Universit´e Paris-Dauphine UE 15 Outils math´ematiques D´epartement LSO
DEGEAD 1`ere ann´ee
Examen du 15 octobre 2010
1heure 30
Les calculatrices, les t´el´ephones portables et tous les documents sont interdits.
Vous marquerez votre num´ero de TD sur la copie dans l’espace pr´evu
`
a cet effet.
Il sera tenu compte de la pr´esentation, de la lisibilit´e et de la r´edaction. Tous les calculs doivent figurer sur la copie : un r´esultat exact, mais non justifi´e sera consid´er´e comme nul.
Exercice 1 On consid`ere la fonction f d´efinie par :
∀x >0, f(x) =x+3 + 2 ln(x)
x ,
et la fonctiong
∀x >0, g(x) =x2−2 ln(x)−1.
1. (a) Calculer la d´eriv´ee de g.
(b) Donner le tableau de variations deg.
(c) Quel est le signe de la fonctiong?
2. (a) Justifier quef est de classeC2 surIR+∗. (b) D´eterminer la limite de f quand xtend vers 0+.
(c) D´eterminer la limite de f quand xtend vers +∞.
(d) Calculer la d´eriv´ee de f.
(e) Donner le tableau de variations def.
(f) Sur quel intervalle la fonctionf est-elle convexe, concave ?
(g) Montrer que l’´equationf(x) = 0 admet une unique solution not´eea.
Montrer quea∈]0,1[.
(h) Ecrire l’´equation de la tangente `a la courbe repr´esentative de f au pointx= 1.
(i) Tracer le graphe def.
1
Exercice 2 On consid`ere pour tout entierk≥3 Ik=
Z +∞
1
lnt tk dt.
1. Pourx≥1, on pose
Fk(x) = Z x
1
lnt tk dt.
A l’aide d’une int´egration par parties, calculerFk(x).
2. En d´eduire queIk est convergente et donner sa valeur.
3. Quelle est la limite deIk lorsquektend vers +∞?
Exercice 3 On pose
∀x∈IR, F(x) = Z x
0
t3 (t2+ 1)3dt.
1. Donner l’expression de F(x) en fonction dexen utilisant le changement de variable
u=t2+ 1.
2. En d´eduire que Z +∞
0
t3
(t2+ 1)3dt est convergente et donner sa valeur.
3. Montrer que Z +∞
−∞
t3
(t2+ 1)3dtest convergente et donner sa valeur.
4. On pose pour tout r´eel xnon nul:
∀x∈IR∗, g(x) = F(x) x . D´eterminer la limite de g(x) quandxtend vers 0.
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