N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
L OUIS C REMONA Sur les questions 321 et 322
Nouvelles annales de mathématiques 1
resérie, tome 16
(1857), p. 41-43<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1857_1_16__41_1>
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SIR LES QUESTIONS 3 2 1 ET 3 2 2
(voir t. XV p 15V),
PAR M. LOUIS CREMONA (DK P A V I E ) .
Question 321.
Soient a, y br, cr les coordonnées d u sommet />i""r de Fliexagone $ Ir la longueur du côté (/',/* -|- i ) ; a, , (3,, y, les cosinus des angles du même côté avec les axes. O n a , p a r les données d u problème,
a> = a{ -f- a, /,, bx = /;, 4- P, /,, c2 = r, -h 7, /, .
<73 = a, -f- a , /, -f- a , /2, rtf4 = r a{ ~+- a , /, H - a , /., -f- a , / , ,
«r3 = a{ -+- a2 / > + < / , /3,
<70 = <7, -f- a ^3,
Par conséquent, l'équation du plan passant par les mi- lieux des côtés (1, 2 ) , ( 2 , 3 ) , (3 , 4) sera
1
I 2 . r <?
iy i 22 2
I
*i +
r, 4-
(7
7 /,
/,
3/1,4- 2&,4- 2T24
I - 2 a,
-2p,
- ? 7 . / , - h a, /
h PW
H 7 ^ / , 2/i
., 2f
, 4 - 4-
10
2p
27 -1 '
/ ,
I
.4- ,4-
4 - 2a2/2
2 P2 h
4 - 6
4 - 7
'3/3
= o,
ou, en transformant ce déterminant par des théorèmes très-connus,
j 1 o 1 o
a, /, a, /, -f- a2
[ 4 ( r. — r,} 7,/, H 7,/, 7^1 + 7 . ' •
( 4 a )
En observant de quelle façon cette équation renferme les éléments qui composent les coordonnées des sommets de l'hexagone, on voit que la même équation représente aussi le plan passant par les milieux des côtés (4? 5 ) , ( 5 , 6 ) , ( 6 , i). Donc, etc.
Question 322.
Soient in le nombre des côtés du polygone; ar, Z>r, cr
les coordonnées du sommet rihnr, lr la longueur du côté (r, r-f- i ) ; av, )3r, y,., les cosinus des angles de ce côté avec les axes. En supposant que r soit un des nombres
i, 2 , 3 ,..., n , on a
ar = ax -h «i A 4 - a5 /. -f- . . . 4 - ar_, /r_, >
donc
c'est-à-dire r7r4- <?;j+r est indépendant d e r ; analoguement pour br 4- bn+r ei er + cll+r.
Je considère le point dont les coordonnées sont
x — _ [ar -f- r//l+r), j = I ( ^,. -f- bn+r), 2 = ^ ( rr 4- ffB+r ) ; ces coordonnées satisfont évidemment aux équations de la droite jr, H + /•), qui sont
x — a,. y — br z — cr
nr — «H+r br ~ bn+r rr — f ^ r
et satisfont aussi aux équations de la droite qui joint les milieux dos côtés (r, r + i ) , (// 4- /', // 4- /*4- i ) , savoir
?..r — ar— nr+s __ 1 y — br — br+{ (lr -h ar+y — ftn+r — «n* r + i br 4 " Ar+1 — b»+r ~ bn+r+i
r- 4 - rr^_, r^.,_r — rn4.r4.,
H»)
donc le point nommé est commun a toutes les droites qui joignent les sommets opposés et à celles qui joignent les milieux des côtés opposés, et le même point est le milieu de chacune de ces droites.
