Classe de Terminale 14 Lundi 16 février 2009 Devoir de mathématiques n°5
Une commune, proche d’une grande agglomération, a vu sa population augmenter fortement en quelques années. Le tableau suivant donne l’évolution du nombre d’habitants sur la période considérée.
Année 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
Rang de l’année 1 2 3 4 5 6 7
Nombre d’habitants 450 495 545 600 660 725 800
Année 2002 2003 2004 2005
Rang de l’année 8 9 10 11
Nombre d’habitants 880 960 1060 1170
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
1. Représenter le nuage de points ; de la série statistique dans un repère orthogonal d’unités 1 cm en abscisses, 1 cm pour 100 habitants en ordonnées.
2. Déterminer le point moyen de ce nuage
3. À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d’ajustement affine de en obtenue par la méthode des moindres carrés (donner les valeurs des coefficients arrondies à 0,1 près).
4. Tracer dans le repère précédent en prenant pour équation 71 333
5. En utilisant le graphique, déterminer l’année à partir de laquelle le nombre d’habitants dépassera 1500 (on laissera apparents les traits de construction)
6. En utilisant l’équation de , déterminer par le calcul une estimation du nombre d’habitants en 2016 ; on arrondira le résultat à la dizaine près.
Partie B
On pense pouvoir estimer le nombre d’habitants de la commune l’année de rang à l’aide de la fonction f définie par 0,14 0,84 42 405 .
1. Calculer , étant la fonction dérivée de .
2. Vérifier que pour tout x, 0,42 2 40,32. En déduire que 0. Que peut-on en conclure sur le sens de variation de ?
3. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (on arrondira les valeurs à l’unité)
0 1 2 3 4 5 6 7 8
4. La courbe de est donnée en annexe. Compléter la légende. A l’aide de cette courbe, donner une estimation du nombre d’habitants en 2011, ainsi que l’année où la population dépassera 1500 (on laissera apparents les traits nécessaires).
5. Donner par le calcul une estimation du nombre d’habitants en 2011 et en 2016.
