motrice de iooo chevaux, actuellement en préparation et qui doit fonctionner dans les d e r n i e r s mois de l'année en cours.
Nous donnons ci-après une échelle des prix de revient par cheval, suivant les puissances, p o u r des installations de gaz pauvre complètes, c'est-à-dire composées de l'appa- reil gazogène a u t o r é d u c t e u r , du gazomètre, moteurs, tuyauteries et tous accessoires. Ces prix ont été établis d'après des exemples d'installations existantes établies dans des régions assez d i v e r s e s ; ils n'ont donc rien d'absolu, et
•doivent être considérés seulement c o m m e approximatifs : Pour une puissance de 20 à 3o chx, prix : 5oo à 45o fr. p. cheval.
— 3 o à 60 — 45o à 400 —
— 60 à 100 — 400 à 35o —
— 100 à 200 — 35o à 270 —
— 200 à 5oo — 270 à 240 —
— 5 o o à i û o o — 240 à 200 — Pour terminer, il nous reste à répondre maintenant à une question qui se pose n a t u r e l l e m e n t après cette étude des appareils à distillation et des appareils à combustion : dans quel cas l'un des deux appareils que nous venons de décrire devra-t-il être choisi de préférence à l'autre ?
L'un et l'autre sont également susceptibles d'employer le bois dans des conditions économiques très grandes, un peu meilleures s'il s'agit du gazogène a u t o r é d u c t e u r dont le rendement t h e r m i q u e peut atteindre 80 .p. 100.
D'autre part, celui-ci se contente de déchets de toutes natures, même de sciures exclusivement.
Avec les fours à gaz il faut distiller dans les cornues des ' morceaux de bois consistants et oh ne distille dans les-, cornues que du bois, tandis que le jour où les déchets manquent on p e u t sans a u c u n inconvénient alimenter le
"gazogène autoréducteur de charbon ou de coke.
Il résulte de là que si l'on se borne au point de vue exclusif de la force motrice, le gazogène a u t o r é d u c t e u r s'impose sans conteste.
Mais il est souvent du p l u s h a u t ' i n t é r ê t de faire entrer en ligne de compte, non seulement le r e n d e m e n t thermique, c'est-à-dire la quantité de calories obtenues sous forme de gai et correspondant à une quantité de combustible déter- minée, mais aussi le pouvoir calorifique du gaz obtenu et la -valeur des températures qu'on^est susceptible d'obtenir par sa combustion, n o t a m m e n t p o u r l'éclairage par incandes- cence et le chauffage au gaz.
Dans ce cas c'est évidemment l'appareil à distillation qui est tout indique. On se rappellera aussi que le gaz riche permet d'accumuler des réserves d'énergie plus grandes dans une cloche de capacité réduite, et que le moins coû- teux et le plus d u r a b l e - d e s a c c u m u l a t e u r s est encore un gazomètre.
Pour les installations de force motrice l'appareil à dis- tillation, par son extrême simplicité et par sa division en éléments de faible puissance, se prête fort bien aux petites installations. A p a r t i r . d e 20 ou 3o chevaux .c'est le gazo- gène autoréducteur qui est généralement préféré.
En résumé, l'on peut dire que ces deux appareils ne font pas double emploi, mais qu'ils c o r r e s p o n d e n t à la solution de deux problèmes différents, également intéressants, dans nos régions montagneuses et boisées, si bien dotées par la nature pour devenir olus t a r d des contrées foncièrement industrielles.
C. BlRAULT, Ingénieur des,Arts et Manufactures.
Coops de bélier dans les Conduites d'eau fermées
D'APRÈS M. L. A L L I È V I (*)
Ce p r o b l è m e est d'une importance industrielle considé- rable, n o t a m m e n t dans le cas de hautes chutes supposant toujours l'emploi de canalisations de grande longueur. 11 a été étudié théoriquement par plusieurs ingénieurs de haut mérite, et dans une série d'essais, actuellement en cours, on cherche à préciser le mieux possible les conditions matériel- les dans lesquelles s'effectuent les coups de bélier dus à l'ouverture ou à la fermeture d'une vanne t e r m i n a n t la conduite.
La solution analytique complète d'un tel problème est inabordable, du moins dans l'état actuel de nos connais- sances mathématiques. Force est donc d'employer, p o u r établir u n e telle étude, des hypothèses les moins restrictives possible. A. cet égard, le travail de M. Allièvi présente une importance indéniable, car sa méthode de calcul est p u r e - ment différentielle et les hypothèses introduites ne sont autres que celles c o u r a m m e n t adoptées pour l'étude des phénomènes hydrauliques dans les tuyaux de conduite.
Cette m é t h o d e ne suppose donc nullement que la vitesse se conserve égale pour les différentes tranches de la colonne liquide, ce qui revient à supposer que les variations de charge et de vitesse de l'eau se propagent le long de la colonne avec une vitesse infinie. C'est là le caractère p r o p r e de la théorie de M. Allièvi, et l'on va voir à quelles conclu- sions intéressantes l'a mené la considération de cette vitesse finie.
B A S E S D E LA T H E O R I E
M. Allièvi pose d'abord les équations différentielles du m o u v e m e n t varié d'une colonne d'eau au sein de laquelle, pour u n e ou pour plusieurs sections annulaires du tuyau, les conditions d'écoulement de régime viennent à être dérangées. Ces perturbations d'ordre hydrodynamique se propagent de proche en proche le long du tuyau, en don- nant lieu à des phénomènes divers dont l'étude constitue l'objet du m é m o i r e de M. Allièvi.
Ces équations, au n o m b r e de deux, expriment :
La première, que l'accélération d'une tranche liquide cylindrique, d'épaisseur infiniment petite (propagations par tranches parallèles) est égale à la différence des efforts dus aux pressions qui s'exercent sur les deux faces ; la deuxième, la relation entre les différences de vitesse, à un instant d o n n é , des deux faces de cette même tranche et la déforma- tion de la tranche liquide sous l'influence de la variation de pression dp se produisant dans l'instant d /.
L ' a u t e u r suppose négligeables,pour établirces équations, en d é m o n t r a n t que ces hypothèses sont suffisamment justi- fiées d a n s la majeure partie des cas delà pratique, les pertes de travail provenant des frottements des filets liquides les uns sur les autres, et la possibilité pour chaque élément annulaire du tuyau de pouvoir se dilater ou se comprimer d'une manière indépendante de ses voisins.
(*) C o n f é r e n c e faite à la C h a m b r e d e C o n i m e r c e d é G r e n o b l e , s o u s les a u s p i c e s d e la S o c i é t é p o u r le d é v e l o p p e m e n t d e l ' e n s e i g n e m e n t t e c h n i q u e p r è s l ' U n i v e r s i t é d e c e t t e ville.-
Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1904045
Appelons f0 et y les hauteurs de charge (évaluées en colonne de liquide) c o r r e s p o n d a n t aux pressions p 0 et p (pression de régime et pression à un m o m e n t quelconque dans le régime troublé) dans u n e tranche quelconque, î>o et P les vitesses d'écoulement correspondantes dans la m ê m e tranche (en régime ou à un m o m e n t quelconque), E le module d'élasticité du t u y a u , r , d, e, son rayon, son d i a m è t r e et son épaisseur, w le poids spécifique du liquide, s son module de compressibilité.
L'équation différentielle ( i ) est d o n c , en adoptant pour le sens positif des v u n e direction opposée à celle des x, l'axe positif des x étant choisi suivant l'axe du t u y a u , son origine étant à la vanne (fig. i ) :
(0
tz r2d x OV 0V\
Ht vl x
ou plus simplement :
r2
6X
( 0
P o u r former la seconde équation, M . Allièvi r e m a r q u e q u ' à u n e variation dp de la pression sur les deux faces d'une tranche correspond à la fois u n e compression (ou u n e
2 2 :
1
Y , V
Ol
fc2
-<——
S'ens des JC joosififs
•4
u
O
F i g . i . — C o u p d e b é l i e r d i r e c t d a n s u n t u y a u d e l o n g u e u r i n d é - finie (ou d e l o n g u e u r finie, d a n s u n t e m p s t r è s c o u r t a p r è s le c o m - m e n c e m e n t d e la m a n œ u v r e d e la v a n n e ) ,
dilatation élastique) du liquide et u n e compression (ou dilatation) élastique du t u y a u (au moins p o u r l'élément annulaire en contact avec la tranche, dont on suppose la raideur longitudinale négligeable).A ces deux causes corres- p o n d e n t des diminutions ou des accroissements \ \ de l'épaisseur axiale de la tranche.
P o u r connaître 8A, diminution de longueur axiale de la tranche tenant à la dilatation du t u y a u , on se rappellera que la dilatation élastique du diamètre d ' u n cylindre d'épais- seur e, dont le module d'élasticité est E et dont les deux faces sont soumises à une pression p , a pour v a l e u r :
r *
On a en effet l'égalité :
2 pr.i^ = E e%o = 2 E" e x A' é .
si p — 2 A' e est l'accroissement de longueur du diamètre du tuyau correspondant à l'effort p % r2 s'exerçant sur chacune des faces, ou à l'effort 2 %p r8 s'exerçant sur l'une des faces, l'autre étant supposée encastrée, A'e est l'accroissement correspondant de l'épaisseur du t u y a u .
P o u r un accroissement de pression dp, on aura de même 2 d e = dp
Ee . 2 d j f .
Le raccourcissement axial 82 de la tranche correspondant à l'élasticité du tuyau sera donc d o n n é p a r le quotient delà dilatation cubique de la tranche due à cet effet par la sec- tion, soit :
izd.dedx dx d op ^
It
Q u a n t à l{, raccourcissement axial dû à la compressibilité p r o p r e du liquide, il a é v i d e m m e n t pour valeur :
^ - • ^ r . d t
N o t r e deuxième équation différentielle sera donc, d'après M . Alliévi :
V + i x d X ) d t ~~ = 3« + 5 2
d ' o ù :
lv ij_ d \ op ox ~ \ t + Ee) 1 7
N o u s a u r o n s , en r e m p l a ç a n t p par ^— et en posant:
(0 I
"Ô5
(0
t + Ee
les deux équations différentielles s u i v a n t e s : S v o v ly
It V oX & qX
g
0 X
I L
s / (3) Les équations différentielles ainsi o b t e n u e s , sous le béné- fice des hypothèses ci-dessus, deviennent accessibles au calcul si l'on r e m a r q u e q u e la vitesse de l'eau est générale- m e n t très faible par r a p p o r t à celle suivant laquelle se p r o p a g e n t les p e r t u r b a t i o n s h y d r o d y n a m i q u e s . Ces équa- tions différentielles deviennent a l o r s :
ov ly
0 l OX Ix
f-°é
(4) S iIl est facile de constater q u e ces équations ont pour intégrales générales, a défini p a r la relation ci-dessus étant Justement la vitesse de propagation de la perturbation dans la colonne liquide, x l'abscisse d'un point p a r rapport à une origine située à la vanne et considérée comme positive, suivant l'axe du tuyau :
• t - / ' + T ' = ' • - £ [ * ( ' - t ) + / ( ' + t ) ]
(5)
j F e t / étant des fonctions à d é t e r m i n e r p a r les conditions aux limites.
11 suffit donc de c o n n a î t r e , d'après les conditions limites, à chaque i n s t a n t , les valeurs de F et f dans une section d o n n é e p o u r être renseigné s u r la loi de variation d e / e' de v dans u n e section q u e l c o n q u e du t u y a u .
L a vitesse et la pression en un point de la colonne doi- vent donc être considérées chacune c o m m e données par K r é s u l t a n t e des vitesses ou des pressions correspondant
respectivement à chacun de ces deux systèmes d'ondes de pression se propageant en sens contraire avec la même yitesse a.
Nous avons vu que a d é p e n d de s, E, e et d, c'est-à-dire du module de compressibilité du liquide, de la nature et des dimensions du t u y a u .
Considérons le cas d'un tuyau infiniment élastique, c'est-à-dire se p r ê t a n t sans résistance sensible aux modifi- cations de forme de la masse liquide. Connaissant la vitesse a' de propagation des ondes sonores dans l'eau (i 425 mètres par seconde),nous p o u r r o n s écrire p o u r la formule donnant a qui, dans ce cas, a la valeur a'
a' =
JT~
tV w Nous en déduirons donc s.
En adoptant cette valeur, M. Alliévi trouve que l'influence de la présence des tuyaux métalliques peut se traduire par une diminution de la vitesse de propagation dépassant i / 3 . Cette diminution est liée à la valeur de a, donc à la nature du métal et à ses d i m e n s i o n s . La valeur moyenne de a est donc de l'ordre de 1 000 mètres pour les tuyaux métalliques industriels.
C O U P D E B É L I E R D I R E C T
Comme application de ces formules générales, M . Alliévi étudie d'abord ce qu'il appelle le coup de bélier direct.
Il considère un tuyau de longueur indéfinie t e r m i n é à l'origine des c o o r d o n n é e s A- par u n e vanne, dont la loi de fermeture est une fonction c o n n u e du t e m p s ; nous suppo- serons avec lui l'écoulement a y a n t lieu, p o u r simplifier les formules, dans l'air.
L'effet de l'étranglement de la veine liquide produit par la vanne consiste,comme on sait, d a n s u n e pression ou une diminution de vitesse en a m o n t de la v a n n e .
Tant que, d a n s une section d o n n é e , la perturbation p r o - duite par la fermeture de la vanne est s i m p l e , c'est-à-dire tant que n'est pas v e n u e se s u p e r p o s e r à cette onde directe l'onde réfléchie provenant de la réaction du réservoir que nous supposons limiter la conduite à l'autre extrémité, nous aurons affaire au coup de bélier simple ou direct.
Y et V étant les valeurs des variables y et v p o u r x = o, c'est-à-dire de la charge et de la vitesse p o u r la section com- prise près de la vanne, u la vitesse d'écoulement à la sortie de l'orifice, u0 et vQ c o r r e s p o n d a n t aux conditions de régime, nous a u r o n s les relations évidentes :
a« _ y% = 2 gy .
V — = 2gr0. (6)
Soit ¥ (/), d'autre p a r t , la fonction de t qui donne le rapport, variable à c h a q u e instant, de la manœuvre de la vanne, entre l'aire de l'orifice offerte à l'écoulement et la section du tuyau, de sorte que l'on ait
V = u W ( 0
« p o u r l ' é c o u l e m e n t en régime
vo = »0 ^ (o)
Pans le cas d'un t u y a u indéfini vers les x croissants, on
3 U r a a f fa i r e à un système d'ondes u n i q u e de surpression se
propageant à partir de la vanne. Les équations ne contien- dront que la fonction inconnue : F (t—-
Ainsi d o n c , p e n d a n t les premières — secondes, il suffit 2 / a
d'une seule condition pour déterminer la seule inconnue F, cette condition étant constituée par l'équation d'écou- lement.
En éliminant la fonction F entre les deux équations (5), M. Alliévi obtient la remarquable relation :
(?) entre la surcharge y — y0 dans chaque section, par rapport à la charge de régime,et la perte de vitesse qui se produit à chaque instant de la phase dans chaque section Hu tuyau.
Le m a x i m u m de la surcharge a lieu pour v = o. La valeur n u m é r i q u e de ce m a x i m u m , égale théoriquement à 2 y°
g même dans le cas d'une fermeture pratiquement instantanée de la vanne (en réalité dans un temps plus petit que 21/a), est comprise pratiquement entre <V à 12 atmosphères pour chaque mètre de vitesse perdue. Sa valeur algébrique H est donnée par
(8) Ce m a x i m u m ne peut se produire dans un tuyau de longueur finie que si la fermeture de la vanne a lieu dans
. . 2 l.
un temps plus petit que ——.
La connaissance de la valeur pour chaque section et pour c h a q u e instant de la phase nécessite la connaissance des diverses valeurs n u m é r i q u e s de la fonction F. En par- ticulier la loi d'écoulement u* —• f72 — 2gY nous permet cette détermination près de la vanne. P o u r x = 0, nos équations générales (5) deviennent a l o r s :
Y = y0 + F(t) V=Vü-fF(t):
xs
u V (/) (9) La fonction F yt - j s'obtiendra donc en substituant à dans la forme F (t) déduite de ces équations, la valeur
a
L'on peut donc ainsi calculer les diverses valeurs n u m é r i q u e s de la fonction F.
Cherchons en outre une relation entre la loi XY (t) et la charge Y à l ' e m b o u c h u r e . N o u s obtenons cette relation en éliminant u, F (t) et F entre les quatre équations :
Y~y0--=F(t) \
u% — V% = 2gY Il vient évidemment en posant ;
a2 ( / ) - 1 « 0
ce qui, en négligeant le carré de la vites.se Y, devient F (t) = J-a^F*(l)
d'où la relation ;
P - 2 7 ( H + r ( 0 ) + H * = o (10) On constaté aisément que cette équation a 2 racines : l'une plus grande, l'autre plus petite que H. La première est à rejeter. De m ê m e on voit q u e si W (t) < ¥ (o) (ferme- ture de la vanne) Y > j '0, tandis que si ¥ (t) > ¥ (o) (ou- verture de la vanne) Y <^y0 (coup de bélier négatif)-
L'équation de la ligne de charge s'obtiendra en substi- x
tuant à t et à F les valeurs respectives / -f - et y. N o u s devons cependant r e m a r q u e r que la ligne de charge défini- tive ou complète (toujours dans le cas d'un tuyau indéfini ou de longueur / suffisante p o u r que le temps T de fermeture
"de la vanne soit < - ^ ) , ne s'établira que p o u r t > T. O n aura évidemment ¥ (T) — o. C e t t e ligne de charge se transportera parallèlement à elle-même avec la vitesse a le long du t u y a u . L'équation de cette ligne de charge sera donc, en notant que ¥ ( T ) = o,
y * „ 2 f (h + f ( T - ± ) ) +H* = o ( I I )
I n t r o d u i s o n s , avec M. Allievi, l'hypothèse d'une loi de fermeture linéaire de la vanne. N o u s aurons comme expres- s i o n de cette loi :
W ( t ) = ( i — f ) ^ ( o ) O2)
et comme ;
H = y 0 + g v0 = «o ¥ (o) u
N o u s en d é d u i r o n s
o9— V = 2^ J o
_ gHH-y.f = _g_ (H-y,
V 2T o
V
Y (o) 0 3 )en négligeant u0 dans — V, 2 g'fi
L'équation ( n ) prend, en tenant compte de ces • é q f ù a - tions ( 1 2 ) et ( i 3 ) , la forme :
X
H —y0 V y ( H ) Cette équation représente u n e courbe du troisième degré dont la concavité est tournée vers le h a u t .
Cette ligne de charge se t r a n s p o r t e parallèlement à eller m ê m e suivant les abscisses, de telle sorte que la charge maxima H se produit successivement suivant les diffé- r e n t s points.
L ' a u t e u r déduit également de son analyse, en négli- geant V* dans le terme u*, ce qui est le plus souvent légi- t i m e , la relation :
¥ (t)
a
V ' 2
Y 0 5 ) relation permettant de déterminer ¥ en fonction de Y, c'est-à-dire la vitesse de fermeture de la vanne qu'il convienti l
d'adopter p e n d a n t les — secondes p o u r que la charge p r o -
duite par le coup de bélier direct ne dépasse pas une valeur d o n n é e .
M . Allièvi d é m o n t r e enfin q u e la condition suivante à savoir que la vitesse y e n un point soit nulle en même temps q u e sa dérivée , ce qui adoucit le coup de bélier en lui ôtant le caractère de choc, est liée à la relation if (j)
¥'< (t) = o, qui est toujours satisfaite tant que ¥ (/) = 0 p o u r v u que ¥'< (t) ait une valeur finie, ce qui est toujours vérifié en particulier avecTine loi de fermeture linéaire,
F O R C E V I V E D U J E T
Alors que la charge due au coup de bélier va en crois- sant depuis y0, la vitesse d'écoulement u va en croissant depuis U0. Il résulte de ce fait la possibilité d'un accrois- sement de force vive du jet malgré la diminution du débit, Cette valeur maxima de la force vive pendant le coup de bélier direct a lieu, c o m m e M . Allièvi le démontre, pour la charge Y égale à la moitié de la h a u t e u r H.
Cette condition correspond à la valeur i avn r»)it
2 \ g
la s u r c h a r g e , et à une valeur de la vitesse de l'eau en amont de la vanne égale h^(v0+ , ce qui détermine l'ou- verture correspondante de la vanne.
P o u r que ce m a x i m u m se p r o d u i s e réellement, on doit avoir,.* ~ v0 étant exprimée en mètres p a r seconde. Cette condition se trouve presque toujours satisfaite, le r a p p o r t - ayant une valeur m o y e n n e de l'ordre de — .
J 100
M. Allievi se propose également de chercher à quelle fraction de l'ouverture totale de la vanne correspondía
P '
F i g . 2. — I n f l u e n c e d u r é s e r v o i r s u r l ' i n f l é c h i s s e m e n t des lignes d e c h a r g e ( C o u p d e bélier-direct),.
valeur maxima de la force vive du jet ( q u a n d il se produit).
P o u r un t u y a u caractérisé par y0 — 100 mètres, v6 =J mètres, a — 1 000 mètres, il constate que ce maxim"1" i lieu p o u r u n e fermeture de la vanne correspondant à 1 obtu- ration des 4/10 de la surface totale.
Il convient toutefois de r e m a r q u e r q"ue, pratiquement, * m o u v e m e n t de la vanne s'effectue avec u n e vitesse insut • santé p o u r que le m a x i m u m de la force vive du jet pui s s e
réellement se p r o d u i r e , avant q u e la perturbation correspon- dant au premier instant de la fermeture de la vanne, réflé- chie par le réservoir (suivant le mécanisme exposé plus loin) ne soit déjà venue se superposer en u n point à l'onde directe émise par la vanne dont le m o u v e m e n t persiste.
(Jn problème au moins aussi intéressant est examiné de même par M. Alliévi. C'est l'étude des variations de la force vive au premier instant de la fermeture. Dans le cas d'une loi de fermeture linéaire, et avec les constantes adoptées c i - dessus (a,y0, J '0) , le q u o t i e n t p a r l'élément différentiel d i du temps correspondant à un petit m o u v e m e n t de la vanne de la variation do- de la fonction représentée par le rapport a du maximum de la force vive du jet à sa valeur de régime est donnée par : d a
d i o,51 : T.
On conçoit de quelle importance est l'étude de ces ques- tions pour le réglage des t u r b i n e s .
LE COUP E T L E C O N T R E C O U P D E B É L I E R D A N S U N E C O N D U I T E D E L O N G U E U R D O N N É E
M. Alliévi examine ensuite le p h é n o m è n e du coup de bélier et du contrecoup de bélier dans un tuyau de longueur donnée. Il est bien évident que l'étude précédente, relative à un tuyau de l o n g u e u r indéfinie, est cependant applicable à tout tuyau, dans l'espace de temps compris depuis l'ori- gine de la perturbation j u s q u ' a u m o m e n t où celle-ci a gagné la section suivant laquelle le tuyau se raccorde à un réservoir que nous s u p p o s e r o n s inaccessible aux perturba- tions hydrodynamiques. F a i s o n s , avec M . Alliévi, abstrac- tion de la vitesse de l'eau dans cette section de raccordement.
Nous pourrons a d m e t t r e que la charge y0 est uniforme dans cette section. O n doit donc en conclure que> dès que le temps écoulé depuis l'origine de la perturbation (o des temps) a dépassé la valeur t = - , les lignes de charge sont alors modifiées de façon à passer toutes par le point P0 (fig. 2).
En effet, si l'on avait affaire à un tuyau indéfini les lignes de charge pourraient s'établir librement. S i , p a r- exemple, P P0 correspondait à l'instant t, la ligne P ' P '0 correspon- drait à l'instant dt + t. Mais la présence du réservoir déter- mine une modification, ici un infléchissement, de la ligne de charge qui doit alors passer par P0. Ce rôle du réservoir peut très bien se concevoir en imaginant qu'à toute variation de charge dy, amenée par lé coup direct, correspond une réaction — dy due au réservoir, d'où résulte l'équilibre de la section de raccordement et la propagation d'une ondé réfléchie symétrique par rapport à l'horizontale passant par
po de la ligne de charge à l'instant t.
Cette perturbation réfléchie constituera donc un contre coup dont l'effet commencera à se manifester dans la section d'abs scisse au bout d'un t e m p s 2 / — X
A.partir de cet instant, l'état h y d r o d y n a m i q u e de la tran- che d'abscisse x, soumise à deux systèmes d'ondes se p r o - pageant en sens contraire, est régi par les lois les plus générales •
(5)
ces fonctions — F e t / d e v a n t du reste être définies par les conditions limites de l'écoulement aux extrémités.
C O N D I T I O N A L ' E M B O U C H U R E
Il est facile de constater que la condition =y0 à l'em- bouchure équivaut à écrire, quelle que soit la valeur de t, l ' é g a l i t é : / ( / + ^ ) = F ( e - f - )
en posant : = t — 2
Cela revient à dire que la fonction f 4 ™ j a exacte- ment la même valeur, en un point donné et à un instant donné, que celle que posséderait F en ce point — ' secondes plus tôt (fig. 3).
AB, ligne de charge du coup direct.
B.V, ligne de charge du contrecoup.
O k
Fig. 3 . Réflexion d e s lignes de c h a r g e sur la section d ' e m b o u - c h u r e ( R é s e r v o i r ) .
T o u t se passe donc, p o u r une tranche d'abscisse x , comme si la ligne de charge du coup direct se propageant de la vanne au réservoir était réfléchie du réservoir vers la vanne avec la m ê m e vitesse, la ligne de charge correspondant à l!onde réfléchie, à un certain moment, étant symétrique par rapport à l'horizontale menée par le point B.
N o u s aurons p o u r forme particulière de (5) dans ce cas : y = y 0 + F ( t - F Í 6 — —
' = * - £ K ' - T ) +
* v - T ) ] (50
O n constate que dans ces expressions ne figure qu'une fonction F dont les deux valeurs correspondent, p o u r une même tranche x, à deux instants séparés par l'intervalle 2 (/ — x) : a.
N o u s a u r o n s donc à la section de raccordement :
Cette analyse serait sans portée pratique si l'on ne pou- vait calculer les valeurs numériques de F' pour diverses valeurs du temps t{, /2. . . h , et p o u r une tranche d'abs- cisse x.
O r , considérons deux valeurs t-, et /j du temps séparées
par l'intervalle l — x a
, c'est-à-dire p o u r lesquelles on a : tj = i x
a
N o u s substituerons les valeurs correspondantes de F(t{) et F (tf)-t dans les équations ( 5').
O r la détermination des valeurs n u m é r i q u e s de F (/j) peut se faire au moyen de l'équation ( 1 0 ) , c o m m e on l'a vu p o u r o < t < — . U n e équation i d e n t i q u e , que l'on va
^ il établir, permet le même calcul p o u r t > —.
C O N D I T I O N S L I M I T E S A L'ORIFICE D E L A V A N N E
Faisons x = o, pour la section d'extrémité de la v a n n e , Nous aurons :
y = J . , + F ( ( ) - F ( / - 4 ) j
r = , . _ i | > ( 0 + F
(
(_±L)]\ ^
il a e seront lesquelles sont applicables à partir de l'instant t— —
P o u r < t < ^ , les valeurs de F ( t — —\ n a ^ ^ a ' \ _ a /
autre chose que les valeurs de F (t) dans l'intervalle de temps
— suivant immédiatement le c o m m e n c e m e n t de l'ouver-2 / a
ture de la v a n n e .
Ces valeurs n u m é r i q u e s sont connues, d'après l'analyse précédente. De m ê m e , en vertu de cette loi de récurrence, on pourra, connaissant les valeurs de F (^t — dans u n intervalle — < / < ^ °^ l, calculer la valeur de F (t)
Y y
y- y*
o
y0
6l Te
emps
F i g . 4 - — F e r m e t u r e p a r t i e l l e d e la v a n n e . Re'partition d e s p r e s - s i o n s à la v a n n e au b o u t d ' i n t e r v a l l e s d e t e m p s e'gaux e n t r e e u x e t
2 /
à (/ l o n g u e u r du t u y a u , a vitesse d e p r o p a g a t i o n d e l a p e r t u r - b a t i o n ) .
dans l'intervalle l < t <( - ^ ) / „ é t a n t a u s s i
ci a grand que l'on veut.
Y* — 2YlH
F E R M E T U R E D E L A V A N N E
L'équation d u second degré en Y, établie de manière identique à celle adoptée p o u r la formation de l'équation ( i 5 ) , nous d o n n e :
2 F i + ^ J t ) y ( H _ 2 F i y = 0 ^ Elle ne diffère de ( I O ) que par la substitution à H de H— 2 Fi avecF^F (- — ) .C'est un t e r m e connu,On
Y
O
2l 2l
a a a a
Temps
F i g . 5 . — C o n d i t i o n à Wi > «0 > "o + "l
peut d e m ê m e déduire de ( i o ' ) l'équation d e la ligne de charge à un instant donné par substitution de yk F et de t — - kt. x
a
A R R Ê T D E L A V A N N E
Supposons que la vanne s'arrête à l'instant / = Alors, à partir de cet instant \P = Wt = Ce.
Il est facile de c o m p r e n d r e q u e les valeurs de F dépen- d r o n t exclusivement des valeurs d e F ( / ) , pendant la période
2 /
de — secondes qui a précédé l'arrêt.
Avec u n e habileté s u r p r e n a n t e d'analyste, M. Allièvi étudie complètement le sens et les variations du phéno- mène, et arrive à cette conclusion sans que n o u s le suivions d a n s le détail de son analyse :
i° T o u t e s les valeurs de F correspondant à des instants il
séparés les u n s des autres par l'intervalle — sont réguliè- r e m e n t décroissantes (fermeture de la vanne) ou croissantes (coup de bélier négatif, ouverture de la vanne) (fig. 4).
20 C e p e n d a n t la courbe c o n t i n u e des Y peut avoir la forme d'une sinussoïde a m o r t i e , t o r d u e et d o n t l'axe tend à devenir t a n g e n t à j '0 — Y (fig. 5) si a 1¥i > u0 > ^ - i i t
Si au contraire a % " ° ladécroissanceaura lieu d'une m a n i è r e régulière, suivant u n e courbe asympto- tique à Y=f0 (fig. 6).
Enfin soit : > a W i > Uo
L a charge Y subit alors une première oscillation pat laquelle elle devient <O'0> et elle r e m o n t e ensuite asympto- t i q u e m e n t vers_f0 (fig. 7).
V A N N E F E R M É E
Si t—T est le t e m p s au bout d u q u e l la fermeture est complète et Yi la valeur de y au m o m e n t où la vanne vient
d'être complètement fermée, M . A l l i è v i montre que le phé- nomène h y d r o d y n a m i q u e alors est purement oscillatoire, la période étant F passant de la valeur Y{ à la valeur
2^o — Y{, qui sont ses m a x i m a et ses m i n i m a dans le mou- vement oscillatoire.
M. Allièvi enfin signale ce fait, à notre avis très i m p o r - tant que, si — ya > 2 F, avec F^ = F ( t — —J, la valeur minima de Y sera négative," c'est-à-dire qu'il lui
Y
S!
2l
a a a à i a 0 TempsF i g . 6 . — C o n d i t i o n < «0 < «o +
«1
F i g . 7.
Te m 0
C o n d i t i o n u° ' > rtlFi > «o
Fig. 5, 6 et 7. — D i f f é r e n t e s f o r m e s d e s v a r i a t i o n s d e la p r e s s i o n à l a j a n n e a v a n t le r e t o u r à la p r e s s i o n yQ d e r é g i m e d a n s le cas d'arrêt dans la f e r m e t u r e d e la v a n n e .
correspondra sous l'influence d e la contraction élastique du tuyau, des discontinuités et des vides dans la colonne liquide.
E X E M P L E N U M É R I Q U E
M. Alliévi traite enfin, à titre d'application, le cas d'un tuyau défini par / = 400 mètres, a = 1 000 mètres, avec /0 = 9° mètres, v0 = 2,5o m è t r e s .
Dans ce tuyau, la phase d u coup direct dure o"8, le con- trecoup apparaît aussitôt à l ' e m b o u c h u r e et au bout de i " 6 à la vanne. N o u s ne s u i v r o n s pas l'auteur dans ses intéres- sants calculs. Ceux-ci lui permettent néanmoins d'établir, et pour fixer les idées sur la v a l e u r numérique des résultats nous rappellerons ses c o n c l u s i o n s , que dans l'espace de temps compris depuis 1" jusqu'à 3" :
La charge Y en amont de la vanne reste à peu près c o n s - tante et égale à i 3 i mètres et la ligne de charge est à peu près une droite. ( L a surcharge par rapport à la pression
régime varie linéairement entre les deux limites o et
r~ > ' o ) (%• 8).
D autre part, la vitesse de l'eau est égale au milieu et aux eux extrémités du t u y a u : on peut donc en conclure que la
°onne liquide m a r c h e tout entière avec une seule et
»e<ne vitesse décroissante.
1- Alliévi remarque que ces conditions peuvent se résu-
mer dans le s y s t è m e :
3 / ~ a * — 0
ce qui est intuitif d'après ces propriétés m ê m e s . II en conclut, par une analyse ingénieuse, que, dans le cas où la vitesse de la vanne a lieu d'une manière uniforme, « la phase de contrecoup pendant t < T prend l'allure d'une phase du régime du m o u v e m e n t varié, la ligne de charge, représentée par une droite, se conservant maxima jusqu'au moment r = T de la fermeture complète.
« L ' o r d o n n é e Y de cette ligne de charge, en amont de la vanne, représente donc pratiquement la charge maximum produite par le coup de bélier, c'est-à-dire, au point de vue technique, la plus importante des inconnues du p r o - blème ( 1 ) . »
U n résultat approchant a été obtenu par d'autres auteurs, en particulier par M . Râteau (2), dont la théorie suppose l'égale vitesse des tranches liquides delà colonne en m o u v e - ment.
Cette charge m a x i m u m F peut du reste être déterminée directement par la formule :
?i _
ï
(2 + «») + 1 = 0Y lu0
en posant : z = — — = «
Des deux racines de cette équation, l'une est > 1, l'autre
•< 1 ; c'est la première qu'il faut adopter dans le cas de fer- meture de la vanne. C'est le contraire pour l'ouverture.
O n conçoit l'importance industrielle de l'équation qui permet de déterminer les valeurs de T de façon que la charge maxima Y ne dépasse pas une valeur donnée, que la charge minima ifQ — Y{ ne soit pas négative, etc
Cette équation s'applique même au cas de fermeture partielle en prenant pour T la valeur qui correspondrait à la fermeture complète de la vanne supposée effectuée avec la même vitesse.
Dans sa conférence, M."Alliévi effleure un certain nombre d'autres problèmes non moins intéressants, dont l'étude analytique dépasserait les dimensions de cette analyse, et qui sont du reste exposés dans le mémoire d'ensemble de l'auteur ( 1 ) . N o u s citerons notamment le coup de bélier dans un tuyau incliné, le coup de bélier négatif (ouverture de la vanne) et l'influence des chambres ou matelas d'air. A propos du rôle de ces chambres, rôle d'ailleurs très discuté, nous citerons seulement les conclusions de l'auteur, qu'on retrou- vera dans le mémoire déjà cité.
Y
F i g . 8 . — A p p l i c a t i o n n u m é r i - q u e . V a r i a t i o n l i n é a i r e d e la s u r - c h a r g e p a r r a p p o r t à la p r e s s i o n de r é g i m e .
« C e s organes, dont l'effet le plus saillant est de retarder la charge,nesont rationnellementapplicables que lorsqu'il s'agit d'atténuer les phénomènesde mouvement varié produits par des m o u v e m e n t s de vanne dont la durée est plus petite que
— . T a n t que cette condition n'est pas réalisée, leur î n -
a
(1) T h é o r i e g é n é r a l e d u m o u v e m e n t varié d e l'eau d a n s les c o n - d u i t e s , p a r M. L. Alliévi (Revue de Mécanique, j a n v i e r et m a r s 1904.
P a r i s , V v e C h . D u n o d , é d i t e u r ) .
(2) T r a i t é d e s t u r b o - r o a c h i n e s . P a r i s , Vve C h . D u n o d , é d i t e u r , iqoû (Revue de Mécanique).
fluence sur la valeur maxima de la charge est pratique- ment nulle. »
On peut r e n d r e la force vive du jet décroissante pendant la fermeture en employant une c h a m b r e à air dont le vo- lume VQ satisferait à la condition :
>
_3_ 8 i + h_So
T
h étant la charge c o r r e s p o n d a n t e la pression atmosphérique ( i om3 3 ) , r le rayon du tuyau, fa, v0 et T ayant les signifi- cations déjà usitées.
B A R B I L L I O N , Docteur ès-sciences,
Sous-directeur de l'Institut Electrotechnique de Grenoble.
Détermination graphique des zones de distribution
D E S S T A T I O N S C E N T R A L E S D ' É L E C T R I C I T É
C O N S I D É R A T I O N S G E N E R A L E S
L'un des problèmes les plus importants à résoudre, au point de vue économique, en matière d'utilisation de la houille blan- che consiste à délimiter d'une matière rationnelle le rayon d'action d'une usine hydro-électrique par rapport à un ou plusieurs autres centres de production et de distribution d'énergie. Autrement dit, lorsque dans une région où se trou- vent des villes, des usines, des chemins de fer à pourvoir d'énergie électrique, et quand cette énergie peut être fournie soit par des stations centrales à vapeur, à gaz pauvre, etc., soit par des chutes d'eau, ces dernières où le prix de revient du cheval-an sur l'arbre des turbines sera de p francs peuvent- elles être avantageusement affectées à un transport d'éner- gie dans la région considérée?
L'intérêt de cette question est assez frappant pour qu'il soit inutile'de le faire longuement ressortir ici.
- On comprend combien il faut s'attacher à étudier méthodi- quement-..un projet de distribution d'énergie électrique dans une région où la houille noire et la houille blanche peuvent entrer en concurrence pour -la fourniture de cette énergie. Il faut éviter .l'erreur qu'on à quelque peu tendance à commet- t r e - d e transporter de la houille blanche en des points où l'énergie mise en œuvre par ia houille noire revient.à meilleur- marché.
Les solutions du problème sont particulièrement intéressan- tes à appliquer dans l'étude de la traction électrique sur cer- taines voies ferrées. Une ligne de chemin de fer qui traverse des régions accessibles à l'énergie hydro-électrique ne. devra pas toujours être exclusivement alimentée par des forces hy- drauliques sur toute, sa longueur; des stations centrales à vapeur, judicieusement réparties sur certains points de son parcours, alimenteront plus rationnellement les sections que le calcul indiquera comme étant hors des zones d'action écono- mique des chutes d'eau. L a délimitation de ces zones présente donc un intérêt primordial.
Cette délimitation est encore très importante à considérer, au-point de vue de la régularisation du débit des réseaux de distribution d'énergie hydro-électrique par des stations cen- trales à vapeur. Lorsqu'on connaît les rayons d'action des unes par rapport aux autres, on peut fixer d'une façon beau- coup plus sûre, au point de vue économique, l'emplacement le plus favorable des centrales à houille noire. E t du même coup on sait alors quels doivent être les périmètres des ré-, .seaux -pour que les prix de revient de l'énergie n'y/ excèdent
pas des valeurs fixées par les besoins de l'industrie régionale.
Sous le rapport de la meilleure utilisation des forces hydrau- liques dont nous avons déjà envisagé ici l'une des faces le problème qui nous occupe est ainsi d'une recherche qu'il importe de poursuivre.
Ses diverses solutions nous montreront, en outre, que pout bien des chutes d'eau il est plus avantageux, étant donné leur position géographique par rapport à certains centres de dis- tribution d'énergie de la-houille noire, de les affecter à des opérations électrochimiques et électrométalhirgiques, plutôt que de transporter électriquement au loin leur énergie. Cette condition économique, qui peut paraître évidente dans un cep tain nombre de cas, ne laisse pas que d'être fort douteuse au premier abord dans beaucoup d'autres. Il ne nous paraît donc pas mauvais d'insérer ici une étude schématique, si l'on peut s'exprimer ainsi, qui permettra avec un peu de jugement de lever ce doute quand il se présentera.
J'ose espérer que de cette étude, ainsi que des précédentes ayant même tendance, se dégagera cette idée bien nette et à l'heure actuelle aussi importante à envisager au point de vue de la législation de la houille blanche que sous le rapport de sa meilleure utilisation : les forces hydrauliques ont deux dé- bouchés, le transport d'énergie et l'électrochimie ; dans la grande majorité des cas, chaque chute aura recours aux deux simultanément; c'est l'examen très judicieux de la situation industrielle des régions avoisinantes qui déterminera, pour chacune de ces chutes, la part d'énergie à"consacrer à l'un ou à l'autre des deux débouchés. Il ne s'agit plus d echafauder de grands projets sur des conceptions sans doute ingénieuses, mais fantaisistes ; il faut, en matière d'utilisation de la Bouille blanche, se conformer aux lois de l'économie politique. Seu: les'les entreprises prudemment conçues, selon les déductions"
qu'on peut rationnellement tirer de l'état actuel des choses, auront chance d'aboutir.
C'est pour répondre à ce but que nous produisons ci-après une étude graphique sur la délimitation des zones d'action des usines centrales destinées à- faire du transport d'énergie électrique. Nous ne croyons pas que semblable travail .ait en- core été publié. Sans doute le problème s'est déjà posé foutes les fois qu'il s'est agi de créer un transport d'énergie hydro- électrique et il a été résolu pour chaque cas particulier ; mais il n'a pas'encore été — à notre connaissance du moins — traité analytiquement d'une manière générale. Ainsi envisagée la question qui nous occupe nous révèle, comme on va le voir, des particularités fort instructives et surprenantes au premier abord-, mais dont le côté paradoxal disparaît à la réflexion;
on découvre ainsi dès lois de répartition de l'énergie électri- que autour des centres de distribution que les solutions des cas particuliers ne sauraient faire prévoir.
\ L a mise en équation des conditions du problème peut'pa- raître .compliquée,, au point de-rendre-inapplicables-en prati- que les deductions.de l'analyse, algébrique. Il faut, en ..effet faire entrer en ligne d é c o m p t e les prix de revient de la- force motrice hydraulique, à vapeur,ou à gazj les renàeraenj|
des installations suivant les types de machines employées?
suivant les systèmes de transport d'énergie, suivant les puis- sances à transporter, les frais de premier établissement- et- d'amortissement des lignes de transmission* etc., etc. Mais en somme toutes ces fonctions peuvent s'exprimer assez simple:
ment à l'aide de quelques hypothèses, très légitimes, _ parce qu'elles s'écartent fort peu des conditions de l a pratique indus- trielle; si bien qu'on peut dire-que les résultats auxquels'con- duisent les épures de répartition de l'énergie .autour des'cen- tres de distribution, peuvent s'appliquer;à tous les cas.de-la pratique. Pour s'en, servir il suffira de reproduire ces épures, à l'échelle d'une carte géographique de la région intéressée de les reporter ensuite sur cette carte, bien entendu çn ayan soin de faire coïncider les pôles de l'épure avec les centres o distribution. Les. chiffres-donnés à.titre d'exemple-n'ont №•
de lement la prétention d'être des.données réelles, mais ne produits qu'à titre d'explication. E.-F. C O T E .
.sont-
