Exercice2:Calculintégral Exercice1:primitives TD8:Primitivesetintégrales

SRC1 TD8 Primitives. Intégrales.

TD8 : Primitives et intégrales

Exercice 1 : primitives

1. (a) Rappelez quelles sont les dérivées def :x7→x², deg:x7→ ¹_x, deh:x7→√

xet del:x7→lnx.

(b) Quelles sont les primitives de ⁻¹_x2 ? de ^√1_x? de−_x¹+ 6x²?

2. Tracez la courbe représentative de x7→(2x−4) sur[0; 4]; En utilisant la définition géométrique de l’intégrale d’une fonction (aire sous une courbe), calculezR2

0(2x−4)dx puisR4

2(2x−4)dx. Que vautR4

0(2x−4)dx? 3. (a) Tracez la courbe représentative de f :x7→x²sur le graphique donné ci-après.

(b) Calculez la somme des 4 aires des 4 rectangles représentés sur ce graphique. L’aire totale est-elle supérieure ou inférieure àR4

0 x²dx?

(c) Pour obtenir une meilleure approximation de R4

0 x²dx, réduire de moitié l’aire des rectangles (il y en aura donc 8, ”au-dessus” de la courbe). Dessinez au crayon à papier, puis en rouge, ces 8 rectangles, et calculez la somme de leurs aires. Comparez à ¹₃×4³.

Exercice 2 : Calcul intégral

1. Cas où l’on connaît une primitive F de la fonction à intégrer f : Rb

af(x)dx=F(b)−F(a). exR3 2 x²= [¹₃x³]³₂= ¹₃3³−¹₃2³.

(a) Calculez R3 2 xdx.

(b) CalculezR^π₂

0 cosxdx.

2. Sinon : on peut essayer une intégration par parties : Rb

a u⁰v= [uv]^b_a−Rb auv⁰ . (a) Calculez R^π₂

0 xcosxdx(à faire ensemble) (b) CalculezR^π₂

0 xsinxdx(en suivant la méthode vue précédemment).

3. Dernière technique : changement de variable.3 choses à penser :

• changer la variable (ex :u= 2x).

• changer ledx: du=u⁰(x)dx(du= 2dxdoncdx=du/2donc je remplacedxpardu/2).

• changer les bornes (sixvarie entre 0 et 1, u= 2xvarie entre 0 et 2).

Comprendre sur l’exemple suivant : (a) Calculez R^π₂

0 cos (2x+π)dx (à faire ensemble) (b) CalculezR^π₂

0 sin (2x−π)dx(en suivant la méthode vue précédemment).

(c) CalculezR3

1 2xe^x2dx.

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Exercice 3 : calculs d’intégrales (plus dur !)

1. CalculezI=R1

0 x²e^xdx.

2. CalculezJ =R1 0

2x

1+x²dx(posezu=x²).

3. Calculez K =R1 0

√1−x²dx (indication : il faut poserx = cosu puis utiliser une formule de trigo : sin²(u) =

1−cos(2u) 2 ).

4. CalculezL=R1 0

1

1+x²dx (il faut poserx= tan²uet faire un peu de trigonométrie...) 5. CalculezQ=R1

0 e^x

1+e^−xdx(poser u=e^x + une petite astuce de calcul).