4) La sœur de M

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Page1sur3 Donnée du problème(E538-Diophante)

Le 25 décembre 2009, trois couples célèbrent Noël par un dîner en commun. Chaque époux est le frère d'une des épouses (pas de la sienne, bien sûr!) et chaque épouse est la sœur d'un des époux. Les six personnes forment donc également trois paires frère- sœur.

1) Honorine a exactement 26 semaines de plus que son mari, qui est né au mois d'août.

2) Ernestine Beulemans est assise à côté d'Albert Meulemans.

3) Arthur a 81 ans.

4) La sœur de M. Beulemans a épousé le beau-frère du frère d'Honorine.

5) Elle (la sœur de M. Beulemans) s'est mariée le jour de son propre anniversaire, qui a lieu en janvier.

6) La sœur d'Alphonse est assise en face de Joséphine.

Quel est le prénom de Mme Ceulemans?

Solution

Selon la donnée, nous avons :

- Trois hommes : Albert, Arthur et Alphonse.

- Trois femmes : Honorine, Ernestine et Joséphine.

- Trois noms de famille : Beulemans, Meulemans, Ceulemans.

Les trois informations suivantes apparaissent immédiatement : - Le nom de famille d’Albert est Meulemans (info 2).

- Ernestine n’est pas la femme d’Albert (info 2).

- La sœur d’Alphonse n’est pas Joséphine (info 6).

Dans les tableaux qui suivent, l’ordre dans lequel les informations sont mises a été numéroté.

Mettons dans ce premier tableau les informations dont on est sûr dès le départ.

Albert Arthur Alphonse

Epouses Ernestine (3)

Sœurs Joséphine (2)

Noms de famille Meulemans (1) Supposons qu’Honorine soit l’épouse d’Arthur.

Arthur a 81 ans. Il est donc né en 1928 (2009 - 81), au mois d’août selon l’info 1. Supposons qu’il soit né le 1er août 1928. Sa femme qui est née exactement 26 semaines avant son mari est née le 1er février 1928. En effet, 26 semaines, c’est 182 jours et le 1er février 1928 (année bissextile) correspond à 182 jours avant le 1er août (31 jours pour juillet, 30 jours pour juin, 31 jours pour mai, 30 jours pour avril, 31 jours pour mars et 29 jours pour février). Par conséquent, si Honorine est l’épouse d’Arthur, elle n’a pas eu son anniversaire en janvier et donc, n’est pas la sœur de M.

Beulemans (info 5).

Complétons le tableau suivant. Honorine (4) est l’épouse d’Arthur. Cela implique qu’Ernestine (6) Beulemans (5) est l’épouse d’Alphonse. On sait qu’Honorine n’est pas l’épouse de M. Beulemans (7). On s’aperçoit alors qu’Alphonse ne peut pas avoir de sœurs. Notre supposition était fausse.

Epouses Ernestine (3) Honorine (4) Ernestine (6)

Honorine (7)

Noms de famille Meulemans (1) Beulemans (5)

(2)

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On est obligé de conclure qu’Honorine n’est pas l’épouse d’Arthur.

Supposons que le nom de famille d’Alphonse soit Beulemans (5). Le tableau suivant peut être facilement complété.

Honorine (10)

Honorine (4) Joséphine (9)

Ernestine (6)

Sœurs Joséphine (11) Ernestine (12) Joséphine (2)

Honorine (7) Noms de famille Meulemans (1) Ceulemans (8) Beulemans (5)

On doit encore vérifier l’info 4 : La sœur de M. Beulemans a épousé le beau-frère du frère d’Honorine  Honorine a épousé le beau-frère d’Alphonse  Honorine a épousé Arthur. Cette affirmation est fausse. Alors, seul Arthur peut s’appeler Beulemans et le tableau suivant peut être complété en partie.

Epouses Ernestine (3) Honorine (4)

Ernestine (6)

Noms de famille Meulemans (1) Beulemans (5) Ceulemans (7) Deux cas possibles pour l’épouse d’Albert : Joséphine ou Honorine.

a) Essayons Joséphine comme épouse d’Albert et complétons le tableau :

Joséphine (8)

Honorine (4) Ernestine (6)

Honorine (9)

Sœurs Honorine (11) Joséphine (12) Joséphine (2)

Ernestine (10) Noms de famille Meulemans (1) Beulemans (5) Ceulemans (7)

Vérifions l’info 4 : La sœur de M. Beulemans a épousé le beau-frère du frère d’Honorine  Joséphine a épousé le beau-frère d’AlbertHonorine a épousé Arthur. Cette affirmation est fausse.

Il ne nous reste plus qu’à tenter le cas b.

b) Honorine est l’épouse d’Albert.

Honorine (8)

Joséphine (9)

Noms de famille Meulemans (1) Beulemans (5) Ceulemans (7) Deux cas se présentent à nouveau :

aa) La sœur d’Albert est Joséphine.

bb) La sœur d’Albert est Ernestine.

Cas aa :

Honorine (8)

Joséphine (9)

Sœurs Joséphine (10) Honorine (11) Joséphine (2)

Ernestine (12) Noms de famille Meulemans (1) Beulemans (5) Ceulemans (7)

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On doit encore vérifier l’info 4 : La sœur de M. Beulemans a épousé le beau-frère du frère d’Honorine  Honorine a épousé le beau-frère d’Arthur  Honorine a épousé Albert. Cette affirmation est fausse. Passons au cas bb.

Cas bb :

Honorine (8)

Joséphine (9)

Sœurs Ernestine (10) Joséphine (12) Joséphine (2)

Honorine (11) Noms de famille Meulemans (1) Beulemans (5) Ceulemans (7)

On doit encore vérifier l’info 4 : La sœur de M. Beulemans a épousé le beau-frère du frère d’HonorineJoséphine a épousé le beau-frère d’AlphonseHonorine a épousé Albert. C’est bien vrai.

Le prénom de Mme Ceulemans estJoséphine.

C’est la seule solution car tous les cas possibles ont été envisagés.