ISSAE
Cnam-Liban UTC 604 TD1 J.Saab
1. On se met dans l’e.v. R3muni des lois habituelles. Soit:
F = f(x; y; z)2IR3j x y +z = 0
2x y = 0 g
G = f(x; y; z)2IR3j(x y)2= 2x+yg
(a) Véri…er queF est un s.e.v deR3 alors queGne l’est pas (b) Trouver une base deF et en dvduire sa dimension
(c) Quelle est l’interprétation géométrique deF
2. On se met dansM2(R)muni des lois habituelles. On considère les sous ensembles:
F = fA2M2(IR)jA= a+b c
2c b g
G = fA2M2(IR)jA= 1 a
0 b g
(a) Véri…er queF est un s.e.v deM2(R)alors queGne l’est pas (b) Trouver une base deF et en dvduire sa dimension
3. On se place dans leR-espace vectorielR2[x]des polynômes à coè¢ cients réels de degré 2:Soit E=fP 2R2[x]jP( 1) = 0g et F =fP 2R2[x]jP(1 x) =P(x)g
Montrer queE etF sont deux s.e.v deR2[x]:En donner une base de chacun d’eux et déduire leurs dimensions
4. On se place dansM2(R):SoitA= 0 2
2 3 etI=I2:On dé…nit l’ensemble
E=fM 2M2(R)jAM =M Ag
(a) Montrer queE est un s.e.v. deM2(R)
(b) Montrer que fA; Igest un système de générateurs deE;en dvduire la dimension de E (c) Résoudre dansE l’équation: X A2X+AXA A= 0:
5. Soitf :R2 !R2l’endomorphisme dé…ni parf(x; y) = (2x+y; x 2y):
(a) Donner la matrice def dans la base canonique deR2:
(b) Soit B =fv1= 2e1+e2; v2=e1 2e2gune base de R2. Écrire la représenttion matricielle de f dans la baseB:
(c) Soit X= 2e1+ 3e2 un vecteur deR2:Donner les composantes deX dans la baseB:
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