Université Grenoble Alpes 2016-2017
Unité d’Enseignement MAT 301
Contrôle continu n
o1
le 3 novembre 2016 durée : 2 heures
Questions de cours (2 points)
Soient E un espace vectoriel, F1,..., Fk des sous-espaces vectoriels de E.
1. Donner la définition de «F1,..., Fk sont en somme directe ».
2. On suppose queE est de dimension finie et que dimF1+...+dimFk= dimE.
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que E =F1⊕...⊕Fk (la preuve n’est pas demandée).
Exercice 1 (3 points)
Soient E un espace vectoriel de dimension finie,p etq deux projecteurs deE.
Montrer quepetq ont le même noyau si et seulement si on a :p=p◦q etq=q◦p.
Exercice 2 (4 points)
Soient a1, ..., an ∈ R et f l’endomorphisme de Rn dont la matrice dans la base canonique est
a1 a2 . . . an−1 an a2 a3 . . . an a1 ... ... ... ... an a1 . . . an−2 an−1
.
On considère les sous-espaces vectorielsD= Vect((1, . . . ,1)) etH ={(x1, . . . , xn)∈ Rn | x1+· · ·+xn = 0} deRn.
1. Montrer queRn=D⊕H.
2. Montrer queD est stable par f.
3. (a) Soit (x1, . . . , xn)∈Rn et (y1, . . . , yn) = f(x1, . . . , xn).
Montrer que y1+· · ·+yn se factorise par x1+· · ·+xn. (b) En déduire que H est stable parf.
Exercice 3 (3 points)
Soient a, b, c des éléments deC.
1. Calculer
a b c
a2 b2 c2 a3 b3 c3
. Pour quelles valeurs de a, b, cce déterminant est-il nul ?
2. En déduire la valeur de
a+b b+c c+a a2+b2 b2+c2 c2+a2 a3+b3 b3+c3 c3+a3
.
T.S.V.P.
Université Grenoble Alpes 2016-2017
Exercice 4 (5 points)
On munitR3 de la base canonique B= (e1, e2, e3).
Soit t∈R et f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est
M =
0 1 −sint
−1 0 cost
−sint cost 0
. On note f2 =f ◦f.
1. CalculerM2,e02 =f(e3) ete01 =f2(e3). On rappelle que (cost)2+(sint)2 = 1.
2. Montrer queB0 = (e01, e02, e3) est une base deR3.
3. Déterminer la matrice def dans la baseB0. En déduire que, dans cette base, f2 a pour matrice
0 0 1 0 0 0 0 0 0
. 4. (a) Déterminer une base de ker(f2).
(b) Montrer que ker(f2) ne possède pas de supplémentaire stable par f.
