Chapitre 5 : Probabilités Page 1
Chapitre 5 : Les probabilités
Objectifs :
*Connaitre les propriétés des probabilités conditionnelles
* Connaitre la propriété des probabilités totales
*Savoir rédiger et utiliser un tableau ou un arbre de probabilité
Remarque : E désigne l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.
I. Rappel de probabilité 1.Tableau
Total
Total 1
2.Loi binomiale
Définition : On réalise un schéma de Bernoulli de paramètres n et p. Soit X le nombre de succès obtenus. On dit que X est la variable aléatoire associée à ce schéma. Si k est un entier compris entre 0 et n, l’événement « on a obtenu k succès » est notée {X=k} et la probabilité de cet événement est notée P(X=k). On dit que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p.
Propriété : Si la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p, alors pour tout entier k compris entre 0 et n :
Pour obtenir le coefficient binomial : On utilise le mode de calcul de la calculatrice.
Rentrer la valeur du n de l’énoncé
Faire puis aller dans Prb et choisissez 3 : nCr (combinaison sur certains modèles)
Rentrer la valeur du k de l’énoncé et appuyer sur
Voici un exemple d’affichage (pour n=5 et k=3):
Pour obtenir le coefficient binomial : On utilise le mode Run de la calculatrice.
Rentrer la valeur du n de l’énoncé
Faire puis pour accéder au catalogue des fonctionnalités. Appuyer sur C pour obtenir
la liste commençant par C.
Choisir le C . Rentrer la valeur du k de l’énoncé et appuyer sur
Voici un exemple d’affichage (pour n=5 et k=3):
Chapitre 5 : Probabilités Page 2 Pour obtenir la probabilité P(X=k) :
Dans , accéder à la fonctionnalité suivante : puis entrer n,p,k en
utilisant la vrai virgule :
Pour obtenir la probabilité P(X k) : Dans le catalogue, accéder à la fonctionnalité
suivante : puis entrer n,p,k.
Pour obtenir la probabilité P(X=k) : Dans le catalogue, accéder à la fonctionnalité
suivante : puis entrer k,n,p en utilisant la vrai virgule :
Pour obtenir la probabilité P(X k) : Dans le catalogue, accéder à la fonctionnalité
suivante : puis entrer k,n,p.
Définition : Lorsqu’on simule un très grand nombre de fois un schéma de Bernoulli de
paramètres n et p , la moyenne du nombre de succès par schéma se rapproche d’un réel appelé espérance mathématique de la loi binomiale de paramètres n et p que l’on note E(x).
Propriété : L'espérance d'une loi binomiale de paramètre n et p est : E(X) = n x p Exemple : Lors de l’examen du code de la route, 40 questions sont posées sous forme de QCM. Pour chaque question, une seule des 4 réponses est exacte.
1) Quelle est la probabilité de répondre à exactement 36 questions justes ? 2) Quelle est la probabilité de répondre à plus de 36 questions justes ? 3) Quelle est la probabilité de répondre à au moins 36 questions justes ? 4) Quelle est la probabilité de répondre à moins de 36 questions justes ? 5) Quelle est la probabilité de répondre à au plus 36 questions justes ?
6) A combien de questions peut on espérer avoir juste en moyenne en répondant au hasard ?
Exercices : Déclic TES/L 2016 Hachette 10,11,12,13p168+36p170+38,40,44p172
Exercices supplémentaires : Déclic TES/L 2016 Hachette 1,2p161+39,41,42,43p172
Chapitre 5 : Probabilités Page 3 II. Arbre de probabilité
Exemple : Anaïs possède un économiseur d’écran qui passe ses 2955 photos aléatoirement.
Elle possède 591 photos d’Irlande parmi lesquels 60% représentent des paysages. Parmi les photos qui ne sont pas d’Irlande, 75% représentent des paysages. On tire une photo au hasard. On considère les événements :
I : « La photo choisie est une photo d’Irlande ».
V : « La photo choisie est une photo de paysages ».
1) Représenter les données sur un arbre :
Remarque : Voici comment l’on peut représenter une situation de probabilité dans un arbre :
i) La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.
ii) La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins conduisant à cet événement
1. Probabilité conditionnelle
Définition : Soient A et B deux évènements de l’ensemble E, A étant de probabilité non nulle (p(A) 0). La probabilité conditionnelle de B sachant A est le nombre noté
. Propriétés : Soient deux évènements tels que p(A) 0. Alors :
0 pA(B) 1 ; pA(B)+ pA( )=1
Dans une situation d’équiprobabilité :
.
Propriétés : p(A B) peut se calculer de deux façons : i) avec p(A) 0.
ii) avec p(B) 0.
Chapitre 5 : Probabilités Page 4 2. Probabilités Totales
Propriété : Soit un événement A, réunion d’événements A1,A2,…An, deux à deux incompatibles.
Pour tout événement B, on a p(B)=p(A1 B)+ p(A2 B)+… p(An B) c’est-à-dire : p(B)= p(A1) pA1(B)+ p(A2) pA2(B)+…+ p(An) pAn(B) où A1,A2,…An sont des événements de probabilités non nulle.
Cas particulier : Soient A et B deux évènements, A étant de probabilité non nulle (p(A) 0).
alors p(B)=p(A B)+ p( B) c’est-à-dire p(B)= p(A) pA(B)+ p( ) (B) Suite de l’exemple :
2)a) Déterminer à l’aide des données de l’énoncé les probabilités suivantes : b) Exprimer à l’aide de phrases ce que signifient ces probabilités.
3) Calculer Exprimer à l’aide d’une phrase ce que signifie cette probabilité.
4) Montrer que
5) La photo choisie est une photo de paysages, calculer la probabilité que cela soit une photo d’Irlande.
Exercices : Déclic TES/L 2016 Hachette
7p165+14,15,16p168+18,19,21,26,27p169+28,31,33,34p170+45p173+49,52,59,60p175+
63,64,65p177+67,68,70p178+75,77p180
Exercices supplémentaires : Déclic TES/L 2016 Hachette
3,4p163+5,6p164+8,9p166+17,20,22,23,24,25p169+29,30,32,35,37p170+p171+46,47,48p173+
50,51,53,54,55,56,57,58,61p175+62,66p177+69,71,72,73p179
