et DSF de certains signaux

Formulaire de grandeurs de signaux périodiques à l’usage de l’électronicien

Formules de valeurs moyennes et valeurs efficaces

et DSF de certains signaux

Sommaire

Page de garde 1

Sommaire 2

Introduction - Terminologie 3

Panorama des signaux 1/2 4

Panorama des signaux 2/2 5

Formules des valeurs moyennes et efficaces 6…9

ANNEXES

Définitions des grandeurs et des facteurs caractérisant un signal périodique 10

Rappels sur les développements en séries de Fourier 11

Signaux périodiques particuliers : Parité, imparité, symétries d’alternances 12

Formulation des intégrales aboutissant aux résultats 13…16

Développements en séries de Fourier (DSF) de certains signaux 17…27

Nota : Les liens hypertextes inhérents à ce document ne sont hélas pas gérés par l’imprimante virtuelle utilisée pour générer le PDF.

Introduction - Terminologie

Ce document est une synthèse pratique des grandeurs de 32 signaux périodiques rencontrés en électronique.

La liste des signaux étudiés est loin d’être exhaustive, mais cela couvre un éventail de cas déjà conséquent.

Sa raison d’être est qu’il n’existe pas de tels formulaires disponibles en téléchargement, généralisant les formules avec rapport cyclique pour des signaux multi-segments. Ceci malgré la profusion de documents que l’on peut trouver sur le WEB, mais qui se limitent à des cas d’école ou à des études de signaux basiques.

Il n’a pas vocation à être un cours sur la théorie des signaux ou sur les transformées usuelles, supposées connues.

Dans un but de clarté de vocabulaire technique, en annexe figurent les principales définitions en pages 10 et 11.

Il ne traite pas des signaux rencontrés en triphasé, ce sujet méritant un document à lui tout seul, notamment pour les redresseurs associés aux transformateurs selon leur couplage, ainsi que pour d’autres convertisseurs statiques.

Il peut être utilisé par l’électronicien concepteur, notamment pour le design d’alimentations à découpage, ou pour d’autres applications en électronique de puissance. L’étudiant ou l’enseignant y trouvera aussi un intérêt.

Il est rédigé en français et ne fera pas l’objet de traductions. Les résultats, les dessins détaillés et les calculs étant après tout, universels quelle que soit la langue {:-b

Les intégrales développées pour obtenir les résultats figurent toutefois en annexe à toute fin de vérification, l’exactitude des calculs et des formules résultantes n’engagent en effet que l’auteur. Vérifier avant d’appliquer.

Egalement en annexe, on trouvera les coefficients des développements en séries de Fourier de certains signaux.

Afin de conforter l’exactitude des coefficient An et Bn des DSF, des feuilles de calcul au format PDF sont disponibles, simulant certains signaux en fonction de l’amplitude / rapport cyclique (Soft : Mathcad 15 M050 version d’essai).

Pour terminer, ces documents PDF (celui-ci et les feuilles de calcul/courbes par DSF) sont libres en téléchargement, en diffusion et en consultation, en respectant toutefois les droits d’auteur (pas de modifications, même partielles, pas d’extractions pour créer d’autres documents, préserver l’intégralité du document dans sa forme et son contenu).

Merci à sitelec.org pour l’hébergement gracieux des 3 documents PDF, permettant la diffusion libre aux intéressés.

Terminologie :

• La pulsation est notée « ω » égale à 2πf = 2π/T, sachant que « T » est la période du signal

• La variable de temps est notée « t », la variable d’angle est notée « x », étant liées par la relation x = ωt

• Un rapport cyclique est défini par « α », ou « β », « λ », « δ »

• Un angle d’amorçage (ou de désamorçage) est défini par « θ »

• Pour les signaux représentant des salves, « p » est un nombre entier d’impulsions

• On désigne une valeur instantanée par une lettre minuscule, comme par exemple « s » pour s(t)

• On désigne une valeur moyenne ou efficace ou une amplitude par une lettre majuscule, comme par ex. « S^DC »

• Pour les développements en séries de Fourier, « n » est communément le rang de l’harmonique n.

→ Voir aussi les principales définiRons des grandeurs et facteurs en page 10, et celles des DSF en page 11.

• L’accentuation « prime » comme par exemple s5’(x) ou A5’n ne signifie pas une dérivée, mais un signal alternatif.

• Les expressions dont la variable est temporelle (t) sont écrites en police normale, tandis que celles dont la variable est angulaire (x) sont écrites en police mathématique italique^.

Formulaire de grandeurs de certains signaux périodiques à l’usage de l’électronicien

Panorama des signaux 1/2

Panorama des signaux 2/2

Formules des valeurs moyennes et efficaces

• Pour les signaux s1(t) et s1’(t) :

= ". $

% & = "√$

′_% (= S1^*_+,&-,) = "√.$ = √2 × S1+,&-,

_______________________________________________________________________________________

• Pour les signaux s2(t) et s2’(t) :

. = ".^$_. ._{% &} = "1^$₂

.′_% (= S2^*_+,&-,) = "1^.$₂ = √2 × S2+,&-,

_______________________________________________________________________________________

• Pour les signaux s3(t) et s3’(t) :

2 = "₃. $ = (E₅ + E₇).⁸₇

2_{% &} = "₃1$. 9 +^:₂^.; = 1(E₅⁷+ E₅E₇+ E₇⁷).⁸_<

2′_% (= S3^*_+,&-,) = "₃1.$. 9 +^:₂^.; = √2 × S3_+,&-,

→ avec : E>= (E5+ E7) 2⁄ et : ∆E = (E7− E5) 2⁄ et : k = ∆E E⁄ >= (E7− E5)/(E7+ E5) _______________________________________________________________________________________

• Pour les signaux s4(t) et s4’(t) :

D =^"_.. ( − $) D_{% &} = _√.^" 1 −^D$₂

D′_% (= S4′_+,&-,) = "1 −^D$₂ = √2 × S4_+,&-,

Formules des valeurs moyennes et efficaces – Suite

• Pour les signaux s5(t) et s5’(t) :

F = ".^.$_G (Note : L’arche de sinusoïde est de pulsation ω’ = 2π/T’ sachant que T’ = 2αT, donc ω’ = ω/2α)

F_{% &} = "1^$_. = (HIJK LMINL JK OéPMHJK Q^*= .$Q)_RS × √$

F′_% (= S5′_+,&-,) = "√$ = √2 × S5+,&-,

_______________________________________________________________________________________

• Pour les signaux s6(t) et s6’(t) :

U =^"_.. &VHL(W)

G = E πY si θ = 0

U_{% &} = ^"_.1 −^W_G+^LMI(.W)_.G = E 2Y si θ = 0

U′_% (= S6^*_+,&-,) =_√.^" 1 −^W_G+^LMI(.W)_.G = √2 × S6+,&-,

_______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s6’’(x) : U′′ = ". &VHL(W)

G = 2 × S6_-,

U′′_{% &} = _√.^" 1 −^W_G+^LMI(.W)_.G = √2 × S6+,&-,

Remarque : S’il n’y avait pas discontinuité, donc pas de plage nulle, alors si le signal se prolongerait jusqu’à l’angle (π+θ) ;

→ alors dans ce cas la valeur moyenne deviendrait : S6’’DC = (2E/π).cos(θ)

_______________________________________________________________________________________

• Pour les signaux s7(t) et s7’(t) :

^ = ".^VHL(W)_G = E πY si θ = 0

^_{% &} = ^"_.1 −^.W_G +^LMI(.W)_G = E 2Y si θ = 0

^′_% (= S7^*_+,&-,) =_√.^" 1 −^.W_G +^LMI(.W)_G = √2 × S7+,&-,

_______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s7’’(x) :

^^** = .".^VHL(W)_G = 2 × S7_-,

^′′_{% &} = _√.^" 1 −^.W_G +^LMI(.W)_G = √2 × S7+,&-,

Formules des valeurs moyennes et efficaces – Suite

• Pour les signaux s8(t) et s8’(t) :

` = " . $ + "_.. a

`_{% &} = 1"^.. $ + "_.^.. a

`′_% (= S8′_+,&-,) = 1.. c"^.. $ + "_.^.. ad= √2 × S8+,&-,

_______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s9(t) :

e = " . $ + "_.. a e_{% &} = 1"^.. $ + "_.^.. a

_______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s10(t) :

3 = " . 9$ +^a_.; + "_..^a_.

S10_+,&-,= 1E₅⁷. α + (E₅⁷+ E₅E₇+ E₇⁷).^g_<

_______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s11(t) :

= " .^$_.+ "_.. a

% & = 1"^..^$₂+ "_.^.. a

_______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s12(t) :

. = " .^$&a_. + "_..^a_.

S12_+,&-,= 1E₅⁷.⁸_<+ (E₅⁷+ E₅E₇+ E₇⁷).^g_<

_______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s13(t) : 2 = ".^$&a_. 2_{% &} = "1^$&a₂

_______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s14(t) :

D_% (= S14_+,&-,) =_√2^" → ∀α

Formules des valeurs moyennes et efficaces – Suite

• Pour le signal s15(t) :

F_% (= S15_+,&-,) =_√2^" → ∀α

_______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s16(t) :

U =" .($ & .a) & ."..j .

U_{% &} = 1^"..($ & 2a) & 2"_.^..j 2

_______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s17(t) :

^ =" .$ & "..(.a & j) .

^_{% &} = 1^"..$ & "_.^..(2a & j) 2

_______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s18(t) :

` =" .$ & (" &".).a & ."..j .

`_{% &} = 1^"..$ & c"^.&" ".&"_.^.d.a & 2"_.^..j 2

_______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s19(t) :

e =" .$ & (" &".).a & "_..j .

e_{% &} = 1^"..$ & c"^.&" ".&"_.^.d.a & "_.^..j 2

_______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s20(t) :

.3 = ".^O$_Q = ". O$k .3_{% &} = "1^O$_Q = "lO$k

→ D = durée maximale d’une impulsion ; p = nombre d’impulsions par période T ; δ = D TY _______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s21(t) :

. = ".^O$_.Q = ".^O$k_. . _{% &} = "1^O$_2Q = "1^O$k₂

→ D = durée maximale d’une impulsion ; p = nombre d’impulsions par période T ; δ = D TY _______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s22(t) :

.._% (= S22_+,&-,) = "1^$_.

.._% = (HIJK LMINL JK OéPMHJK Q)_RS × √$

→ sachant que : α =_o^opq

rsrtu= _o^v.o

rsrtu ; p = nombre d’impulsions sinusoïdales par période T

ANNEXE – Définitions des grandeurs et des facteurs caractérisant un signal périodique

Pour un signal périodique quelconque s(t) = s(t + kT) donc de période T, on définit les 5 valeurs suivantes :

• La valeur moyenne (mean value) notée S^{DC (}S0 = harmonique de rang 0 au sens de Fourier)

→ Au sens intégral : =_Qw L(x). Jx_(Q)

• Le fondamental (de fréquence f = 1/T) noté S^{1 (}S¹= harmonique de rang 1 au sens de Fourier) → Au sens intégral : S5= 1_o⁵w ys(t) − s_(o) z(t) − S-,{⁷. dt → On peut aussi définir le fondamental S^{1 par :} S5= 1S_+,&-,⁷ − S_z⁷ − S_-,⁷

• La valeur efficace de l’ondulation (RMS value) notée S^{AC :} S+,= 1} S~7

~•5 = 1S₅⁷ + S_z⁷

→ Au sens intégral : S+,= 1⁵_ow ys(t) − S_(o) -,{⁷. dt → Pratiquement, on calcule la valeur S^{AC par :} S+,= 1S_+,&-,⁷ − S_-,⁷

• La valeur efficace vraie (true RMS value) notée S^{AC+DC :} S+,&-,=1} S~7

~•> = 1S_-,⁷ + S_+,⁷

→ Au sens intégral : _{% &} = 1_Qw yL(x){_(Q) ^.. Jx

Remarque : Dans la théorie des signaux, on définit la « puissance » d’un signal périodique : P^signal = (S^AC+DC)²

• Le résidu harmonique (RMS harmonic value) noté S^{H :} Sz= 1} S~7

~•7 = 1S_+,⁷ – S₅⁷ → Au sens intégral : Sz= 1⁵_ow ys(t) − S_(o) 5− S-,{⁷. dt

Le signal périodique s(t) est caractérisable par les 5 facteurs suivants :

• Le facteur de crête F^C (crest factor) : F_,= S^{ƒ„ꆇ}YS+,&-, ≥ 1

• Le facteur de forme F^F (form factor) : Fˆ= S^+,&-,YS-, = 1F_‰⁷ + 1 ≥ 1

• Le taux d’ondulation F^O (ripple ratio) : F‰= S^+,YS-, = 1F_ˆ⁷ − 1 ≥ 0

• Le taux d’harmoniques F^H (THD ratio) : F_z= S^zYS5 = 1_ˆ⁵

‹Œ − 1 ≥ 0

• Le facteur de déformation F^{D :} F-= S⁵YS+, = ⁵

15 & ˆ_•^Œ ≤ 1 (FD : distortion factor)

ANNEXE – Rappels sur les développements en séries de Fourier

Un signal périodique s(t) de période T (de pulsation ω=2π/T) peut être décomposé en une somme de termes

sinusoïdaux de pulsation nω : → ω étant la pulsation du fondamental s1(t)

s(t) = A^>Y + ∑ yA2 _{••5 •}. cos(nωt) + B_•. sin(nωt){ = S_>+ ∑ yS_{••5 •}. cos(nωt − φ_•){

ou :

“(”) = •^>Y + } y•2 _{–•5 –}. —˜“(™”) + š_–. “›™(™”){= œ_>+ } yœ_{–•5 –}. —˜“(™” − •_–){ (n ∈ ℕ^∗)

On peut en effet définir les expressions en préférant la variable d’angle « x » plutôt que la variable temps « t » :

→ le changement de variable se fait par : x = ωt et comme : dx = ω.dt alors : dt = (T/2π).dx (Nota : ωT=2π) Sachant que : S_> = A^>Y =2 ⁵_ow s(t). dt_(o) ou : œ_> = •^>Y =2 _7¡⁵ w “(”). ¢”_(7¡)

A_• =_o⁷w s(t). cos(nωt). dt_(o) ou : •_– = _¡⁵w “(”). —˜“(™”). ¢”_(7¡)

B_• = ⁷_ow s(t). sin(nωt). dt_(o) ou : š_– = ⁵_¡w_(7¡)“(”). “›™(™”). ¢”

S_• = lA_•7+ B_•7 ^{→ c’}est l’amplitude (crête) de l’harmonique de rang n

cosφ_• = ⁺_£^q

q ; sinφ_•= ^¥_£^q

q → φⁿest la phase à l’origine de l’harmonique de rang n

Valeur moyenne de s(t) : S_-, = S_> ^; Valeur efficace vraie : S_+,&-,= 1S_>⁷+ ∑_••59_√7^£q;⁷

• On peut définir la série en termes complexes :

s(t) = ∑^&¨_•©ª¨¦s_•. exp(−inωt)§ ou : “(”) = ∑^&¨_–©ª¨¦“_–. «”¬(−›™”)§

Sachant que les coefficients complexes sont donnés par : s_•= ^+qª~¥₇ ^q= ⁵_ow s(t). exp(−inωt). dt_(o)

• Si le signal s(t) présente une parité, donc un axe de symétrie vérifiant que s(-t) = s(t) sur la période T :

→ S_• = A_• =_o^-w_{(o 7Y )}s(t). cos(nωt). dt ou : œ_– = •_– =_¡⁷w “(”). —˜“(™”). ¢”_(¡)

→ B_• = 0 (donc pas de termes en sinus) (Mémo : Parité, donc termes en cosinus = fonction paire)

• Si le signal s(t) présente une imparité, donc un axe de symétrie vérifiant que s(-t) = -s(t) sur la période T :

→ S_• = B_•= ^-_ow_{(o 7Y )}s(t). sin(nωt). dt ou : œ_– = š_– =_¡⁷w “(”). “›™(™”). ¢”_(¡)

→ A_• = 0 (donc pas de termes en cosinus) (Mémo : Imparité, donc termes en sinus = fonction impaire)

ANNEXE – Signaux périodiques particuliers : Parité, imparité, symétries d’alternances

A noter que pour les signaux impairs :

sc(t) = -sc(T - t) ; sc(T/2 - t) = -sc(T/2 + t) sd(t) = -sd(T/2 + t) ; sd(T/2 - t) = -sd(T - t) se(t) = -se(T/2 + t) = se(T/2 - t) ; se(T/4 - t) = se(T/4 + t)

• Les signaux sa(t) et sb(t) et sc(t) contiennent des harmoniques paires et impaires.

• Les signaux sd(t) et se(t) ne contiennent que des harmoniques impaires.

_______________________________________________________________________________________________

Méthode accélératrice pour calculer une valeur moyenne/efficace d’un signal composé de plusieurs signaux connus Si un signal est composé temporellement d’une somme de plusieurs

signaux dont les valeurs moyennes et efficaces sont connues, alors on peut calculer la valeur moyenne et efficace de cette somme composite.

Dans l’exemple illustré ci-contre, on a : s(t) = sa(t) + sb(t) + sc(t)

→ On en tire sa valeur moyenne : = ® + ¯ + V

→ Puis sa valeur efficace vraie : _{% &} = 1 ®_{% &} ^. + ¯_{% &} ^. + V_{% &} ^.

Cette méthode évite de longs calculs d’intégration fastidieux, à condition toutefois de connaître préalablement les valeurs moyennes et/ou efficaces des signaux sa(t), sb(t), sc(t), …

Remarque importante :

Le calcul de la valeur moyenne d’un signal, dont la forme est constructible par des segments de droites ou des figures géométriques simples, peut être fait rapidement sans intégration (à l’aide de simples formules de surfaces).

En effet, la valeur moyenne d’un signal composite résulte de l’intégrale de celui-ci sur la période T, et cette intégrale représente à l’évidence la somme des surfaces successives de chacune des formes, divisée par T.

Dans l’exemple ci-dessus, SaDC est un carré d’aire A, SbDC est un trapèze d’aire B, ScDC est un triangle d’aire C.

La valeur moyenne de s(t) est finalement la somme des aires divisée par T, soit : = QY . ° % + ± − ²

ANNEXE – Formulation des intégrales aboutissant aux résultats

• Pour les signaux s1(t) et s1’(t) :

S1_-, = ⁵_ow E. dt _>^8o = ^³_o. yt{_>^8o = (… )

S1_+,&-,= 1_o⁵w E_>^{8o 7}. dt = 1^³_o^Œ. yt{_>^8o= (… ) S1^*_+, (= S1^*_+,&-,) = √2 × S1+,&-,= (… )

_______________________________________________________________________________________

• Pour les signaux s2(t) et s2’(t) : S2_-, = ⁵_oµ^8o³.†_8o. dt

> = ^³_o. ¦_78o^†Œ §

>

8o= (… )

S2_+,&-,= ¶⁵_oµ 9^{8o ³.†}_8o;⁷. dt

> = ¶^³_o^Œ. ¦_<(8o)^†· _Œ§

>

8o = (… )

S2^*_+, (= S2^*_+,&-,) = √2 × S2_+,&-,= (… )

_______________________________________________________________________________________

• Pour les signaux s3(t) et s3’(t) : S3_-, = ⁵_oµ 9E^8o ₅+^7.∆³.†_8o ; . dt

> = ⁵_oµ 9E^8o _>. (1 − k) +^7¸³_8o^¹.†; . dt

> = ^³_o^¹. ¦^¸.†_8o^Œ+ (1 − k). t§

>

8o= (… )

S3_+,&-,= ¶⁵_oµ 9E^8o ₅+^7.∆³.†_8o ;⁷. dt

> = ¶_o⁵µ 9E^8o _>. (1 − k) +^7¸.³_8o^¹.†;⁷. dt

>

S3_+,&-,= ¶^³_o^¹Œ. ¦(1 − k)⁷. t +^7¸.†_8o^Œ. (1 − k) +_<(8o)^-¸Œ.†·_Œ§

>

8o = (… )

S3^*_+, (= S3^*_+,&-,) = √2 × S3+,&-,= (… )

→ avec : E>= (E5+ E7) 2⁄ et : ∆E = (E7− E5) 2⁄ et : k = ∆E E⁄ >= (E7− E5)/(E7+ E5) _______________________________________________________________________________________

• Pour les signaux s4(t) et s4’(t) : S4_-, = ⁷_o. ºµ ^7³.†_8o . dt

»¼Œ

> + w E. dt »¼^¼½

Œ ¾ = ^7³_o . º¦_8o^†Œ§

>

»¼Œ

+ yt{»¼ Œ

¼½ ¾ = (… )

S4_+,&-,= ¶⁷_o. ºµ 9^7³.†_8o;⁷. dt

»¼ Œ

> + w E². dt ^»¼¼½

Œ ¾ = ¶^7³²_o . À¦_<(8o)^-†·_Œ§

>

»¼Œ

+ yt{»¼ Œ

¼½ Á = (… )

S4^*_+, (= S4^*_+,&-,) = √2 × S4+,&-,= (… )

_______________________________________________________________________________________

• Pour les signaux s5(t) et s5’(t) : → on transforme le temps t par l’angle x = ωt (dx = ω.dt, avec ω = 2π/T) S5_-, = ⁵_oµ E. sin 9^{8o †}₇₈; . dt

> = _7Ã⁵ µ^7Ã8E. sin 9₇₈^Ä; . dx

> = ^ª78³_7Ã . ¦cos 9₇₈^Ä;§

>

7Ã8 = (… )

S5_+,&-,= ¶_7Ã⁵ µ^7Ã8¦E. sin 9₇₈^Ä;§⁷. dx

> = 1_-Ã^³Œ. ¦x + α. sin 9₈^Ä;§

>

7Ã8 = (… ) S5^*_+, (= S5^*_+,&-,) = √2 × S5+,&-,= (… )

ANNEXE – Formulation des intégrales aboutissant aux résultats (suite)

• Pour les signaux s6(t) et s6’(t) : → on transforme le temps t par l’angle x = ωt (dx = ω.dt, avec ω = 2π/T) S6_-, = _7Ã⁵ w E. sin(x). dx _Å^Ã = −_7Ã^³ . ycos(x){_Å^Ã = (… )

S6_+,&-,= 1_7Ã⁵ w yE. sin(x){_Å^{à 7}. dx = 1^³_ÆÃ^Œ. y2x − sin (2x){_Å^à = (… ) S6^*_+, (= S6^*_+,&-,) = √2 × S6+,&-,= (… )

_______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s6’’(x) : → on transforme le temps t par l’angle x = ωt (dx = ω.dt, avec ω = 2π/T) S6′′_-, = ⁵_Ãw E. sin(x). dx _Å^Ã = −_Ã^³. ycos(x){_Å^Ã = (… )

S6′′_+,&-, = 1⁵_Ãw yE. sin(x){_Å^{à 7}. dx = 1^³_-Ã^Œ. y2x − sin (2x){_Å^à = (… )

_______________________________________________________________________________________

• Pour les signaux s7(t) et s7’(t) : → on transforme le temps t par l’angle x = ωt (dx = ω.dt, avec ω = 2π/T) S7_-, = ⁵_Ãw E. sin(x). dx _Å^êŠ= −^³_Ã. ycos(x){_Å^êŠ= (… )

S7_+,&-,= 1_Ã⁵w yE. sin(x){_Å^{êŠ7}. dx = 1^³_-Ã^Œ. y2x − sin (2x){_Å^êŠ= (… ) S7^*_+, (= S7^*_+,&-,) = √2 × S7+,&-,= (… )

_______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s7’’(x) : → on transforme le temps t par l’angle x = ωt (dx = ω.dt, avec ω = 2π/T) S7′′_-, = 2 ×⁵_Ãw E. sin(x). dx _Å^ÇŒ = −^7³_à . ycos(x){_Å^ÇŒ = (… )

S7′′_+,&-, = 12 ×_Ã⁵w yE. sin(x){_Å^{ÇŒ 7}. dx = 1^³_7Ã^Œ. y2x − sin (2x){_Å^ÇŒ = (… )

_______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s8(t) :

S8_-, = ⁵_o× È2E₅.^8o₇ + 2E₇.^go₇É = (… ) (méthode 1/T × ∑surfaces) S8_+,&-,= ¶⁷_o. Àw¼^¼½ªÊ¼Œ E₅⁷. dt

½ª^»¼_Œª^ʼ_Œ + w¼^¼½ E₇⁷. dt

½ª^ʼ_Œ Á = ¶_o⁷. yE₅⁷. t{¼

½ª^»¼_Œª^ʼ_Œ

¼½ª^ʼ_Œ

+^-_o. yE₇⁷. t{¼

½ª^ʼ_Œ

¼½ = (… )

_______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s9(t) :

S9_-, = ⁵_o× °E₅. αT + E₇. βT² = (… ) (méthode 1/T × ∑surfaces) S9_+,&-,= 1_o⁵. Èw E_>^8o ₅⁷. dt + w_8o^(8&g)oE₇⁷. dt É = 1⁵_o. ÈyE₅⁷. t{_>^8o+ yE₇⁷. t{_8o^(8&g)oÉ = (… )

_______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s10(t) :

S10_-, =_o⁵× ÈE₅. αT + E₇. βT + (E₅− E₇).^go₇É = (… ) (méthode 1/T × ∑surfaces) S10_+,&-,= ¶⁵_o. Àw E_ª8o^> ₅⁷. dt + µ 9^{go ³Œ}_go^ª³Í. t + E₅;⁷. dt

> Á

S10_+,&-,= ¶⁵_o. ÎyE₅⁷. t{_ª8o^> + ¦E₅⁷. t +^³Í.(³_go^Œª³Í). t⁷+^(³_<(go)^Œª³Í_Œ^)Œ. t^<§

>

goÏ = (… )

ANNEXE – Formulation des intégrales aboutissant aux résultats (suite)

• Pour le signal s11(t) :

S11_-, =_o⁵× ÈE₅.^8o₇ + E₇. βTÉ = (… ) (méthode 1/T × ∑surfaces) S11_+,&-,= ¶⁵_o. Àµ 9^{8o ³}_8o^Í.†;⁷. dt + w_8o^(8&g)oE₇⁷. dt

> Á = ¶⁵_o. Φ_<(8o)^³ÍŒ.†·_Œ§

>

8o+ yE₇⁷. t{_8o^(8&g)oÏ = (… ) _______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s12(t) :

S12_-, =_o⁵× ÈE₅.^8o₇ + E₇. βT + (E₅− E₇).^go₇É = (… ) (méthode 1/T × ∑surfaces)

S12_+,&-,= Ð⁵_o. ÑÒ 9^³_8o^Í.†;⁷. dt + µ 9^{go ³Œ}_go^ª³Í. t + E₅;⁷. dt

>

>

ª8o

Ó

S12_+,&-,= ¶⁵_o. Φ_<(8o)^³ÍŒ.†·_Œ§

ª8o

> + ¦E₅⁷. t +^³Í.(³_go^Œª³Í). t⁷+^(³_<(go)^Œª³Í_Œ^)Œ. t^<§

>

goÏ = (… )

_______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s13(t) :

S13_-, =_o⁵. Àµ 9E +^{> ³.†}_8o; . dt

ª8o + µ 9E −^{go ³.†}_go; . dt

> Á =^³_o. Φt +_78o^†Œ §

ª8o

> + ¦t −_7go^†Œ §

>

goÏ = (… )

S13_+,&-,= 1_o⁵. Îw 9E +_ª8o^{> ³.†}_8o;⁷. dt + w 9E −_>^{go ³.†}_go;⁷. dt Ï S13_+,&-,= ¶^³_o^Œ. Φt +_8o^†Œ +_<(8o)^†· _Œ§

ª8o

> + ¦t −_go^†Œ +_<(go)^†· _Œ§

>

goÏ = (… )

_______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s14(t) :

S14_+, = ¶⁵_o. Àµ 9E +^{> 7³.†}_8o;⁷. dt

ª8o + µ^(5ª8)o9E −_(5ª8)o^7³.† ;⁷. dt

> Á

S14_+, = ¶^³_o^Œ. Φt +^-†_8o^Œ+_<(8o)^-†·_Œ§

ª8o

> + ¦t −_(5ª8)o^-†Œ +<y(5ª8)o{^{-†· Œ}§

>

(5ª8)o

Ï = (… )

_______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s15(t) :

S14_+, = Ð⁷_o. ѵ^> 9E +^7³.†_8o;⁷. dt

ª8o 7Y + µ 9E −_(5ª8)o^7³.† ;⁷. dt

(5ª8)o Y7

> Ó

S14_+, = ¶^7³_o^Œ. º¦t +^-†_8o^Œ+_<(8o)^-†·_Œ§

ª8o 7Y

> + ¦t −_(5ª8)o^-†Œ +<y(5ª8)o{^{-†· Œ}§

>

(5ª8)o Y7

¾ = (… )

_______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s8’(t) :

S8′_+,= ¶^-_o. Àw¼^¼½ªÊ¼Œ E₅⁷. dt

½ª^»¼_Œª^ʼ_Œ + w¼^¼½ E₇⁷. dt

½ª^ʼ_Œ Á = ¶_o^-. ÀyE₅⁷. t{¼

½ª^»¼_Œª^ʼ_Œ

¼½ª^ʼ_Œ

+ yE₇⁷. t{¼

½ª^ʼ_Œ

¼½ Á = (… )

ANNEXE – Formulation des intégrales aboutissant aux résultats (suite et fin)

• Pour le signal s16(t) :

S16_-, =_o⁵× ÈE₅.^8o₇ + E₅. βT + E₇. λTÉ = (… ) (méthode 1/T × ∑surfaces) S16_+,&-,= 1_o⁵. ÈE₅⁷.^8o_< + E₅⁷. βT+E₇⁷. λTÉ = (… ) (méthode √[1/T × ∑surfaces²]) _______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s17(t) :

S17_-, =_o⁵× ÈE₅.^8o₇ + E₇. βT + E₇.^Õo₇É = (… ) (méthode 1/T × ∑surfaces) S17_+,&-,= 1_o⁵. ÈE₅⁷.^8o_< + E₇⁷. βT+E₇⁷.^Õo_<É = (… ) (méthode √[1/T × ∑surfaces²]) _______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s18(t) :

S18_-, =_o⁵× ÈE₅.^8o₇ + (E₅+ E₇).^go₇ + E₇.^Õo₇É = (… ) (méthode 1/T × ∑surfaces) S18_+,&-,= 1_o⁵. ÈE₅⁷.^8o_< + (E₅⁷+ E₅E₇+ E₇⁷).^go_< +E₇⁷.^Õo_<É = (… ) (méthode √[1/T × ∑surfaces²]) _______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s19(t) :

S19_-, =_o⁵× ÈE₅.^8o₇ + (E₅+ E₇).^go₇ + E₇. λTÉ = (… ) (méthode 1/T × ∑surfaces) S19_+,&-,= 1_o⁵. ÈE₅⁷.^8o_< + (E₅⁷+ E₅E₇+ E₇⁷).^go_< +E₇⁷. λTÉ = (… ) (méthode √[1/T × ∑surfaces²]) _______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s20(t) :

S20_-, =_o⁵× °p. E. αD² = (… ) (méthode 1/T × ∑surfaces)

S20_+,&-,= 1p ×_o⁵w E_>^{8- 7}. dt = 1p ×^³_o^Œ. yt{_>^8- = (… )

_______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s21(t) :

S21_-, =_o⁵× Èp.^³.8-₇ É = (… ) (méthode 1/T × ∑surfaces) S21_+,&-,= 1p ×_o⁵w 9_>^8- _8-^³ . t;⁷. dt = ¶p ×^³_o^Œ. ¦_<(8-)^†· _Œ§

>

8- = (… )

_______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s22(t) :

S22_+, = 1_orsrtu⁵ w yE. sin(ωt){_>^{opq 7}. dt = 1_-Â.o^³Œ_rsrtu. y2ωt − sin(2ωt){_>^opq = (… )

→ sachant que Ton = α.Tcycle = p.T

et p étant un nombre entier de périodes T, ce qui fait que : sin(p.2ωT) = 0

ANNEXE – Développements en séries de Fourier de certains signaux

• Pour le signal s1(t) :

En fixant l’origine à t = αT/2, le signal s1(t) est pair, donc B1n = 0 (et A10 est déjà connu puisque S10 = S1DC = αE) A1•=_o^-w s1(t)._>^¼Œ cos(nωt). dt =^-_ow E._>^»¼Œ cos(nωt). dt =^7³_•Ã. ysin(nωt){_>^»¼Œ = (… ) A1•= 2E.^{Ö~•(8•Ã)}_•Ã

donc : s1(t) = αE + 2E. ∑••5^{Ö~•(8•Ã)}_•Ã . cos(nωt) ou : “1(”) = ×Ø + 2Ø. ∑–•5^{ÙÚ–(Û–¡)}_–¡ . —˜“(™”)

→ s1(t) = αE. Ü1 + 2. ∑••5sinc(αn) . cos(nωt)Ý ou : “1(”) = ×Ø. Ü1 + 2. ∑–•5“›™—(×™) . —˜“(™”)Ý Rappel : Le sinus cardinal est défini en traitement de signal par : sinc(u) = sin(πu) / πu

→ Valeur efficace des harmoniques (ꓯ rang n≥1) : (S1•)Þߣ = ^£5_√7^q = ⁺⁵_√7^q = E√2.^{Ö~•(8•Ã)}_•Ã

_______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s1’(t) :

En fixant l’origine à t = αT/2, le signal s1’(t) est pair, donc B1’n = 0 (et S1’0 = S1’DC = 0 car le signal est alternatif) A1′_•=^-_ow E._>^»¼Œ cos(nωt). dt +_o^-w¼^¼Œ (−E).

Œª^»¼_Œ cos(nωt). dt =_•Ã^7³. Àysin(nωt){_>^»¼Œ + ysin(nωt){¼ Œª^»¼_Œ

¼

Œ Á = (… )

A1′•=_•Ã^7³. sin(αnπ). y1 −cos(nπ){

A1′•=^-³_•Ã. sin(αnπ) si n est impair, et A1′•= 0 si n est pair : s1’(t) n’a pas d’harmoniques paires

donc : s1^*(t) = 4E. ∑••5^{Ö~•(8•Ã)}_•Ã . cos(nωt) ou : “1^*(”) = 4Ø. ∑–•5^{ÙÚ–(Û–¡)}_–¡ . —˜“(™”) (n impair)

→ s1′(t) = 4αE. ∑_••5sinc(αn) . cos(nωt) ou : “1′(”) = 4×Ø. ∑_–•5“›™—(×™) . —˜“(™”) (n impair)

→ Valeur efficace des harmoniques (rang n≥1 impair) : (S1′•)_Þߣ = ^£5*_√7^q = ^+5*_√7^q = 2√2E.^{Ö~•(8•Ã)}_•Ã

_______________________________________________________________________________________

• Pour le signal s2(t) : → signal ni pair, ni impair : Il faut donc calculer les coefficients (amplitudes) An et Bn

→ Pour simplifier les résultats, on pose : λn = 2αnπ A2•=_o⁷w s2(t)._>^o cos(nωt). dt =⁷_oµ^8o_8o^³.†.

> cos(nωt). dt =_8o^7³_Œw t._>^8o cos(nωt). dt = (… ) A2•=_8•Ão^³ . ¦t. sin(nωt) +^{ƒàÖ(•Â†)}_•Â §_>^8o=_78•^³_ŒÃŒ. ynωt. sin(nωt) + cos(nωt){_>^8o = (… )

A2_•=_78•^³_ŒÃŒ. yλ_•. sin(λ_•) + cos(λ•) − 1{

B2•=⁷_ow s2(t)._>^o sin(nωt). dt =⁷_oµ^8o³.†_8o.

> sin(nωt). dt =_8o^7³_Œw t._>^8o sin(nωt). dt = (… ) B2•=_8•Ão^ª³ . ¦t. cos(nωt) −^{Ö~•(•Â†)}_•Â §_>^8o=_78•^ª³_ŒÃŒ. ynωt. cos(nωt) − sin(nωt){>8o = (… )

B2•=_78•^ª³_ŒÃŒ. yλ•. cos(λ•) − sin(λ•){

→ Valeur efficace des harmoniques (ꓯ rang n≥1) : (S2•)_Þߣ = ^£7_√7^q = _√7⁵ lA2•7+ B2•7