G243 : Par une après-midi pluvieuse
Par une après-midi pluvieuse, Zig et Puce s'adonnent à des coloriages. Chacun choisit un certain nombre de crayons, pas nécessairement le même, dans la boîte commune de 12 crayons de couleurs différentes.
Zig trace un dodécagone régulier de centre O et avec ses crayons colorie les 12 secteurs triangulaires de sommet O de telle sorte que deux triangles adjacents n'ont jamais la même couleur. Puce de son côté fait la même chose avec son polygone régulier préféré et ses crayons. Ils dénombrent le nombre de coloriages distincts qu'ils peuvent réaliser et constatent que l'un en a deux de plus que l'autre. Déterminer le
polygone préféré de Puce ainsi que le nombre de crayons de couleurs utilisé par chacun des enfants.
1) Nous supposons que les sommets des polygones sont nommés, donc que deux coloriages qui se superposent par rotation sont distincts. Si nous coupons à un sommet, et déployons le périmètre, nous obtenons une suite de segments colorés: soit A(n,k) le nombre de façons différentes de colorier une ligne de n segments avec p couleurs, sans que deux consécutifs soient de la même couleur.
Deux cas peuvent se présenter: la couleur des premier et dernier segments peut être différente ou identique: soient B(n,k) et C(n,k) les nombres respectifs; si le dernier segment est identique au premier, c’est que l’avant-dernier est différent.
Nous avons alors B(n,k)+C(n,k)=A(n,k)=k(k-1)n-1, C(n,k)=B(n-1,k), et C(2,k)=0.
n A(n,3) C(n,3) B(n,3) ... A(n,5) C(n,5) B(n,5)
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
6 0 6 20 0 20
12 6 6 80 20 60
24 6 18 320 60 260
48 18 30 1280 260 1020
96 30 66 5120 1020 4100
192 66 126 20480 4100 16380
384 126 258 81920 16380 65540
768 258 510 327680 65540 262140
1536 510 1026 1310720 262140 1048580
3072 1026 2046 5242880 1048580 4194300
6144 2046 4098 20971520 4194300 16777220
Zig a utilisé 3 couleurs, tandis que Puce a colorié un hexagone avec 5 couleurs.
2) Variante proposée par Jean Moreau de Saint-Martin: Zig et Puce se remettent à l’ouvrage avec la même boîte de crayons de couleur. Zig garde son dodécagone régulier, tandis que Puce trace un polygone régulier pas forcément identique au précédent. Ils considèrent cette fois que deux coloriages ne sont pas distincts si on peut les superposer par rotation de l’un d’eux. Ils constatent que l’un a 16 coloriages de plus que l’autre.
Si les sommets du polygones ne sont pas nommés, donc si l’on ne distingue pas des coloriages qui se superposent par rotation, nous noterons U(n,k) le nombre de façons différentes de colorier un polygone régulier à n cotés avec k couleurs, sans que deux triangles adjacents aient la même couleur. Si le coloriage n’est pas périodique (invariant par rotation), en particulier si le nombre n de sommets est premier, nous obtenons une suite différente selon le sommet choisi: un coloriage non-périodique du polygone engendre donc n coloriages du périmètre; si n=pq, il y a U(p,k) coloriages du polygone invariants par rotation de 2π/q, chacun
engendrant p coloriages du périmètre. Le nombre de coloriages non-périodiques est donc V(n,k)=U(n,k)-∑V(p,k), la sommation étant étendue à tous les diviseurs p de n. Comme au 1), notons A(n,k) le nombre de façons différentes de colorier une ligne de n segments avec p couleurs, sans que deux consécutifs soient de la même couleur. Deux cas peuvent se présenter: la couleur des premier et dernier segments peut être différente ou identique: soient B(n,k) et C(n,k) les nombres respectifs. Nous avons alors B(n,k)+C(n,k)=A(n,k)=k(k-1)n-1, C(n,k)=B(n-1,k), et C(2,k)=0. Enfin, B(n,k)=nV(n,k)+∑(n/p)V(p,k)=n(V(n,k)+∑V(p,k)/p) ce qui permet de calculer V(n,k) et enfin U(n,k)= V(n,k) + ∑V(p,k).
Tous calculs faits, on trouve qu’il y a 352 façons pour Zig de colorier un
dodécagone avec 3 couleurs, et 336 façons pour Puce de colorier un carré avec 7 couleurs
