le 18 F´evrier 2010 UTBM MT12
Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr
D´ eterminants
K=Rou C.
E un K-esp. vect. (on sait que dans le cas d’un espace vectoriel de dimension finie n, quitte `a choisir une base, on peut identifier E etKn.)
1 Formes n-lin´ eaires sur E = K
n.
D´efinition 1.1 i) Une application ϕ : En −→ K est dite forme n-lin´eaire si ϕ est lin´eaire par rapport `a chaque variable :
- ∀v, u1, ..., un∈E,
ϕ(u1, ..., ui−1, ui+v, ui+1, ..., un) =ϕ(u1, ..., ui−1, ui, ui+1, ..., un) +ϕ(u1, ..., ui−1, v, ui+1, ..., un) - ∀u1, ..., un∈E,∀λ∈K, ϕ(u1, ..., ui−1, λ.ui, ui+1, ..., un) = λ.ϕ(u1, ..., ui−1, ui, ui+1, ..., un).
ii) Une forme n-lin´eaire est dite antisym´etrique si
∀i < j, ϕ(u1, ..., ui−1, ui, ..., uj, uj+1, ..., un) =−ϕ(u1, ..., ui−1, uj, ..., ui, uj+1, ..., un).
iii) L’ensemble des formes n-lin´eaires antisym´etriques sur K est not´e An(K) (c’est un K-espace vectoriel).
Proposition 1.2 Soit ϕ une forme n-lin´eaire sur E alors :
ϕ antisym`etrique ⇐⇒ϕ altern´ee (i.e. xi =xj avec i̸=j =⇒ϕ(x1, x2, ..., xn) = 0.
Preuve.
=⇒) Supposons ϕ sym´etrique. Alors ϕ(x1, ..., xi, .., xj, .., xn) = −ϕ(x1, ..., xj, .., xi, .., xn) donc, si xi =xj on a ϕ(x1, ..., xi, .., xj, .., xn) = 0.
⇐=) Si ϕ altern´ee alorsϕ(x1, ..., xi+xj, .., xj+xi, .., xn) = 0.
Mais ϕ(x1, ..., xi +xj, .., xj +xi, .., xn) = ϕ(x1, ..., xi, .., xj, .., xn) + ϕ(x1, ..., xj, .., xi, .., xn) + ϕ(x1, ..., xi, .., xi, .., xn) +ϕ(x1, ..., xj, .., xj, .., xn)
etϕ(x1, ..., xi, .., xi, .., xn) =ϕ(x1, ..., xj, .., xj, .., xn) = 0.
Donc ϕ est antisym´etrique.
CQFD
2 D´ eterminant.
2.1 d´ efinition.
E K esp.vect. de dimension n. Soit B={e1, e2, ..., en} une base deE.
Soit ϕ:En −→Kune forme n-lin´eaire altern´ee.
Soit (x1, x2, ..., xn)∈En. ´Etudionsϕ(x1, x2, ..., xn) en tenant compte de B. On a :
x1=a! 1,1.e1+a2,1.e2+...+an,1.en, x2
=a! 1,2.e1+a2,2.e2+...+an,2.en, ...
xn=a! 1,n.e1+a2,n.e2+...+an,n.en. Alors
ϕ(x1, x2, ..., xn) =ϕ(a1,1.e1+...+an,1.en, a1,2.e1+...+an,2.en, , ..., a1,n.e1+...+an,n.en)
=∑n
i1=1ai1,1ϕ(ei1,∑n
i2=1ai2,2ei2, ...,∑n
in=1ain,nein)
=∑n
i1=1ai1,1∑n
i2=1ai2,2ϕ(ei1, ei2, ...,∑n
in=1ain,nein)
=∑n
i1=1ai1,1∑n
i2=1ai2,2...∑n
in=1ain,nϕ(ei1, ei2, ..., ein) Mais ϕ(ei1, ei2, ..., ein) = 0 d`es que ∃ik=ik′ aveck ̸=k′,
donc ϕ(x1, x2, ..., xn) = ∑n
σ∈Snaσ(1),1aσ(2),2...aσ(n),nϕ(ei1, ei2, ..., ein) o`u Sn est l’ensemble des permutations de (1, ..., n) (i.e. les bijections de{1, ..., n} dans {1, ..., n})
Pourσ ∈Sn, on pose ϵσ, la signature deσ : ϵσ = (−1)k o`u k est le nombre de permutations de 2 termes n´ecessaires dans (σ(1), σ(2), ..., σ(n)) pour obtenir (1,2, ..., n).
Exemples 2.1 σ =
( 1 2 3 4 5 6 2 3 1 5 6 4
)
est une permutation de (1,2,3,4,5,6) donne ϵσ = (−1)4 = 1.
Conclusion :ϕ(x1, x2, ..., xn) =∑
σ∈Snϵσaσ(1),1aσ(2),2...aσ(n),n.ϕ(e1, e2, ..., en) avecϕ(e1, e2, ..., en)∈ K.
On en d´eduit le
Th´eor`eme 2.2 Soit E K e.v. muni d’une base B ={e1, e2, ..., en}.
L’espace vectoriel sur K des formes n-lin´eaires altern´ee d´efinie sur E est de dimension 1.
Chaque formen-lin´eaire altern´eeϕ0est uniquement d´etermin´ee par la donn´ee deϕ0(e1, e2, ..., en) = k0 ∈K.
D’o`u la
D´efinition 2.3 Soit E K e.v. muni d’une base B ={e1, e2, ..., en} (donc E ∼= Kn). La forme n-lin´eaire ϕ0 d´efinie par ϕ0(e1, e2, ..., en) = 1 est appel´ee d´eterminant dans la base B = {e1, e2, ..., en} donc
detB : En −→ K
(V1, V2, ..., Vn) 7→ ∑
σ∈Snϵσxσ(1),1xσ(2),2...xσ(n),n
o`u ∀i∈ {1,2, ..., n}, ViB =
x1,i x2,i
...
xn,i
.
Exemples 2.4 Soit E K-e.v. de base B={e1, e2, e3}. x1B =
1 2 3
, x2B =
1 0 1
, x3B =
1 1 0
.
2.2 Propri´ et´ es du d´ eterminant.
Propri´et´es 2.5 Soit E un K-e.v. muni d’une base B={e1, e2, ..., en}. i) Si B′ = (e′1, e′2, ..., e′n) est une autre base de E alors
detB′ (V1, ..., Vn) = det
B′ (B).det
B (V1, V2, ..., Vn) (admis).
ii) Si Vi = 0 alors detB(V1, V2, ..., Vn) = 0 (exo.).
iii) Si Vi =λ.Vj (i̸=j) pour λ∈K alors detB(V1, V2, ..., Vn) = 0 (exo.).
iv) Important (exo.) :detB(V1, ..., Vi+∑
j̸=iλj.Vj, ..., Vn) = detB(V1, ..., Vi, ..., Vn) .
i.e. On ne change pas le calcul du d´eterminant lorsqu’on ajoute `a un vecteur une combinaison lin´eaire des autres.
Exercice 2.6 E =K2 de base B ={e1, e2}. Soient x=a.e1+b.e2 et y=c.e1+d.e2.
detB (x, y) = a c
b d =?
Corollaire 2.7 Soit B une base finie de E.
{u1, u2, ..., un} libre⇐⇒det
B (u1, u2, ..., un} ̸= 0.
Preuve.
⇐=) Evident d’apr`es les propri´et´es.
=⇒)u1, u2, ..., un libres donc F ={u1, u2, ..., un} est une base de E donc detB (F).det
F (B) = det
B (B) = 1, donc detF(B)̸= 0.
CQFD
3 D´ eterminant d’une matrice carr´ ee et mode de calcul.
D´efinition 3.1 SoitA= (ai,j)1≤i,j≤n ∈ Mn(K)alorsdet(A) =
a1,1 ... a1,n ... ... ...
an,1 ... an,n
est le d´eterminant dans la base canonique de Kn des n vecteurs colonnes de A.
Propri´et´es 3.2 Soit A, B ∈ Mn(K).
a) det(A) = det(tA). (le v´erifier pour A∈ M3(R)) b) ∀λ ∈K, det(λ.A) =λn.det(A). (exo.)
c) det(A.B) = det(A).det(B). (le v´erifier pour A, B ∈ M3(R)) d) A inversible⇐⇒det(A)̸= 0,
et, si A inversible, det(A−1) = det(A)1 . (exo.)
e) Si A et B sont semblables (i.e. ∃P ∈ Gln(K)/B =P−1.A.P) alors detB = detA. (exo.) La r´eciproque est fausse.
D´efinition 3.3 Soit A∈ M(K).
Pour1≤i, j ≤n, on appelle mineurAi,j de la matrice A, le d´eterminant de la matrice obtenue
`
a partir de A en supprimant le ii`eme ligne et la ji`eme colonne.
Exemples 3.4 Si A=
2 1 0 3 2 1 1 1 3
Application 3.5 Rang d’une famille de vecteurs : F ={
1 3 3 1
,
2 4 5 1
,
3 7 8 2
,
2 6 6 2
}.
Proposition 3.6 (calcul de d´eterminant) a - D´eveloppement par rapport `a la ki`eme ligne
det(A) =
∑n j=1
(−1)k+j.ak,j.Ak,j.
b - D´eveloppement par rapport `a la ki`eme ligne det(A) =
∑n i=1
(−1)k+i.ai,k.Ai,k.
Exercice 3.7 V´erifier la proposition pr´ec´edente pour A∈ M3(K).
Exemples 3.8 A=
3 0 −2 2 4 1 1 0 −1
.
Application 3.9 d´eterminant d’une matrice triangulaire (en exo.)
Comment simplifier le calcul ?
i) Si les lignes (ou les colonnes) sont li´ees, le d´eterminant est nul.
ii) Si on ´echange 2 lignes ou 2 colonnes, le d´eterminant change de signe.
iii) Si on ajoute `a une colonne (resp. une ligne), une combinaison lin´eaire des autres colonnes (resp. lignes),le d´eterminant ne change pas.
Exemples 3.10
1 1 1 1 2 3 3 2 1 2 3 4 1 2 4 5
4 D´ eterminant d’un endomorphisme.
E K e.v.
Soient f ∈End(E) et B ={e1, e2, ..., en}une base de E.
On sait que Mf,B =(
f(e1)B f(e2)B ... f(en)B ) . Soit B′ ={e′1, e′2, ..., e′n}, une autre base de E alors
Mf,B′ =PB′,B.Mf,B.PB−′1,B, donc det(Mf,B′) = det(Mf,B).
On peut donc poser la D´efinition 4.1 E K e.v.
Soient f ∈End(E) et B={e1, e2, ..., en} une base de E.
On d´efinit le d´eterminant de f par
det(f) := det(Mf,B) = det(f(e1)B, f(e2)B, ..., f(en)B) Proposition 4.2
Soit f ∈End(E) alors
f bijectif ⇐⇒det(f)̸= 0.
Preuve.
Claire puisque
f bijective ⇐⇒Mf,B inversible et
Mf,B inversible⇐⇒det(Mf,B)̸= 0.
CQFD
