p r o p o r - tionnel à l'excédent d ' é n e r g i e absorbé p a r le fluide turbulent p a r r a p p o r t à l ' é n e r g i e stricte- m e n t nécessaire pour assurer l e passage du m ê m e

débit en l a m i n a i r e . Ceci donne l ' h y p o t h è s e : K — K ,

K P« ( 1 64 N

"X (f^{v ( 3 1 )} étant constant.

L a n o u v e l l e courbe résultant d e cette h y p o - thèse est tracée sur la planche I (courbe 2 ) . I m - m é d i a t e m e n t q u e l q u e s r e m a r q u e s s'imposent : n) Il semble q u e la correction de fi ainsi faite

soit un p e u f o r t e ;

b) L a courbe représentant la f o n c t i o n X ((fi) se c o m p o s e d e la totalité d e la d r o i t e l(fi=M c o r r e s p o n d a n t au r é g i m e l a m i n a i r e , e l d'une branche courbe représentant assez

bien les résultats e x p é r i m e n t a u x pour l'écoulement turbulent m a i s p l o n g e a n t a s y m p t o t i q u e m e n t à la d r o i t e l a m i n a i r e au lieu de s'y r a c c o r d e r c o n f o r m é m e n t aux résultats e x p é r i m e n t a u x courants.

Cette allure inattendue n'était pas sans nous i n q u i é t e r q u e l q u e p e u ; au c o n t r a i r e , elle eut le don de plaire beaucoup à M . D A - N K L , auquel les calculs furent m o n t r é s à ce stade. E n effet, M . D A N E I . pensait q u e la présence de la totalité d e la droite l a m i - naire était souhaitable du fait de certai- nes considérations théoriques et de cer- tains essais ( M M . P O R T I E R et C O M O L E T ) tendant à p r o u v e r q u e le r é g i m e l a m i - naire p o u v a i t , m o y e n n a n t de grandes p r é - cautions, être maintenu bien au-delà du n o m b r e de R e y n o l d s critique usuel.

Il pensait é g a l e m e n t q u e la g r a n d e dispersion des points e x p é r i m e n t a u x dans la zone du rac- c o r d e m e n t des deux courbes s'expliquerait mieux par un p h é n o m è n e d'instabilité faisant sauter le p o i n t représentatif d'une courbe à l'autre, q u e par un r a c c o r d e m e n t sans histoire qui, lui, ne se p r ê t e r a i t à aucune i n t e r p r é t a t i o n de c e l l e dis- persion.

T R O I S I È M E E S S A I .

E n résumé, en cherchant à a m é l i o r e r encore le résultat obtenu, il semblait utile de conserver les caractéristiques i n d i q u é e s en b. Ceci est o b - tenu d'une façon très s i m p l e e n posant :

1 6 4 _

" X >v

(32) a devant être d é t e r m i n é e m p i r i q u e m e n t de façon à obtenir la m e i l l e u r e a p p r o x i m a t i o n possible, cette d é t e r m i n a t i o n d o n n e ( * ) :

a # 3 / 4 (33)

On obtient alors la courbe ( 3 ) de la planche I qui c o m p r e n d :

(i) L a totalilé d e la droite l a m i n a i r e , ce qui re- flète la possibilité de stabilité e x c e p t i o n - nelle du r é g i m e l a m i n a i r e ;

( * ) I l est assez naturel, dans l'esprit des hypothèses faites, d'avoir à faire une réduction de la correction, ne serait-ce que pour les deux raisons suivantes :

1° K^{f î} n'est qu'une approximation par défaut des pertes de charge laminaires, car i l correspond à une répartition de vitesses plus favorable que celle régnant en écoule- ment turbulent;

2 ° L a turbulence s'use elle-même en donnant à l'eau une viscosité apparente plus grande, qui constitue un facteur d'anto-amortissemenl.

262 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° SPÉCIAL A/1954

b) Une branche courbe a s y m p l o t i q u e à la droite laminaire, qui ne s e m b l e pas p o u v o i r porter de points e x p é r i m e n t a u x , ce que l'on peut interpréter en disant q u ' e l l e cor- respond à des r é g i m e s f o n c i è r e m e n t ins- tables;

ci L'n coude brusque représentant bien les ré- sultats e x p é r i m e n t a u x entre :

l o g d l # 3 , 5 et l o s d i # 3 , 8 ; d) Une partie quasi r e c l i l i g n e qui, à la précision

du g r a p h i q u e , suit la droite de Blasius sur une longueur surprenante allant de :

l o g d l # 3 , 8 ^a l o g t P v # 5 , 3 ; c) Une branche s'écartant, g r a d u e l l e m e n t et vers

le haut, de la droite de Blasius.

N o u s avons donné plus haut l'interprétation

q u e l'on p o u v a i t faire des parties ( / ) , b) el c) de cette c o u r b e ; il est intéressant é g a l e m e n t de faire quelques c o m m e n t a i r e s sur l'allure des parties

<?) e l c). Celles-ci c o n l i r m e r a i e n l l'exactitude de la loi de Blasius, q u i serait p r a t i q u e m e n t r i g o u - reuse dans une l a r g e g a m m e de n o m b r e s de R e y n o l d s . Cette c o n c o r d a n c e est d'autant plus inattendue et r e m a r q u a b l e q u e l ' é q u a t i o n X {o\) à l a q u e l l e nous conduit notre calcul a une f o r m e c o m p l e x e sans r a p p o r t apparent avec la loi si s i m p l e de Blasius.

L a courbe t h é o r i q u e trouvée suil la d r o i t e de Blasius plus l o n g t e m p s et s'en éloigne plus len- tement que les courbes e x p é r i m e n t a l e s de N i k u - radsé correspondant aux conduites les plus lis- ses. 11 est très difficile e x p é r i m e n t a l e m e n t de dé- terminer si la théorie a raison sur ce point car il faudrait pour cela réaliser des conduites de grandes d i m e n s i o n s présentant un p o l i p a r f a i t ; or cela est sans i n t é r ê t p r a t i q u e .

É T U D E S D E S C O N D U I T E S R U G U E U S E S

L a représentation de la loi de l ' é c o u l e m e n t en conduite lisse ayant été obtenue r e l a t i v e m e n t fa- c i l e m e n t à l'aide d'hypothèses p h y s i q u e m e n t simples n ' i m p l i q u a n t qu'un seul coefficient c o m - plètement arbitraire ( » . ) , il était intéressant de voir s'il était possible d'étendre cette représen- tation au cas des conduites rugueuses.

Il est certain que la rugosité des parois a pour effet de f a v o r i s e r la turbulence à leur v o i s i n a g e . On peut tenir c o m p t e de ce fait, dans le cadre des hypothèses faites plus haut, en supposant (pie, à la paroi, la longueur de m é l a n g e est dif- férente de zéro. Si l'on admet que la r u g o - sité peut être caractérisée par une longueur, il esl n o r m a l de supposer que cette l o n g u e u r de mélange a une v a l e u r constante, p r o p o r t i o n n e l l e à la l o n g u e u r caractérisant la rugosité.

Telle, quelle, c e l t e h y p o t h è s e ( j o i n t e à celles cpii ont été faites p o u r les conduites lisses) con- duit à des calculs difficiles; c'est p o u r q u o i nous l'avons modifiée en admettant que la longueur de mélange à la paroi est p r o p o r t i o n n e l l e à :

64

, , _ _ j

c o m m e l'ensemble des longueurs de mélange ( * ) . Ceci r e v i e n t encore à supposer que la réparti- lion p a r a b o l i q u e de la longueur de m é l a n g e part d'un c y l i n d r e d'un r a y o n r„ (1 -4- e) supérieur à celui de la conduite, e caractérisant la rugosité

( * ) Il est à noler d'ailleurs que celte modification semble changer assez peu les résultais définitifs.

relative, à une constante m u l t i p l i c a t i v e près ( v o i r fig. 4 ) .

D ' u n e façon plus précise, nous a v o n s a d m i s que les g r a d i e n t s de vitesse dans la conduite ru- gueuse considérée étaient donnés, en f o n c t i o n de

!

Y

i

A

H';

' \ 1

/ y- : i ;

- V, ' • v,

'.' v /

C

l !

,• ï',

0

i «

! 1 ' V '

h

t'a ^{- rD}( 1 4 t ) f i r , . 1

la distance au centre, par la f o r m u l e v a l a b l e p o u r une conduite lisse de r a y o n r⁰ (1 -f- ^£) - A u t r e m e n t dit, l'écoulement dans la c o n d u i t e rugueuse esl en q u e l q u e sorte découpé dans celui d'une con- duite lisse de d i a m è t r e l é g è r e m e n t supérieur.

En f o n c t i o n de ces hypothèses, on est amené à considérer deux r é g i m e s p o u r les conduites ru- gueuses :

(/) Un r é g i m e turbulent lisse pour lequel il existe encore à la paroi une zone l a m i n a i r e au sens défini plus h a u t ;

N " SPÉCIAL A/1954 L A H O U I L L E B L A N C H E 263

b) U n r é g i m e c o m p l è t e m e n t turbulent lorsque la z o n e l a m i n a i r e à la p a r o i a c o m p l è t e - m e n t disparu.

N o u s allons étudier successivement ces deux r é g i m e s :

a) RÉGIME T U R B U L E N T LISSE.

A i n s i q u ' i l est dit plus haut, nous allons nous référer à l ' é c o u l e m e n t dans une conduite lisse de r a y o n r⁰ (1 -f- e ) et nous singulariserons par un accent toutes les caractéristiques r e l a t i v e s à cette conduite, par e x e m p l e :

/•'„ = r,, ( 1 + s )

P a r t a n t d'un r é g i m e donné dans la conduite lisse, nous en déduirons le r é g i m e c o r r e s p o n d a n t dans la conduite rugueuse en nous l i m i t a n t tout d'abord au cas où celle-ci présente e n c o r e une couche l a m i n a i r e à la p a r o i ( r é g i m e turbulent l i s s e ) .

Cette dernière condition peut s ' e x p r i m e r par :

U'i < '"c ( 3 4 )

soit encore :

u' : < -, \ ~ i s ( 3 5 )

lu 1 -(- 3

L e débit passant dans la conduite rugueuse c o r r e s p o n d au v o l u m e A C B (fig. 4 ) . Il est donc égal à celui qui passe dans la conduite lisse, m o i n s les débits correspondant aux v o l u m e s B D E el C O D B . Or, on a, avec des notations évidentes :

cf. éq. ( 2 0 )

Qnm, - g— +

-

-J -

O ^ K « r„- f ( 3 7 )

4 H- cf. eq. ( 1 6 )

On a donc

Q = Q ' — -KJL [ ^W _ r „ 2 ) 2 - - 2 r⁽⁾"~ ( r y — r/) )

Q = Q ' _ K ^ [ ( 1 + . ) < - . 11 On en déduit

et enfin

On a d'autre part, v o i r (26) :

soit

X d l2 = 16 K ' V L = 1 6 K r'f <L ( i ⁺ , ) - 3 = g l ^ ± 4 l l = X- w (1 Ces relations, c o m b i n é e s avec ( 4 0 ) , d o n n e n t enfin :

X d l X ' d l ' 64 ou e n c o r e :

J — = M ^T7Ï7 (1 +

) ~ 1 -^7-=T 1<4 + 4 e)

A 61 \ A' d l ' / \ A ' d l ' /

(38)

a i = s L ; — [ d + — i ] = a i ' a + o2 — r d + « )4 — 11 ( 3 9 )

dl =

''" '

'

— f

^{cl -. dl'}

v 4 u. v 4 a^J '• ' ¹

(42)

1 = - ï A r ( ! + « > * - l è r [ a + . ) » - ! ] ( 4 3 )

(44) ce qui, c o m b i n é avec 4 2 ) , qui peut s'écrire :

X d l2 = X' d l '2 (1 +

« ) - m

p e r m e t de d é t e r m i n e r X et d l en fonction de X', d l ' et s.

2 6 1 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° SPÉCIAL A / 1 9 5 4

b) R É G I M E C O M P L È T E M E N T T U R B U L E N T .

On p o u r r a i t d é t e r m i n e r les lois de ce r é g i m e par c o m p a r a i s o n avec les r é g i m e s lisses, c o m m e p r é c é d e m m e n t ; mais on peut p r o c é d e r d'une fa- çon plus s i m p l e en r e m a r q u a n t q u e p o u r des o r d r e s de g r a n d e u r r a i s o n n a b l e s de la rugosité, le noyau régi p a r la loi l a m i n a i r e ( z o n e I I I ) de- vient a b s o l u m e n t n é g l i g e a b l e et que, par consé-

L ' a l l u r e des courbes théoriques r e l a t i v e s aux conduites rugueuses n'est pas e x a c t e m e n t sem- blable à celle des courbes de N i k u r a d s c . E n p a r t i - culier, les courbes t h é o r i q u e s s'écartent plus ra- p i d e m e n t de la courbe lisse. Ceci p o u r r a i t i n d i - q u e r q u e les f o r m u l e s obtenues sont m e i l l e u r e s pour les rugosités m i x t e s du t y p e i n d u s t r i e l q u e pour les rugosités calibrées utilisées par N i k u - radsé; on sait en effet q u e les essais de Colebrook

LOG (100 X)

P L A N C H E I I quent, tous les gradients sont p r a t i q u e m e n t défi-

nis par l'équation calquée sur ( 8 ) : , <7 y -

S'2 2 o U V — ? /²)²

(46) 11 en résulte que le coefficient de p e r l e de charge l n'est plus que p r o p o r t i o n n e l à S'-, c'est- à-dire à :

1 64 \

(47

J

On pourra donc facilement d é t e r m i n e r les courbes représentant les valeurs de À pour les régimes c o m p l è t e m e n t turbulents.

En définitive, on obtient les courbes de la plan- che I I sur l a q u e l l e a été é g a l e m e n t p o r t é e en p o i n t i l l é la « harpe » de N i k u r a d s é . Q u e l q u e s r e m a r q u e s s'imposent :

log iioo x,.

Fin. 5. — Variation de la valeur l i m i t e , pour les grands nombres de Reynolds, du coefficient l en fonction de la rugosité relative d'après les résultats de Nikuradsc.

N " SPÉCIAL A/195-4 L A H O U I L L E B L A N C H E 2li5

i n d i q u e n t des d é v i a t i o n s d a n s ce sens. T o u t e f o i s , aucune c o m p a r a i s o n q u a n t i t a t i v e n'a e n c o r e été faite sur ce p o i n t ; n o u s a v o n s l ' i n t e n t i o n de r e - m é d i e r p r o c h a i n e m e n t à cette l a c u n e .

E n d é f i n i t i v e , n o u s n ' a v o n s pas c h e r c h é à r e - t r o u v e r les courbes des r u g o s i t é s c o r r e s p o n d a n t à c e l l e s de N i k u r a d s é . L e s courbes t h é o r i q u e s nous ont s e m b l é , en effet, t r o p différentes des courbes e x p é r i m e n t a l e s p o u r q u e nous puissions

e s p é r e r o b t e n i r une c o n c o r d a n c e i n t é r e s s a n t e . D ' a u t r e p a r t , les v a l e u r s l i m i t e s des coefficients de résistance s u i v e n t une loi bien r é g u l i è r e dans la t h é o r i e a l o r s q u e les e x p é r i e n c e s de N i k u r a d s é s e m b l e n t i n d i q u e r une c e r t a i n e a n o m a l i e (cf.

fig. 5 ) ; il est d o n c peu p r o b a b l e q u e l'on puisse, a v e c une a p p r o x i m a t i o n suffisante, é t a b l i r une p r o p o r t i o n n a l i t é e n t r e la r u g o s i t é de N i k u r a d s é et s.

D I S C U S S I O N Président : M. B A I I I U I . I . O N

M. le Président trouve le sujet intéressant, mais pense que les formules proposées par M . B I É S E I . interprètent l'asymplotisme horizontal des courbes de pertes de charge en régime turbulent mais non la répartition de ces diverses courbes en fonction de la rugosité : or, c'est bien cette répartition qui est représentée par la famille de courbes habituellement désignées sous le nom de harp-:'

de N I K U R A D S É .

M. B I É S E I . répond qu'on peut obtenir une formule assez voisine de la formule empirique avec toutefois des coefficients un peu différents, mais qu'il n'a pas pour- suivi dans cette voie.

P o u r M . le Président, il serait intéressant d'expliquer analytiquement pourquoi la harpe de N I K U R A D S É et sur- tout les branches de raccordement correspondent à un matériau de granulomélrie à définition géométrique tout à fait spéciale et pourquoi tous les expérimentateurs ont trouvé, pour les phénomènes réels, des courbes qui se rapprochent d'autres formules, comme celle de C.OI.K- B R O O K .

M. B I É S E I . précise que son calcul n'est pas destiné à répondre à cette question.

P o u r justifier l'opposition apparente entre les mots

<; mathématique » et « physique » qui se trouvent dans le titre, M . B I É S E L indique qu'il s'agit d'un développe- ment purement mathématique mais qui part d'hypo- thèses se présentant sous une forme physique.

M. G I B E I I T estime tout de même satisfaisant que, mal-

gré, ces considérations un peu arbitraires, le calcul de M. B I É S E I . reproduise assez bien la branche cahotique de raccordement entre la droite de B L A S I U S et les droites de

N I K U R A D S É .

M. le Président remarque que la question constitue un sujet de discussion intéressant e t rappelle que, de- puis les premières communications de N I K U R A D S É qui réalisaient une représentation remarquable au point de vue expérimentation, personne ne s'est lancé dans la re- cherche d'un réseau de courbes échelonnées faisant le raccordement entre les deux droites, et qu'à ce titre, il faut féliciter M. B I É S E I . .

M. S C H L A G demande à M. B I K S E I . si son hypothèse

consistant à conserver la courbe des vitesses, en m o d i - fiant le rayon de la quantité p pour passer d'une rugo- sité à l'autre, est en accord avec la constatation sui- vante, faite par F R I T S O H E et par N I K U R A D S É : pour une même valeur de :

\ / t / o . c'est-à-dire ?. (V-J/2 y)

et pour les grands nombres de R E Y N O L D S la différence entre la vitesse m a x i m u m et la -vitesse locale est indé- pendante de la rugosité, et uniquement fonction de

•'//TV

M. B I É S E L reconnaît qu'en fait, la vitesse déficitaire

étant proportionnelle à fi-, les abscisses sont multipliées par f5'²/fi², quand on passe d'une conduite à l'autre, mais ce rapport est très voisin de l'unité dans tous les cas pratiques.

M. S C H L A G ajoute que les valeurs sont identiques puis-

que, si le nombre de R E Y N O L D S augmente, la loi de dis- tribution de la longueur de mélange tend vers une courbe l i m i t e ; cette constatation esl à la base des lois de distributions de vitesse de P R A N D T L et de K A R M A N .

M. le Président remercie M. B I É S E I . de son intéressante communication.